GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

ou seja, g é uma aplicação linear. Em particular, g é tal que g(0,0) = (0,0)
Provar-se-á de seguida que esta aplicação g verifica
com a 2 +b 2 = 1 e ǫ = ±1.
g(x1,x2) = (ax1 −ǫbx2,bx1 +ǫax2) (∗)
Suponha-se assim g uma isometria que verifica g(0,0) = (0,0), vamos provar que g tem a
expressão (∗).
Sejam E1 = (1,0) e E2 = (0,1), tem-se g(E1) = (a,b) e g(E2) = (c,d). Note-se que
e, analogamente, c 2 +d 2 = 1.
1 = OE1 = g(O)g(E1) = a 2 +b 2
O ângulo ∠E1OE2 é recto porque −−→
OE1 · −−→
OE2 = 0 e então, como g preserva ângulos,
∠g(E1)Og(E2) também é recto, logo
Em resumo
0 = −−−−→
Og(E1)· −−−−→
Og(E2) = (a,b)·(c,d) = ac+bd
a 2 +b 2 = 1 (1) c 2 +d 2 = 1 (2) ac+bd = 0 (3)
Se a=/ 0, isolando c em (3) obtem-se
Substituindo em (2) obtem-se
c = − bd
a
(4)
1 = b2d2 a2 +d2 = d 2
b2 +1 = d
a2 2
b2 +a2 a 2
= d2
a 2
donde |a| = |d|. Usando (4), se a = d tem-se c = −b e se a = −d tem-se c = b.
O caso a = 0 é directo, pois implica b = ±1 por (1) e d = −b por (3).
Definição . 2.2 Aplicação ortogonal associada a uma isometria
Seja f : R 2 −→ R 2 uma isometria do plano euclidiano definida analíticamente por
f(x1,x2) = (q1 +ax1 −ǫbx2,q2 +bx1 +ǫax2) (ǫ = ±1)
com (q1,q2) ∈ R 2 e a 2 +b 2 = 1. A aplicação linear −→ f definida por
−→ f (x1,x2) = (ax1 −ǫbx2,bx1 +ǫax2)
diz-se aplicação ortogonal associada à isometria f.
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