GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(b) Sejam A um ponto não incidente em r, A ′ o pé da perpendicular a r incidente em
A. Prove que
σr ◦τv(A) = A+2 −−→
AA ′ +v
(Sugestão: considerar B = A+v e B ′ o pé da perpendicular a r incidente em B e
determinar os vectores −−→
A ′ B ′ e −−→
BB ′ )
(c) Deduza σr ◦τv = τv ◦σr.
Recorde-se que esta isometria δ diz-se reflexão deslizante de base r pelo vector v.
r
15. Propriedades das reflexões deslizantes
v
A
σr(A)
Seja δ a reflexão deslizante de base r pelo vector v.
(a) Prove que a recta r é globalmente invariante para δ.
τv(A)
δ(A)
(b) Se A∈/ r, prove que A e δ(A) incidem em semi-planos distintos. Deduza que δ não
possui pontos fixos.
(c) Seja s uma recta paralela a r, s=/ r. Verifique que δ(s) e s são paralelas e distintas.
(d) Seja s uma recta não paralela a r. Verifique que s não é globalmente invariante.
(Sugestão: considerar o ponto de incidência de s e r)
(e) Comente o enunciado a recta r é a única recta globalmente invariante para δ.
(f) Seja s uma recta perpendicular a r. Verifique que s e δ(s) são paralelas (e distintas).
(Sugestão: usar propriedades das translações e das reflexões)
16. Composta de uma reflexão e uma translação.
Sejam σ e t uma reflexão numa recta r e uma translação pelo vector v, respectivamente.
Sejam v1 v2 vectores tais que v = v1 +v2, < v1 > /r e < v2 > e r são perpendiculares.
Prove que a composta t◦σ é uma reflexão deslizante de base s pelo vector v1, com s a
recta paralela a r e incidente em A+1/2v2.
(Sugestão: decompor v = v1 +v2, e usar os exercícios 11 e 14.)
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