GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

28. Ângulos geométricos versus ângulos orientados
(a) Seja ρ uma rotação do plano com centro Ω definida por
ρ(x1,x2) = (q1 +ax1 −bx2,q2 +bx1 +ax2)
Seja P um ponto do plano. Prove que −→
ΩP · −−−−→
Ωρ(P) = a.
(Recorde que ΩP = Ωρ(P)!!)
(b) Deduza que se (h+,k+)O e (h ′ +,k ′ ′ +)O representam o mesmo ângulo orientado então
∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +}
(c) Prove que se ∠{h+,k+} é um ângulo com vértice O ′ existem semi-rectas u+ e v+
com origem no ponto O = (0,0) tais que
(h+,k+)O ′ ∼ (e+,u+)O (k+,h+)O ′ ∼ (e+,v+)O
com e+ a semi-recta horizontal positiva.
Note-se que as semi-rectas u+ e v+ incidem em semi-planos opostos definidos pelo
eixo horizontal. Se u+ incide no semi-plano com segunda coordenada positiva, o
ângulo (h+,k+) diz-se um ângulo orientado positivo (sentido contrário aos ponteiros
do relógio), caso contrário, diz-se ângulo orientado negativo .
29. Qual a imagem através de uma isometria f de uma circunferência C de centro O e raio
r? Qual a imagem da tangente a C num ponto A?
30. Homotetias
Uma homotetia é uma aplicação do tipo h(x1,x2) = (q1,q2) + λ(x1,x2), para λ ∈ R,
λ=/ 0.
Recorde-se que uma homotetia h é uma aplicação bijectiva, com um único ponto fixo
(chamado centro da homotetia) que preserva a colinearidade e o paralelismo. Seja h uma
homotetia de razão λ.
(a) Qual a aplicação inversa h −1 ?
(b) Verifique que h(A)h(B) = |λ|AB;
(c) Prove que h preserva ângulos;
(d) Mostre que se C é uma circunferência de centro O e raio r então h(C) é uma circunferência
de centro h(O) e raio |λ|;
(e) Mostre que se t é uma recta tangente a uma circunferência C num ponto A então
h(t) é tangente a h(C) no ponto h(A).
31. Determine as expressões matriciais das homotetias de centro Ω = (0,−3) e razões λ = −2
e λ ′ = 15. Determine também o centro e a razão da homotetia f(x,y) = (−2x,−2y+4).
118