Medida e Integraç˜ao - Universidade Técnica de Lisboa

Medida e Integração
Manuel Ricou
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico
Abril 2009

Prefácio
Mas antes do mais: o que entendemos por b
a f(x)dx?
Bernhard Riemann, 1854
A pergunta acima foi formulada por Bernhard Riemann no trabalho em
que definiu o que hoje chamamos o “integral de Riemann”. O objectivo
do presente texto é, sobretudo, o de expor respostas que esta pergunta tem
tido no decurso dos últimos 150 anos, e sugerir, mesmo que parcialmente, o
enorme impacto que as correspondentes investigações tiveram na evolução
da Matemática, durante este mesmo período.
A compreensão de qualquer área da Matemática é facilitada pelo reconhecimento
prévio do contexto que a viu nascer. No caso da Teoria da Integração,
esse contexto abrange um período temporal particularmente longo.
Na realidade, diversos problemas de Geometria e Estática, resolvidos na
Antiguidade Clássica com recurso ao chamado “método de exaustão”, e
envolvendo o cálculo de determinadas áreas, volumes, e centros de massa,
correspondem, na terminologia moderna, ao cálculo de integrais. Por esta
razão, a Teoria da Integração é certamente uma das mais antigas áreas da
Matemática, e beneficia de raízes heurísticas muito sugestivas, que ajudam
ao seu entendimento.
A Teoria da Integração começou a tomar a sua forma moderna no século
XVII, com os trabalhos de Newton e Leibnitz, e de percursores como Fermat
e Barrow. Data deste período a surpreendente descoberta que, mais do que
qualquer outra, marca o nascimento do Cálculo Infinitesimal: a integração e
a diferenciação são operações inversas uma da outra, o que ainda hoje descrevemos
no que dizemos serem os “Teoremas Fundamentais do Cálculo”.
Datam também deste período as primeiras aplicações do Cálculo a questões
científicas fundamentais, muito em especial a Teoria da Gravitação Universal,
do próprio Newton, um marco ímpar na história do pensamento humano.
Foi apenas nos finais do século XVIII que a sofisticação dos problemas
a estudar se começou a revelar incompatível com a informalidade e falta de
rigor com que até aí tinham sido tratadas as noções mais básicas do Cálculo
Infinitesimal. Nos primeiros anos do século XIX, o grande matemático
Cauchy iniciou um cuidadoso exame das ideias mais centrais do Cálculo,
como as de limite, derivada, integral, e continuidade, efectivamente lançando
i

ii Prefácio
as bases da nossa práctica actual. Neste processo, apresentou a primeira
definição satisfatória de integral, se bem que restringindo a sua aplicação a
funções contínuas. O desenvolvimento da Teoria da Integração acelerou-se
novamente a partir dos meados do século XIX, em especial a partir da publicação
do trabalho de Riemann que mencionámos, desta vez sob a pressão
de difíceis problemas de natureza teórica, suscitados pelas ideias de Fourier
sobre as séries que hoje têm o seu nome. Muito naturalmente, a questão de
saber quais as funções que podem ser representadas por séries de Fourier,
originada por sua vez por questões mais “práticas” relativas à resolução das
principais equações diferenciais parciais da Física Matemática, levava inevitavelmente
a uma reapreciação da própria noção de “função”. Requeria
também a integração de funções sobre as quais não parecia razoável impôr
condições de continuidade, sob pena de se desvirtuarem alguns dos principais
objectivos das investigações em curso. A pergunta de Riemann que
citámos acima é um reflexo deste tipo de preocupações.
A Teoria da Integração tornou-se desde então um motor importante na
crescente axiomatização e abstracção da Matemática, estas últimas particularmente
evidentes desde os finais do século XIX. A título de ilustração,
o clássico Teorema de Riesz-Fischer, demonstrado sob diversas formas no
período 1907-1910, revelou uma profunda analogia entre, por um lado, sofisticadas
construções matemáticas formadas por (classes de equivalência de)
funções somáveis e, por outro, objectos tão “simples” como a recta real,
estudados há mais de 25 séculos. Em certo sentido, este teorema mostra
que as funções somáveis “no sentido de Lebesgue” completam as funções
integráveis “no sentido de Riemann”, precisamente como os números reais
completam os números racionais. Resultados desta natureza foram, e são,
convites abertos à criação e estudo de novas entidades abstractas, que permitem
a exploração deste tipo de analogia de forma sistemática, rigorosa, e
muito eficiente do ponto de vista intelectual.
Hoje, a Teoria da Integração é certamente um dos blocos fundamentais
da Matemática, e é especialmente relevante para múltiplas das suas áreas
fundamentais e aplicadas, como a Análise Funcional, o Cálculo de Variações,
as Equações Diferenciais, e a Teoria das Probabilidades. As suas ideias
repercutem-se em algumas das teorias mais centrais da Física Moderna, e são
prevalentes no esclarecimento de questões oriundas da Engenharia. Afinal
de contas, o “espaço de estados” do átomo de hidrogénio, o mais simples
átomo da natureza, é um espaço de (classes de equivalência de) funções
de quadrado somável no sentido de Lebesgue, e o exemplo mais clássico
na literatura actual de um problema variacional de “descontinuidade livre”
resulta de trabalhos sobre reconhecimento de imagens por computador.( 1 )
Pelas razões acima, a Teoria da Integração é naturalmente uma parte
1 D.Mumford e J.Shaw, Boundary Detection by Minimizing Functionals, IEEE Conference
on Computer Vision and Pattern Recognition, San Francisco 1985.

Prefácio iii
importante da formação dos alunos da Licenciatura em Matemática Aplicada
e Computação (LMAC) do IST, e foi sobretudo para estes alunos que o
presente texto foi escrito. O ensino da Teoria da Integração no contexto do
3 o ano da LMAC sempre representou para o autor um desafio e uma oportunidade
muito interessantes, que se pode resumir nas seguintes questões:
• Como conciliar a necessidade prática de apresentar uma área difícil e
extensa, indispensável à formação dos alunos, sem a desligar da sua
base intuitiva, e sem a tornar demasiado difícil para a maioria dos
estudantes?
• Como transformar o nível de abstracção da teoria, de um obstáculo
à sua compreensão, em uma oportunidade de entender melhor o crescente
papel da abstracção na Matemática contemporânea?
• Como aproveitar o estudo desta teoria para apresentar a Matemática
não como um saber estático, mas como um processo dinâmico e apaixonante
de construção de poderosas metáforas da realidade física, de
crescente sofisticação e subtileza?
Na sua modesta tentativa de responder a estas questões, o autor socorreuse
com frequência de ideias e comentários dos principais criadores da teoria,
em especial Henri Lebesgue e Emile Borel. Em particular, o texto está
escrito, mesmo nas secções mais abstractas, no respeito rigoroso pelo que
Lebesgue chamava a “definição geométrica” do integral, que não é outra
senão a ideia, desde sempre muito satisfatória do ponto de vista intuitivo,
que, para qualquer função não-negativa f,
Integral da função f = Medida da região de ordenadas de f.
Entendemos aqui a palavra “medida” como significando “área”, “volume”,
ou o análogo apropriado destas noções em espaços de dimensão mais elevada.
A apresentação da teoria não segue assim o percurso que é hoje mais
tradicional, e é importante entender que alguns resultados básicos assumem
por vezes um papel diferente, menos convencional, no seu desenvolvimento:
veja-se como ilustração o Teorema de Fubini-Lebesgue, tal como é enunciado
e demonstrado no Capítulo 3, para a medida de Lebesgue em R N .
É apenas
após a sua apresentação que encontramos neste texto, pela primeira vez, o
resultado, aqui um teorema, que é usualmente tomado como a definição de
“função Lebesgue-mensurável”. A técnica que seguimos permite ainda uma
demonstração muito simples dos resultados clássicos sobre “limites e integrais”,
o teorema de Beppo Levi, ou da Convergência Monótona, o lema de
Fatou, e o teorema de Lebesgue, ou da Convergência Dominada, e evidencia
a sua relação directa com as ideias mais básicas da Teoria da Medida. Por
outras palavras, revela que estas propriedades são essencialmente a chamada

iv Prefácio
“σ-aditividade”, esta uma propriedade comum a qualquer medida, e observada
e registada com muita clareza por Borel.
A exposição inspira-se em múltiplos aspectos no desenvolvimento histórico
da Teoria, e esforça-se por deixar clara a continuidade entre as teorias de
integração de Riemann e de Lebesgue. Em especial, e repetindo fielmente o
próprio Lebesgue, a sua teoria é apresentada como uma evolução “natural”
da de Riemann, sobretudo enquanto adaptação de ideias de Peano e Jordan,
entretanto melhoradas por Borel. Discutimos algumas das principais dificuldades
técnicas da teoria de Riemann, e a respectiva resolução pela teoria
de Lebesgue, em especial as relacionados com os Teoremas Fundamentais do
Cálculo. Estes são aqui tratados com amplo recurso a técnicas e resultados
da Teoria da Medida, i.e., com base no “modelo geométrico” da integração.
Neste contexto, o grande teorema de diferenciação de Lebesgue é provado
por uma adaptação simples do belo argumento de Riesz (o seu “Lema do
Sol Nascente”), mas a demonstração do teorema de Banach-Zaretski afastase
bastante das técnicas usadas por Banach. As múltiplas referências a
Cantor feitas neste texto devem ainda recordar-nos que a sua genial Teoria
dos Conjuntos é mais um exemplo de abstracções fundamentais entradas na
Matemática em grande parte pela necessidade de enunciar e estudar com
clareza questões suscitadas pela Teoria da Integração.
A apresentação dos resultados principais da Teoria, incluindo o Teorema
de Radon-Nikodym-Lebesgue, o Teorema de Fubini-Lebesgue, e os Teoremas
de Representação de Riesz, não faz qualquer concessão à tentação de tornar
estas magníficas construções intelectuais mais simples do que efectivamente
o são.
Naturalmente apenas a leitura atenta do texto poderá revelar se este
responde de forma satisfatória às preocupações acima manifestadas, e se
representa um equilíbrio razoável entre os diversos objectivos que pretende
atingir. Ao autor resta somente desejar que outros encontrem na sua leitura
um prazer comparável à satisfação que a sua escrita lhe trouxe.
Lisboa, Fevereiro de 2008
Manuel Ricou
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico
1096 Lisboa Codex
PORTUGAL
Manuel.Ricou@math.ist.utl.pt

Conteúdo
1 Integrais de Riemann 7
1.1 Rectângulos e Conjuntos Elementares em RN . . . . . . . . . 8
1.2 Álgebras, Semi-Álgebras e Funções Aditivas . . . . . . . . . . 19
1.3 Conjuntos Jordan-Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 O Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.1 O Espaço das Funções Integráveis . . . . . . . . . . . 44
1.4.2 Integrais Indefinidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.3 Continuidade e Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . 52
1.5 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo . . . . . . . . . . . . . 60
1.6 O Problema de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 A Medida de Lebesgue 89
2.1 Espaços Mensuráveis e Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2 A Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Os Espaços de Borel e de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Conjuntos Não-Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5 Medidas Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3 Integrais de Lebesgue 149
3.1 O Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.2 Limites, Mensurabilidade e Integrais . . . . . . . . . . . . . . 162
3.3 O Teorema de Fubini-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.4 Funções Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.5 Funções Somáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.6 Continuidade e Mensurabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4 Outras Medidas 217
4.1 A Decomposição de Hahn-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.2 A Variação Total de uma Medida . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.3 Medidas Absolutamente Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.4 Medidas Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.5 Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R . . . . . . . . . . . . . . 245
4.6 Funções de Variação Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
v

vi Prefácio
4.6.1 Funções Absolutamente Contínuas . . . . . . . . . . . 263
4.7 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R . . . . . . . . . 268
4.7.1 O Teorema de Diferenciação de Lebesgue . . . . . . . 268
4.7.2 A Decomposição de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 277
4.7.3 Diferenciação de Funções de Variação Limitada . . . . 285
5 Outros Integrais de Lebesgue 295
5.1 A Medida µ ⊗ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.2 Funções Mensuráveis e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.3 O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue . . . . . . . . . . . 319
5.4 Os Espaços L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.5 Teoremas de Representação de Riesz . . . . . . . . . . . . . . 338
5.6 Teoremas de Egorov, Lebesgue e Riesz . . . . . . . . . . . . . 352
5.7 O Teorema de Fubini-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Índice Remissivo 368

Capítulo 1
Integrais de Riemann
A teoria da integração evoluiu rapidamente na segunda metade do século
XIX. Por um lado, e sobretudo como resultado das descobertas fundamentais
de Fourier sobre séries trigonométricas, hoje ditas séries de Fourier, a
dificuldade dos problemas a esclarecer com esta teoria ultrapassou, definitivamente,
os recursos pouco sofisticados da teoria existente, até então assente,
essencialmente, numa base informal e intuitiva. Em 1854, quando
Riemann quis caracterizar as funções que podem ser representadas por séries
de Fourier, foi-lhe necessário analisar a noção de “função integrável” à luz
de mais exigentes critérios de generalidade, exactidão e rigor. A definição
que apresentou ainda hoje deve ser conhecida por quem quer que deseje
compreender os conceitos mais centrais da Análise Matemática.
Por outro lado, em paralelo com estes estudos de Riemann, mas ainda no
contexto da escola Alemã, o genial Cantor descobriu a Teoria dos Conjuntos
e, simultaneamente, atingiu-se um novo patamar de precisão na forma como
são definidos os próprios números reais. Ao procurar respostas a questões
suscitadas tanto pela nova teoria de Riemann, como pela teoria de Fourier,
retomaram-se problemas tão antigos como a própria Matemática, conhecidos
da Geometria elementar, mas que podiam agora ser estudados à luz
destas novas ideias. O que é a área de uma figura plana? O que é o volume
de um sólido? Qualquer figura plana limitada tem área? Qualquer subcon-
junto de uma recta tem comprimento?
É possível calcular, por exemplo,
o comprimento do conjunto dos números racionais? Uma primeira solução
para este tipo de problemas foi descoberta pelo matemático italiano Peano,
já perto do final do século XIX. O próprio Peano compreendeu a relação directa
entre a sua teoria, que definia a medida de conjuntos, e a de Riemann,
que definia o integral de funções, e sabia que as duas teorias são, em certo
sentido, completamente equivalentes.
Neste primeiro capítulo, estudamos sobretudo as ideias de Riemann e de
Peano, mas não seguimos a cronologia da sua descoberta, nem usamos sempre
os conceitos exactamente como originalmente definidos. Procuramos,
7

8 Capítulo 1. Integrais de Riemann
em vez disso, evidenciar o mais directamente possível a sua equivalência.
Apontaremos também algumas das deficiências técnicas que apresentam e
que estão na origem da sua substituição, já no século XX, pela teoria descoberta
por Henri Lebesgue.
Uma observação simples sobre terminologia: é comum usar as palavras
“medida” ou “conteúdo”, em vez de “comprimento”, “área” ou “volume”,
porque estas últimas estão irremediavelmente associadas à dimensão dos
conjuntos em causa (respectivamente, um, dois ou três), e a teoria que aqui
estudamos é basicamente independente dessa dimensão e aplicável mesmo
quando essa dimensão é superior a três. Neste capítulo, usaremos sobretudo
o termo “conteúdo”, normalmente na forma “conteúdo-N”, onde N é a
dimensão do espaço subjacente, reservando a palavra “medida”, que como
veremos tem um sentido técnico muito preciso, para utilização posterior.
1.1 Rectângulos e Conjuntos Elementares em R N
A determinação do conteúdo-N de subconjuntos de R N é muito simples
para os conjuntos que são rectângulos ou uniões finitas de rectângulos. O
principal objectivo desta secção é o de definir o conteúdo dos conjuntos deste
tipo e identificar e demonstrar as suas propriedades mais básicas.
Figura 1.1.1: União finita de rectângulos.
O cálculo da área de um rectângulo no plano é imediato, porque sabemos
da geometria elementar que essa área é o produto dos comprimentos dos seus
lados. Em particular, e como ilustrado na figura seguinte, um rectângulo
bidimensional (em R 2 ) da forma R = I ×J, onde I e J são intervalos em R,
tem área igual ao produto dos comprimentos de I e de J.
Claro que usaremos o termo “rectângulo” com um sentido mais geral,
independente da dimensão N do espaço R N em causa: qualquer produto
cartesiano (finito) de intervalos na recta R é um rectângulo:

1.1. Rectângulos e Conjuntos Elementares em R N 9
Figura 1.1.2:
J
I
Área de R = (comprimento de I)×(comprimento de J).
Definição 1.1.1 (Rectângulos em R N ). R ⊆ R N é um rectângulo se e
só se R = I1 × I2 × · · · × IN, onde I1, I2, · · · , IN são intervalos em R.
Sempre que nos referirmos a um rectângulo e for conveniente indicar
explicitamente a dimensão N do respectivo espaço R N , usamos a expressão
“rectângulo-N”. Em particular, um rectângulo-1 é um intervalo, um “rectângulo”
no sentido mais usual do termo é, nesta terminologia, um rectângulo-2,
e um rectângulo-3 é um prisma rectangular. Reservamos o termo
“intervalo” apenas para rectângulos-1.
Notamos que o conjunto vazio ∅ é um rectângulo-N para qualquer N.
Na verdade, se R = I1 × I2 × · · · × IN, então um ou mais dos intervalos
Ik pode conter apenas um ponto ou ser vazio, caso em que o rectângulo
se diz degenerado. Por exemplo, um rectângulo-2 degenerado pode ser um
segmento de recta, um ponto ou vazio.
O comprimento ou conteúdo-1 do intervalo I ⊆ R designa-se por
c1(I). Se I é limitado com extremos a ≤ b, do tipo [a,b],[a,b[,]a,b] ou ]a,b[,
então c1(I) = b − a. Se I é ilimitado, i.e., se a = −∞ e/ou b = +∞,
então c1(I) = +∞. Se J é também um intervalo, então R = I × J é
um rectângulo-2 e a sua área ou conteúdo-2 designa-se por c2(R), onde
c2(R) = c1(I) × c1(J).
Analogamente, o produto cartesiano de três intervalos I, J e K é um
prisma rectangular P em R 3 e o seu volume ou conteúdo-3 é dado por
R
c3(P) = c1(I) × c1(J) × c1(K).
Nestes como noutros produtos envolvendo factores que podem ser infinitos,
usaremos as seguintes convenções, salvo menção em contrário:
• Qualquer produto que inclua pelo menos um factor nulo é nulo,
mesmo que todos os outros factores sejam infinitos.

