GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema . 1.12
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ dois triângulos congruentes do plano. Existem três isometrias, σ1,
σ2 e σ3, com σi uma reflexão ou a identidade, tais que
(Demonstração)
A ′ = (σ3 ◦σ2 ◦σ1)(A) B ′ = (σ3 ◦σ2 ◦σ1)(B) C ′ = (σ3 ◦σ2 ◦σ1)(C)
Se A = A ′ considera-se σ1 = Id se A=/ A ′ considera-se σ1 como a reflexão na mediatriz de AA ′ .
Seja B1 = σ1(B). Se B1 = B ′ considera-se σ2 = Id, se B1=/ B ′ considera-se σ2 a reflexão na
bissectriz do ângulo ∠B1A ′ B ′ (ou na mediatriz do segmento B1B ′ se B1,A ′ ,B ′ são colineares)
Tem-se que σ2(σ1(A)) = A ′ e que σ2(σ1(B) = B ′ .
Finalmente, seja C2 = σ2(σ1(C)). Se C2 = C ′ considera-se σ3 = Id. Se C2=/ C ′ , define-se
σ3 como a reflexão na recta < A ′ ,B ′ >.
C
B
A
C2
A ′
Corolário . 1.13 Dados dois triângulos congruentes do plano euclideano △ABC e △A ′ B ′ C ′ ,
existe uma e uma só isometria f tal que f(A) = A ′ , f(B) = B ′ e f(C) = C ′ .
(Demonstração)
A existência deduz-se do teorema anterior, tomando f = σ3 ◦σ2 ◦σ1 e a unicidade do [?]
Corolário . 1.14 Estrutura geométrica do grupo de isometrias do plano Iso(P)
C ′
B1
Toda isometria do plano é composta de, no máximo, três reflexões.
Nota . 1.15
A decomposição de uma isometria como composta de, no máximo, três reflexões não é única.
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C1
B′