GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exercícios . 2.13
Se nada for dito em contrário o plano considerado é o plano euclideano usual,
(R 2 , L,I).
1. Indique, justificando pela definição, quais das seguintes aplicações são isometrias do
plano euclidiano.
(a) f(x1,x2) = (x1,x1 +x2);
(b) f(x1,x2) = (2−x2,1+x1);
(c) f(x1,x2) = (3x1,3x2);
(d) f(x1,x2) = (cosx1,cosx2);
(e) f(x1,x2) = (x 2 1 ,x2);
(f) f(x1,x2) = (−3−x2,1−x1).
Determine (calculando o conjunto dos pontos fixos) se alguma dessas isometrias é uma
rotação, uma reflexão ou uma translação.
2. Apresente exemplos de aplicações lineares que não sejam ortogonais e de aplicações afins
que não sejam isometrias. Apresente ainda uma isometria que não seja uma aplicação
ortogonal.
3. Determine as representações matriciais das isometrias seguintes:
(a) f(x1,x2) = (2+x1,3−x2);
√
2
(b) f(x1,x2) = (
2 x1
√
2
+
2 x2,
√
2
2 x1
√
2
−
2 x2);
(c) f(x1,x2) = (3−x1,2−x2);
√
2
(d) f(x1,x2) = (
2 x1
√
2
−
2 x2,
√
2
2 x1
√
2
+
2 x2);
√
3
(e) f(x1,x2) = (1+
2 x1 + 1 1
x2,
2 2 x1
√
3
−
2 x2).
Determine quais as rotações, as translações e as reflexões.
4. Indique a expressão matricial da reflexão na recta dos xx. Indique a expressão matricial
da reflexão na recta dos yy.
5. Indique a expressão analítica das reflexões nas rectas definidas pelas equações seguintes:
(a) −x+y = 0;
(b) 2x+y = 0;
(c) x−3y = 0;
(d) 2x−y = 0;
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