GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

3. Designemos por ∆ABC o triângulo e por r a recta. Suponha-se que existem P ∈ AB,
Q ∈ BC e R ∈ CA incidentes em r.
A
P
B
R
Q
Aplicando o axioma de Pasch ao triângulo △QRC e à recta < A,B > obtemos que P
não está entre R e Q. De maneira análoga, aplicando esse axioma ao triângulo △PBQ
e à recta < A,C > obtemos que R não está entre P e Q, e aplicando-o a △APR e a
< B,C > obtemos que Q não está entre R e Q.
4. Este“lema”aparentementeinofensivoescondedefactoumasériederesultadosintermédios.
Primeiro resultado: Se C está entre A e B e M está entre A e C, então C está entre
M e B.
A
L
T
M
R
K
C
(a) Considera-se um ponto K não incidente na recta < A,B > e um ponto L tal que K
fica entre L e B.
(b) Como A não está entre C e B, mas K está entre L e B, aplicando o axioma de Pasch
ao triângulo △LBC, a recta < A,K > intersecta o segmento LC num ponto T.
(c) Note-se que, como C está entre A e B, e L não está entre K e B, aplicando o
axioma de Pasch ao triângulo △AKB e a recta < C,L >, deduzimos que esse ponto
T também está entre A e K.
(d) Como C não está entre A e M, mas T está entre A e K, aplicando o axioma de
Pasch ao triângulo △AKM, a recta < C,L > intersecta o segmento MK num ponto
R.
(e) Como R está entre K e M, mas L não está entre K e B, aplicando o axioma de
Pasch ao triângulo △MKB, obtemos que a recta < R,L > intersecta o segmento
MB.
(f) Tem-se que < R,L >=< C,L >, e assim, o ponto de interseção de < R,L > com
MB é o ponto C.
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C
B