GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

com ρ(x1,x2) = (y1,y2), ρ ′ (x1,x2) = (y ′ 1 ,y′ 2 ) e a2 +b 2 = 1.
Assim, cada classe de equivalência é determinada por um número real θ, definido 8 a
menos 2kπ, que verifica cosθ = a e sinθ = b. As rotações dessa classe de equivalência
chamam-se rotações de ângulo orientado θ.
25. Determine a expressão analítica de:
(a) A rotação centrada na origem com ângulo orientado π/2;
(b) A rotação centrada no ponto (1,2) com ângulo orientado −π/3.
26. Determine o centro e o ângulo orientado θ ∈]0,2π[ das rotações definidas pelas expressões
matriciais:
27.
(a)
(b)
.
Ângulos orientados
y1
y2
=
y1
y2
0
1
=
√ √
2/2 − 2/2
+ √ √
2/2 2/2
√ 2/2 √ 2/2
− √ 2/2 √ 2/2
x1
x1
Considerem-se os pares ordenados (k+,h+)O com k+ e h+ semi-rectas do plano com
origem O. Dizemos que dois pares ordenados, (k+,h+)O e (k ′ +,h ′ ′ +)O são equivalentes se
existem rotações equivalentes ρ e ρ ′ tais que
ρ(k+) = h+ e ρ ′ (k ′ +) = h ′ +
(a) Verifique que se ρ(k+) = h+ então a origem de k+ e h+ é o centro da rotação ρ.
(b) Justifique que a relação definida é efectivamente uma relação de equivalência. Cada
classe do conjunto quociente diz-se um angulo orientado do plano.
(c) Justifique que se h+ e k+ são semi-rectas do plano com origens O e O ′ , respectivamente,
então (h+,h−)0 ∼ (k+,k−)O ′ (esta classe de equivalência é o chamado ângulo
raso) 9 .
(d) Verifique que, se h+ e k+ são semi-rectas com a mesma origem O, com suportes
distintos, então (h+,k+)O e (k+,h+)O nunca são equivalentes.
(Sugestão: por redução ao absurdo, considerar O a origem das semi-rectas, A ∈ h+
B ∈ k+ tais que AO = BO e provar que o ponto médio M entre A e B é ponto fixo
para a rotação ρ tal que ρ(k+) = h+).
8 O intervalo de definição de θ costuma ser ]0,2π[. Frequentemente convenciona-se considerar a identidade
uma rotação e então θ ∈ [0,2π[
9
Se se considerar a identidade uma rotação ter-se-ia que (h+,h+)O ∼ (k+,k+)O ′ e então esta classe de
equivalência define o ângulo nulo.
117
x2
x2