GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 1.1 Circunferências generalizadas
Sejam a e a ′ dois números complexos distintos, e λ um número real positivo. O conjunto:
C(a,a ′ ,λ) = {z ∈ C : |z −a| = λ|z −a ′ |}
diz-se uma circunferência generalizada definida pelos pontos a e a ′ e razão λ ou circunferência
de Apolónio para os pontos a e a ′ e razão λ.
λ = 2
λ|z −a ′ |
z
|z −a ′ |
a a′
Se A e A ′ são dois pontos do plano R 2 , correspondentes aos números complexos a, a ′ e
P é o ponto correspondente com z, como |z − a| = PA as circunferências generalizadas são
efectivamente as circunferências de Apolónio introduzidas no segundo capítulo:
e então:
{P ∈ R 2 : AP = λAP ′ }
• Se λ = 1, C é a mediatriz do segmento de extremos a e a ′ ;
• Se λ=/ 1, C é uma circunferência de centro O e raio r, r > 0, tais que
1. O verifica |O −a| = λ 2 |O −a ′ |;
2. r é tal que r 2 = |O −a||O −a ′ |.
Reciprocamente, para toda a recta r ou toda a circunferência C de C existem números complexos
distintos a e a ′ (e não únicos) e um real positivo λ tais que a circuferência generalizada
C(a,a ′ ,λ) é a recta r ou a circunferência C.
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