GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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Nota 1.10 Construção geométrica das inversões Seja C uma circunferência de centro O e raio r. . • SejaAumpontointeriordacircunferência, istoé, AO < r, distintodocentroO. Definemse mA a recta perpendicular ao raio OA incidente em A e P e P ′ a intersecção desta recta mA com a circunferência. Tem-se que as tangentes tP e t ′ P incidem num ponto A′ na recta < O,A >. • Seja A ′ um ponto exterior da circunferência, isto é, A ′ O > r. A ′ incide em duas tangentes à circunferência e sejam P e P ′ os pontos de tangência. Define-se A o ponto de incidência da recta < P,P ′ > com a recta < A ′ ,O >. Os pontos A e A ′ são inversivos para a circunferência C, isto é, A e A ′ verificam OA·OA ′ = r 2 O (A demostração baseia-se no facto dos triângulos △OAP e △OPA ′ serem semelhantes.) A 130 P P’ A’
Nota 1.11 Centros de circunferências ortogonais Seja C uma circunferência, A um ponto interior e C ′ uma circunferência ortogonal a C passando por A. Como a inversão em C deixa globalmente invariante as circunferências ortogonais, o inverso A ′ de A pertence também a C ′ . C A C ′ Obtemos então que o centro de toda a circunferência ortogonal a C que passa por um ponto dado A pertence a mediatriz do segmento AA ′ , com A ′ o inverso de A relativamente a C. E então, dados dois pontos A e B interiores a uma circunferência C, não incidentes no mesmo diâmetro, existe uma e uma só circunferência ortogonal a C passando por A e B cujo centro é o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos AA ′ e BB ′ , com A ′ e B ′ os pontos inversivos de A e B, respectivamente. C A B C ′ 131 A′ A′ B ′
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Nota 1.11 Centros de circunferências ortogonais<br />
Seja C uma circunferência, A um ponto interior e C ′ uma circunferência ortogonal a C passando<br />
por A. Como a inversão em C deixa globalmente invariante as circunferências ortogonais, o<br />
inverso A ′ de A pertence também a C ′ .<br />
C<br />
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A<br />
C ′<br />
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Obtemos então que o centro de toda a circunferência ortogonal a C que passa por um ponto<br />
dado A pertence a mediatriz do segmento AA ′ , com A ′ o inverso de A relativamente a C.<br />
E então, dados dois pontos A e B interiores a uma circunferência C, não incidentes no<br />
mesmo diâmetro, existe uma e uma só circunferência ortogonal a C passando por A e B cujo<br />
centro é o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos AA ′ e BB ′ , com A ′ e B ′ os<br />
pontos inversivos de A e B, respectivamente.<br />
C<br />
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A<br />
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B<br />
C ′<br />
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A′<br />
B ′
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