10 Capítulo 1. Integrais de Riemann
• Qualquer produto de factores não nulos que inclua pelo menos um
factor infinito é infinito.
• O sinal do produto é calculado pelas habituais “regras dos sinais”.
A título de exemplo, o eixo dos yy em R 2 é um rectângulo-2 com conteúdo-2
igual a 0, já que este eixo é o produto cartesiano R = [0,0]×] − ∞,+∞[, e
portanto c2(R) = 0 × ∞ = 0.
É imediato generalizar as observações anteriores para o caso de R N :
Definição 1.1.2 (Conteúdo de Rectângulos em R N ). Se R = I1×I2×· · ·×IN
é um rectângulo em R N , o conteúdo-N de R designa-se por cN(R), ou
apenas c(R), e é dado por
cN(R) = c1(I1) × c1(I2) × · · · × c1(IN).
O conteúdo-N é portanto uma função definida numa classe de conjuntos,
ou seja, é um exemplo do que chamamos uma função de conjuntos.
Neste caso, é uma função com valores no intervalo [0,+∞] definida, para já,
na classe de todos os rectângulos-N.
Uma das propriedades mais fundamentais da noção de conteúdo é a sua
aditividade. Especializada para rectângulos, esta propriedade significa
simplesmente que, quando um rectângulo R é dividido em dois rectângulos
disjuntos A e B, a soma dos conteúdos de A e de B é o conteúdo de R, i.e.,
c(R) = c(A) + c(B).
Esta propriedade é intuitivamente evidente para as noções usuais de
comprimento, área e volume, mas deve ser demonstrada como válida para
o conteúdo-N, independentemente de N. A proposição seguinte generalizaa
para uma família finita de rectângulos e a respectiva demonstração está
esboçada nos exercícios 13 a 16 desta secção.
Proposição 1.1.3 (Aditividade do Conteúdo). Se R1, · · · ,Rm são rectângulos-N
disjuntos e R = ∪ m i=1 Ri é também um rectângulo-N, temos
cN(R) =
m
cN(Ri).
i=1
No cálculo de somas que podem incluir parcelas infinitas, usamos as
seguintes convenções:
• Se a soma inclui parcelas infinitas todas com o mesmo sinal, então o
seu resultado é infinito, com o sinal das parcelas em causa.

1.1. Rectângulos e Conjuntos Elementares em R N 11
• Se a soma inclui parcelas infinitas com sinais diferentes, então o seu
resultado não está definido, ou seja, a soma é uma indeterminação.
Quando R é um conjunto e P é uma família de conjuntos disjuntos cuja
união é R, dizemos que P é uma partição de R. Se R é um rectângulo e P é
uma partição finita de R em subrectângulos, podemos escrever a identidade
em 1.1.3 na forma
cN(R) =
cN(r).
r∈P
O diâmetro de R ⊆ R N é definido por
diam(R) = sup {x − y : x,y ∈ R}.
O diâmetro da partição P do conjunto R é definido por
diam(P) = sup {diam(r) : r ∈ P} .
O diâmetro de uma partição é um indicador simples da sua granularidade.
Exemplos 1.1.4.
1. A família {[0, 1[, [1, 1], ]1, 2]} é uma partição de I = [0, 2].
2. A família P = P1 = [0, 1] × [0, 1
2 ], P2 = [0, 1]×] 1
2 , 1], P3 =]1, 2] × [0, 1] é uma
partição de R = [0, 2] ×[0, 1], com diam(P) = diam(P3) = √ 2, e está ilustrada
na figura abaixo. É óbvio que
c2(R) = c2(P1) + c2(P2) + c2(P3).
P2
P1
P3
diam = √ 2
Figura 1.1.3: Partição P do rectângulo R = [0,2] × [0,1].
refinar uma partição é, simplesmente, subdividir cada um dos conjuntos
que a constituem. Mais formalmente, se P e R são partições de R, dizemos
que R é um refinamento de P, ou que R é mais fina do que P, se e

12 Capítulo 1. Integrais de Riemann
R1 R2
R3
Figura 1.1.4: Refinamento R da partição P da figura 1.1.3.
só se cada conjunto r ∈ R está contido em algum conjunto p ∈ P. Neste
caso, Rp = {r ∈ R : r ⊆ p} é uma partição de p. É claro que se R é um
refinamento de P então diam(R) ≤ diam(P). Se P e Q são duas quaisquer
partições do mesmo conjunto R, qualquer partição R de R simultaneamente
mais fina do que P e do que Q diz-se um refinamento comum das partições
P e Q. É fácil obter um refinamento comum de quaisquer duas partições do
mesmo conjunto:
Proposição 1.1.5. Se P e Q são partições de R, então
é um refinamento comum de P e Q.
R4
R6
R7
R = {p ∩ q : p ∈ P,q ∈ Q}
Se P e Q são partições de R em rectângulos, então o refinamento comum
mencionado em 1.1.5 é também uma partição em rectângulos, porque a intersecção
de dois rectângulos é sempre um rectângulo. Esta observação é
aliás aplicável a qualquer família finita de partições de R em rectângulos.
R5
P Q R
Figura 1.1.5: Partições P e Q, e um refinamento comum R.
Se S ⊆ R é um subrectângulo de R, existem partições P de R em rectângulos
que incluem o rectângulo S. A figura 1.1.6 ilustra esta ideia, que
implica em particular:

1.1. Rectângulos e Conjuntos Elementares em R N 13
R
S
R1 R2
R3 = S
Figura 1.1.6: Rectângulos S ⊆ R e uma partição P de R com S ∈ P.
Proposição 1.1.6. Se S e R são rectângulos, então R\S ( 1 ) é uma união
finita de rectângulos.
No que se segue, referimo-nos com frequência a conjuntos que são uniões
finitas de rectângulos (é muito fácil mostrar, com base na proposição
1.1.6, que estes rectângulos podem sempre ser supostos disjuntos, como é
referido no exercício 4).
Definição 1.1.7 (As classes U(R N ) e E(R N )).
a) U(R N ) é a classe formada pelos conjuntos que são uniões finitas de
rectângulos-N,
b) E(R N ) é a classe formada pelos conjuntos limitados em U(R N ), ou
seja, pelos conjuntos que são uniões finitas de rectângulos limitados.
Os conjuntos em E(R N ) dizem-se elementares,
c) Mais geralmente, se S ⊆ R N então U(S) = E ∈ U(R N ) : E ⊆ S e
analogamente E(S) = E ∈ E(R N ) : E ⊆ S .
A proposição seguinte regista que as classes U(R N ) e E(R N ) são fechadas
em relação às operações de união, intersecção e diferença de conjuntos. A
respectiva demonstração é o exercício 9.
Proposição 1.1.8. Se C = U(R N ) ou C = E(R N ) então
R4
A,B ∈ C =⇒ A ∪ B,A ∩ B,A\B ∈ C.
É fácil definir o conteúdo de qualquer conjunto em U(R N ). Basta decompor
o conjunto em causa numa união finita de rectângulos disjuntos, i.e.,
escolher uma sua partição em rectângulos, e adicionar os conteúdos desses
rectângulos. Por exemplo,
• Se A = [0,1]∪]3,+∞[ então c1(A) = 1 + ∞ = ∞, e
1 Se X e Y são conjuntos, X\Y = {x ∈ X : x ∈ Y } é a diferença de X e Y .
R5

14 Capítulo 1. Integrais de Riemann
• Se B = [0,1]∪]2,5[, então c1(B) = 1 + 3 = 4.
É no entanto evidente que a decomposição de um dado conjunto S numa
união finita de rectângulos disjuntos pode ser feita de múltiplas maneiras,
como ilustrado na figura 1.1.7. Portanto, a ideia referida só pode ser a base
de uma correcta definição se a soma obtida depender apenas do próprio
conjunto S, e não da partição utilizada para decompor S em subrectângulos.
A demonstração deste facto assenta somente na aditividade do conteúdo para
rectângulos, expressa em 1.1.3, e está feita imediatamente a seguir.
Figura 1.1.7: Partições distintas do conjunto S, e um refinamento comum.
Proposição 1.1.9. Se P e Q são partições de S ∈ U(RN ) em rectângulos,
então
cN(p) =
cN(q).
p∈P
Demonstração. A família R = {p ∩ q : p ∈ P,q ∈ Q} é um refinamento comum
das partições P e Q (ver figura 1.1.7). Observamos que
• Fixado p ∈ P, a família Rp = {r ∈ R : r ⊆ p} é uma partição de p e
q∈Q
• Fixado q ∈ Q, a família Rq = {r ∈ R : r ⊆ q} é uma partição de q.
Segue-se de 1.1.3 que cN(p) =
r∈Rp
cN(r) e cN(q) =
cN(r).
r∈Rq
Por agrupamento das parcelas das somas finitas em causa, temos
cN(p) =
cN(r) =
cN(r) =
cN(r) =
cN(q).
p∈P
p∈P r∈Rp
r∈R
q∈Q r∈Rq
Concluímos que a definição seguinte não é ambígua e generaliza 1.1.2.
q∈Q

1.1. Rectângulos e Conjuntos Elementares em R N 15
Definição 1.1.10. Se U ∈ U(R N ) o conteúdo-N de U é dado por
cN(U) =
cN(r),
r∈R
onde R é uma qualquer partição finita de U em rectângulos-N.
A proposição seguinte regista propriedades do conteúdo em U(R N ).
Proposição 1.1.11. Se A,B e C são uniões finitas de rectângulos-N então:
a) Aditividade: A ∩ B = ∅ =⇒ cN(A ∪ B) = cN(A) + cN(B),
b) Positividade: cN(A) ≥ 0,
c) Monotonia: A ⊆ B =⇒ cN(A) ≤ cN(B),
d) Subaditividade: A ⊆ B ∪ C =⇒ cN(A) ≤ cN(B) + cN(C).
Demonstração. a) Se P e Q são partições finitas dos conjuntos A e B em
rectângulos, então R = P ∪ Q é uma partição de A ∪ B e temos
cN(A ∪ B) =
cN(r) =
cN(r) +
cN(q) = cN(A) + cN(B).
r∈R
p∈P
b) É evidente que cN(A) ≥ 0.
As propriedades c) e d) nesta proposição podem obter-se de a) e b) e das
propriedades indicadas em 1.1.8. Temos assim:
c) Se A ⊆ B então B = A ∪ (B\A), onde B\A é disjunto de A e B\A é
uma união finita de rectângulos-N. Segue-se de a) e b) que
q∈Q
cN(B) = cN(A) + cN(B\A) ≥ cN(A).
d) B ∪ C e C\B são uniões finitas de rectângulos e B ∪ C = B ∪ (C\B),
onde B e C\B são disjuntos. Segue-se de a), b) e c) que
cN(A) ≤ cN(B ∪ C) = cN(B) + cN(C\B) ≤ cN(B) + cN(C).
A afirmação seguinte pode ser encarada como uma outra generalização
da definição 1.1.2, ou como uma generalização da regra elementar “o volume
de um prisma é o produto da área da base pela altura”. Na realidade, de um
ponto de vista intuitivo, deve ser tão natural e “óbvia” como a propriedade
de aditividade, mesmo quando N + M > 3. De um ponto de vista mais
formal, é na verdade uma versão muito preliminar do Teorema de Fubini,
que discutiremos repetidas vezes no que se segue.

16 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Proposição 1.1.12 (Conteúdo do Produto Cartesiano). Se A ∈ U(R N ) e
B ∈ U(R M ), então A × B ∈ U(R N+M ) e cN+M(A × B) = cN(A) × cM(B).
Além disso, se A e B são elementares então A × B é também elementar.
Demonstração. O resultado é evidente quando A e B são rectângulos. Basta
notar que se A = I1 × · · · × IN e B = J1 × · · · × JM, onde os conjuntos Ii e
Jj são intervalos em R, então
A × B = I1 × · · · × IN × J1 × · · · × JM é um rectângulo-(N + M), e
cN+M(A × B) = c(I1) × · · · × c(IN) × c(J1) × · · · × c(JM) = cN(A) × cM(B).
Se P e Q são partições finitas dos conjuntos A e B em rectângulos, é fácil
verificar que R = {p × q : p ∈ P,q ∈ Q} é uma partição finita de A × B em
rectângulos, e em particular A × B ∈ U(RN+M ). Temos assim
⎛
cN(A)cM(B) = ⎝
⎞ ⎛
cN(p) ⎠ ⎝
⎞
cM(q) ⎠ =
cN (p)cM(q) =
p∈P
q∈Q
p∈P q∈Q
=
cN+M (p × q) =
cN+M(r) = cN+M(A × B)
p∈P q∈Q
S
r∈R
S + x
x Translação de S
Reflexão de S
Figura 1.1.8: Translação e reflexão (em x2 = 0) do conjunto elementar S.
Convencionamos aqui que, se S ⊆ R N e x ∈ R N , então S + x designa
a translação {y + x : y ∈ S}. Notamos que qualquer translação de um
rectângulo é um rectângulo com o conteúdo do rectângulo original. A mesma
observação é verdadeira para qualquer reflexão de um rectângulo num
qualquer dos hiperplanos de equação xk = 0. A próxima proposição formaliza
esta ideia, ilustrada na figura 1.1.8 para conjuntos elementares. A sua
demonstração é o exercício 17.

1.1. Rectângulos e Conjuntos Elementares em R N 17
Proposição 1.1.13 (Invariância sob Translações e Reflexões). Se E ∈
U(R N ) e T é uma translação de E ou a reflexão de E num dos hiperplanos
xk = 0, então T ∈ U(R N ) e cN(T) = cN(E). Se E é elementar então T é
igualmente elementar.
Se I é um intervalo limitado de extremos a < b e b − a > 2ε > 0, os
intervalos F = [a+ε,b−ε] e U =]a−ε,b+ε[ são, respectivamente, fechado e
aberto, F ⊆ I ⊆ U e c(U\F) = 4ε. Dizemos por isso que qualquer intervalo
pode ser aproximado, por defeito, por um intervalo fechado, e por excesso,
por um intervalo aberto, com “erro arbitrariamente pequeno”. A generalização
desta afirmação para conjuntos elementares fica igualmente como
exercício (18):
cN(U) − ε
cN(S)
cN(F) + ε
cN(F) cN(U)
cN(S) − ε cN(S) + ε
Proposição 1.1.14. Se S ⊆ R N é elementar e ε > 0, existem conjuntos
elementares F (fechado) e U (aberto) tais que F ⊆ S ⊆ U e cN(U\F) < ε,
donde cN(S) − ε < cN(F) ≤ cN(S) ≤ cN(U) < cN(S) + ε.
Exercícios.
1. Quantos vértices, arestas e faces tem um rectângulo-N?
2. Existem 4 intervalos limitados com extremos a e b, que são [a, b], ]a, b], [a, b[,
e ]a, b[. Quantos rectângulos-N limitados existem com os mesmos vértices?
3. Existem conjuntos ilimitados E ⊂ R N com conteúdo finito arbitrário?
4. Demonstre a proposição 1.1.6 e mostre que qualquer conjunto que seja uma
união finita de rectângulos é uma união finita de rectângulos disjuntos.
5. Calcule c4(U), onde U = R1 ∪ R2 ∪ R3, R1 = [0, 6] × [0, 5] × [0, 6] × [0, 10],
R2 = [−1, 4] × [2, 6] × [3, 8] × [4, 12] e R3 = [−2, 3] × [−1, 4] × [−1, 4] × [−2, 7].
6. Mostre que se E ∈ U(R N ) então cN(∂E) = 0. Conclua que cN(E) =
cN(int(E)) e portanto int(E) = ∅ ⇔ cN(E) = 0.( 2 )
2 Se X ⊆ R N , designamos a fronteira de X por ∂X e o fecho de X por X. O
interior e o exterior de X designam-se, respectivamente, por int(X) e ext(X). Temos,
em particular, que ∂X = X\int(X).

18 Capítulo 1. Integrais de Riemann
7. Mostre que se E ∈ U(R) então c(E) = 0 se e só se E é finito.
8. Mostre que se E ⊂ R N é infinito numerável( 3 ) então E ∈ U(R N ).
9. Demonstre a proposição 1.1.8.
10. Generalize as alíneas 1.1.11 a) e 1.1.11 d) para famílias finitas de conjuntos.
11. Sejam A e B rectângulos e considere R = A × B. Mostre que
a) Se RA e RB são partições de A e de B, então R = {a × b : a ∈ RA, b ∈ RB}
é uma partição de R.
b) Se P é uma partição qualquer de R em rectângulos, existe um refinamento
R para a partição P do tipo referido em a).
12. Mostre que, se C ∈ U(R N+M ), então existem rectângulos-N R1, · · · , Rn,
disjuntos e conjuntos Bi ∈ U(R M ) tais que
C =
n
Ri × Bi.
i=1
13. Seja I ⊆ R um intervalo e I = {I1, I2, · · · , In} uma partição finita de I em
intervalos. Prove que
c(I) =
c(i) =
i∈I
n
c(Ik).
14. Seja R = I × J ⊆ R 2 um rectângulo-2, onde I e J são intervalos em
R. Dadas partições P = {I1, I2, · · · , In} de I e Q = {J1, J2, · · · , Jm} de
J, onde os Ik e Jj são intervalos, definimos ∆xk = c(Ik) e ∆yj = c(Jj) e
R = {i × j : i ∈ P, j ∈ Q}. Prove que
c2(R) =
n
k=1 j=1
k=1
m
∆xk∆yj =
c2(r).
15. Sendo R = I × J ⊆ R2 um rectângulo, onde I e J são intervalos em R, e P
uma partição de R em rectângulos, prove que
c2(R) =
c2(p).
p∈P
Sugestão: Mostre que P tem um refinamento R do tipo referido no exercício
anterior e no exercício 11. Aplique em seguida o resultado anterior ao
rectângulo R e a cada rectângulo p ∈ P.
3 O conjunto X é numerável se e só se existe uma função sobrejectiva φ : N → X,
sendo que X pode ser finito ou infinito. X é infinito numerável se e só existe uma bijecção
φ : N → X, e dizemos neste caso que φ é uma enumeração dos elementos de X.
r∈R

1.2. Álgebras, Semi-Álgebras e Funções Aditivas 19
16. Demonstre 1.1.3. sugestão: Proceda por indução em N, generalizando as
ideias nos exercícios 14 e 15 e aproveitando os exercícios 11 e 13.
17. Demonstre a proposição 1.1.13.
18. Demonstre a proposição 1.1.14.
1.2 Álgebras, Semi-Álgebras e Funções Aditivas
Introduzimos nesta secção um conjunto de noções abstractas, mas relativamente
elementares, que são úteis no estudo de funções de conjuntos e são
extensivamente utilizadas na teoria da medida. Estas ideias serão ainda
enriquecidas e completadas nas secções 1.6 e 2.1. Começamos por uma classificação
para classes de conjuntos, parcialmente inspirada em propriedades
das classes E(R N ) e U(R N ).
Definição 1.2.1 ( Álgebras e Semi-álgebras de Conjuntos). Seja X um conjunto
arbitrário e S uma família não-vazia de subconjuntos de X. S diz-se
uma semi-álgebra (em X) se e só se:
a) Fecho em relação à união: A,B ∈ S ⇒ A ∪ B ∈ S, e
b) Fecho em relação à diferença: A,B ∈ S ⇒ A\B ∈ S.
A semi-álgebra S diz-se uma álgebra (em X) se, além disso,
c) X ∈ S.
Exemplos 1.2.2.
1. As classes U(R N ) e E(R N ) são semi-álgebras, de acordo com 1.1.8.
2. A classe E(R N ) não é uma álgebra, porque R N não é elementar.
3. A classe U(R N ) é uma álgebra, porque R N é um rectângulo.
4. Se S ⊆ R N , a classe E(S) é uma semi-álgebra. Se S é um conjunto elementar,
então E(S) é uma álgebra em S.
5. A classe dos rectângulos em R N não é uma semi-álgebra em R N , porque não
é fechada nem para a união nem para a diferença.
6. A classe dos conjuntos abertos em R N não é uma semi-álgebra em R N , porque
não é fechada para a diferença (apesar de ser fechada para a união e a intersecção).
O mesmo se passa com a classe dos conjuntos fechados em R N .
7. Sendo X um qualquer conjunto, a classe de todos os subconjuntos de X, que
designamos P(X), é a maior álgebra de conjuntos em X.
8. A classe {∅, X} é a menor álgebra de conjuntos em X.

