GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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Reflexões em rectas hiperbólicas Uma reflexão numa recta hiperbólica é: • a reflexão usual na recta r, se a recta hiperbólica é uma recta vectorial r; • a inversão pela circunferência C, se a recta hiperbólica é uma circunferência C ortogonal à circunferência unitária U. σ(M) Descrição analítica das reflexões hiperbólicas r I(M) • Uma inversão IC por uma circunferência C com centro α e ortogonal à circunferência unitária U está definida por: IC(z) = α+ |α|2 −1 z −α C M = αz −1 z −α |α| > 1 • Uma reflexão numa recta vectorial de equação γ 2 z = z está definida por σr(z) = γ 2 z Usando a medida de segmentos e ângulos hiperbólicos é possível provar que estas aplicações são efectivamente as reflexões do modelo indicado (tal como foram definidas na secção sobre isometriasnageometriaabsoluta). Naabordagemalternativa,emqueacongruênciaédefinidaa partir do grupo de isometrias, é preciso confirmar que as reflexões hiperbólicas (as “candidatas” a reflexões hiperbólicas para ser precisos) são, efectivamente, aplicações do disco de Poincaré. Proposição . 2.2 1. Se r é uma recta vectorial, σr a reflexão em r e z ∈ Ω então σr(z) ∈ Ω; 2. Se C é uma circunferência ortogonal a U, então o centro α de C é exterior a U e portanto a inversãopelacircunferênciaC estádefinidaparatodooz ∈ Ωverificándo-sequeIC(z) ∈ Ω 136
O conjunto de reflexões hiperbólicas não é um grupo para a composição. A composta de duas reflexões hiperbólicas pode não ser uma reflexão hiperbólica: It(Is(A)) A It(Is(B)) Is(B) B Is(A) Analiticamente é facil verificar que tais compostas são aplicações do tipo f(z) = az +b cz +d com a, b, c e d verificando certas condições: s t ou f(z) = az +b cz +d Teorema . 2.3 Caracterização da composição de reflexões hiperbólicas. Uma transformação f do tipo f(z) = az +b cz +d é composta de reflexões hiperbólicas se e só se com |k| = 1 e |b| < |a|. Exemplos . 2.4 az +b f(z) = k bz +a ou f(z) = az +b cz +d az +b ou f(z) = k bz +a As rotações centradas na origem, as reflexões por rectas que incidem na origem e as inversões por circunferências ortogonais à circunferência unitária ω são transformações hiperbólicas. 137
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O conjunto de reflexões hiperbólicas não é um grupo para a composição. A composta de<br />
duas reflexões hiperbólicas pode não ser uma reflexão hiperbólica:<br />
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It(Is(B))<br />
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B<br />
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Is(A)<br />
Analiticamente é facil verificar que tais compostas são aplicações do tipo<br />
f(z) =<br />
az +b<br />
cz +d<br />
com a, b, c e d verificando certas condições:<br />
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ou f(z) =<br />
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Teorema . 2.3 Caracterização da composição de reflexões hiperbólicas.<br />
Uma transformação f do tipo<br />
f(z) =<br />
az +b<br />
cz +d<br />
é composta de reflexões hiperbólicas se e só se<br />
com |k| = 1 e |b| < |a|.<br />
Exemplos . 2.4<br />
az +b<br />
f(z) = k<br />
bz +a<br />
ou f(z) =<br />
az +b<br />
cz +d<br />
az +b<br />
ou f(z) = k<br />
bz +a<br />
As rotações centradas na origem, as reflexões por rectas que incidem na origem e as inversões<br />
por circunferências ortogonais à circunferência unitária ω são transformações hiperbólicas.<br />
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