GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exemplos . 1.2
1. Se α = 0, α ′ = λ = 1 tem-se
C(0,1,1) = {z ∈ C : |z| = |z −1|} = {z ∈ C : z +z −1 = 0}
Note-se que considerando z = x+iy a circunferência generalizada C(0,1,1) é a recta de
equação cartesiana x = 1/2.
2. Se α = 0, α ′ = 1 e λ = √ 2 tem-se
C(0,1, √ 2) = {z ∈ C : |z| = √ 2|z −1|} = {z ∈ C : zz −2(z +z)+2 = 0}
Note-se que considerando z = x+iy a circunferência generalizada C(0,1, √ 2) é a circunferência
de equação x 2 +y 2 −4x+2 = 0.
3. Se α = 0, α ′ = 1 e λ = 2 tem-se
C(0,1,2) = {z ∈ C : |z| = 2|z −1|} = {z ∈ C : 3zz −4(z +z)+4 = 0}
Note-se que considerando z = x + iy a circunferência generalizada C(0,1,2) é a circunferência
de equação 3x 2 +3y 2 −8x+4 = 0.
Convenciona-seque, seacircunferênciageneralizadaforumarectaeuclidianar entãoatangente
num ponto P é precisamente a própia recta r. Assim, podemos dizer que duas circunferências
generalizadas são ortogonais num ponto P se as tangentes em P são perpendiculares.
Definição . 1.3 Inversão na circunferência unitária
Seja C ∗ = C − {0}. Chamamos inversão na circunferência unitária e designamos por I à
aplicação I : C ∗ −→ C ∗ definida por
I(z) = 1
z
= z
|z| 2
Proposição . 1.4 Propriedades da inversão na circunferência unitária
Sejam I : C ∗ −→ C ∗ a inversão na circunferência unitária U e O a origem. Tem-se
1. I é uma transformação bijectiva e involutiva (I 2 = Id);
2. I(z) é o único ponto da semirecta de origem O e incidente em z que verifica |z||I(z)| = 1;
3. I fixa os pontos da circunferência unitária U;
4. I intercâmbia as regiões:
{z ∈ C ∗ : |z| > 1} {z ∈ C ∗ : |z| < 1}
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