GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

do plano hiperbólico, isto é, um modelo em que a noção de ângulo em Ω coincide com
a noção de ângulo usual. Existem outros modelos do plano hiperbólico não conformes,
onde a definição de ângulo é menos intuitiva.
2. Esteplanodeincidênciaverificaosaxiomasdecontinuidadeporquecadarectahiperbólica
é homeomorfa à recta real e a noção “estar entre” foi definida usando esses homeomorfismos.
3. Neste plano de incidência, por um ponto exterior a uma recta incidem infinitas paralelas
(Axioma das paralelas de Lobachevsky).
Descrição das rectas “hiperbólicas”.
Uma recta hiperbólica neste modelo é a intersecção de Ω com uma recta incidente na origem
ou a intersecção de Ω com uma circunferência ortogonal à circunferência unitária.
A equação de uma circunferência ortogonal à U é:
C = {z ∈ C : zz −αz −αz +1 = 0} |α| > 1
Recorde-se que a reflexão numa recta vectorial r admite uma expressão do tipo
f(z) = e i2θ z
com (cosθ,sinθ) um vector director unitário da recta vectorial. O conjunto de pontos fixos de
f, ou seja, a recta r é definido assim como
com γ = cosθ +isinθ.
γ 2 z = z
Em resumo, as rectas m do plano hiperbólico são um dos dois conjuntos seguintes:
m = Ω∩C = {z ∈ C : |z| < 1 e zz −αz −αz +1 = 0} |α| > 1
m = {z ∈ C : |z| < 1 e γ 2 z = z} |γ| = 1
Recorde-se que uma isometria de um plano na geometria absoluta é composto de, no
máximo, três reflexões. As aplicações que fazem o papel das reflexões, no caso hiperbólico,
serão as inversões nas circunferências ortogonais a U e as reflexões nas rectas incidentes na
origem.
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