GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Reflexões em rectas hiperbólicas
Uma reflexão numa recta hiperbólica é:
• a reflexão usual na recta r, se a recta hiperbólica é uma recta vectorial r;
• a inversão pela circunferência C, se a recta hiperbólica é uma circunferência C ortogonal
à circunferência unitária U.
σ(M)
Descrição analítica das reflexões hiperbólicas
r
I(M)
• Uma inversão IC por uma circunferência C com centro α e ortogonal à circunferência
unitária U está definida por:
IC(z) = α+ |α|2 −1
z −α
C
M
= αz −1
z −α
|α| > 1
• Uma reflexão numa recta vectorial de equação γ 2 z = z está definida por
σr(z) = γ 2 z
Usando a medida de segmentos e ângulos hiperbólicos é possível provar que estas aplicações
são efectivamente as reflexões do modelo indicado (tal como foram definidas na secção sobre
isometriasnageometriaabsoluta). Naabordagemalternativa,emqueacongruênciaédefinidaa
partir do grupo de isometrias, é preciso confirmar que as reflexões hiperbólicas (as “candidatas”
a reflexões hiperbólicas para ser precisos) são, efectivamente, aplicações do disco de Poincaré.
Proposição . 2.2
1. Se r é uma recta vectorial, σr a reflexão em r e z ∈ Ω então σr(z) ∈ Ω;
2. Se C é uma circunferência ortogonal a U, então o centro α de C é exterior a U e portanto a
inversãopelacircunferênciaC estádefinidaparatodooz ∈ Ωverificándo-sequeIC(z) ∈ Ω
136