GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

2 Isometrias do plano euclideano
Seja (R 2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano. Pela secção anterior tem-se que:
• O conjunto de isometrias do plano Iso(R 2 ) é um grupo para a composição,
• O conjunto de pontos fixos de uma isometria de R 2 é vazio, um ponto ou uma recta.
• Dados dois triângulos congruentes existe uma e uma só isometria que transforma um no
outro.
• Toda a isometria de R 2 é composta de, no máximo, três reflexões.
Estudamos de seguida as particularidades das isometrias do plano euclideano.
Teorema . 2.1 Expressão analítica de uma isometria do plano euclideano
Seja f : R 2 −→ R 2 uma isometria do plano euclidiano R 2 . Existem a,b ∈ R, verificando
a 2 +b 2 = 1 tais que
com (q1,q2) ∈ R 2 .
f(x1,x2) = (q1 +ax1 −ǫbx2,q2 +bx1 +ǫax2) (ǫ = ±1)
O teorema anterior implica que, se f for uma isometria, então f admite uma representação
matricial:
y1 q1 a −ǫb x1
= +
b ǫa
onde (y1,y2) = f(x1,x2), ǫ = ±1 e a 2 +b 2 = 1.
Note-se que (q1,q2) é a imagem da origem O = (0,0).
(Demonstração)
y2
q2
Seja f uma isometria do plano euclideano. Pela proposição 1.3, as isometrias são aplicações
bijectivas que preservam a colinearidade e o paralelismo, ou seja, são um tipo particular de
aplicação afim 7 e portanto
x2
f(x1,x2) = (q1 +ax1 +cx2,q2 +bx1 +dx2)
com f((0,0)) = (q1,q2). Se considerarmos a translação t pelo vector (−q1,−q2) a isometria
composta g = t◦f verifica
g(x1,x2) = (ax1 +cx2,bx1 +dx2)
7 Teorema Fundamental da Geometria Afim (consultar [2])
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