GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

z ∈ C, z = x1+ix2, com x1,x2 ∈ R, o produto e iθ z = (a+ib)z = ax1−bx2+i(ax2+bx1)
indentifica-se com o vector
(cosθx1 −sinθx2,cosθx2 +sinθx1)
que é a rotação do vector (x1,x2) pelo ângulo orientado θ com centro a origem.
θ
eθz
Por outras palavras: o produto por complexos e iθ (complexos de módulo 1) representa
rotações do plano de ângulo orientado θ com centro a origem.
• Em geral, se z é um complexo qualquer não nulo, tem-se que z = |z|e iθ (com e iθ = z
|z|
complexo de módulo 1). A multiplicação por z interpreta-se geometricamente como uma
rotação (multiplicação por e iθ ) seguida de uma homotetia de razão |z|.
• Uma isometria f do plano euclideano, f : R2 −→ R2 , representa-se matricialmente por:
y1
w1
x1
w1
y2
=
w2
a −ǫb
+
b ǫa
com ǫ = ±1, a 2 +b 2 = 1, x = (x1,x2) e f(x) = (y1,y2).
x2
z
=
w2
ax1 −ǫbx2
+
bx1 +ǫax2
Sejam z = x1 +ix2, w = w1 +iw2 e θ tal que e iθ = a+ib. Note-se que:
e iθ z = (a+ib)z = ax1 −bx2 +i(bx1 +ax2) (ǫ = 1)
e iθ z = (a+ib)z = ax1 +bx2 +i(bx1 −ax2) (ǫ = −1)
Assim, usando a identificação de R 2 com C podemos escrever
f(z) = w +e iθ z (ǫ = 1)
ou
f(z) = w +e iθ z (ǫ = −1)
A primeira representa uma rotação seguida de uma translação e a segunda representa
uma reflexão seguida de uma rotação seguida de uma translação.
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