GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

17. Sejam t uma translação de vector v e σ uma reflexão na recta r. Justifique sucintamente
os seguintes enunciados:
(a) Se < v > /r então t◦σ ◦t −1 = σ;
(b) Se < v > e r são perpendiculares então t◦σ◦t −1 é uma reflexão numa recta paralela
a r;
(c) Em geral, t◦σ ◦t −1 é uma reflexão numa recta paralela a r.
18. Composta de duas reflexões em rectas incidentes
Sejam r e s duas rectas do plano distintas e incidentes num ponto Ω.
(a) Seja A um ponto distinto de Ω. Prove que, se A ∈ r ou A ∈ s, então σr(A)=/ σs(A).
(b) Prove que para todo o ponto A, não incidente em r ou s, se verifica σr(A)=/ σs(A).
(Sugestão: supor que a igualdade se verifica e usar que r é a mediatriz de Aσr(A)
para obter uma contradição.)
(c) Deduzir que as aplicações compostas σr ◦σs e σs ◦σr são rotações com centro Ω.
(d) Deduza que, se ρ é uma rotação com centro Ω, então ρ −1 também é uma rotação
com centro Ω.
Em resumo, a composta de duas reflexões em rectas incidentes é uma rotação com centro
o ponto de incidência. Note-se que, a partir da demonstração do teorema 1, podemos
deduziroresultadorecíproco, istoé, queumarotaçãoésemprecompostadeduasreflexões
em rectas incidentes.
Nota: Uma rotação ρ com centro Ω = (w1,w2) verifica:
y1
y2
=
w1
w2
com ρ(x1,x2) = (y1,y2) e a 2 +b 2 = 1.
19. Composta de reflexões sucessivas
a −b
+
b a
x1 −w1
x2 −w2
Sejam r, s e t três rectas. Prove que σr ◦σs◦σt não é uma translação nem uma rotação.
Sejam r, s, t e l quatro rectas. Prove que σr◦σs◦σt◦σl é uma translação ou uma rotação.
Pode generalizar os resultados anteriores?
(Sugestão: considerar o homomorfismo de grupos Ψ : Iso(R 2 ) −→ {1,−1} definido no
teorema 3.21)
20. Composta de três reflexões em rectas incidentes.
Sejam r, s e t três rectas distintas e incidentes num ponto Ω.
(a) Justifique que σr ◦σs ◦σt é uma reflexão numa recta incidente em Ω.
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