GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema . 2.8 Estrutura algébrica de Iso(R2 )
1. A aplicação Ψ : Iso(R 2 ) −→ O(R 2 ) definida por Ψ(f) = −→ f é um epimorfismo de grupos
cujo núcleo é o conjunto das translações. Em particular o conjunto das translações é um
subgrupo invariante de Iso(R 2 ).
2. A aplicação composta det◦Ψ : Iso(R 2 ) −→ {1,−1} é um epimorfismo de grupos cujo
núcleo é
H = {f ∈ Iso(R 2 ) : f translação ou f rotação}
Em particular H é um subgrupo invariante de Iso(R 2 ) de indice 2.
(Demonstração)
1. Usando as representações matriciais obtém-se facilmente que a aplicação ortogonal associada
à composta de duas isometrias é a composta das aplicações ortogonais associadas
a cada uma delas (Ψ(f ◦g) = Ψ(f)◦Ψ(g). É um epimorfismo porque toda a aplicação
ortogonal é em particular uma isometria. Finalmente, o núcleo deste homomorfismo são
as isometrias cuja parte linear é a identidade, ou seja, as translações.
2. Uma aplicação ortogonal tem determinante 1 ou -1 (consultar representação matricial)
pelo que a restrição da aplicação determinante define um homomorfismo de grupos det :
O(R 2 ) → {1,−1}. O núcleo do homomorfismo de grupos definido pela composição
det◦Ψ : Iso(R 2 ) −→ O(R 2 ) −→ {1,−1}
é H (consultar representação matricial de uma isometria). Note-se que, pelo primeiro
teorema de isomorfismo,
Iso(R 2 )/H ∼ {−1,1}
Notas 2.9
e então H tem indice 2.
1. Uma consequência directa do teorema 2.1 é que toda a isometria é composta de uma
translação e uma aplicação ortogonal. É facil provar que essa decomposição é única: se
existirem t, t ′ translações e g e g ′ aplicações ortogonais tais que t◦g = t ′ ◦g ′ ter-se-ia
(t ′ ) −1 ◦t = g ′ ◦g −1
A composta g ′ ◦ g −1 é uma aplicação ortogonal, em particular, possui pelo menos um
ponto fixo (a origem!). A composta (t ′ ) −1 ◦t é uma translação e só possui pontos fixos
se verificar (t ′ ) −1 ◦t = Id. Assim t ′ = t e g ′ = g.
O teorema de estrutura anterior fornece mais informação sobre essa decomposição: a
inclusãodeO(R 2 )emIso(R 2 )éuminversoaesquerdadeΨ,peloqueIso(R 2 )éoproduto
semi-directo do subgrupo das translações com o subgrupo das aplicações ortogonais.
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