GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

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5. I transforma circunferências generalizadas em circunferências generalizadas. Em particular, se C := C(a,a ′ ,λ), com a,a ′ =/ 0, então com λ ′ = λ |a′ | |a| . I(C) = C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) 6. I intercâmbia os conjuntos: {circunferências que incidem na origem} ←→ {rectas que não incidem na origem} 7. I deixa (globalmente) invariantes as circunferências generalizadas ortogonais a U, isto é, deixa globlamente invariantes as rectas incidentes na origem e as circunferências euclidianas ortogonais a U. 126
(Demonstração) 1. Directa a partir da definição de I. 2. A primeira parte é directa. Reciprocamente, se ω incide na mesma semi-recta com origem O que z tem-se ω = λz com λ ∈ R, λ > 0. Se |ω| = 1 = λ|z| então |z| donde ω = I(z). 3. Directa (se z ∈ U tem-se |z| = 1 e I(z) = z. 4. Deduz-se da segunda alínea. λ = 1 |z| 2 5. Prova-se de seguida o caso indicado, os outros são análogos e ficam como exercício. Suponham-se a e a ′ distintos de 0. Note-se que z=/ 0. z ∈ C(a,a ′ ,1) ⇐⇒ |z −a| = λ|z −a ′ | ⇐⇒ za(1 1 − a z ) = λ a′ z( 1 1 − a ′ z ) ⇐⇒ |z| |a| 1 1 − a z = λ|z| |a′ | 1 1 − a ′ z ⇐⇒ ⇐⇒ 1 1 − a z = λ|a′ | 1 1 |a| − a ′ z ⇐⇒ I(z) ∈ C Saliente-se que I é uma aplicação involutiva e portanto sobrejectiva. 6. Note-se que C = C(a,a ′ ,λ) incide na origem se e só se |a| = λ|a ′ |. 1 1 − a z = λ|a′ | 1 1 |a| − a ′ z I(a),I(a ′ ),λ |a′ | |a| Se C = C(a,a ′ ,λ) é uma circunferência (euclidiana) e incide na origem tem-se |a| = |a ′ |λ, com λ=/ 1 logo |a|=/ |a ′ |. Pela alínea anterior I(C) = C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) com λ ′ = λ |a′ | |a| . Assim λ ′ = λ |a′ | |a| = 1 |I(a)|=/ |I(a′ )| (Note-se que |I(a)| = 1 |a| e |I(a′ )| = 1 |a ′ | ). Se C = (a,a ′ ,λ) é uma recta não incidente na origem, pela proposição anterior, temse λ = 1 e |a|=/ |a ′ |, assim I(C) é a circunferência generalizada C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) com λ ′ = |a′ | =/ 1. Tem-se |a| λ ′ |I(a ′ )| = |a′ | |a| 1 |a ′ | 1 1 = = = |I(a)| |a| |a| e portanto C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) é uma circunferência que incide na origem. 127
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GEOMETRIA BÁSICA Lucía Fernández
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