GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema . 2.6 Expressão analítica de uma rotação do plano euclideano
Uma isometria f(x1,x2) = (q1+ax1−ǫbx2,q2+bx1+ǫax2) é uma rotação distinta da identidade
se e só se ǫ = 1 e θ = 0, isto é, se f admite uma expressão matricial do tipo:
y1 q1 cosθ −sinθ x1
= +
θ = 0
sinθ cosθ
y2
q2
(Demonstração) Se f é uma rotação distinta da identidade então f possui um único ponto fixo
Ω. Isto é, o sistema de equações
x1 = q1 +cosθx1 −ǫsinθx2
x2
x2 = q2 +sinθx1 +ǫcosθx2
tem solução única. Este sistema possui solução única se e só se
cosθ −1 −ǫsinθ
det
= (ǫ+1)−(ǫ+1)cosθ = 0
sinθ ǫcosθ −1
ou seja, se ǫ = 1.
Teorema . 2.7 Expressão analítica de uma reflexão do plano euclideano
Seja σ uma reflexão do plano euclideano na recta r.
1. Se r passa pela origem de coordenadas O = (0,0)) e u = (cosθ,sinθ) é um vector director
unitário de r então a representação matricial de f é dada por
y1 cos2θ sin2θ x1
=
sin2θ −cos2θ
y2
2. Se r não passa pela origem de coordenadas, sejam r0 a recta paralela a r e incidente na
origem O e P um ponto qualquer de r. Designemos por σ e σ0 as reflexões em r e r0, e
−→
OP e −OP, respectivamente. Verifica-se que
por t −→
OP e t − −→
OP as translações por −→
σ = t −→
OP ◦σ0 ◦t −→
−OP e a representação matricial de σ calcula-se então usando as representações matriciais de
σO e as translações escolhidas.
(Demonstração)
1. No primeiro caso, se r passa pela origem e u = (cosθ,sinθ) é um vector director unitário
de r, tem-se que o pé da perpendicular a r desde A = (x1,x2) é A ′ = (µcosθ,µsinθ),
com µ = x1cosθ + x2sinθ (o ponto A ′ incide em r pelo que verifica A ′ = µu e o
vector −−→
AA ′ deve ser perpendicular a u). A expressão matricial indicada obtem-se porque
σr(A) = A+2 −−→
AA ′ , aplicando as fórmulas do ângulo duplo.
2. Para provar a segunda afirmação usar a caracterização geométrica das translações para
provarqueoconjuntodepontosfixosdacomposiçãoindicadaéprecisamenter (eportanto
é a reflexão inicial σ).
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