GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
1. Directa a partir da definição de I.
2. A primeira parte é directa. Reciprocamente, se ω incide na mesma semi-recta com origem
O que z tem-se ω = λz com λ ∈ R, λ > 0. Se |ω| = 1
= λ|z| então
|z|
donde ω = I(z).
3. Directa (se z ∈ U tem-se |z| = 1 e I(z) = z.
4. Deduz-se da segunda alínea.
λ = 1
|z| 2
5. Prova-se de seguida o caso indicado, os outros são análogos e ficam como exercício.
Suponham-se a e a ′ distintos de 0. Note-se que z=/ 0.
z ∈ C(a,a ′ ,1) ⇐⇒ |z −a| = λ|z −a ′
| ⇐⇒
za(1 1
−
a z )
= λ
a′ z( 1 1
−
a ′ z )
⇐⇒ |z| |a|
1 1
−
a z
= λ|z| |a′
|
1 1
−
a ′ z
⇐⇒
⇐⇒
1 1
−
a z
= λ|a′
|
1 1
|a| −
a ′ z
⇐⇒ I(z) ∈ C
Saliente-se que I é uma aplicação involutiva e portanto sobrejectiva.
6. Note-se que C = C(a,a ′ ,λ) incide na origem se e só se |a| = λ|a ′ |.
1 1
−
a z
= λ|a′
|
1 1
|a| −
a ′ z
I(a),I(a ′ ),λ |a′
|
|a|
Se C = C(a,a ′ ,λ) é uma circunferência (euclidiana) e incide na origem tem-se |a| = |a ′ |λ,
com λ=/ 1 logo |a|=/ |a ′ |. Pela alínea anterior I(C) = C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) com λ ′ = λ |a′ |
|a| .
Assim
λ ′ = λ |a′ |
|a| = 1 |I(a)|=/ |I(a′ )| (Note-se que |I(a)| = 1
|a| e |I(a′ )| = 1
|a ′ | ).
Se C = (a,a ′ ,λ) é uma recta não incidente na origem, pela proposição anterior, temse
λ = 1 e |a|=/ |a ′ |, assim I(C) é a circunferência generalizada C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) com
λ ′ = |a′ |
=/ 1. Tem-se
|a|
λ ′ |I(a ′ )| = |a′ |
|a|
1
|a ′ |
1 1
= = = |I(a)|
|a| |a|
e portanto C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) é uma circunferência que incide na origem.
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