GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

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Exercícios . 1.12 1. Qual o complexo α de módulo 1 tal que a multiplicação por α representa a rotação de ângulo π/4? E π? E −π/6? Qual a transformação geométrica que representa o produto pelo complexo α = 1/2+i √ 3/2? 2. Dado z ∈ C, interprete geometricamente (a) 2+e iπ/3 z, (b) i+e iπ/2 z, (c) (−2+i5)z. São isometrias? Admitem representação matricial se identificarmos C com R 2 ? 3. A inversão na circunferência unitária é uma isometria? 4. Seja I a inversão na circunferência unitária. Prove que: (a) Se C := C(a,0,λ), com a=/ 0 então I(C) é a circunferência com centro I(a) e raio R = λ |a| . (b) Se C := C(0,a ′ ,λ), então I(C) é uma circunferência centrada em I(a ′ ) e raio R = (λ|a ′ |) −1 . (c) Determine os conjuntos C(a,0,1) e C(0,a ′ 1,1). Quais os conjuntos imagens? 5. Sejam hλ e hα,λ as homotetias de razão λ com centro a origem e α, respectivamente. Prove que hα,λ = tα ◦hλ ◦t−α 6. Prove que a aplicação composta de duas inversões em circunferências C, C ′ do mesmo centro α e raios r e r ′ é uma homotetia10 r de centro α e razão r ′ 2 . 7. Prove que a composta de uma inversão numa circunferência C de centro Ω e raio r com uma homotetia de centro Ω e razão λ é a inversão pela circunferência de centro Ω e raio √ λr. 10 Formalmente, é a restrição de uma homotetia a R 2 −{α}. 132
2 Modelo de Poincaré do plano hiperbólico Sejam U a circunferência unitária e Ω o interior de U, isto é, ω = {z ∈ C : |z| = 1} Ω = {z ∈ C : |z| < 1}. Um modelo do plano de incidência hiperbólico, chamado o círculo de Poincaré, consiste em: • pontos do plano hiperbólico: pontos do interior da circunferência unitária Ω; • rectas hiperbólicas : a intersecção com Ω das rectas vectoriais e das circunferências de C ortogonais a ω; • relação de incidência: a relação usual de pertença. 133
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GEOMETRIA BÁSICA Lucía Fernández
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Notas: • Estes apontamentos foram
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1 Os axiomas de incidência Defini
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3. O plano de incidência cujos pon
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2 Os axiomas de ordem Definição .
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Teorema 2.5 Consequências dos axio
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Segundo resultado: Se C está entre
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Definição . 2.13 Ângulo de duas
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Corolário 3.7 A congruência respe
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A C (Demonstração) Seja △ABC u
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donde AC ≡ CB. Só falta verifica
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Exercícios . 3.22 1. Prove os resu
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obter que A ∈ h+ e B ∈ k+. Apli
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IV Axiomas de continuidade. IV-1 (O
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Actualmente, chama-se geometria euc
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Note-se que para completar o nosso
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3. Sejam u, v e w os vectores direc
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A função composta A cos −→]
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Recorde-se ainda que o produto inte
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Como a < b+c então a2 < b2 +c2 +2b
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(Demonstração) Se AB′ AB = AC
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• Um quadrilátero convexo diz-se
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3. Suponham-se A, B e C pontos inci
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Usando o teorema de Tales obtemos <
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