GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

2. Se σ é uma reflexão do plano, como H é um subgrupo de indice 2, existem partições
Iso(R 2 ) = H ∪σH = H ∪Hσ
ondeσH eHσ designam asclassesaesquerdaedireitadeσ. Assim, paratodaaisometria
f∈/ H existem h,h ′ ∈ H tais que f = σ ◦ h e f = h ′ ◦ σ. Provar-se-á nos exercícios
que qualquer rotação e qualquer translação podem ser obtidas como composta de duas
reflexões. Obtem-se mais uma vez que toda a isometria é composta de, no máximo, três
reflexões, mas numa versão mais forte, já que podemos fixar uma das reflexões envolvidas.
Proposição . 2.10 Composta de uma reflexão e de uma translação em direcções paralelas
Sejam σr e τv uma reflexão numa recta r e uma translação pelo vector v, respectivamente, tais
que r e < v > são paralelas. Então:
• σr e τv comutam, ou seja, τvσr = σrτv;
• a isometria composta δ = τvσr (ou σrτv) não possui pontos fixos.
• a recta r é a única recta globalmente invariante.
(Demonstração) Exercícios 14 e 15.
r
v
A
σr(A)
τv(A)
δ(A)
Definição . 2.11 Reflexões deslizantes
Sejam σr uma reflexão numa recta r e τv uma translação do vector v tais que < v > e r são
paralelas. A isometria composta δr,v = σrτv diz-se uma reflexão deslizante de base r pelo vector
v.
Teorema . 2.12 Classificação das isometrias do plano euclideano
Toda a isometria do plano euclideano é uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma
reflexão deslizante.
(Demonstração) Toda a isometria do plano é composta de no máximo três reflexões. Nos exercícios
10, 11, 13, 18, 20, 22 e 16 são estudadas geometricamente as composições de duas e
três reflexões, em função da configuração geométrica das rectas base das reflexões. Alternativamente
é possível provar analiticamente, estudando os subespaços invariantes da aplicação
ortogonal associada.
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