GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Corolário . 1.8 Propriedades das inversões
Sejam C uma circunferência com centro α e raio r e IC a inversão em C.
1. IC é uma transformação bijectiva e involutiva;
2. IC(z) é o único ponto da semirecta de origem α e incidente em z que verifica
3. I fixa os pontos de C;
4. I intercâmbia as regiões:
|z −α||I(z)−α| = r 2 ;
{z ∈ C\{α} : |z −α| > r} {z ∈ C\{α} : |z −α| < r}
5. I transforma circunferências generalizadas em circunferências generalizadas.
6. I intercâmbia os conjuntos:
{circunferências que incidem em α} ←→ {rectas que não incidem em α}
7. I deixa (globalmente) invariantes as circunferências generalizadas ortogonais a C.
(Demonstração)
Directa a partir da decomposição das inversões.
Nota 1.9 Transformações conformes.
As inversões do plano verificam uma propriedade muito importante: preservam os ângulos.
Este tipo de transformações costumam chamar-se transformações conformes. Outros exemplos
de transformações conformes são as isometrias e as semelhanças. As aplicações constantes ou
as aplicações afins do tipo f(x,y) = (ax,by) com a=/ b não são aplicações conformes.
A prova deste resultado, que precisa de uma definição correcta de ângulo entre curvas, pode
ser encontrada em [9] (página 217).
129