GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

IV. Introdução ao plano hiperbólico
1 Inversões
As inversões são um tipo de transformações do plano com belíssimas propriedades e inúmeras
aplicações em problemas geométricos (o problema de Steiner, o problema de Apolónio...) Nesta
secção serão apresentadas unicamente os conceitos básicos, necessários para definir o Disco de
Poincaré. O Disco de Poincaré é um modelo analítico do plano hiperbólico,isto é, um modelo
de plano de incidência que verifica os mesmos axiomas que o plano euclideano à excepção do
axioma das paralelas de Euclides.
Para facilitar este estudo, fazemos, de seguida, uma apresentação do plano R 2 através do
conjunto dos números complexos C.
Transformações geométricas básicas em C.
Recorde-se a identificação de R 2 com o corpo dos números complexos C, dada por
FACTOS E NOTAÇÕES
R 2 ≡ C
(a,b) ≡ a+ib.
• Se z = a+ib e z ′ = a ′ +ib ′ , com a,b,a ′ ,b ′ ∈ R, então z+z ′ identifica-se com (a+a ′ ,b+b ′ )
que é a soma dos vectores (a,b) e (a ′ ,b ′ ).
• Se z = a + ib, com a,b ∈ R, o conjugado z = a − ib identifica-se com (a,−b) que é
o simétrico em relação ao eixo dos xx do vector (a,b). Recorde-se que zz = a 2 + b 2 e
z +z = 2a são números reais.
• O módulo |z| é o comprimento do vector (a,b), recorde-se que verifica |z| 2 = zz.
• Sejam ρ um real positivo e z um número complexo, z = x1 + ix2, com x1,x2 ∈ R. O
complexo ρz identifica-se com o vector (ρx1,ρx2) e então é possível interpretar o produto
por um real positivo ρ como uma homotetia com centro na origem e razão ρ.
• Sejaa+ib, coma,b ∈ R, umcomplexodemódulo1, istoé, talquea 2 +b 2 = 1. Note-seque
existe θ ∈ R (único a menos de 2kπ) tal que a = cosθ e b = sinθ, isto é, e iθ = a+ib. Dado
121