GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

5. A aplicação definida por m(x1,x2) = (−x2,−x1) é uma isometria. Note-se que os pontos
A e m(A) são simétricos em relação à recta y+x = 0 pelo que se trata da reflexão nessa
recta.
A representação matricial de m é
y1
=
y2
0
0
√
2
6. A aplicação ρ(x1,x2) = (3+
2 x1 −
A representação matricial de ρ é:
y1
y2
y2
=
3
−10
0 −1
+
−1 0
x1
x2
√
2
2 x2,−10+
√
2
2 x1
√
2
+
2 x2) é uma isometria.
√
2
+
7. A aplicação ρ ′ (x1,x2) = ( 1
2 x1
√
3
+
2 x2,−2+
A representação matricial de ρ ′ é:
1
y1
= + 2
0
−2
2 −
√ 2
2
√
2
√2 2
2
x1
x2
√ 3
2 x1 − 1
2 x2) é uma isometria.
√ 3
2
√ 3
2 −1
2
x1
Astranslaçõeseassimetriascentraisestãocaracterizadasgeometricamentepelapropriedade
seguinte:
Teorema . 2.5 Caracterização geométrica das translações e das simetrias centrais
Seja f uma isometria distinta da identidade. Então f é uma translação ou uma simetria central
se e só se
< A,B > / < f(A),f(B) > ∀A,B ∈ R 2 .
(Demonstração)
Usando as definições, obtem-se directamente que se f for uma translação verifica-se que −→
AB =
−−−−−−→
f(A)f(B) e se f for uma simetria central verifica-se que −→ −−−−−−→
AB = −f(A)f(B). Por tanto
< A,B > / < f(A),f(B) > .
Reciprocamente, se f é uma isometria que verifica esta propriedade então −→ f , a aplicação
ortogonal associada, verifica que para todo o vector −→ v existe λ tal que −→ f ( −→ v ) = λ −→ v , isto
é, todos os vectores são vectores próprios. Esta condição implica que −→ f é um múltiplo da
identidade, λId, mas, como é ortogonal, isto só é possível se λ = ±1.
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x2