GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exercícios . 1.12
1. Qual o complexo α de módulo 1 tal que a multiplicação por α representa a rotação de
ângulo π/4? E π? E −π/6? Qual a transformação geométrica que representa o produto
pelo complexo α = 1/2+i √ 3/2?
2. Dado z ∈ C, interprete geometricamente (a) 2+e iπ/3 z, (b) i+e iπ/2 z, (c) (−2+i5)z. São
isometrias? Admitem representação matricial se identificarmos C com R 2 ?
3. A inversão na circunferência unitária é uma isometria?
4. Seja I a inversão na circunferência unitária. Prove que:
(a) Se C := C(a,0,λ), com a=/ 0 então I(C) é a circunferência com centro I(a) e raio
R = λ
|a| .
(b) Se C := C(0,a ′ ,λ), então I(C) é uma circunferência centrada em I(a ′ ) e raio R =
(λ|a ′ |) −1 .
(c) Determine os conjuntos C(a,0,1) e C(0,a ′ 1,1). Quais os conjuntos imagens?
5. Sejam hλ e hα,λ as homotetias de razão λ com centro a origem e α, respectivamente.
Prove que
hα,λ = tα ◦hλ ◦t−α
6. Prove que a aplicação composta de duas inversões em circunferências C, C ′ do mesmo
centro α e raios r e r ′ é uma homotetia10
r
de centro α e razão
r ′
2 .
7. Prove que a composta de uma inversão numa circunferência C de centro Ω e raio r com
uma homotetia de centro Ω e razão λ é a inversão pela circunferência de centro Ω e raio
√ λr.
10 Formalmente, é a restrição de uma homotetia a R 2 −{α}.
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