GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Segundo resultado: Se C está entre A e B e M está entre A e C, então M está entre
A e B.
A
M
L
K
C
Q
(a) Consideramos um ponto K não incidente na recta < A,C > e um ponto L tal que
K está entre L e C.
(b) Como M não está entre C e B (pelo resultado anterior sabe-se que C ∈ BM),
mas K está entre L e C, aplicando o axioma de Pasch ao triângulo △CLB, a recta
< M,K > intersecta o segmento LB num ponto Q.
(c) Por outro lado, como M está entre A e C, e K está entre L e C, aplicando a alínea
3 ao triângulo △ALC, tem-se que a recta < M,K > não intersecta o segmento AL.
(d) Se a recta < M,K > não intersecta o segmento AL, mas intersecta o segmento LB,
pelo axioma de Pasch aplicado ao triângulo △ALB, tem-se que < M,K > intersecta
o segmento AB. O ponto de intersecção é M e assim M ∈ AB.
Note-se que, por simetria, tem-se também que, se C está entre A e B, e M está entre C
e B, então M não está entre A e C, e assim
AC ∩CB = {C}
E também, por simetria, se C está entre A e B e M está entre C e B tem-se que M está
entre A e B e assim
AC ∪CB ⊂ AB
Terceiro resultado: Sejam M e C entre A e B. Se M está entre C e B tem-se que
B
M ∈ CB ⊂ AC ∪CB
Podemos então supor que M não está entre entre C e B e usar uma construção análoga
à anterior para verificar que M encontra-se então, obrigatoriamente, entre A e C, pelo
que
M ∈ AC ⊂ AC ∪CB
donde
AB ⊂ AC ∪CB.
5. Prova-se por redução ao absurdo supondo que existe um número finito de pontos incidentes
no segmento.
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