20 Capítulo 1. Integrais de Riemann
O próximo teorema indica propriedades algébricas que são comuns a
qualquer semi-álgebra de conjuntos.
Teorema 1.2.3. Seja S uma semi-álgebra no conjunto X. Temos, então:
a) ∅ ∈ S.
b) Fecho em relação à intersecção: A,B ∈ S ⇒ A ∩ B ∈ S.
c) Fecho em relação a uniões e intersecções finitas:
A1,A2, · · · ,An ∈ S ⇒
n
Ak,
k=1
Se S é uma álgebra em X, temos ainda:
n
Ak ∈ S.
k=1
d) Fecho em relação à complementação: A ∈ S ⇒ A c ∈ S.( 4 )
Demonstração. a) A classe S é por definição não-vazia. Sendo A ∈ S, temos
∅ = A\A ∈ S.
b) A ∩ B = A\(A\B) ∈ S.
c) É facilmente demonstrável por indução.
d) Como por hipótese X ∈ S, concluímos que Ac = X\A ∈ S.
Alguma da terminologia definida a seguir já foi informalmente utilizada
na secção anterior. Note-se que nos referimos a funções de conjuntos com valores
em [0,+∞], como por exemplo o conteúdo-N na classe dos rectângulos,
ou com valores reais.
Definição 1.2.4 (Propriedades de funções de conjuntos). Seja λ : S → Y
uma função, onde S é uma classe de subconjuntos de um conjunto fixo X
e Y = R ou Y = [0,+∞]. Supondo que as afirmações seguintes são válidas
para quaisquer conjuntos A,B,C ∈ S, a função de conjuntos λ diz-se:
a) Aditiva: Se A ∪B ∈ S e A e B disjuntos ⇒ λ(A ∪B) = λ(A)+λ(B).
b) Subaditiva: Se C ⊆ A ∪ B ⇒ λ(C) ≤ λ(A) + λ(B).
c) Monótona: Se A ⊆ B ⇒ λ(A) ≤ λ(B).
d) Não-negativa: Se λ(A) ≥ 0.
Exemplos 1.2.5.
1. Conteúdo-N: O conteúdo-N, tal como o definimos em E(R N ), é uma função
aditiva, subaditiva, monótona e não-negativa.
4 Quando o conjunto “universal” X é evidente do contexto da discussão, usamos a
notação A c = X\A.

1.2. Álgebras, Semi-Álgebras e Funções Aditivas 21
2. Cardinal: Dado um conjunto Y , o cardinal de Y designa-se por #(Y ) e
é igual ao número de elementos de Y , se Y é finito, ou igual a +∞ , se Y é
infinito. Qualquer que seja o conjunto X, o cardinal é uma função de conjuntos
aditiva, subaditiva, monótona e não-negativa definida na classe P(X).
3. Probabilidades: Na Teoria das Probabilidades, associamos uma probabilidade,
que é um número entre 0 e 1, a acontecimentos. Os acontecimentos são
subconjuntos de um conjunto fixo X e formam uma álgebra A (porquê?). A
probabilidade p : A → [0, 1] é portanto uma função de conjuntos, que é sempre
aditiva, subaditiva, monótona e não-negativa. Por exemplo, o conjunto X, que
é um acontecimento certo, tem probabilidade 1, ou seja, p(X) = 1.
4. Muitas grandezas físicas, ditas extensivas, como a massa, carga eléctrica,
energia, entropia, momento linear, etc., podem ser representadas por funções
aditivas de conjuntos. Os conjuntos em causa são normalmente regiões do
espaço ou partes de um dado corpo material.
5. Introduzimos aqui uma família de exemplos que referiremos com frequência
nos Capítulos seguintes. Consideramos:
• A classe C formada pelos intervalos do tipo ]a, b] com −∞ < a ≤ b < ∞,
• Uma qualquer função real f : R → R, e
• A função de conjuntos λ : C → R dada por λ(]a, b]) = f(b) − f(a).
A classe F(R) formada pelas uniões finitas de intervalos em C é uma semiálgebra,
como é fácil verificar. Para alargar a definição de λ a toda a classe
F(R), basta observar que qualquer conjunto A ∈ F(R) é uma união finita de
intervalos disjuntos I1, I2, · · · , In em C e tomar
λ(A) =
n
λ(Ik).
k=1
(Para mostrar que esta definição não é ambígua, observe que λ é obviamente
aditiva em C e adapte o argumento que utilizámos em 1.1.9.). É ainda imediato
que
• λ é aditiva em F(R) e
• λ é não-negativa, monótona e subaditiva se e só se f é crescente.
Casos típicos desta família de exemplos são as distribuições de probabilidade na
recta real, onde é comum escolher para f a chamada distribuição (comulativa)
de probabilidade. Neste caso, o valor f(x) é a probabilidade do acontecimento
E = {X ∈ R : X ≤ x}, e por isso f é uma função crescente em R tal que
0 ≤ f ≤ 1. É também claro que f(b)−f(a) é a probabilidade do acontecimento
A = {X ∈ R : a < X ≤ b}, que podemos designar por λ(]a, b]).
O próprio conteúdo de Jordan (restrito à classe F(R)) resulta de escolher
f(x) = x.
6. Os seguintes casos específicos do exemplo anterior são muito simples mas
interessantes:

22 Capítulo 1. Integrais de Riemann
• Se f é a função de Heaviside( 5 ) (a função característica do intervalo
[0, +∞[), então λ é o impulso, medida ou distribuição de dirac( 6 ).
O cálculo de λ é imediato:
λ(A) =
1, se 0 ∈ A
0, se 0 ∈ A
• Se f(x) = int(x), onde int(x) = max{k ∈ Z : k ≤ x} é a parte inteira
de x, então λ(A) conta os inteiros que pertencem a A, i.e., λ(A) =
#(A ∩ Z) e λ tem o pitoresco nome de pente de dirac.
Estes exemplos são frequentemente utilizados na Física para representar distribuições
de massas (ou cargas) pontuais unitárias numa recta. Repare-se de
passagem que em qualquer destes exemplos é fácil alargar a definição de λ
à classe de todos os subconjuntos de R, como é igualmente simples adaptar
as respectivas definições a contextos mais gerais (e.g., referindo outros pontos
que não 0 e outros conjuntos que não Z, substituindo R por outro qualquer
conjunto X, etc.).
7. Continuando o exemplo 5, note-se que não só é verdade que qualquer função
f : R → R determina uma função de conjuntos λ aditiva na semi-álgebra
F(R), como é igualmente verdade que qualquer função aditiva λ definida e
finita em F(R) determina uma correspondente função f, que na realidade é
única a menos de uma constante aditiva arbitrária. Para obter f, podemos
sempre tomar
f(x) =
B
+λ(]0, x], se x ≥ 0
−λ(]x, 0]), se x < 0
A ∩ B
A\B
Figura 1.2.1: λ(A) = λ(A ∩ B) + λ(A\B)
Indicamos abaixo propriedades comuns a quaisquer funções aditivas definidas
em semi-álgebras, de que a figura 1.2.1 ilustra um exemplo.
Teorema 1.2.6. Se λ : S → Y é uma função aditiva definida na semiálgebra
S e Y = R ou Y = [0, ∞], então:
5 De Oliver Heaviside (1850 - 1925), engenheiro, físico e matemático inglês.
6 Do célebre físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984), prémio Nobel em
1933. Foi um dos distintos ocupantes da Cátedra Lucasiana da Universidade de Cambridge
(1932-1969), hoje ocupada pelo famoso físico Stephen Hawking. Terminou a sua vida nos
Estados Unidos, onde ensinou nas Universidades de Miami e do Estado da Flórida.
A

1.2. Álgebras, Semi-Álgebras e Funções Aditivas 23
a) λ(∅) = 0, ou λ(A) = +∞ para qualquer A ∈ S.( 7 )
b) Se A,B ∈ S então ( 8 )
λ(A ∩ B) + λ(A ∪ B) = λ(A) + λ(B) e λ(A) = λ(A ∩ B) + λ(A\B).
c) λ é não-negativa ⇐⇒ λ é monótona ⇐⇒ λ é subaditiva.
d) Se A1,A2, · · · ,An ∈ S e A1,A2, · · · ,An são disjuntos então
λ(
n
Ak) =
k=1
n
λ(Ak).
k=1
Demonstração. a) Se A ∈ S, segue-se, por aditividade, que
λ(A) = λ(A) + λ(∅).
Se existe algum conjunto A tal que λ(A) = +∞, é claro que λ(∅) = 0.
b) A\B e B são disjuntos e A ∪ B = (A\B) ∪ B, donde
(1) λ(A ∪ B) = λ(A\B) + λ(B).
Analogamente, A ∩ B e A\B são disjuntos e A = (A ∩ B) ∪ (A\B), donde
Concluímos de (1) e (2) que
(2) λ(A) = λ(A ∩ B) + λ(A\B).
λ(A ∩ B) + λ(A ∪ B) = λ(A ∩ B) + λ(A\B) + λ(B) = λ(A) + λ(B).
c) Se λ é não-negativa e A ⊇ B, então λ(A\B) ≥ 0 e
λ(A) = λ(A ∩ B) + λ(A\B) = λ(B) + λ(A\B) ≥ λ(B),
i.e., λ é monótona. Se λ é monótona e C ⊆ A ∪ B então
λ(C) ≤ λ(A ∪ B) = λ(A ∪ (B\A)) = λ(A) + λ(B\A) ≤ λ(A) + λ(B),
ou seja, λ é subaditiva. Finalmente, se λ é subaditiva e como ∅ ⊆ A ∪ A
então λ(∅) ≤ 2λ(A) e λ é não-negativa.
d) A demonstração fica como exercício.
No caso das funções subaditivas, deixamos como exercício obter:
7 Em geral, consideramos apenas funções λ que não são constantes e iguais a +∞.
8 Estas identidades devem ser manipuladas com cuidado quando λ toma valores infinitos.
Note que só podemos escrevê-las na forma λ(A ∪ B) = λ(A) + λ(B) − λ(A ∩ B) e
λ(A\B) = λ(A) − λ(A ∩ B) quando não conduzem a indeterminações do tipo (∞ − ∞).

24 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Teorema 1.2.7. Se λ : S → Y é uma função subaditiva definida na semiálgebra
S e Y = R ou Y = [0, ∞], então:
a) λ é não-negativa,
b) A1,A2, · · · ,An ∈ S ⇒ λ(
n
Ak) ≤
k=1
c) Se λ(∅) = 0 então λ é monótona.
Exercícios.
n
λ(Ak), e
1. Sendo A uma classe de subconjuntos de X, prove que A é uma álgebra em
X se e só se A é não-vazia, fechada em relação à união (ou intersecção), e à
complementação.
k=1
2. Pode substituir-se a união pela intersecção na definição 1.2.1?
3. Mostre que a classe S dos conjuntos limitados é uma semi-álgebra em R N .
Considere a função λ : S → R, dada por
λ(A) = diam(A) = sup {x − y : x, y ∈ A} , para A ∈ S.
Quais das propriedades referidas em 1.2.4 são satisfeitas por λ?
4. Os subconjuntos finitos do conjunto X formam uma semi-álgebra? Uma
álgebra?
5. Sendo R um rectângulo-N limitado, mostre que E(R) é a menor álgebra em
R que contém os subrectângulos de R.
6. Demonstre as afirmações feitas no texto a respeito do exemplo 1.2.5.5.
7. Generalize o exemplo 1.2.5.5 para o plano R 2 , sendo agora f uma função de
duas variáveis.
8. Considere a seguinte experiência aleatória, para selecção de um número no
intervalo [0, 6]. Primeiro, usamos uma moeda para decidir um de dois métodos:
no caso “caras”, escolhemos ao acaso um número no intervalo [0, 6] (com uma
densidade de probabilidade constante); no caso “coroas”, rolamos um dado
para escolher um número do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Descreva a distribuição
de probabilidade λ associada a esta experiência, calculando a correspondente
função de distribuição cumulativa f.
9. Conclua a demonstração de 1.2.6 e prove 1.2.7.

1.3. Conjuntos Jordan-Mensuráveis 25
1.3 Conjuntos Jordan-Mensuráveis
A teoria desenvolvida no início deste Capítulo é manifestamente demasiado
pobre para esclarecer de modo satisfatório a noção de conteúdo de um conjunto.
Afinal de contas, uma região tão simples como um triângulo não é
elementar e portanto por enquanto ainda não definimos a sua área! Nesta
secção, definimos o conteúdo-N para os conjuntos Jordan-mensuráveis( 9 ),
que formam uma classe bastante mais extensa do que a classe dos conjuntos
elementares. Veremos em particular que muitas figuras geométricas comuns
(triângulos, círculos, elipses, etc.) são conjuntos Jordan-mensuráveis. Exploramos
aqui a aproximação de conjuntos não-elementares por conjuntos
elementares, tal como ilustrado na figura 1.3.1 para um círculo. Note-se
Figura 1.3.1: 2 < π < 4
que esta ideia de aproximação, se bem que formalizada por Jordan e Peano
apenas no final do século XIX, é na realidade uma descoberta fundamental
muito antiga, usualmente atribuída a Arquimedes( 10 ).
Observe-se a este respeito que, se J ⊆ R N é um conjunto limitado, então
existem conjuntos elementares K e U tais que K ⊆ J ⊆ U. Os conjuntos K e
U aproximam J, respectivamente, por defeito e por excesso. Por esta razão,
qualquer definição “razoável” de cN(J) deve conduzir às desigualdades
1.3.1. cN(K) ≤ cN(J) ≤ cN(U).
Como K e U são elementares, sabemos de 1.1.11 c) que
K ⊆ J ⊆ U =⇒ K ⊆ U =⇒ cN(K) ≤ cN(U).
Tomando nesta desigualdade o conjunto K como fixo, concluímos que, se
K ∈ E(J), então
cN(K) é minorante do conjunto cN(U) : U ∈ E(R N ),J ⊆ U .
9 De Camille M.E. Jordan (1838 - 1922), matemático francês, professor da Escola
Politécnica de Paris. As ideias apresentadas nesta secção foram, no entanto, introduzidas
pelo matemático italiano Giuseppe Peano, 1858-1932, professor da Universidade de Turim.
10 Arquimedes, matemático e engenheiro, viveu em Siracusa (Sicília) em 287-212 A.C.,
no tempo em que esta cidade era uma colónia grega. Foi, certamente, um dos mais geniais
cientistas de todos os tempos.

26 Capítulo 1. Integrais de Riemann
U
K J
Figura 1.3.2: K e U são aproximações de J.
Como o ínfimo de um conjunto é o maior dos seus minorantes, temos
cN(K) ≤ inf cN(U) : U ∈ E(R N ),J ⊆ U .
A desigualdade anterior é válida para qualquer K ∈ E(J), ou seja,
inf cN(U) : U ∈ E(R N ),J ⊆ U é majorante de {cN(K) : K ∈ E(J)} .
O supremo de um conjunto é o menor dos seus majorantes, e portanto
sup {cN(K) : K ∈ E(J)} ≤ inf cN(U) : U ∈ E(R N ),J ⊆ U .
O supremo e o ínfimo mencionados acima merecem designação especial:
Definição 1.3.2 (Conteúdo Interior e Exterior). Se J ⊆ R N é um conjunto
limitado, o seu conteúdo interior, designado c N (J), e o seu conteúdo
exterior, designado cN(J), são dados por
c N(J) = sup {cN(K) : K ∈ E(J)} e
cN(J) = inf cN(U) : U ∈ E(R N ),J ⊆ U .
Notamos agora que se cN(J) satisfaz 1.3.1 então temos igualmente
c N (J) ≤ cN(J) ≤ cN(J).
O ponto de partida para a teoria de Jordan é a seguinte observação, genial
pela sua simplicidade:
Se os conteúdos interior e exterior de J são iguais, então o
conteúdo do conjunto J só pode ser igual a esse valor comum.
Esta é a ideia formalizada na próxima definição.
Definição 1.3.3 (Conteúdo de Jordan). ( 11 ) Se J ⊆ R N é limitado,
11 Esta definição foi primeiro apresentada por Peano em 1887 num trabalho muito original
que inclui, igualmente pela primeira vez, as noções de interior, exterior e fronteira de
um subconjunto de R N e uma definição abstracta de “função aditiva de conjuntos”, que
Peano chamava “função distributiva”. O correspondente artigo de Jordan é de 1892.

1.3. Conjuntos Jordan-Mensuráveis 27
a) Dizemos que J é jordan-mensurável se e só se c N(J) = cN(J).
b) Neste caso, o conteúdo de jordan de J, designado cN(J), é dado
por cN(J) = c N(J) = cN(J).
c) A classe dos conjuntos Jordan-mensuráveis de R N designa-se por J (R N ).
Mais geralmente, a classe de todos os subconjuntos Jordan-mensuráveis
de R ⊆ R N designa-se por J (R).
Se o próprio conjunto J referido em 1.3.3 é elementar, é indispensável
verificar que esta definição é compatível com a que apresentámos em 1.1.10
para estes conjuntos. Por outras palavras, é necessário provar que:
• Os conjuntos elementares são Jordan-mensuráveis e
• O respectivo conteúdo pode ser indistintamente determinado usando
1.1.10 ou 1.3.3.
Para isso, supomos J elementar e tomamos K = J = U, para observar que
cN(K) ≤ c N(J) ≤ cN(J) ≤ cN(U) = cN(K).
Quando J não é elementar, a definição 1.3.3 pode ser difícil de aplicar directamente,
porque exige o cálculo explícito dos conteúdos interior e exterior
de J. É frequentemente mais prático utilizar a proposição seguinte:
Teorema 1.3.4. J ∈ J (R N ) se e só se existem para cada ε > 0 conjuntos
K,U ∈ E(R N ) tais que K ⊆ J ⊆ U e cN(U\K) < ε.
K e U podem ser supostos fechados ou abertos e temos ainda que
cN(U) − ε < cN(K) ≤ cN(J) ≤ cN(U) < cN(K) + ε.
Demonstração. Supomos que ε > 0 e os conjuntos elementares K e U são
tais que
K ⊆ J ⊆ U e cN(U\K) = cN(U) − cN(K) < ε.
Como cN(K) ≤ c N(J) ≤ cN(J) ≤ cN(U), temos
cN(J) − c N (J) ≤ cN(U) − cN(K) < ε, donde
0 ≤ cN(J) − c N (J) < ε
Sendo esta última desigualdade válida para qualquer ε > 0, é claro que
cN(J) = c N(J), i.e., J ∈ J (R N ). Deixamos a conclusão da demonstração
para o exercício 4.

