GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exemplos . 1.6
Seja (R2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano.
1. Seja t uma translação pelo vector v, com v=/ (0,0). Não existe nenhuma recta de pontos
fixos para t (de facto, não existe nenhum ponto fixo!!)
As rectas paralelas à direcção da translação, r = A+ < v > são globlamente invariantes.
2. Seja s a simetria central s(x1,x2) = (−x1,−x2). O único ponto fixo é a origem (0,0).
Esta isometria não possui nenhuma recta de pontos fixos mas todas as rectas que incidem
na origem são globalmente invariantes.
3. Seja σ a simetria definida por σ(x1,x2) = (x1,−x2). A recta x2 = 0 é uma recta de
pontos fixos. As rectas verticais x1 = k são rectas globalmente invariantes.
Teorema . 1.7 Pontos fixos das isometrias
Seja f uma isometria. Então:
1. se f fixar os pontos A e B, então f fixa todos os pontos da recta r =< A,B >;
2. se r for uma recta de pontos fixos para f então toda a perpendicular a r é uma recta
globalmente invariante;
3. se f fixar três pontos não colineares, f é a identidade.
Em conclusão, o conjunto de pontos fixos de uma isometria distinta da identidade, se for não
vazio, é um ponto ou uma recta.
(Demonstração)
1. Consequência de f preservar semi-rectas e a congruência de segmentos (aplicar III-1).
2. Se t for perpendicular a r no ponto P, como f preserva os ângulos, f(t) também é
perpendicular a f(r) no ponto f(P). Mas f(r) = r e f(P) = P porque r é uma recta
de pontos fixos e P incide em r. Assim, f(t) é a perpendicular a r incidindo em P e
portanto f(t) = t.
3. Consequência de f preservar semi-planos e congruência de ângulos (aplicar III-3).
Corolário . 1.8
Sejam f e g duas isometrias do plano tais que
f(A) = g(A) f(B) = g(B) f(C) = g(C)
para algum triângulo do plano △ABC. Então f = g
(Demonstração)
Considere-se a isometria composta h = f ◦g −1 . Tem-se que h fixa três pontos não colineares e
portanto h = Id donde f = g.
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