GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(b) Deduzir que se ρΩ é uma rotação com centro Ω e r uma recta incidente em Ω então
σr ◦ρΩ é uma reflexão numa recta incidente em Ω
21. Representação das rotações
Seja ρ = σr ◦σs uma rotação com centro Ω (i.e. Ω = r∩s). Prove que para toda recta l
incidente em Ω existem e são únicas rectas r1 e s1 incidentes em Ω verificando
σr ◦σs = σr1 ◦σl = σl ◦σs1
22. Composta de três reflexões em rectas não incidentes e não paralelas duas a duas
Sejam r, s e t não incidentes e não paralelas duas a duas, isto é, r ∩s = P, com P∈/ t.
(a) Sejam Q o pé da perpendicular a t incidente em P e l essa perpendicular. Verifique
que existe σr1 incidente em P tal que
com SQ a simetria central em Q
σr ◦σs ◦σt = σr1 ◦SQ
(b) Seja m a recta paralela a r1 e incidente em Q e n a perpendicular a m incidente em
Q. Justifique
σr ◦σs ◦σt = σr1 ◦σm ◦σn
(c) Deduza que σr ◦σs ◦σt é uma reflexão deslizante.
23. Comente o enunciado:
Uma isometria do plano é uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma reflexão
deslizante.
24. Rotações equivalentes
Dizemos que duas rotações ρ e ρ ′ são equivalentes e escrevemos ρ ∼ ρ ′ quando existir uma
translação t tal que ρ ′ = t◦ρ.
(a) Prove que esta relação entre as rotações do plano é efectivamente uma relação de
equivalência.
(Sugestão: recorde as propriedades das translações do exercício 6)
(b) Prove que se ρ e ρ ′ são equivalentes e possuem o mesmo centro então ρ = ρ ′ .
Note-se que toda rotação é equivalente a uma rotação com centro na origem (trata-se de
facto da aplicação linear associada à rotação). Recorde-se que se ρ é uma rotação e −→ ρ a
aplicação ortogonal associada tem-se
y1
y2
=
w1
w2
a −b
+
b a
x1
x2
116
y ′ 1
y ′ 2
=
a −b
b a
x1
x2