28 Capítulo 1. Integrais de Riemann
cN(J) − ε
U
cN(U) − ε
K
cN(K)
cN(J)
cN(U)
J
cN(K) + ε
cN(J) + ε
Figura 1.3.3: Aproximação de um conjunto Jordan-mensurável por conjuntos
elementares.
Concluímos que os conjuntos Jordan-mensuráveis são os conjuntos que
podem ser aproximados por defeito e por excesso por conjuntos elementares,
“com erro arbitrariamente pequeno”. Pode também ser útil a seguinte alternativa
a 1.3.4, cuja demonstração deixamos para o exercício 5:
Teorema 1.3.5. J ∈ J (R N ) se e só se existem sucessões de conjuntos
elementares Kn e Un tais que Kn ⊆ J ⊆ Un e cN(Un\Kn) → 0 donde
Exemplo 1.3.6.
lim
n→+∞ cN(Kn) = lim
n→+∞ cN(Un) = cN(J).
Um dos problemas originalmente resolvidos por Arquimedes foi o do cálculo
da área da região entre um arco da parábola y = x 2 e o eixo dos xx. Mostramos
aqui que esta região é Jordan-mensurável, deixando o cálculo da sua área para
o exercício 2. Na verdade, provamos a seguir que a região de ordenadas de
qualquer função monótona é sempre Jordan-mensurável, se bem que o cálculo
da respectiva área possa ser um problema de mais difícil resolução.
Considere-se a figura 1.3.4. A região de ordenadas da função não-negativa f
no intervalo [a, b] é o conjunto
Ω = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 < y < f(x)} .
Supomos que f é crescente, mas o argumento é aplicável com modificações
evidentes a funções decrescentes. Fixado n ∈ N, dividimos o intervalo [a, b]
em n subintervalos de comprimento ∆x = (b−a)
n , utilizando pontos igualmente
espaçados a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Definimos intervalos Ik e rectângulos
auxiliares Ak e Bk para 1 ≤ k ≤ n, tomando
Ik = [xk−1, xk], Ak = Ik×]0, f(xk−1)[ e Bk = Ik×]0, f(xk)[.
Sejam Kn e Un os conjuntos elementares dados por
n
n
Kn = Ak e Un = Bk donde Kn ⊆ Ω ⊆ Un.
k=1
k=1

1.3. Conjuntos Jordan-Mensuráveis 29
f(b)
f(a)
Bk
Ak
a b
f(b) − f(a)
∆x = b−a
n
Figura 1.3.4: A região de ordenadas de f é Jordan-mensurável.
Como a figura 1.3.4 sugere, é fácil verificar que
(b − a)
c2(Un\Kn) = (f(b) − f(a))∆x = (f(b) − f(a)) → 0.
n
Segue-se de 1.3.5 que Ω é Jordan-mensurável.
O argumento anterior pode ser adaptado para provar que triângulos,
círculos e, em geral, regiões limitadas por cónicas e/ou segmentos de recta
são Jordan-mensuráveis. O próximo exemplo ilustra o cálculo do comprimento
de subconjuntos da recta real R.
Exemplo 1.3.7.
∞
Consideramos o conjunto A = An, onde An = [
n=1
1
2n ,
1
]. A não é
2n − 1
elementar, mas é natural aproximá-lo pelos conjuntos elementares
KN =
N
An, onde é evidente que KN ⊂ A.
n=1
Por outro lado, temos ainda
∞ 1
An ⊆ [0, ] =⇒
2n − 1
n=N+1
An ⊆ [0,
1
2N + 1 ] =⇒ A ⊆ KN
1
∪ [0,
2N + 1 ].
O conjunto UN = KN ∪[0, 1
2N+1 ] é também elementar e temos KN ⊆ A ⊆ UN.
Além disso,
c(UN \KN) = c([0,
1 1
]) = → 0, quando N → ∞.
2N + 1 2N + 1
Concluímos de 1.3.5 que A é Jordan-mensurável, com comprimento dado por
c(A) = lim
N→∞ c(KN) = lim
N→∞
n=1
N
∞
∞ 1
c(An) = c(An) =
2n(2n − 1) .
n=1
n=1

30 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Figura 1.3.5: Aproximação do conjunto A por conjuntos elementares.
O seguinte corolário de 1.3.4 é útil para identificar conjuntos Jordanmensuráveis
de conteúdo nulo. A respectiva demonstração é o exercício 8.
Corolário 1.3.8. Sendo J ⊆ R N , então J é Jordan-mensurável e cN(J) = 0
se e só se para qualquer ε > 0 existe um conjunto elementar U tal que
Exemplo 1.3.9.
J ⊆ U e cN(U) < ε.
Introduzimos aqui o conjunto de Cantor( 12 ), um exemplo clássico que
utilizaremos com frequência neste texto. Este conjunto obtém-se por um engenhoso
processo iterativo de divisão de intervalos em três subintervalos iguais,
seguido da remoção do subintervalo médio, como sugerido na figura 1.3.6.
U4 U3 U4
U2
U4 U3 U4
U1
U4 U3 U4
Figura 1.3.6: A construção de Cantor.
U2
U3
K3
U6
K6
U4 U3 U4
Seja I um qualquer intervalo limitado fechado e ψ(I) o intervalo aberto de com-
primento c(I)
3 centrado no ponto médio de I. Definimos T(I) = I\ψ(I), e notamos
que T(I) é a união de dois intervalos limitados fechados e c(T(I)) = 2
3c(I). De forma análoga, se E = ∪n k=1Ik é uma união finita de intervalos limitados
fechados disjuntos Ik, definimos T(E) = ∪n k=1T(Ik), donde c(T(E)) = 2
3c(E). 12 De Georg F.L. Cantor (1845 - 1918), matemático alemão nascido na Rússia, criador
da Teoria dos Conjuntos. Este conjunto foi introduzido num trabalho de Cantor publicado
em 1883. Note-se que a primeira referência à noção de conteúdo exterior, e mesmo o termo
“conteúdo”, são igualmente de Cantor, e aparecem numa sua publicação de 1884.
F0
F1
F2
F3
F4

1.3. Conjuntos Jordan-Mensuráveis 31
O conjunto de Cantor, que designamos C(I), é dado por
C(I) =
∞
Fn, onde Fn =
n=0
[a, b], se n = 0,
T(Fn−1) se n > 0.
Fn é a união de 2 n intervalos disjuntos limitados e fechados, cada um com
comprimento c(I)/3 n . Fn é portanto um conjunto elementar com c(Fn) =
(2/3) n c(I) e temos por razões evidentes que
C(I) =
∞
n=0
Fn ⊂ Fn e c(Fn) = (2/3) n c(I) → 0.
Segue-se assim do corolário anterior que C(I) é um conjunto Jordan-mensurável
de conteúdo nulo. Deixamos para o exercício 16 verificar que C(I) é um
conjunto fechado e infinito não-numerável. Note-se igualmente que se Un =
Fn−1\Fn para n ≥ 1 então Un é um conjunto elementar aberto formado por 2n intervalos, cada um com comprimento 1
3nc(I). Temos ainda que U = I\C(I) =
∪∞ n=0Un é uma união numerável de intervalos abertos disjuntos.
Exemplo 1.3.10.
É relativamente simples indicar conjuntos que não são Jordan-mensuráveis, e
apresentamos a seguir o conjunto de Dirichlet ( 13 ). Trata-se do conjunto
formado pelos racionais num dado intervalo [a, b] que, para simplificar, supomos
ser o intervalo [0, 1], ou seja, consideramos o conjunto D = Q ∩ [0, 1].
Qualquer intervalo não degenerado (i.e., com interior não-vazio) contém racionais
e irracionais ( 14 ). Portanto, se um conjunto elementar E contém apenas
racionais ou apenas irracionais, então E é formado por intervalos que se reduzem
cada um a um só ponto. Neste caso, E é um conjunto finito e tem
conteúdo nulo. Se D é o conjunto de Dirichlet e K e U são quaisquer conjuntos
elementares tais que K ⊆ D ⊆ U, então:
• Como K é elementar e só contém racionais, temos c(K) = 0.
• Como V = [0, 1]\U é elementar e só contém irracionais, temos c(V ) = 0
e segue-se facilmente que c(U) ≥ 1.
Concluímos que c(U) − c(K) ≥ 1 e portanto D não é Jordan-mensurável.
Indicámos em 1.1.8 e 1.1.11 algumas propriedades elementares básicas da
classe U(RN ) e do conteúdo-N, tal como definido nesta classe. É importante
verificar que essas propriedades se mantêm válidas na classe J (RN ).
13 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), matemático alemão. O exemplo de
Dirichlet original é a função característica dos racionais, e foi publicado em 1829.
14 Dizemos que o conjunto S ⊆ R N é denso em R N se e só se qualquer conjunto aberto
não-vazio U ⊆ R N contém pontos de S, i.e., se e só se S = R N . Nesta terminologia, os
conjuntos Q e R\Q são densos em R.

32 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Proposição 1.3.11. A classe J (R N ) é uma semi-álgebra e o conteúdo de
Jordan é aditivo e não-negativo em J (R N ). Em particular, cN é monótono
e subaditivo em J (R N ).
Demonstração. a) Provamos apenas o fecho da classe J (R N ) em relação
à união, deixando o caso da diferença para os exercícios. Dados A,B ∈
J (R N ), sabemos de 1.3.5 que existem sucessões de conjuntos elementares
Kn,K ′ n,Un e U ′ n tais que
Kn ⊆ A ⊆ Un, K ′ n ⊆ B ⊆ U ′ n,cN(Un\Kn) → 0,cN(U ′ n\K ′ n) → 0.
Os conjuntos K ′′
n = Kn ∪ K ′ n
observamos que
e U ′′
n = Un ∪ U ′ n
K ′′
n ⊆ A ∪ B ⊆ U ′′
n e
são elementares, de 1.1.8, e
U ′′
n\K ′′
n = [Un\(Kn ∪ K ′ n)] ∪ [U ′ n\(Kn ∪ K ′ n)] ⊆ (Un\Kn) ∪ (U ′ n\K ′ n).
Temos de 1.1.11 que
0 ≤ cN(U ′′
n \K′′ n ) ≤ cN(Un\Kn) + cN(U ′ n \K′ n ) → 0,
e concluímos de 1.3.5 que A ∪ B é Jordan-mensurável.
b) Se A e B são disjuntos, os conjuntos Kn e K ′ n mencionados acima são
igualmente disjuntos e portanto, de acordo com 1.3.5 e 1.1.11, temos
cN(K ′′
n ) → cN(A ∪ B) e cN(K ′′
n ) = cN(Kn) + cN(K ′ n ) → cN(A) + cN(B),
ou seja, cN(A ∪ B) = cN(A) + cN(B). É evidente que o conteúdo de Jordan
é não-negativo, e as restantes afirmações seguem-se de 1.2.6.
Deixamos para o exercício 9 a adaptação das proposições 1.1.12 e 1.1.13
aos conjuntos Jordan-mensuráveis, que enunciamos da seguinte forma:
Teorema 1.3.12. Se A ∈ J (R N ) e B ∈ J (R M ), então
a) A × B ∈ J(R N+M ) e cN+M(A × B) = cN(A) × cM(B).
b) Se x ∈ R N então A + x ∈ J (R N ) e cN(A + x) = cN(A).
c) Se C é uma reflexão de A num dos hiperplanos xk = 0, então C ∈
J (R N ) e cN(A) = cN(C).
Os conjuntos Jordan-mensuráveis podem ser também caracterizados pelo
conteúdo das respectivas fronteiras. Veremos mais adiante que esta condição
é um caso particular do resultado que relaciona a integrabilidade de uma
função com o conjunto de pontos onde essa função é descontínua.

1.3. Conjuntos Jordan-Mensuráveis 33
Teorema 1.3.13. Se J ⊂ R N é limitado, então
J ∈ J (R N ) ⇐⇒ cN(∂J) = 0.
Em particular, se J é Jordan-mensurável temos cN(J) = cN(int(J)), e
temos ainda cN(J) = 0 se e só se int(J) = ∅.
Demonstração. Supomos que J ⊂ R N é Jordan-mensurável. Dado ε > 0,
existem conjuntos elementares K e U tais que
K ⊆ J ⊆ U e cN(U\K) < ε.
Supomos sem perda de generalidade que K é aberto e U é fechado. Neste
caso, é fácil verificar que
K ⊆ int(J) ⊆ J ⊆ U, donde ∂J ⊆ U\K.
O conjunto U\K é elementar e cN(U\K) < ε, onde ε é arbitrário. Temos
portanto, de acordo com 1.3.8, que cN(∂J) = 0. Deixamos para o exercício
10 a conclusão desta demonstração.
Exemplos 1.3.14.
1. Note-se do anterior que os conjuntos Jordan-mensuráveis, tal como os conjuntos
elementares, não podem ter simultaneamente interior vazio e conteúdo
positivo.
2. Vimos já que o conjunto de Dirichlet não é Jordan-mensurável, mas este facto
é também consequência do resultado anterior, porque se D = Q ∩ [0, 1] então
∂D = [0, 1], donde c(∂D) = 1 e D não é Jordan-mensurável.
Exercícios.
1. Generalize a desigualdade 2 < π < 4 (ver figura 1.3.1) de R 2 para R N .
2. Prove que a área da região de ordenadas de f(x) = x 2 no intervalo [0, 1] é 1
3 .
sugestão: Use a identidade:
n
k=1
k 2 = n3
3
+ n2
2
+ n
6 .
3. Mostre que J = 1
n : n ∈ N é Jordan-mensurável e tem conteúdo nulo.
4. Conclua a demonstração do teorema 1.3.4. Porque razão os conjuntos K e
U podem ser supostos abertos ou fechados?
5. Demonstre o teorema 1.3.5.

34 Capítulo 1. Integrais de Riemann
6. Seja f : R N → R N dada por f(x) = rx. Prove que se K ∈ J (R N ) então
f(K) ∈ J (R N ) e cN(f(K)) = r N cN(K).
7. Prove que a área de um círculo de raio r é πr 2 e a área da região limitada
por uma elipse de semi-eixos a e b é πab.( 15 )
8. Prove o corolário 1.3.8.
9. Conclua a demonstração de 1.3.11 e prove o teorema 1.3.12.
10. Conclua a demonstração de 1.3.13. sugestão: Prove que se o rectângulo
R intersecta tanto int(A) como ext(A) então R intersecta também ∂(A).
11. Sendo A ⊆ R N limitado, prove que cN(A) − c N (A) = cN(∂A).
12. Mostre que se A ⊂ R N , tanto A como A c são densos em R N e R é um
rectângulo-N limitado com cN(R) > 0 então A ∩ R e R\A não são Jordanmensuráveis
( 16 ).
13. Mostre que se J ∈ J (R N ), cN(J) = 0 e K ⊆ J, então K ∈ J (R N ) e
cN(K) = 0.
14. Mostre que, se A ⊆ R N , B ⊆ R M , cN(A) = 0 e A e B são limitados, então
A × B é Jordan-mensurável e cN+M(A × B) = 0.
15. Suponha que K ∈ J (R 2 ) e seja V o sólido de revolução obtido rodando K
em torno do eixo dos xx. Mostre que V ∈ J (R 3 ).
16. Seja C(I) o conjunto de Cantor, tal como definido no exemplo 1.3.9.
a) Prove que C(I) é um conjunto limitado e fechado com interior vazio e
conclua que C(I) é a fronteira do seu complementar.
b) Verifique que C(I) é Jordan-mensurável, com conteúdo nulo.
c) Mostre que os pontos de C(I) são os pontos de acumulação de C(I),
razão pela qual C(I) se diz um conjunto perfeito( 17 ).
d) Prove que C(I) é infinito não-numerável e não é elementar. sugestão:
Determine uma bijecção entre C(I) e o conjunto das sucessões binárias.
e) Mostre que {x + y : x, y ∈ C(I)} = [0, 2].
17. Dados vectores a1,a2, · · · ,aN em RN
, considere o “paralelepípedo” P =
. Prove que P é Jordan-mensurável, com cN(P) =
N
k=1 tkak : 0 ≤ tk ≤ 1
| det(a1,a2, · · · ,aN)| (o valor absoluto do determinante da matriz formada
pelos vectores a1, · · · ,aN). sugestão: Mostre que:
15 π é naturalmente definido como a área do círculo de raio 1.
16 O exemplo de Dirichlet resulta de tomar A = Q e N = 1.
17 O ponto x ∈ R N é ponto de acumulação do conjunto A ⊆ R N se e só se qualquer
vizinhança de x contém pontos de A distintos de x. As noções de “ponto de acumulação”
e de “conjunto perfeito” devem-se igualmente a Cantor.

