GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema 2.5 Consequências dos axiomas de incidência e ordem
Seja G = (P, L,I) um plano munido de uma relação “estar entre” O que verifica o grupo II
de axiomas.
1. Dados dois pontos A e B distintos há um ponto C entre A e B.
2. De três pontos incidentes com uma recta tem-se obrigatoriamente que um e um só está
entre os outros dois.
3. Se uma recta incide num lado de um triângulo e não incide com nenhum vértice intersecta
um e um só dos outros lados.
4. (Lema fundamental sobre segmentos.)
Se C está entre A e B então
AC ∩CB = {C} e AB = AC ∪CB.
5. Qualquer segmento contém uma infinidade de pontos.
(Demonstração)
1. Considere um ponto P não incidente em < A,B > e defina depois R e E usando o axioma
II-2 e C usando o axioma de Pasch.
R
A
P
C
2. Suponha que A não está entre B e C, e que C não está entre A e B. Considerem-se D
não incidente na recta < A,B > e G ponto tal que D está entre B e G. Aplique o axioma
de Pasch aos triângulos adequados para definir un ponto E entre G e C e um ponto F
entre A e G. De novo, pelo axioma de Pasch, D está entre A e E e entre C e F e então
B está entre A e C.
G
B
F E
D
E
A B C
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