GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

32. Semelhanças
Uma aplicação afim bijectiva f diz-se uma semelhança se f preserva os ângulos.
Seja f uma aplicação afim bijectiva e −→ f a aplicação linear associada (bijectiva). Recordese
que f = t◦ −→ f com t uma translação.
(a) Prove que f é uma semelhança se e só se −→ f é uma semelhança.
(b) Sejam g uma semelhança linear e O = (0,0) a origem. Considere-se um ponto A=/ O
e seja λ tal que Og(A) = λOA. Prove que, para todos A e B em R 2 tem-se
g(A)g(B) = λAB (∗)
(Sugestão: considerar primeiro pontos B não incidentes em < A,O > e aplicar os
critérios sobre triângulos semelhantes)
(c) Sejam g uma semelhança linear e λ o escalar que verifica (∗). Considere-se h a
homotetia vectorial (isto é, centrada na origem) com razão λ −1 . Determine
para todo A e B em R 2 .
h(g(A))h(g(B))
(d) Justifique sucintamente:
uma semelhança do plano é composta de uma isometria e uma homotetia.
119