1.4. O Integral de Riemann 35
a) Se a1, · · · ,aN são linearmente dependentes, então cN(P) = 0.
sugestão: Considere equações cartesianas para P.
b) P é Jordan-mensurável porque a sua fronteira tem conteúdo nulo.
c) Se Q resulta de P substituindo ai por a ′ i = ai + λaj, com i = j, então
cN(Q) = cN(P). sugestão: Suponha primeiro que 0 ≤ λ ≤ 1. Note que
neste caso Q\P é uma translação de P \Q. Considere em seguida λ ∈ N.
d) O conteúdo de P é o valor absoluto do determinante indicado. sugestão:
Reduza a matriz cujas linhas são os vectores ai à forma diagonal, pelo
processo de eliminação de Gauss-Jordan.
18. Seja T : R N → R N uma transformação linear, e K ∈ J (R N ). Mostre que
T(K) ∈ J (R N ), e cN(T(K)) = |J|cN(K), onde J é o determinante de T.
1.4 O Integral de Riemann
Como dissémos, o problema da definição do integral de funções está directamente
relacionado com o problema da definição do conteúdo de conjuntos.
Dada uma função f : I → R, onde para simplificar supomos que I = [a,b]
é um intervalo, designamos aqui por Ω + e Ω − os conjuntos ilustrados na
figura 1.4.1, que são dados por
Ω + = (x,y) ∈ R 2 : x ∈ I e 0 < y < f(x) e
Ω − = (x,y) ∈ R 2 : x ∈ I e 0 > y > f(x) .
O integral de f, dito unidimensional ou simples, porque f é função
de uma variável real, e designado usualmente por
b b
f(x)dx,
a
a
f, f(x)dx ou
I
é a diferença das áreas ou conteúdos-2 dos conjuntos Ω + e Ω − . Estas
ideias generalizam-se facilmente a funções de N variáveis:
Definição 1.4.1 (Região de Ordenadas). Se R ⊆ S ⊆ R N e f : S → R,
definimos os conjuntos:
• Ω + R (f) = (x,y) ∈ R N+1 : x ∈ R,0 < y < f(x) , e
• Ω − R (f) = (x,y) ∈ R N+1 : x ∈ R,0 > y > f(x) .
A região de ordenadas de f no conjunto R é o conjunto
ΩR(f) = Ω +
R (f) ∪ Ω−
R (f) ⊆ RN+1 .
I
f,

36 Capítulo 1. Integrais de Riemann
R
a
Figura 1.4.1:
Ω +
f R 2
Ω −
b
f(x)dx = c2(Ω + ) − c2(Ω − ).
Neste caso mais geral, devemos ainda ter
1.4.2.
R
a
f(x)dx = cN+1(Ω +
−
R (f)) − cN+1(ΩR (f)).
O integral é agora a diferença dos conteúdos-(N+1) dos conjuntos Ω +
R (f)
e Ω −
R (f) e diz-se um integral-N. Por exemplo, um integral-2, ou duplo, é a
diferença dos volumes, ou conteúdos-3, dos conjuntos Ω +
R (f) e Ω−
R (f). De
acordo com 1.4.2, podemos concluir que:
1.4.3. As funções de N variáveis para as quais podemos calcular
o respectivo integral-N são determinadas pelos conjuntos em R N+1
cujo conteúdo-(N + 1) está definido.
Na secção anterior, definimos o conteúdo de conjuntos Jordan-mensuráveis.
Podemos agora definir o integral de funções para as quais os conjuntos
Ω + R (f) e Ω− R (f) são Jordan-mensuráveis, i.e., para as quais o conjunto ΩR(f)
é Jordan-mensurável( 18 ). São estas as funções Riemann-integráveis.
Definição 1.4.4 (Integral de Riemann). Seja R ⊆ S ⊆ R N e f : S → R.
a) f é riemann-integrável (em R) se e só se ΩR(f) é Jordan-mensurável.
b) Neste caso, o integral de riemann de f em R é dado por
f = cN+1(Ω
R
+ R (f)) − cN+1(Ω − R (f)).
18 Deve verificar no exercício 1 desta secção que ΩR(f) é Jordan-mensurável se e só se
Ω +
R (f) e Ω−
R (f) são Jordan-mensuráveis.
b

1.4. O Integral de Riemann 37
c) O conjunto das funções definidas em R e Riemann-integráveis em R é
designado por I(R).
Se f é Riemann-integrável em R então, em particular, o conjunto ΩR(f)
é necessariamente limitado, ou seja, f é limitada em R e o subconjunto de
R onde f é diferente de zero é também limitado.
Não é fácil indicar critérios de integrabilidade razoavelmente gerais mas,
recordando as observações feitas na secção anterior a propósito do exemplo
1.3.6, quando mencionámos a parábola y = x 2 , é simples mostrar que
Proposição 1.4.5. Se f é limitada e monótona no intervalo limitado I,
então f é Riemann-integrável em I.
Exemplos 1.4.6.
1. A função f(x) = e x é integrável em qualquer intervalo limitado porque f é
crescente em R.
2. A função de Dirichlet dir é a função característica ( 19 ) do conjunto
dos racionais, isto é,
1, quando x ∈ Q,
dir(x) =
0, quando x ∈ Q.
Deixamos como exercício verificar que esta função não é integrável em nenhum
intervalo I com c(I) > 0.
3. A função de Riemann( 20 ) r é definida como se segue:
⎧
⎨ 0, quando x ∈ Q,
r(x) = 1, quando x = 0,
⎩
, onde p e q são inteiros primos entre si e q > 0.
1
p
q , quando x = q
Deixamos também como exercício verificar que r é Riemann-integrável em
qualquer intervalo limitado e o respectivo integral é nulo, apesar de r ser descontínua
em todos os pontos racionais.
Sendo f : X → R uma função, definimos as suas partes positiva e
negativa, respectivamente f + e f − , por
• f + (x) = max {f(x),0} e f − (x) = max {−f(x),0}, donde
• f = f + − f − e |f| = f + + f − .
19 Se X é um conjunto arbitrário e A ⊆ X, a função característica de A é a função
χA : X → R, que é constante e igual a 1 para x ∈ A, sendo igual a 0 para x ∈ A.
20 Este exemplo foi descoberto em 1875 pelo matemático alemão Johannes Karl Thomae,
1840-1921, professor em Göttingen. Riemann foi no entanto o primeiro matemático a
mostrar que existem funções integráveis descontínuas em conjuntos densos, como é o caso
da função r.

38 Capítulo 1. Integrais de Riemann
As propriedades do integral de Riemann que se seguem reflectem propriedades
geométricas elementares do conteúdo.
Teorema 1.4.7. Supondo R ⊆ S ⊆ R N e f,g : S → R, então
a) f é Riemann-integrável em R se e só se f + e f − são Riemann-
integráveis em R e neste caso
f =
R
R
f +
− f
R
− ,
b) Desigualdade triangular: Se f é Riemann-integrável em R, então |f|
é Riemann-integrável em R e
| f| ≤ |f| =
R
R
R
f +
+ f
R
− ,
c) Monotonia: Se f e g são Riemann-integráveis em R e f ≤ g então
f ≤ g,
R
d) Homogeneidade: Se f é Riemann-integrável em R e c ∈ R, então cf
é Riemann-integrável em R e
(cf) = c f.
R
f |f|
f + f −
Figura 1.4.2: Regiões de ordenadas de f, f + , f − , e |f|.
R
R

1.4. O Integral de Riemann 39
Demonstração. Provamos apenas, a título de exemplo, a afirmação a). Para
isso, observe-se a figura 1.4.2. É evidente que:
• Os conjuntos Ω +
R (f) e Ω+
R (f+ ) são iguais, e
• O conjunto Ω +
R (f − ) é a reflexão de Ω −
R (f) no hiperplano xN+1 = 0.
Deve ser claro que f é Riemann-integrável se e só se f + e f − são Riemannintegráveis
e
R
f = cN+1(Ω +
−
R (f)) − cN+1(ΩR (f))
= cN+1(Ω + R (f+ )) − cN+1(Ω + R (f − )) =
R
f +
− f
R
− .
Registe-se desde já que a definição do integral de Riemann apresentada
em 1.4.4 é (essencialmente) equivalente à definição original de Riemann de
1854, mas é distinta desta. Actualmente, é aliás mais comum definir o
integral de Riemann usando uma terceira alternativa, com recurso às noções
de integral superior e integral inferior, e que passamos a descrever.
Para introduzir estas noções auxiliares, seja f : R → R uma função
limitada no rectângulo-N limitado R. Se r ⊆ R, escrevemos
mr = inf {f(x) : x ∈ r} e Mr = sup {f(x) : x ∈ r}.
Quando P é uma partição finita de R em rectângulos não-vazios, definimos
as somas superior e inferior de Darboux( 21 ) da função f para a partição
P, designadas respectivamente por Sd(f, P) e Sd(f, P), por
Sd(f, P) =
MrcN(r) e Sd (f, P) =
mrcN(r).
r∈P
Volterra( 22 ) introduziu as noções de integral superior e de integral
inferior em 1881. São definidas como se segue:
Definição 1.4.8 (Integral Superior, Integral Inferior). Seja f limitada em R
e designe-se por PR a classe de todas as partições finitas de R em rectângulos.
Os integrais superior
f e inferior f são dados por:
f = inf
R
Sd(f, P) : P ∈ PR e
R
R
r∈P
f = sup {Sd(f, P) : P ∈ PR}
R
21 Jean Gaston Darboux (1842 - 1917), matemático francês, professor na Escola Normal
e na Sorbonne, e um dos principais divulgadores das ideias de Riemann em França. Estas
somas aparecem referidas em trabalhos de vários autores, todos publicados em 1875.
22 Vito Volterra, 1860-1940, matemático italiano. Volterra criou a noção de “funcional”,
e ensinou nas Universidades de Pisa, Turim e Roma. Foi forçado a exilar-se (com 71
anos!), por se recusar a prestar juramento de fidelidade ao regime fascista de Mussolini.

40 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Estas noções reduzem-se facilmente aos conceitos que introduzimos na
secção anterior. Em particular, o cálculo de somas de Darboux reduz-se ao
cálculo do conteúdo de conjuntos elementares que aproximam a região de
ordenadas de f. Para precisar esta última observação é apenas necessário
interpretar as parcelas onde mr < 0 ou Mr < 0 como fazemos no próximo
lema.
Note que, sendo A ⊆ R N+1 , seguimos a convenção natural de designar
por A + (e A − ), respectivamente, as partes de A acima (e abaixo) do
hiperplano xN+1 = 0, ou seja, escrevendo x = (x1,x2, · · · ,xN+1), tomamos
A + = {x ∈ A : xN+1 > 0} e A − = {x ∈ A : xN+1 < 0}
K +
U +
U −
K −
Figura 1.4.3: Conjuntos K e U determinados por uma partição R.
Lema 1.4.9. Se f : R → R é limitada no rectângulo-N limitado R, R é
uma partição de R em rectângulos e Ω = ΩR(f), então existem conjuntos
elementares K ⊆ Ω ⊆ U tais que
S d(f, R) = cN+1(K + ) − cN+1(U − ) e Sd(f, R) = cN+1(U + ) − cN+1(K − ).
Demonstração. Consideramos as seguintes subpartições de R:
S + = {r ∈ R : Mr > 0}, S − = {r ∈ R : Mr < 0} e
I + = {r ∈ P : mr > 0}, I − = {r ∈ P : mr < 0}.
Os conjuntos elementares U + e K − são dados por (ver figura 1.4.3)
U + =
r∈S +
r×]0,Mr[ e K − =
r∈S −
r×]Mr,0[

1.4. O Integral de Riemann 41
Analogamente, os conjuntos elementares K + e U − são dados por
K + =
r∈I +
r×]0,mr[ e U − =
r∈I −
r×]mr,0[
É fácil constatar que K + ⊆ Ω + ⊆ U + , K − ⊆ Ω − ⊆ U − , e um cálculo
imediato mostra que
S d (f, R) = S d (f, I + ) + S d (f, I − ) = cN+1(K + ) − cN+1(U − ) e
Sd(f, R) = Sd(f, S + ) + Sd(f, S − ) = cN+1(U + ) − cN+1(K − ).
O lema anterior conduz directamente a:
Lema 1.4.10 (de Peano). Se f : R → R é limitada no rectângulo-N limitado
R e Ω = ΩR(f) então
f = cN+1(Ω
R
+ ) − cN+1 (Ω −
) e
f = cN+1 (Ω
R
+ ) − cN+1(Ω − ).
Demonstração. Se P é uma partição de R, segue-se do lema anterior e das
definições de cN e c N que
S d(f, P) = cN+1(K + ) − cN+1(U − ) ≤ cN(Ω + ) − c N(Ω − ) e
Sd(f, P) = cN+1(U + ) − cN+1(K − ) ≥ c N(Ω + ) − cN(Ω − ).
Podemos assim concluir que
(1)
f ≤ cN+1 (Ω
R
+ ) − cN+1(Ω − ) ≤ cN+1(Ω + ) − cN+1 (Ω −
) ≤
Suponha-se agora que K − ,K + e V,W são conjuntos elementares tais que
K + ⊆ Ω + ⊆ V e K − ⊆ Ω − ⊆ W. Podemos sempre tomar V = U + e
W = U − , onde U é elementar (porquê?), e recordamos do exercício 12 da
secção 1.1 que existe uma partição P tal que
K =
r × Ir e U =
r × Jr,
r∈R
onde os Ir e Jr são conjuntos elementares em R. Um momento de reflexão
revela que, para qualquer r ∈ P, temos necessariamente
r∈R
f.
R
Ir ⊆]mr,Mr[⊆ Jr, donde Mr − mr ≤ c(Jr) − c(Ir) e portanto
Sd(f, P) − Sd(f, P) =
(Mr − mr)cN(r) ≤
[c(Jr) − c(Ir)] cN(r) =
r∈P
r∈P

42 Capítulo 1. Integrais de Riemann
c(Jr)cN(r) −
c(Ir)cN(r) = cN+1(U) − cN+1(K).
r∈P
Segue-se facilmente que
r∈P
Sd(f, P)−S d(f, P) ≤ cN+1(U + ) − cN+1(K − ) − cN+1(K + ) − cN+1(U − ) ,
donde obtemos ainda
f −
R
e finalmente
(2) f −
R
f ≤
R
cN+1(U + ) − cN+1(K − ) − cN+1(K + ) − cN+1(U − ) ,
f ≤
R
cN+1(Ω + ) − cN+1 (Ω − ) − cN+1 (Ω + ) − cN+1(Ω − ) .
As desigualdades em (1) e (2) estabelecem a igualdade a provar.
O próximo resultado é um corolário directo deste lema. É o seu conteúdo
que é actualmente a mais tradicional definição do integral de Riemann.
Corolário 1.4.11. Se f : R → R é limitada no rectângulo-N limitado R
então f é Riemann-integrável em R se e só se
f = f, e neste caso f = f = f
R R
R R R
Demonstração. De acordo com 1.4.10, temos
Rf = f se e só se
R
cN+1(Ω + ) − c N+1(Ω − ) = c N+1(Ω + ) − cN+1(Ω − ) ⇐⇒
⇐⇒ cN+1(Ω + ) − c N+1(Ω + ) = c N+1(Ω − ) − cN+1(Ω − ) = 0
É portanto claro que
Rf =
Jordan-mensuráveis, e neste caso temos
f =
R
R f se e só se os conjuntos Ω+ e Ω − são
f = cN+1(Ω
R
+ ) − cN+1(Ω − ) =
É também possível verificar a integrabilidade de f sem calcular explicitamente
os seus integrais superior e inferior. Podemos em vez disso recorrer
à ideia subjacente a 1.3.4, que referimos a propósito do problema análogo de
caracterização dos conjuntos Jordan-mensuráveis. Deixamos como exercício
a demonstração da proposição seguinte.
Proposição 1.4.12. Se f : R → R é limitada no rectângulo-N limitado R
então f é Riemann-integrável em R se e só se existe para cada ε > 0 uma
partição P de R tal que Sd(f, P) − S d(f, P) < ε.
R
f.

1.4. O Integral de Riemann 43
Em abono da verdade histórica, sublinhe-se a terminar que as ideias
sobre integrais de funções de Riemann (1854), Darboux (1875) e Volterra
(1881), obviamente precederam os trabalhos sobre o conteúdo de conjuntos
de Cantor (1884), Peano (1887) e Jordan (1892). Quase certamente, os
trabalhos de Darboux e Volterra foram inspiração decisiva em especial para
Cantor e Peano. Em qualquer caso, as ideias abordadas nesta secção eram
seguramente familiares a Peano, que conhecia, por exemplo, o lema 1.4.10,
aqui identificado com o seu nome. Mostrámos que a definição 1.4.4 é equivalente
à afirmação no corolário 1.4.11, mas a sua equivalência à definição
original de Riemann, que aliás ainda não apresentámos, só será estabelecida
mais adiante.
Exercícios.
1. Prove que ΩR(f) é Jordan-mensurável se e só se os conjuntos Ω +
R (f) e Ω−
R (f)
são ambos Jordan-mensuráveis.
2. Mostre que se f = 0 apenas num subconjunto finito de R então f é Riemannintegrável
em R e
f = 0.
R
3. Suponha que o conjunto onde f = 0 é uma união de conjuntos Jordanmensuráveis
disjuntos A1, A2, · · · , Am em R N , e que f(x) = ak, quando x ∈
Ak. Mostre que
R N
f =
m
akcN(Ak).
k=1
4. Mostre que a função f(x) = sen( 1
x ) é integrável em ]0, 1].
5. Suponha que f está definida em R, R ⊇ S, g é a restrição de f a S e f(x) = 0
quando x ∈ S. Mostre que f é integrável em R se e só se g é integrável em S
e que, neste caso,
f = g.
R S
6. Prove que se f e g são funções Riemann-integráveis em R, então as funções
m e M definidas por m(x) = min {f(x), g(x)} e M(x) = max {f(x), g(x)} são
igualmente integráveis em R.
7. Suponha que f é Riemann-integrável no conjunto limitado R. Prove que
o gráfico de f em R, i.e., o conjunto G = {(x, y) : x ∈ R, y = f(x)}, tem
conteúdo nulo. Se o gráfico da função f tem conteúdo nulo, podemos concluir
que f é integrável?
8. Seja f Riemann-integrável em R N , a ∈ R N e b ∈ R. O que pode dizer sobre
a integrabilidade e o valor dos integrais das funções dadas por
g(x) = f(x − a), h(x) = bf(x) e u(x) = f(bx)?

44 Capítulo 1. Integrais de Riemann
9. Calcule os integrais superior e inferior da função de Dirichlet num qualquer
intervalo limitado I ⊂ R.
10. Demonstre a proposição 1.4.12. Como se pode adaptar 1.4.12 para contemplar
regiões de integração “arbitrárias”?
11. Demonstre as seguintes propriedades da função de Riemann (exemplo 1.4.6.3):
a) Se ε > 0, então o conjunto {x ∈ I : r(x) ≥ ε} é finito.
b) A função de Riemann r é integrável em qualquer intervalo limitado I.
sugestão: Dado ε > 0, e sendo Rε = I × [0, ε], mostre que Rε ∪ ΩI(r)
é um conjunto elementar.
c) A função r é contínua em x se e só se x é irracional.
12. Se a função f é Riemann-integrável em R, os respectivos conjuntos de nível,
i.e., os conjuntos {x ∈ R : f(x) = a} são sempre Jordan-mensuráveis? E os
conjuntos {x ∈ R : f(x) > a}?
13. Mostre que o produto de funções Riemann-integráveis é Riemann-integrável.
sugestão: Comece por supor que as funções em causa não tomam valores
negativos.
14. Verifique que a composição de funções Riemann-integráveis pode não ser
Riemann-integrável. sugestão: Determine uma função Riemann-integrável f
tal que dir = f ◦ r.
15. Sendo f Riemann-integrável em [0, R] e C = {(x, y) : x 2 +y 2 < R}, considere
a função g definida em C por g(x, y) = f( x 2 + y 2 ). Mostre que g é integrável
em C e ( 23 )
C
R
g(x, y)dxdy = 2π f(r)rdr.
1.4.1 O Espaço das Funções Integráveis
A aditividade do integral em relação à função integranda é a identidade
(f + g) = f + g,
R
R
que, como veremos, é válida desde que f e g sejam ambas Riemann-integráveis
em R. A aditividade do integral tem ainda um significado geométrico
claro, mas já não é tão simples de demonstrar a partir de propriedades do
conteúdo de Jordan. Provamo-la a seguir usando somas de Darboux para as
23 Este cálculo é um exemplo simples de “mudança de variáveis” para coordenadas po-
lares, dadas por x = r cos θ, y = r sen θ.
R
0

