GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exemplo . 2.6 Relação “estar entre” no plano afim real
No plano afim real (cf 1.2), a seguinte relação “estar entre” verifica o grupo II de axiomas:
“dados A, B e C, dizemos que C está entre A e B se −→
AC = λ −→
AB com λ ∈]0,1[”
Se A e B são dois pontos de R 2 , o segmento AB é o conjunto:
AB = {A+λ −→
AB : λ ∈ [0,1]} = {(1−λ)A+λB : λ ∈ [0,1]}
A partir de agora, chamaremos plano apenas aos planos de incidência
que verificam os grupos de axiomas I e II.
Definição . 2.7 Incidir na mesma semi-recta, incidir no mesmo semi-plano
1. Seja r uma recta incidente num ponto O. Dizemos que dois pontos P e R incidentes em
r e distintos de O incidem na mesma semi-recta de r com origem O se P = R ou se
O∈/ PR.
P ′
O
P
R
O∈/ PR
O ∈ PP ′
2. Seja r uma recta do plano de incidência. Dados R e P pontos do plano não incidentes
em r, dizemos que R e P incidem no mesmo semi-plano definido por r se P = R ou se r
não intersectar o segmento PR.
Proposição 2.8
P
R
1. Fixadas uma recta r e um ponto O incidente em r, a relação “incidir na mesma semi-recta
de r com origem O” é uma relação de equivalência no conjunto dos pontos incidentes em
r, distintos de O, que define apenas duas classes de equivalência.
2. Fixada uma recta r do plano, a relação “incidir no mesmo semi-plano definido por r” é
uma relação de equivalência no conjunto dos pontos do plano não incidentes em r que
define apenas duas classes de equivalência.
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P ′
r