GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Notas 2.3
1. Em álgebra linear, uma aplicação linear é dita ortogonal se preservar o produto interno.
Prova-se facilmente (consultar demonstração 2.1) que a expressão analítica de
uma aplicação ortogonal é precisamente
(ax1 −ǫbx2,bx1 +ǫax2) (ǫ = ±1)
coma 2 +b 2 = 1. OconjuntodeaplicaçõesortogonaisdeR 2 éumgrupoparaacomposição,
quecostumadesignar-seporO(R 2 ). Observe-seaindaqueumaaplicaçãoortogonaléuma
isometriaquefixaaorigemO = (0,0)eportantoO(R 2 )éumsubgrupodogrupoIso(R 2 ).
2. Na representação matricial de uma isometria do plano euclideano, como a 2 + b 2 = 1,
existe θ ∈ [0,2π[ tal que a = cosθ e b = sinθ e então
f(x1,x2) = (q1 +x1cosθ −ǫx2sinθ,q2 +x1sinθ +x2ǫcosθ)
Matricialmente, se f(x1,x2) = (y1,y2), podemos escrever
y1 q1 cosθ −ǫsinθ
= +
sinθ ǫcosθ
Exemplos . 2.4
y2
q2
x1
1. Representação matricial da translação pelo vector −→ v = (v1,v2),
y1 v1 1 0 x1
= +
0 1
y2
v2
x2
x2
(ǫ = ±1)
2. Representação matricial da simetria central de centro o ponto Ω = (w1,w2) :
y1
y2
2w1
=
2w2
y2
−1 0
+
0 −1
x1
3. Representação matricial da simetria em relação à recta y −x = 0
y1 0 0 1 x1
= +
0 1 0
4. A aplicação definida por h(x1,x2) = (x1,−x2) é uma isometria (note-se que os pontos A
e h(A) são simétricos em relação à recta horizontal y = 0, ou sejam, é a reflexão na recta
y = 0).
A representação matricial de h é
y1
=
y2
0
0
1 0
+
0 −1
106
x2
x1
x2
x2