1.4. O Integral de Riemann 45
diversas funções integrandas. No que se segue, o integral definido (de
Riemann, em R) é o funcional φ : I(R) → R, dado por ( 24 )
φ(f) = f.
Teorema 1.4.13. Sendo R ⊆ RN e f,g : R → R funções Riemannintegráveis
em R, então f + g é Riemann-integrável em R e:
(f + g) = f + g.
R
Temos ainda que I(R) é um espaço vectorial e o integral definido φ : I(R) →
R é um funcional linear.
Demonstração. Supomos para simplificar que R é um rectângulo limitado.
Designando aqui por Mr(h) o supremo da função h no conjunto r, e por
mr(h) o ínfimo de h em r, deve ser claro que, para qualquer r ⊆ R, temos
mr(f) + mr(g) ≤ mr(f + g) ≤ Mr(f + g) ≤ Mr(f) + Mr(g).
Resulta destas desigualdades que se R é uma partição de R então
S d(f, R) + S d(g, R) ≤ S d(f + g, R) ≤ Sd(f + g, R) ≤ Sd(f, R) + Sd(g, R)
Concluímos que
Sd(f, R) + Sd(g, R) ≤
R
(f + g) ≤
R
R
R
(f + g) ≤ Sd(f, R) + Sd(g, R)
R
Como R é uma partição arbitrária de R obtemos igualmente
f + g ≤ (f + g) ≤ (f + g) ≤ f +
R R R
R
R
É portanto claro que se f e g são integráveis em R então f + g é também
integrável em R e
(f + g) = f + g.
R
R R
Combinando este resultado com a propriedade de homogeneidade estabelecida
em 1.4.7, resulta finalmente que I(R) é um espaço vectorial( 25 ) e φ
é um funcional linear.
24 A função φ diz-se um funcional, precisamente porque o seu domínio é uma classe de
funções. Um funcional é linear se é uma transformação linear de espaços vectoriais.
25 O conjunto de todas as funções f : X → R, por vezes designado R X , é sempre um
espaço vectorial real, com as operações usuais de soma de funções e de produto de funções
por números reais, qualquer que seja o conjunto X. Portanto, qualquer subconjunto não
vazio de R X que seja fechado em relação a estas operações é um seu subespaço vectorial.
g
R

46 Capítulo 1. Integrais de Riemann
f
g
Figura 1.4.4: f − g1 é o conteúdo da região entre os gráficos de f e g.
O funcional ν : I(R) → R dado por ν(f) = f1 =
R |f| tem também
um papel importante na Análise, porque é frequentemente utilizado como
medida da distância entre funções integráveis f e g, tomando essa distância
como sendo f − g1. Este funcional diz-se a norma L1 de f, por razões
que esclareceremos mais adiante( 26 ).
A propriedade de aditividade indicada em 1.4.13 a) pode ser generalizada
para quaisquer somas finitas por um argumento elementar de indução.
É no entanto fundamental reconhecer que não é facilmente generalizável a
séries de funções, porque em geral as operações de integração e de passagem
ao limite (implícita no cálculo da soma de uma série) não comutam, i.e.,
fn(x)dx é distinto de lim
n→+∞ fn(x)dx.
lim
n→+∞
Exemplos 1.4.14.
I
1. Considerem-se as funções fn dadas por:
n, se x ∈]0, 1/n[ e
fn(x) =
0, se x ∈]0, 1/n[.
Como fn(x) → 0 para qualquer x ∈ R e 1
0 fn(x)dx = 1 para qualquer n ∈ N,
temos que
1
lim fn(x)dx = 1 é obviamente distinto de
n→+∞
0
Para obter funções Riemann-integráveis g e gn tais que
∞
1
∞
1
g(x) = gn(x) e g(x)dx = gn(x)dx,
n=1
podemos por exemplo tomar
0
I
n=1
1
gn(x) = fn(x) − fn−1(x) com f0 = 0, e g(x) =
0
0
lim
n→+∞ fn(x)dx = 0.
∞
gn(x).
26 Este funcional é na realidade uma semi-norma no espaço I(R). Veja a este respeito
o exercício 6.
n=1

1.4. O Integral de Riemann 47
Note-se que a dificuldade ilustrada neste exemplo nada tem a ver com eventuais
deficiências técnicas da definição de Riemann, porque os cálculos em causa são
inteiramente elementares.
2. A passagem ao limite sob o sinal de integral pode também ser impossível
porque o limite f não é Riemann-integrável. Para ilustrar esta possibilidade,
seja I = [0, 1] e D = {q1, · · · , qn, · · · } = Q∩I o conjunto de Dirichlet. Tomamos
Qn = {qk : k ≤ n} e definimos fn : [0, 1] → R por
Deve ser quase óbvio que
fn(x) =
1, se x ∈ Qn e
0, se x ∈ Qn.
• fn é Riemann-integrável em qualquer intervalo e tem integral nulo, porque
é diferente de zero apenas num conjunto finito, mas
• fn(x) → f(x) = dir(x) para qualquer x ∈ R, e esta função não é Riemann-integrável
em nenhum intervalo com mais de um ponto.
A dificuldade exibida neste exemplo está directamente ligada com insuficiências
da definição de Riemann, e veremos adiante como é minimizada pela introdução
da definição de Lebesgue. O exemplo pode ser igualmente adaptado para
ilustrar dificuldades do mesmo tipo com a integração de séries, ou seja, para
determinar funções Riemann-integráveis gn tais que
∞ ∞
1
1
g(x) = gn(x), gn(x)dx converge e g(x)dx não existe,
n=1
n=1
porque g não é Riemann-integrável.
Exercícios.
0
1. Sendo R = [0, 1], determine funções fn, gn ∈ I(R), tais que:
a) g(x) =
b) lim
n→∞
c) lim
n→∞
∞
gn(x) ∈ I(R), mas
n=1
∞
1
gn(x)dx converge.
n=1
0
fn = 0, mas lim
R
n→∞ fn(x) não existe, para nenhum x ∈ R.
fn não existe, mas lim
R
n→∞ fn(x) existe, para qualquer x ∈ R.
2. Mostre que a função de Dirichlet dir é dada por:
dir(x) = lim
m→∞ lim
n→∞ (cosm!πx)2n .
3. Suponha que a série de potências ∞
n=1 anx n converge para |x| < r, e mostre
que esta série pode ser integrada termo-a-termo em qualquer intervalo [a, b] ⊂
] − r, r[. sugestão: Prove que a série converge uniformemente em [a, b].
0

48 Capítulo 1. Integrais de Riemann
4. A função f(x) = ∞ n=0
o conjunto de pontos onde f é contínua?
(−1) n
2 n int(nx) é Riemann-integrável em [0, 1]? Qual é
5. Sendo H a função de Heaviside (a função característica do intervalo [0, ∞[),
e Q ∩ [0, 1] = {qn : n ∈ N}, considere-se:
f(x) =
∞ (−1) n
H(x − qn).
2n n=1
A função f é Riemann-integrável em [0, 1]? Qual é o seu conjunto de pontos
de descontinuidade?
Recorde que se V é um espaço vectorial real, ou complexo, então uma função
ν : V → R diz-se uma norma se e só se ν tem as seguintes propriedades:
a) Desigualdade triangular: ν(u+v) ≤ ν(u)+ν(v), para quaisquer vectores
u,v ∈ V,
b) Homogeneidade: ν(αu) = |α|ν(u), para qualquer vector u e escalar α,
c) Positividade: ν(u) ≥ 0, e ν(u) = 0 se e só se u = 0.
Sendo ν uma norma no espaço vectorial V, que se diz neste caso um espaço
vectorial normado, a distância entre vectores u e v em V é definida por
d(u,v) = ν(u − v). Se o funcional ν goza das propriedades acima indicadas,
com a única excepção que podem existir vectores não-nulos u para os quais
ν(u) = 0, então ν diz-se uma semi-norma.
6. Mostre que o funcional ν(f) = f1 é uma semi-norma em I(R).
1.4.2 Integrais Indefinidos
É usual dizer que a função real de variável real f é um “integral indefinido”
quando f é da forma
x
f(x) = g(t)dt,
a
onde g é uma função Riemann-integrável num dado intervalo I, a variável
x ∈ I e a ∈ I está fixo. Respeitamos aqui a usual convenção de tomar
x a
g(t)dt = − g(t)dt quando x < a.
a
x
A mesma terminologia aplica-se a funções de várias variáveis, usando agora
integrais em rectângulos, e.g., quando
x y
F(x,y) = G(s,t)dsdt.
a
Introduzimos aqui uma ideia ligeiramente mais geral, que corresponde a considerar
o integral indefinido como uma função de conjuntos, cuja variável
b

1.4. O Integral de Riemann 49
independente é uma região de integração “arbitrária”, que em particular não
é necessariamente um intervalo ou um rectângulo. Mais especificamente, e
dada uma qualquer função f : R → R, consideramos a classe dos subconjuntos
de R onde f é Riemann-integrável, que designamos por Jf(R), notamos
que Jf(R) nunca é uma classe vazia (porquê?), e introduzimos
Definição 1.4.15 (Integral Indefinido). O integral indefinido (de Riemann)
de f em R é a função de conjuntos λ : Jf(R) → R dada por:
λ(E) = f.
Se a função f é Riemann-integrável em R, é fácil verificar que f é igualmente
integrável pelo menos em qualquer subconjunto Jordan-mensurável
de R, i.e., temos neste caso que J (R) ⊆ Jf(R).
Teorema 1.4.16. Seja f : R → R uma função Riemann-integrável em
R ⊆ RN . Se E ⊆ R é Jordan-mensurável, então f é Riemann-integrável
em E, e
f = fχE.
E
ΩR(f)
E
E × J
Figura 1.4.5: ΩE(f) = ΩR(f) ∩ (E × J) = ΩR(fχE).
R
E
J
ΩE(f)
Demonstração. A função f é limitada em R, i.e., existe m ∈ R tal que
−m < f(x) < m. Se J = [−m,m], então E×J é Jordan-mensurável, porque
é um produto de conjuntos Jordan-mensuráveis (veja-se 1.3.12). Deve ser
evidente que
ΩE(f) = ΩR(f) ∩ (E × J) = ΩR(fχE).
O conjunto ΩR(f) ∩ (E × J) é portanto Jordan-mensurável, porque é a
intersecção de conjuntos Jordan-mensuráveis (1.3.11). Por outras palavras,
f é Riemann-integrável em E e é óbvio que
f = fχE.
E
R

50 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Podemos generalizar a qualquer integral indefinido os resultados indicados
para o conteúdo de Jordan em 1.3.11.
Teorema 1.4.17. Jf(R) é uma semi-álgebra e λ é aditivo em Jf(R).
Temos ainda que:
a) Se f ≥ 0 em R então λ é não-negativo, monótono e subaditivo,
b) Se f é integrável em R então Jf(R) ⊇ J (R) é uma álgebra.
Demonstração. Tal como fizémos em 1.3.11, verificamos apenas a título de
exemplo que a classe Jf(R) é fechada em relação à união e provamos a
aditividade de λ. Simplificamos a notação, escrevendo abreviadamente, e.g.,
ΩA em vez de ΩA(f). Sendo C = A ∪ B, onde A,B ∈ Jf(R), temos então
que (ver Figura 1.4.6):
• f é Riemann-integrável em A e em B, i.e., os conjuntos ΩA e ΩB são
Jordan-mensuráveis.
• O conjunto ΩC = ΩA ∪ ΩB é igualmente Jordan-mensurável.
• Portanto, f é Riemann-integrável em C, i.e., C ∈ Jf(R).
Se A e B são disjuntos, então Ω +
A e Ω+
B são igualmente disjuntos, assim
. Como o conteúdo de Jordan é aditivo, temos
como Ω −
A
e Ω−
B
cN+1(Ω +
+
C ) = cN+1(Ω
A
cN+1(Ω −
C
−
) = cN+1(ΩA ∪ Ω+
B
∪ Ω−
B
), e
+ +
) = cN+1(Ω
A ) + cN+1(Ω
B
−
−
) = cN+1(ΩA ) + cN+1(ΩB ).
Subtraindo estas identidades, concluímos que λ(C) = λ(A) + λ(B).
A B A ∪ B
Figura 1.4.6: Regiões de ordenadas em A, B e A ∪ B.
A região de ordenadas de uma função característica χE é o produto
cartesiano E×]0,1[. Se E ⊆ R ⊆ RN é Jordan-mensurável, temos portanto:
χE = cN+1(E×]0,1[) = cN(E) × 1 = cN(E).
R
Não é difícil mostrar que se χE é integrável em R N então E é Jordanmensurável,
pelo que temos na verdade:

1.4. O Integral de Riemann 51
Teorema 1.4.18. O conteúdo-N é o integral indefinido da função f identicamente
igual a 1 no conjunto R N .
O teorema acima é de uma simplicidade quase trivial, mas encerra uma
ideia que complementa de forma muito interessante o que dissémos em 1.4.3.
De um ponto de vista intuitivo, e como a identidade cN+1(ΩR ) = cN(E)×1 =
cN(E) deve ser sempre válida, é também natural esperar que a seguinte
identidade seja sempre válida:
cN(E) = χE.
Por outras palavras, determinar o conteúdo-N do conjunto E deve ser equivalente
a determinar o integral-N da respectiva função característica χE e,
portanto, também é verdade que
1.4.19. Os conjuntos em R N para os quais podemos calcular o respectivo
conteúdo-N são determinados pelas funções (de N variáveis)
cujo integral-N está definido.
Exemplos 1.4.20.
1. A teoria desenvolvida até aqui não atribui um integral à função de Dirichlet,
por exemplo, quando a região de integração é o intervalo [0, 1]. De forma
equivalente, não atribui um comprimento ao conjunto Q ∩[0, 1], formado pelos
racionais do mesmo intervalo.
2. Recorde-se do exemplo 1.3.7 que se
A =
∞
[ 1
2n ,
1
2n − 1 ], então A ∈ J (RN ) e c(A) =
n=1
R
∞
n=1
1
2n(2n − 1) .
Portanto, se f é a função característica do conjunto A, temos igualmente
∞ 1
f =
2n(2n − 1) .
Exercícios.
R
n=1
1. Complete a demonstração da proposição 1.4.17.
2. Suponha que f é Riemann-integrável no conjunto R e que g é limitada em
R. Mostre que, se o conjunto {x ∈ R : f(x) = g(x)} tem conteúdo nulo, então
g é integrável em R e
f = R g.
R
3. Demonstração a proposição 1.4.18. sugestão: Mostre que S(χE, P) ≤
c N (E) ≤ cN(E) ≤ S(χE, P).

52 Capítulo 1. Integrais de Riemann
1.4.3 Continuidade e Integrabilidade
Desde cedo se suspeitou que a integrabilidade no sentido de Riemann de uma
função limitada depende fortemente da “extensão” do conjunto de pontos
onde a função é descontínua. Por outras palavras, se f : R → R é limitada
num rectângulo compacto R e descontínua apenas em S ⊂ R, onde S é
“pequeno”, esperava-se que f fosse integrável em R. O exemplo de Riemann
1.4.6.3 mostra no entanto que não é fácil tornar rigorosa esta ideia. Afinal de
contas, a função de Riemann é descontínua no conjunto dos racionais, que
não é Jordan-mensurável. Por outro lado, o conjunto dos racionais é denso
em R e era também opinião corrente entre muitos matemáticos que qualquer
teoria razoável sobre a “extensão” de conjuntos devia considerar os conjuntos
densos como “grandes”. Não é por isso surpreendente que o esclarecimento
da relação entre continuidade e integrabilidade tenha sido uma fonte de trabalhos
inovadores, que revelaram muitas das pistas conduzindo à moderna
teoria da medida.
Supomos aqui conhecida a seguinte famosa caracterização dos conjuntos
compactos em R N :
Teorema 1.4.21 (Heine-Borel). ( 27 )O conjunto K ⊆ R N é compacto se e
só se é limitado e fechado. Em particular, os rectângulos compactos são os
rectângulos limitados e fechados.
É conveniente introduzir a noção de oscilação de uma função f : R → R.
Se s ⊆ R ⊆ R N é não-vazio, designamos por Ms e ms, como usualmente,
respectivamente o supremo e ínfimo de f em s, e definimos a função (de
conjuntos) Oscf por:
1.4.22. Oscf(s) = Ms − ms.
Dado x ∈ R N e r > 0, designamos por B(x,r) ou Br(x) a Bola Aberta
de raio r e centro em x, ou seja,
B(x,r) = Br(x) = {y ∈ R N : x − y < r}.
Se x ∈ R, a função φ(x,r) = Oscf(Br(x) ∩ R) ≥ 0 está definida para r > 0
e é crescente em r. Em particular, com x fixo existe sempre o limite de
φ(x,r) quando r → 0:
27
Heinrich Eduard Heine, matemático alemão, 1821-1881, referiu pela primeira vez a
ideia subjacente a este teorema, ao provar que uma função contínua num intervalo limitado
e fechado é uniformemente contínua. Félix Edouard Justine Émile Borel, matemático
e político francês, 1871-1956, deixou uma obra muita extensa, e foi um dos principais
criadores da Teoria da Medida. Borel introduziu este teorema na sua tese, publicada como
Sur quelques points de la théorie des fonctions, em Annales Scientifiques de l’E.N.S., 3 e
série, tome 12 (1895), pp. 9-55. O teorema de Heine-Borel, na sua forma actual, em R N ,
foi apresentado por Vitali em 1905, num dos principais artigos sobre a moderna teoria da
integração.

1.4. O Integral de Riemann 53
Definição 1.4.23 (Oscilação de uma função limitada). Se f : R → R é uma
função limitada, a sua oscilação é a função ωf : R → R dada por:
ωf(x) = lim
r→0 φ(x,r) = lim
r→0 Oscf(Br(x) ∩ R).
Note-se para posterior referência que definimos igualmente:
lim supf(y)
= lim sup {f(z) : z ∈ Br(x) ∩ R}, e
y→x r→0
lim inf
y→x
Exemplos 1.4.24.
1. Se f(x) = x, então Oscf(Br(x)) = 2r, e
f(y) = lim
r→0 inf {f(z) : z ∈ Br(x) ∩ R}.
ωf(x) = lim
r→0 Oscf(Br(x)) = 0.
2. Se f é a função de Dirichlet e I é um conjunto aberto não-vazio, temos
sup {f(x) : x ∈ I} = 1 e inf {f(x) : x ∈ I} = 0. Concluímos que Oscf(I) = 1 e
ωf(x) = 1, para qualquer x ∈ R.
3. Se f é uma função limitada, então:
ωf(x) = limsup f(y) − liminf
y→x y→x f(y).
A demonstração das seguintes propriedades fica como exercício.
Lema 1.4.25. Se R ⊆ R N e f : R → R é limitada em R então:
a) Para qualquer x ∈ R, f é contínua em x se e só se ωf(x) = 0, e nesse
caso lim supf(y)
= lim inf f(y) = f(x).
y→x y→x
b) Se U é aberto e x ∈ U ∩ R, então ωf(x) ≤ Oscf(U ∩ R),
c) Para qualquer x ∈ R, se ωf(x) < ε então existe um aberto U tal que
x ∈ U e ωf(y) < ε para qualquer y ∈ U ∩ R, e
d) O conjunto {x ∈ R : ωf(x) ≥ ε} é fechado.
Demonstração. Deixamos a demonstração de a) e b) para o exercício 3.
• Para provar c), notamos que existe ρ > 0 tal que Oscf(Bρ(x)∩R) < ε,
e tomamos U = Bρ(x).
• Para provar d), seja Uε = {x ∈ R : ωf(x) < ε}. Temos de c) que,
se ωf(x) < ε, então existe ρx > 0 tal que Oscf(B(x,ρx) ∩ R) < ε.
Notamos que
V =
B(x,ρx) é aberto e {x ∈ R : ωf(x) < ε} = V ∩ R.
x∈Uε
F = V c é fechado e {x ∈ R : ωf(x) ≥ ε} = F ∩ R é também fechado.

