GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 1.9 Reflexões e rotações
• Uma isometria que fixa os pontos de uma recta r é chamada reflexão em r e designa-se
por σr. A recta r diz-se o eixo da reflexão σr.
• As isometrias com um único ponto fixo Ω são chamadas rotações. O ponto Ω diz-se
o centro da rotação. Por outro lado, convenciona-se que a identidade do plano é dita
rotação trivial.
Teorema . 1.10 Caracterização geométrica das reflexões
Seja σ uma reflexão do plano e r a recta de pontos fixos de σ. Para todo o ponto A do plano
não incidente em r verifica-se que r é a mediatriz do segmento Aσ(A).
σ(A)
A
r
Em particular uma reflexão em r, σr, é uma aplicação involutiva (isto é, σr ◦ σr = Id), que
permuta os semi-planos definidos por r e fixa os pontos da recta r.
(Demonstração)
Seja A um ponto do plano não incidente em r. Como σ só fixa os pontos de r e é bijectiva
tem-se que σ(A)=/ A e σ(A) não incide em r. Sejam t a recta perpendicular a r e incidente em
A e Ar o pé dessa perpendicular.
Peloteorema1.7, arectatéglobalmenteinvarianteeentãoσ(A)incideemt. Emparticular,
r é perpendicular a < A,σ(A) >. Como σ é uma isometria e Ar é um ponto fixo verifica-se
AAr ≡ σ(A)σ(Ar) = σ(A)Ar
Se A e σ(A) incidem na mesma semi-recta de origem Ar ter-se-ia que A = σ(A) (absurdo)
portantoAeσ(A) incidememsemi-rectasopostas comorigemAr, verificando-seAAr ≡ Aσ(A)
e Ar é o ponto médio entre Ar e σ(A).
Nota . 1.11
No teorema anterior é provado que se σ for uma reflexão então verifica a propriedade indicada.
Reciprocamente, podemos usar essa construcção para definir uma aplicação σ : P → P que
resulta ser uma isometria, obtendo assim que as reflexões existem ....
Para verificar que uma aplicação σ : P → P definida desse modo é efectivamente uma
isometria é preciso considerar dois pontos A,B do plano P e provar que
Analisam-se separadamente três casos:
AB = σr(A)σr(B) (∗)
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