GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(b) Dado um vector −→ v , prove que existem rectas paralelas r e s (não necessariamente
únicas), perpendiculares à recta < −→ v > tais que a translação do vector −→ v é a
composta σsσr.
(Sugestão: exercício anterior)
11. Composta de três reflexões em rectas paralelas
(a) Sejam r uma recta do plano e −→ v um vector do plano tal que r e < −→ v > são perpendiculares.
Prove que τvσr é a reflexão na recta paralela a r incidente em A+1/2 −→ v ,
com A ∈ r qualquer. Determine também σrτv.
(b) Deduza que a composta de três reflexões em rectas paralelas é uma reflexão numa
recta paralela às anteriores a determinar.
12. Dadas duas reflexões σr e σs, com r e s paralelas, e uma recta l paralela às rectas r e s,
prove que existem e são únicas rectas r ′ e s ′ paralelas às anteriores e tais que
(Sugestão: lembre-se que σr = σ −1
r )
σsσr = σs ′σl = σlσr ′
13. Composta de duas reflexões em rectas perpendiculares
(a) Sejam σr, σs reflexões em rectas r e s, distintas e incidentes num ponto Ω. Prove
que σrσs = σsσr se e só se r e s são perpendiculares.
σsσr(A)
(b) Caracterização de simetrias centrais
σr(A)
Prove que uma isometria é uma simetria central se e só se é composta de duas
reflexões em rectas perpendiculares.
14. As reflexões deslizantes
Sejam σr e τv uma reflexão numa recta r e uma translação pelo vector v, respectivamente,
tais que r e < v > são paralelas.
(a) Seja A um ponto incidente em r. Indique σr ◦τv(A) e τv ◦σr(A).
113
A