54 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Convencionamos que se R é uma partição de R e T ⊆ R então RT =
{r ∈ R : r ∩T = ∅}, e notamos que T ⊆ K =
r. O seguinte resultado
r∈RT
auxiliar será muito útil no que se segue.
Lema 1.4.26. Se ωf < ε em T ⊆ R e T é compacto, então existe δ > 0 tal
que, para qualquer partição R de R em subrectângulos,
diam(R) < δ =⇒ Sd(f, RT) − Sd(f, RT) ≤ εcN(K), onde K =
r.
Demonstração. De acordo com a definição 1.4.23,
∀x∈T ∃ρx>0 0 < ρ < ρx ⇒ Oscf(Bρ(x) ∩ R) < ε.
r∈RT
A família de bolas abertas B(x, ρx
2 ) é uma cobertura de T. Como T é
compacto, existe uma subfamília finita de bolas centradas em x1,x2, · · · ,xn,
que é, ainda, uma cobertura de T. Tomamos δ = 1
2 min {ρx1 ,ρx2 , · · · ,ρxn}
e supomos que R é uma partição de T com diam(R) < δ.
Fixado r ∈ RT, existe x ∈ r ∩ T, e portanto existe xi tal que x ∈
). Para qualquer y ∈ r (mesmo que y ∈ T), temos então
B(xi, ρx i
2
y − xi ≤ y − x + x − xi < δ + ρxi
2
Concluímos que Oscf(r) < ε, ou Mr − mr < ε, e portanto
r∈RT
< ρxi , i.e., r ⊆ B(xi,ρxi ).
Sd(f, RT) − Sd(f, RT) =
(Mr − mr)cN(r) ≤ ε
cN(r) = εcN(K).
r∈RT
Se f : R → R é uma função limitada num rectângulo-N compacto e D é
o seu conjunto de pontos de descontinuidade, então segue-se de 1.4.25 que
D =
∞
Dn, onde Dn =
n=1
x ∈ R : ωf(x) ≥ 1
.
n
A condição de integrabilidade indicada abaixo está enunciada em termos
dos conjuntos Dn. Mostra que o conjunto de pontos de descontinuidade de
uma função Riemann-integrável não é necessariamente Jordan-mensurável,
mas é sempre uma união numerável de conjuntos de conteúdo nulo.
Teorema 1.4.27 (Integrabilidade e Continuidade). Se f : R → R é limitada
no rectângulo-N compacto R, as seguintes afirmações são equivalentes:
a) f é Riemann-integrável em R, e

1.4. O Integral de Riemann 55
b) Os conjuntos Dn são Jordan-mensuráveis e têm conteúdo nulo.
Demonstração. a) =⇒ b): Como f é integrável, para quaisquer n ∈ N e
ε > 0 existe uma partição P de R em rectângulos tal que
(1) Sd(f, P) − S d (f, P) < ε
n .
Dado qualquer rectângulo r ∈ P, segue-se de 1.4.25 b) que
x ∈ int(r) =⇒ ωf(x) ≤ Oscf(int(r)) ≤ Oscf(r) = Mr − mr.
Definimos agora A = {r ∈ P : Mr − mr < 1
n }, B = {r ∈ P : Mr − mr ≥ 1
n },
A =
int(r),B =
r e ˜ B = R\A.
r∈A
Observamos que ωf(x) < 1
n para qualquer x ∈ A, e portanto Dn ⊆ ˜ B. Por
outro lado, é claro que ˜ B\B ⊆ ∂A e cN(∂A) = 0, donde
r∈B
(2) cN(Dn) ≤ cN( ˜ B) = cN(B).
Para estimar cN(B), notamos primeiro que
(3) Sd(f, B) − Sd(f, B) =
(Mr − mr)cN(r) ≥ 1
n cN(r) = 1
n cN(B).
r∈B
Temos por outro lado de (1) que
r∈B
(4) Sd(f, B) − S d(f, B) ≤ Sd(f, P) − S d(f, P) < ε
n .
Segue-se de (3) e (4) que cN(B) < ε, e de (2) que cN(Dn) < ε. Como ε é
arbitrário, concluímos que cN(Dn) = 0.
Para provar a implicação b) =⇒ a), supomos que todos os conjuntos Dn
têm conteúdo nulo. Observamos que:
• Fixado n e dado ε > 0, existe um conjunto elementar aberto U tal que
Dn ⊆ U e cN(U) < ε.
• T = R\U é compacto (e elementar) e ωf(x) < 1
n
para x ∈ T.
• Pelo lema 1.4.26, existe δ > 0 tal que se R é uma partição de R em
rectângulos com diam(R) < δ então
Sd(f, RT) − S d(f, RT) ≤ 1
n cN(K), onde K =
r∈RT
r ⊇ T.
• Como f é limitada, existe M tal que |f(x)| ≤ M para x ∈ R.

56 Capítulo 1. Integrais de Riemann
• Sendo ˜ R = R\RT e Ũ = R\K, é claro que Ũ ⊆ U, donde cN( Ũ) ≤
cN(U) < ε, e ˜ R é uma partição de Ũ. Temos portanto
Sd(f, R) − Sd(f, R) =Sd(f, RT) − Sd(f, RT) + Sd(f, ˜ R) − Sd(f, ˜ R)
≤ 1
n cN(K)
1
+ 2McN( Ũ) ≤
n cN(R) + 2Mε.
Como ε e n são arbitrários, concluímos que f é Riemann-integrável.
É fácil adaptar a demonstração do resultado anterior para obter um
resultado intimamente relacionado com a definição original do integral de
Riemann. Deixamos a sua verificação para o exercício 11.
Corolário 1.4.28. Se f : R → R é limitada no rectângulo-N compacto R,
então f é Riemann-integrável em R se e só se
Sd(f, P) − S d(f, P) → 0 quando diam(P) → 0
Vimos que se f é Riemann-integrável em R então os conjuntos Dn são
Jordan-mensuráveis e têm conteúdo nulo. Se ε > 0, existem conjuntos elementares
En ⊇ Dn tais que cN(En) < ε
2n. Podemos supor sem perda de
generalidade que os conjuntos En são abertos e temos:
D ⊆
∞
n=1
En e
∞
cN(En) <
n=1
∞
n=1
ε
= ε.
2n Foi a propósito de conjuntos com esta propriedade que Borel introduziu( 28 )
a noção de conjunto de medida nula, ou conjunto nulo:
Definição 1.4.29 (Conjunto Nulo). E ⊆ R N é um conjunto nulo se e
só se para qualquer ε > 0 existem rectângulos abertos Rn tais que:
Exemplos 1.4.30.
E ⊆
∞
n=1
Rn e
∞
cN(Rn) < ε.
n=1
1. Se f é Riemann-integrável em R, então o conjunto D dos pontos de descontinuidade
de f é evidentemente um conjunto nulo.
2. Qualquer conjunto numerável E é nulo, e em particular Q é nulo. Sendo
x1, x2, · · · , xn, · · · os elementos de E, e dado ε > 0, tomamos 0 < ε ′ < ε e,
supondo para simplificar que E ⊂ R,
Un =]xn − ε′
2n+1 , xn + ε′
2
n+1[, donde E ⊆
∞
Un, e
n=1
∞
c(Un) = ε ′ < ε.
28 Em 1895, no artigo que já referimos a propósito do teorema de Heine-Borel.
n=1

1.4. O Integral de Riemann 57
3. Deve notar-se (exercício 8) que a definição 1.4.29 não se altera, se nela referirmos
rectângulos quaisquer, em lugar de rectângulos abertos. Por esta razão, é
inteiramente óbvio que qualquer conjunto numerável é de medida nula, já que
cada um dos rectângulos Rn se pode reduzir a um ponto.
É claro que qualquer conjunto Jordan-mensurável de conteúdo nulo é
nulo no sentido de Borel, mas o exemplo do conjunto dos racionais mostra
que existem conjuntos nulos no sentido de Borel que não são Jordan-mensuráveis.
A este respeito, registamos que
Proposição 1.4.31. Se K ⊂ R N é compacto, então K é nulo no sentido
de Borel se e só se K é Jordan-mensurável e cN(K) = 0.
Demonstração. Suponha-se que K é compacto e nulo no sentido de Borel e
seja ε > 0. Existem rectângulos abertos Rn tais que
∞ ∞
K ⊆ Rn e cN(Rn) < ε.
n=1
Como K é compacto e os Rn’s são abertos, existe um natural m tal que
m m
∞
K ⊆ Rn e cN(Rn) ≤ cN(Rn) < ε.
n=1
n=1
n=1
É evidente que ∪ m n=1 Rn é elementar e segue-se imediatamente que K é
Jordan-mensurável e tem conteúdo nulo.
Lebesgue introduziu a sugestiva convenção de usar a expressão “quase em
toda a parte”, abreviada “qtp”, como sinónimo de “excepto num conjunto
nulo”( 29 ). Nesta terminologia, o teorema 1.4.27 enuncia-se de forma sucinta:
Teorema 1.4.32 (Integrabilidade e Continuidade). Se f : R → R é limitada
no rectângulo-N compacto R, então
n=1
f é Riemann-integrável em R ⇐⇒ f é contínua qtp em R.
Demonstração. Resta-nos provar que se o conjunto D dos pontos de descontinuidade
é nulo, então f é Riemann-integrável. Recorde-se que
∞
D = Dn, onde Dn = x ∈ R : ωf(x) ≥ 1
.
n
n=1
Os conjuntos Dn são nulos no sentido de Borel, porque D é nulo, e são
compactos, pelo lema 1.4.25. Concluímos de 1.4.31 que os conjuntos Dn
têm conteúdo nulo, e de 1.4.27 que f é Riemann-integrável.
29 No francês original, diz-se “presque partout”, abreviado “pp”, e em inglês usa-se a
expressão “almost everywhere”, que se abrevia para “ae”.

58 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Terminamos esta secção com uma breve referência à definição de integral
introduzida por Riemann em 1854, que recorre ao que chamamos “somas de
Riemann”. Dada uma partição P do rectângulo R, para calcular uma soma
de Riemann é necessário seleccionar em cada rectângulo r um ponto xr ∈ r,
ou seja, fixar uma função “de escolha” φ : P → R tal que xr = φ(r) ∈ r
para qualquer r ∈ P. A soma de riemann depende de P e de φ e é dada
por
SR(f, P,φ) =
f(φ(r))cN(r) =
f(xr)cN(r).
r∈P
r∈P
A definição original de Riemann de 1854 é a seguinte( 30 ):
Definição 1.4.33 (Integral de Riemann). Supondo que R é um rectângulo
limitado e f : R → R, então f é integrável (em R) se e só se existe α ∈ R
tal que SR(f, P,φ) → α quando diam(P) → 0( 31 ). Neste caso,
f = α.
R
A definição de Riemann é na realidade uma generalização de uma prévia
definição, formulada por Cauchy( 32 ) em 1821, apenas para funções contínuas
f : [a,b] → R. Cauchy demonstrou que, dada uma partição P de [a,b]
determinada por pontos a = x0 < x1 < · · · < xn = b, se xk−1 ≤ x ∗ k
então existe α ∈ R tal que
n
k=1
f(x ∗ k )(xk − xk−1) → α, quando diam(P) → 0.
≤ xk
O valor de α define assim o integral de f. Na terminologia de Riemann,
podemos dizer que Cauchy demonstrou que as funções contínuas em intervalos
limitados e fechados são Riemann-integráveis. Em certo sentido, também
é verdade que Riemann se limitou a considerar a classe de todas as funções
às quais a definição de Cauchy poderia ser aplicável, uma generalização que
hoje nos pode parecer pouco significativa. Mas, ao fazê-lo, levou a discussão
sobre as noções básicas da Análise, incluindo a própria ideia de “função”,
a níveis superiores de abstracção e rigor. Pelo menos por esta razão, foi
certamente um importante factor de progresso e renovação na Matemática
da segunda metade do século XIX.
30 Neste como em muitos outros casos que temos referido, os trabalhos originais contemplam
apenas funções reais definidas em intervalos. Os integrais múltiplos só foram
estudados com rigor bastante mais tarde, em particular por Jordan.
31 Ou seja, para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que para qualquer partição P e qualquer
função de escolha φ : P → R, temos |SR(f, P, φ) − α| < ε quando diam(P) < δ.
32 Augustin Louis Cauchy, 1789-1857, francês, foi um dos grandes matemáticos de sempre,
como o atesta o facto do seu nome aparecer ligado a ideias fundamentais, em tantos
domínios distintos. O matemático Abel, que Cauchy tratou de forma particularmente
injusta, disse dele que “é louco, mas é o único que sabe como se deve fazer a Matemática”.

1.4. O Integral de Riemann 59
A equivalência entre as definições 1.4.33 e 1.4.4 resulta facilmente do
corolário 1.4.28, mas deixamos o esclarecimento desta observação para o
exercício 11.
Exercícios.
1. Calcule a oscilação da função de Riemann.
2. Considere a função f, dada por:
1 sen(
f(x) = sen( 1
1
x )), quando x = 0, e sen( x ) = 0,
.
0, em todos os outros casos
Calcule a oscilação ωf. A função f é integrável em [0, 1]?
3. Demonstre as alíneas a) e b) do lema 1.4.25.
4. Mostre que o teorema 1.3.13 é um caso particular do teorema 1.4.27.
5. Prove que se J ∈ J (R N ) é fechado, então as funções contínuas em J são
integráveis em J.
6. Prove que se f é limitada no rectângulo compacto R, então
f − f = ωf.
R R R
7. Prove que se os conjuntos An ⊂ R N são nulos no sentido de Borel, então
A = ∪ ∞ n=1 An é igualmente nulo no mesmo sentido.
8. Mostre que a definição 1.4.29 não se altera se considerarmos rectângulos
quaisquer, em lugar de rectângulos abertos.
9. Mostre que se E ∈ J (R N ), então E é nulo no sentido de Borel se e só se
cN(E) = 0.
10. Seja D o conjunto onde f : R → R é descontínua. Prove que
a) Se U ⊆ R é aberto, então f −1 (U) = (R ∩ V ) ∪ N, onde V é aberto e
N ⊆ D.
b) Se f ≥ 0 e
R f = 0, então f(x) = 0 qtp em R. sugestão: Mostre que
{x ∈ R : f(x) > 0} ⊆ D.
c) Se f(x) = 0 qtp em R e f é integrável em R então
R f = 0. A hipótese
“f é integrável em R” é mesmo necessária?
11. Prove o corolário 1.4.28, e conclua que as definições de integral em 1.4.33 e
1.4.4 são equivalentes.

60 Capítulo 1. Integrais de Riemann
1.5 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
As operações de integração e de diferenciação são inversas uma da outra.
Esta ideia central da Análise, vislumbrada já por alguns dos precursores de
Newton e Leibnitz, é tradicionalmente descrita em dois resultados, ditos os
Teoremas Fundamentais do Cálculo. De forma por enquanto pouco precisa,
estes teoremas reduzem-se aos seguintes enunciados, que descrevem respectivamente
a diferenciação de um integral e a integração de uma derivada.
1.5.1 (1 o Teorema Fundamental do Cálculo).
d
dx
x
f(t)dt = f(x)
a
1.5.2 (2 o Teorema Fundamental do Cálculo, ou Regra de Barrow( 33 )).
x
F ′ (t)dt = F(x) − F(a)
a
Diferenciação
Integrais indefinidos Funções integráveis
Integração
Figura 1.5.1: Os Teoremas Fundamentais do Cálculo.
Nenhum destes resultados é particularmente surpreendente de um ponto
de vista intuitivo. Supondo
x
F(x) = f(t)dt e h > 0,
então devemos ter
x+h
F(x + h) − F(x) = f(t)dt ≃ f(x)h,
a
33 De Isaac Barrow, 1630-1677, o primeiro professor da Universidade de Cambridge
nomeado para a Cátedra Lucasiana. Barrow tomou a extraordinária iniciativa de se demitir,
para dar o lugar ao seu aluno Newton, em quem justamente reconhecia qualidades
excepcionais.
x

1.5. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo 61
= f(x). Analogamente, se F ′ (t) = f(t)
e a = x0 < x1 < · · · < xn = x é uma partição do intervalo [a,x], então
donde F ′ (x) = limh→0 F(x+h)−F(x)
h
F(x) − F(a) =
n
[F(xk) − F(xk−1)] ≃
k=0
n
x
f(xk−1)∆xk ≃ f(t)dt.
Não é difícil demonstrar resultados deste tipo usando a teoria de Riemann,
desde que se coloquem suficientes hipóteses sobre a regularidade das funções
f e F. Começamos por provar:
Lema 1.5.3. Se f é Riemann-integrável em I, a ∈ I e F é dada em I por
x
F(x) = f(t)dt + F(a), temos então que:
a) F é uniformemente contínua em I, e
a
k=0
b) Se f é contínua em c ∈ I então F ′ (c) = f(c).
Demonstração. A função F está bem definida, porque f é integrável em
qualquer subintervalo de I, e temos para quaisquer x,y ∈ I que
y
(1) F(y) − F(x) = f(t)dt.
a) f é limitada em I, ou seja, existe M tal que |f(x)| ≤ M para x ∈ I.
Supondo sem perda de generalidade que y > x, temos
y
|F(y) − F(x)| =
f(t)dt
≤
y
|f(t)|dt ≤ M|y − x|.
x
Concluímos que F é (uniformemente) contínua em I.
b) Sendo ρ > 0, designamos por Mρ e mρ respectivamente o supremo e o
ínfimo de f em Bρ(c) ∩ I. Se x ∈ Bρ(x) ∩ I é imediato verificar que
mρ ≤
F(x) − F(c)
x − c
x
= 1
x − c
x
x
f(t)dt ≤ Mρ
Se f é contínua em c temos de 1.4.25 que Mρ → f(c) e mρ → f(c) quando
ρ → 0, e é portanto óbvio que
F(x) − F(c)
lim = f(c), ou seja, F
x→c x − c
′ (c) = f(c).
Combinando este lema com o teorema 1.4.32, obtemos imediatamente:
c
a

62 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Teorema 1.5.4 (1o Teorema Fundamental do Cálculo (I)). Se f é Riemannintegrável
em I = [a,b] e F é dada em I por
x
F(x) = f(t)dt + F(a),
então F é contínua em I e F ′ (x) = f(x) qtp em I.
a
É mais difícil identificar hipóteses igualmente “naturais” para o 2 o Teorema
Fundamental, uma questão que tem sido fonte de problemas sofisticados
muito interessantes. Demonstramos a seguir uma versão do 2 o Teorema,
por enquanto longe de ser o recíproco de 1.5.4, porque não contempla a possibilidade
de F não ser diferenciável num conjunto “excepcional”.
Teorema 1.5.5 (2o Teorema Fundamental do Cálculo (I)). Se F é contínua
em I = [a,b], diferenciável em ]a,b[, F ′ = f é Riemann-integrável em I e
c,d ∈ I então( 34 )
d
F(d) − F(c) = f(x)dx.
Demonstração. Dada uma qualquer partição de [c,d] em intervalos Ik, onde
supomos que Ik tem extremos xk−1 < xk e c = x0 < x1 < · · · < xn = d,
observamos que
n
F(d) − F(c) = [F(xk) − F(xk−1)],
k=0
porque a soma à direita é telescópica. Do Teorema de Lagrange ( 35 ), temos
F(xk) − F(xk−1) = F ′ (x ∗ k )(xk − xk−1), onde xk−1 < x ∗ k < xk, e portanto
F(d) − F(c) =
n
k=0
c
f(x ∗ k )(xk − xk−1).
F(d) − F(c) é assim uma soma de Riemann da função f, e é claro que
S d(f, P) ≤ F(d) − F(c) ≤ Sd(f, P).
Como a partição P é arbitrária, podemos também concluir que
d
d
f ≤ F(d) − F(c) ≤ f.
c
d
Como f é integrável, segue-se que F(d) − F(c) = f(x)dx.
34 Note que a existência de F ′ (x) nos pontos x = a e x = b é irrelevante.
35 Se F é contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[, existe θ tal que a < θ < b e
F(b) − F(a) = F ′ (θ)(b − a). Este teorema tem o nome de Joseph-Louis Lagrange, (1736-
1813), matemático francês de origem italiana, um dos primeiros professores das Escolas
Politécnica e Normal de Paris.
c
c

