GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

7. Seja r uma recta incidente na origem definida por uma equação αz+αz = 0. Se z ∈ C∗ ,
tem-se
αz +αz = 0 ⇐⇒ zz(α 1
z +α1 ) = 0 ⇐⇒ αI(z)+αI(z) = 0
z
Se C é uma circunferência ortogonal a U o resultado prova-se de maneira análoga (exercício).
Definição . 1.5 Inversão numa circuferência genérica
Seja C uma circunferência de centro α e raio r. Chamamos inversão em C e designamos por IC
à aplicação:
IC : C−{α} −→ C−{α}
definida por:
IC(z) = α+ r2
z −α .
Nota . 1.6
A esfera de Riemann
O palco ideal para trabalhar com inversões não é o plano C mas sim a chamada esfera de
Riemann que consiste em alargar C adicionando um ponto no infinito: C∪{∞}. Na esfera de
Riemann não é preciso retirar pontos ao domínio da inversão pois podemos definir
I(α) = ∞ e I(∞) = α.
Como o objetivo desta secção é introduzir as ferramentas necessárias para obter um modelo
do plano hiperbólico não vamos aprofondar no estudo da Esfera de Riemann, embora seja um
objeto omnipresente em Geometria, Topologia, Análisis Complexa ...
Proposição . 1.7 Decomposição de uma inversão
Sejam C uma circunferência com centro α e raio r e IC a inversão em C. Tem-se:
IC = tα ◦h r 2 ◦I ◦t−α
onde tα e t−α designam translações por α e −α, respectivamente, h r 2 a homotetia centrada em
0 e razão r 2 e I a inversão na circunferência unitária.
(Demonstração)
Directa.
t−α
C\{α} −→ C\{0} −→ C\{0}
z −→ z −α −→
1
z −α
I
128
h r 2
−→ C\{0}
−→ r2
z −α
tα
−→ C\{α}
−→ α+ r2
z −α