GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 2.5 Isometrias hiperbólicas
Uma aplicação f : Ω → Ω do tipo
az +b
f(z) = k
bz +a
az +b
ou f(z) = k
bz +a
com |k| = 1 e |b| < |a|, diz-se uma isometria hiperbólica.
Notas . 2.6
1. A composta de duas transformações hiperbólicas é uma transformação hiperbólica, assim
comoainversadeumatransformaçãohiperbólica(estruturadegrupoparaacomposição).
2. As transformações do tipo
f(z) =
az +b
cz +d
ou f(z) =
az +b
cz +d
são chamadas transformações de Moebius generalizadas. Estas transformações verificam
propriedadesparecidasàsinversõesereflexões: transformamcircunferênciasgeneralizadas
emcircunferênciasgeneralizadas, preservamângulos.... Masatenção, nemtodasastransformações
de Moebius são aplicações de Ω em Ω, de facto, só aquelas que caracterizamos
como composição de reflexões hiperbólicas é que preservam Ω.
Podemos então definir agora dois segmentos congruentes como dois segmentos hiperbólicos
tais que existe uma isometria hiperbólica que transforma um no outro. A noção de segmentos
congruentes no plano hiperbólico difere bastante da euclideana ...
It(Is(A))
A
It(Is(B))
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B