GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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Definição . 2.5 Isometrias hiperbólicas Uma aplicação f : Ω → Ω do tipo az +b f(z) = k bz +a az +b ou f(z) = k bz +a com |k| = 1 e |b| < |a|, diz-se uma isometria hiperbólica. Notas . 2.6 1. A composta de duas transformações hiperbólicas é uma transformação hiperbólica, assim comoainversadeumatransformaçãohiperbólica(estruturadegrupoparaacomposição). 2. As transformações do tipo f(z) = az +b cz +d ou f(z) = az +b cz +d são chamadas transformações de Moebius generalizadas. Estas transformações verificam propriedadesparecidasàsinversõesereflexões: transformamcircunferênciasgeneralizadas emcircunferênciasgeneralizadas, preservamângulos.... Masatenção, nemtodasastransformações de Moebius são aplicações de Ω em Ω, de facto, só aquelas que caracterizamos como composição de reflexões hiperbólicas é que preservam Ω. Podemos então definir agora dois segmentos congruentes como dois segmentos hiperbólicos tais que existe uma isometria hiperbólica que transforma um no outro. A noção de segmentos congruentes no plano hiperbólico difere bastante da euclideana ... It(Is(A)) A It(Is(B)) 138 B
O plano hiperbólico partilha com o plano euclideano todas as propriedades da geometria absoluta mas, ao introduzir a negação do V Postulado e considerar infinitas paralelas por um ponto exterior a uma recta, obtemos resultados bem diferentes: • Existem triângulos cuja medida dos ângulos internos é inferior a dois rectos; • A noção de paralelismo entre rectas não é transitiva, • Dois triângulos são congruentes se e só se são semelhantes, • ... Por exemplo, eis um mosaico do disco de Poincaré usando anjos e demónios congruentes ... 139
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O plano hiperbólico partilha com o plano euclideano todas as propriedades da geometria<br />
absoluta mas, ao introduzir a negação do V Postulado e considerar infinitas paralelas por um<br />
ponto exterior a uma recta, obtemos resultados bem diferentes:<br />
• Existem triângulos cuja medida dos ângulos internos é inferior a dois rectos;<br />
• A noção de paralelismo entre rectas não é transitiva,<br />
• Dois triângulos são congruentes se e só se são semelhantes,<br />
• ...<br />
Por exemplo, eis um mosaico<br />
do disco de Poincaré usando anjos e demónios congruentes ...<br />
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