GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

2 Os axiomas de ordem
Definição . 2.1 Relação “estar entre”
Seja G = (P, L,I) um plano. Chamaremos relação “estar entre” a uma relação ternária no
conjunto de pontos P, isto é, a um subconjunto O ⊂ P × P × P. Dizemos que um ponto C
está entre o ponto A e o ponto B e escrevemos A−C −B se se verificar (A,C,B) ∈ O.
II. Axiomas de ordem.
II-1 Se C está entre A e B, então A, B e C são três pontos distintos incidentes numa mesma
recta e C está entre B e A.
II-2 (II Postulado de Euclides) Dados A e C existe sempre um ponto B sobre a recta < A,C >
tal que C está entre A e B.
A
C
B
II-3 Dados três pontos quaisquer de uma recta, não há mais do que um deles entre os outros
dois.
II-4 (Axioma de Pasch) Sejam A, B e C três pontos não incidentes com uma recta e r uma recta
do plano que não incide com nenhum desses pontos. Se a recta r incide num ponto entre A e
B, então incide também num ponto entre A e C ou num ponto entre B e C.
A
Definição . 2.2 Segmento, recta suporte
B
Seja G = (P, L,I) um plano munido de uma relação “estar entre” O que verifica o grupo II de
axiomas. Sejam A e B dois pontos do plano de incidência.
• Chamamos segmento de extremos A e B e designamos por AB ao conjunto formado por
A, B e os pontos do plano que estão entre A e B. Isto é:
AB = {A,B}∪{C ∈ P : (A,C,B) ∈ O} = {A,B}∪{C ∈ P : A−C −B}
• Se A=/ B recta < A,B > diz-se recta suporte do segmento AB.
• Dizemos que uma recta e um segmento se intersectam se existir um e um só ponto do
segmento que incide na recta.
10
C