1.5. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo 63
A respeito deste teorema, o próximo exemplo exibe uma função f que
não é integrável, apesar de ter uma primitiva contínua. É evidente deste
exemplo que a hipótese de integrabilidade de f é indispensável no resultado
que acabámos de provar. Entenda-se também do mesmo exemplo que a operação
de integração é distinta da operação de primitivação e, em particular,
a integração e a diferenciação não são exactamente operações inversas uma
da outra.
Exemplo 1.5.6.
Definimos g : R → R por
g(x) =
x 2 sen( 1
x 2), quando x = 0, e
0, quando x = 0
A função g é diferenciável em R e a sua derivada é dada por
g ′
1 2xsen(
(x) =
x2) − 2 1
x cos( x2), quando x = 0, e
.
0, quando x = 0
A função g é diferenciável em R, mas o integral da sua derivada g ′ em qualquer
intervalo I que contenha a origem não existe, porque g ′ é ilimitada em I.
De um ponto de vista “prático”, deve ser em qualquer caso claro que o 2 o
Teorema Fundamental é, antes do mais, um processo de cálculo de integrais
pela determinação de primitivas cuja importância é difícil de sobrestimar.
Desta perspectiva, o enunciado em 1.5.5 é evidentemente pouco satisfatório,
porque é demasiado restritivo e portanto difícil de aplicar directamente,
excepto em casos muito simples. Em geral, é simplesmente impossível determinar
uma “primitiva” F que seja diferenciável e igual à integranda em
todo o intervalo de integração, aliás como o 1 o Teorema fortemente sugere.
No entanto, tal não impede que a regra de Barrow se mantenha aplicável.
Exemplos 1.5.7.
1. Seja f(x) = sgn(x) a função sinal de x, dada por
+1 para x ≥ 0, e
sgn(x) =
−1 para x < 0.
A função sgn não é contínua na origem, mas é integrável em qualquer intervalo
[a, b]. Se F(x) = |x|, então F ′ (x) = sgn(x) para x = 0 e F(x) = x
a f(t)dt +
F(a) para qualquer x.
2. Se f é a função de Riemann e F = 0, então F é diferenciável em R, mas
F ′ (x) = f(x) apenas se x ∈ Q. Apesar disso, temos novamente F(x) =
x
f(t)dt+F(a), para qualquer x. Este exemplo evidencia também que a con-
a
tinuidade da integranda é uma condição suficiente, mas não necessária, para a
diferenciabilidade do integral indefinido.
.

64 Capítulo 1. Integrais de Riemann
É simples generalizar o teorema 1.5.5 para o caso em que a igualdade
F ′ (x) = f(x) falha apenas num conjunto finito de pontos, o que bem entendido
é suficiente para justificar cálculos elementares como os referidos no
exemplo 1.5.7.1. Deixamos para o exercício 2 a demonstração da seguinte
versão do 2 o Teorema.
Teorema 1.5.8 (2 o Teorema Fundamental do Cálculo (II)). Se F é contínua
em I = [a,b], f é Riemann-integrável em I e F ′ (t) = f(t) excepto num
conjunto finito D, então
x
F(x) − F(a) = f(t)dt.
Claro que mesmo nesta forma o 2o Teorema Fundamental é ainda insatisfatório.
É inteiramente evidente que, se a função f é Riemann-integrável
no intervalo I, então existem “primitivas” de f apropriadas ao cálculo do
integral de f por aplicação da regra de Barrow, ou seja, existem sempre
funções contínuas F tais que F ′ = f qtp em I e que satisfazem
d
F(d) − F(c) = f(x)dx, para quaisquer c,d ∈ I,
c
porque basta para isso tomar, e.g., F(x) = x
f(t)dt. Seria aqui especial-
a
mente conveniente substituir em 1.5.8 a expressão “excepto num conjunto
finito D” por “qtp em I”, o que aliás teria a virtude de transformar o 2o Teorema num perfeito e elegante recíproco do 1o Teorema. No entanto, e surpreendentemente,
o exemplo seguinte revela que esta alteração de hipóteses
conduz a uma afirmação incorrecta.
Exemplo 1.5.9.
A função aqui definida, a chamada “escada do diabo”, função de Cantor
ou de Cantor-Lebesgue, é outro exemplo clássico( 36 ). Recorde-se que
o conjunto de Cantor foi definido como C(I) = ∩ ∞ n=0Fn, onde os conjuntos
Fn formam uma sucessão decrescente obtida pelo processo de “remoção do
intervalo médio” descrito em 1.3.3. Tomando I = F0 = [0, 1], então o comprimento
de Fn é c(Fn) =
2 n.
3 Sendo fn a função característica do conjunto
Fn, definimos as funções gn por
gn(x) =
n x
3
fn(t)dt, donde gn(1) =
2 0
a
n 1
3
fn(t)dt = 1.
2 0
As funções gn são contínuas e crescentes, satisfazendo ainda gn(1) = 1. A
figura 1.5.2 ilustra os gráficos das funções gn, para 0 ≤ n ≤ 5. É simples
mostrar que a sucessão gn converge uniformemente para uma função F, que é
contínua e crescente, com F(0) = 0 e F(1) = 1, e F é a “escada do Diabo”.

1.5. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo 65
g0 g1 g2
g3 g4 g5
Figura 1.5.2: |gn(x) − gn−1(x)| < 1
2n e |gn(x) − F(x)| < 1
2n. Os segmentos
horizontais pertencem ao gráfico de F.
Deixamos para o exercício 8 a verificação detalhada do seguinte resultado:
Proposição 1.5.10. A “escada do Diabo” F satisfaz F ′ (x) = 0 quando
x ∈ C, onde C é o conjunto de Cantor.
Se F é a “escada do Diabo” e f é uma qualquer função limitada em R
tal que f(x) = 0 quando x ∈ C, é evidente que f é Riemann-integrável e
F ′ (x) = f(x) quando x ∈ C, ou seja, F ′ (x) = f(x) excepto num conjunto
de conteúdo nulo. Apesar disso, é também evidente que
1
1 = F(1) − F(0) = f(t)dt = 0.
A determinação de “primitivas” F apropriadas ao cálculo do integral de
uma função integrável f por aplicação da regra de Barrow revela-se, assim,
um problema bem mais difícil do que uma leitura rápida do 1 o Teorema
Fundamental na forma 1.5.4 nos pode fazer supor. Resumimos a questão
com que nos deparamos na seguinte forma:
36 Para uma aplicação talvez surpreendente, mas “prática”, deste tipo de funções, veja-se
por exemplo o artigo Devil’s Staircase-Type Faceting of a Cubic Lyotropic Liquid Crystal,
de Pawel Pieranski, Paul Sotta, Daniel Rohe, e Marianne Imperor-Clerc, em Phys. Rev.
Lett. 84, 2409, de 13 de Março de 2000.
0

66 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Quando f é integrável em [a,b], existem funções F tais que F ′ = f
qtp em [a,b]. Quais dessas funções satisfazem a regra de Barrow
b
F(b) − F(a) = f(x)dx?
Mais geralmente, que funções F são integrais indefinidos?
Concluímos para já, do exemplo da “escada do Diabo”, que
• Existem funções contínuas em toda a parte e diferenciáveis qtp (aliás,
diferenciáveis excepto num conjunto de conteúdo nulo), como a função
de Cantor-Lebesgue, que não são o integral da respectiva derivada.
• Dadas funções F e G contínuas em toda a parte e diferenciáveis qtp,
é falso que
•
F ′ (x) = G ′ (x) qtp =⇒ F(x) = G(x) + C,
porque F − G pode ser, em particular, a função de Cantor-Lebesgue.
É portanto evidente que a expressão “excepto num conjunto finito D”
em 1.5.8 não pode ser substituída por “qtp em I”.
Estudaremos adiante as soluções encontradas pela teoria de Lebesgue
para estas questões, que envolvem de forma crucial a noção de continuidade
absoluta e o grande Teorema de Diferenciação do próprio Lebesgue, descoberto
em 1904.
É também muito interessante reconhecer que o cálculo do comprimento
do gráfico de uma função F está intimamente relacionado com a questão
de saber se F é ou não o integral da sua derivada. Para definir o comprimento
do gráfico de F, observamos que, se F é uma função real definida
pelo menos no intervalo J ⊆ R, a selecção de um qualquer conjunto finito
P = {x0,x1, · · · ,xn} ⊆ J determina uma linha poligonal L(F, P) inscrita
no gráfico de F, formada pelos segmentos de recta que unem pontos Pk =
(xk,F(xk)) consecutivos (ver a figura 1.5.3)( 37 ). Supondo que x0 ≤ x1 ≤
· · · ≤ xn, esta linha poligonal tem comprimento
n
s(L(F, P)) = (xk − xk−1) 2 + (F(xk) − F(xk−1)) 2
k=1
O comprimento da linha poligonal L(F, P) é uma aproximação por defeito
do comprimento do gráfico de F, sendo por isso o erro menor quando
s(L(F, P)) é maior. Segue-se que a melhor aproximação do comprimento do
gráfico de F que podemos obter a partir destas linhas poligonais é o supremo
dos seus comprimentos, o que formalizamos na próxima definição:
37 Note-se a título de curiosidade que os gráficos na figura 1.5.2 são linhas poligonais
inscritas no gráfico da “escada do diabo”.
a

1.5. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo 67
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9 P10
Figura 1.5.3: Aproximação do gráfico de F pela linha poligonal L(F, P).
Definição 1.5.11 (Comprimento do gráfico de F). Se F : I → R e o
intervalo J ⊆ I então o comprimento do gráfico de F em J é dado por( 38 )
ΛJ(F) = sup{s(L(F, P)) : P ⊆ J, P finito }.
Se ΛJ(F) < ∞ dizemos que o gráfico de F é rectificável em J.
Mostramos desde já como calcular o comprimento do gráfico de uma
função que satisfaz as condições do 2 o Teorema Fundamental na forma 1.5.5.
É também possível mostrar que a fórmula em causa é válida desde que F
seja o integral da sua derivada F ′ , mas deixamos o completo esclarecimento
desta questão para depois de desenvolvermos a teoria de Lebesgue, dada a
especial elegância dos resultados que são apenas possíveis nesse contexto.
Teorema 1.5.12. Se F é contínua em I = [a,b], diferenciável em ]a,b[ e
F ′ é integrável em I então
k=1
b
ΛI(F) =
a
1 + F ′ (x) 2 dx.
Demonstração. Dada uma qualquer partição P = {x0,x1, · · · ,xn} do intervalo
I = [a,b], onde a = x0 < x1 < · · · < xn = b, escrevemos ∆xk =
xk − xk−1, yk = F(xk) e ∆yk = yk − yk−1, donde
n
s(L(F, P)) = (∆xk) 2 + (∆yk) 2
n
2 ∆yk
= 1 + ∆xk.
∆xk
38 Esta definição adapta-se sem dificuldades a curvas em R N , onde uma “curva” é a
imagem de uma função F : I → R N e I ⊆ R é um intervalo.
k=1

68 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Pelo Teorema de Lagrange, existe x ∗ k ∈]xk−1,xk[ tal que
s(L(F, P)) =
e temos
∆yk
∆xk
n
k=1
= F(xk) − F(xk−1)
xk − xk−1
= F ′ (x ∗ k ) e portanto
1 + F ′ (x ∗ k )2 ∆xk é uma soma de Riemann de g = √ 1 + F ′2 ,
(1) S d( 1 + F ′2 , P) ≤ s(L(F, P)) ≤ Sd( 1 + F ′2 , P)
Deixamos a conclusão desta demonstração para o exercício 7.
Exemplos 1.5.13.
1. É fácil mostrar que o teorema anterior é igualmente válido quando F satisfaz
apenas as hipóteses de 1.5.8. Como dissémos, o resultado mantém-se mesmo no
contexto da teoria de Riemann desde que a função F seja o integral indefinido
da sua derivada, mas a verificação deste facto já não é tão simples.
2. O gráfico de qualquer integral indefinido é rectificável em intervalos limitados
(exercício 3).
3. O gráfico de qualquer função monótona é rectificável em intervalos limitados
(exercício 6). Em particular, a “escada do Diabo” é uma função contínua com
gráfico rectificável à qual a identidade do teorema 1.5.12 não se aplica (exercício
8), tal como não se aplica o 2 o Teorema Fundamental.
Descrevemos aqui mais um exemplo clássico, devido a van der Waerden(
39 ), de uma função contínua em toda a parte que não é diferenciável
em ponto nenhum. Este exemplo sugere fortemente que a usual noção de
continuidade é pouco útil para identificar as funções que são “integrais
indefinidos” mas, como veremos, ilustra também a existência de funções
contínuas com outras propriedades apenas aparentemente paradoxais:
• O gráfico desta função não é rectificável em nenhum intervalo com
mais de um ponto (exercício 9), e em particular
• A função não é monótona em nenhum intervalo com mais de um ponto.
Exemplo 1.5.14.
a
função de van der Waerden: A função f0 : R → R dada por f0(x) =
x − int(x + 1
2 ) , onde int(x) é a parte inteira de x, exprime a distância de x
ao inteiro mais próximo. Observamos que
39 De Bartel Leendert van der Waerden, 1903-1996, matemático holandês, grande algebrista
contemporâneo, que estudou e ensinou na Alemanha até à 2 a Guerra Mundial.
Era desde 1951 professor na Universidade de Zurique. O exemplo aqui referido foi publicado
em 1930. Na literatura em língua inglesa, é comum identificar funções como a deste
exemplo pela sigla ecnd, de “everywhere continuous nowhere differentiable”.

1.5. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo 69
• f0 é uma função contínua, com período 1.
• 0 ≤ f0(x) ≤ 1
2 e f0(k) = 0 para qualquer inteiro k ∈ Z.
Tomando fn(x) = 1
2 n f0(2 n x) para n ≥ 0, temos igualmente
• fn é uma função contínua, com período 1
2n ,
• 0 ≤ fn(x) ≤ 1
2n+1, e fn( k
2n ) = 0, para qualquer k ∈ Z e n ∈ N.
A função de van der Waerden é definida por
∞
∞ 1
f(x) = fn(x) donde 0 ≤ f(x) ≤ = 1.
2n+1 n=0
A função de van der Waerden é contínua em R, porque as funções fn são
contínuas e a respectiva série é uniformemente convergente. A figura 1.5.4
ilustra os gráficos das funções fn para 0 ≤ n ≤ 3 e sugere o gráfico de f( 40 ).
10
fn
n=0
f0
f1
n=0
Figura 1.5.4: As funções fn(0 ≤ n ≤ 3) e
O gráfico de cada função fn é “em dente de serra”, formado por segmentos de
recta de declive ±1, e deste facto resulta que:
Proposição 1.5.15. A função de van der Waerden não é diferenciável em
ponto nenhum.
f2
f3
10
n=0
Demonstração. Fixado x ∈ R, se in = int(2 n x) para n ∈ N então:
fn.
an = in
2 n ≤ x < in + 1
2 n = bn = an + 1
2 n e an → x, bn → x.
Se a função f é diferenciável em x teremos portanto:
f(bn) − f(an)
lim
= f
n→∞ bn − an
′ (x).
40 10 1
Note que |f(x)− n=0 fn| ≤ , diferença que na escala desta figura é imperceptível.
2048

70 Capítulo 1. Integrais de Riemann
A função de van der Waerden é fácil de calcular nos pontos da forma i
2n com
i ∈ Z, porque para k ≥ n temos fk( i
2n ) = 0. Dito doutra forma, a série que
define a função f reduz-se nestes pontos a uma soma finita com n termos:
f( i
n−1
) = fk(
2n k=0
i
2n ) e f(bn)
n−1
− f(an)
n−1
fk(bn) − fk(an)
=
= ck,n.
bn − an bn − an
k=0
k=0
Fixado k, os declives ck,n são constantes para n > k, ou seja, ck,n = dk, onde
dk = ±1, porque o gráfico de fk (um “dente de serra”, como referimos) é linear
i i+1
em qualquer intervalo da forma [ 2k+1, 2k+1 ] com declive ±1. Temos assim
n−1
f(bn) − f(an)
= dk.
bn − an
k=0
Como dk = ±1 não tende para zero quando k → ∞, o limite
f(bn) − f(an)
lim
=
n→∞ bn − an
∞
dk,
não pode existir e ser finito. Portanto, f não é diferenciável em x.
Exercícios.
f(t)dt é convergente. A função
f(t)dt para x ∈ R é uniformemente contínua em R?
1. Suponha que o integral impróprio( 41 ) ∞
−∞
F(x) = x
a
2. Demonstre a versão do 2 o Teorema Fundamental indicada em 1.5.8.
3. Suponha que f é integrável no intervalo I, a ∈ I e F(x) = x
f(t)dt para
a
x ∈ I. Mostre que o gráfico de F é rectificável em qualquer intervalo limitado
em I.
4. Mostre que o gráfico da função definida no exemplo 1.5.6 não é rectificável
no intervalo [0, 1], e portanto a função em causa não é um integral indefinido.
5. Suponha que F é uma função crescente no intervalo I, e F(x) = x
a f(t)dt +
F(a), onde f é Riemann-integrável em I. Mostre que se A ⊆ I e c(A) = 0,
então c(F(A)) = 0. Prove igualmente que se A é nulo no sentido de Borel,
então F(A) é também nulo.
6. Suponha que f está definida num intervalo compacto I. Mostre que
k=0
a) Se f é monótona em I então o seu gráfico é rectificável em I.
b) Se x < y < z são pontos de I então Λ [x,z](f) = Λ [x,y](f) + Λ [y,z](f).
41 ∞
O integral impróprio de Riemann −∞
Riemann F(x, y) = y
x
f(t)dt diz-se convergente se o integral de
f(t)dt existe para quaisquer −∞ < x ≤ y < ∞ e a função F tem
limite finito quando x → −∞ e y → +∞.

1.6. O Problema de Borel 71
7. Complete a demonstração de 1.5.12 (verifique as afirmações feitas no final
do argumento apresentado, que envolvem somas de Darboux da integranda em
causa).
8. Considere a definição da “escada do Diabo” F apresentada em 1.5.9.
a) Calcule o máximo de |gn(x)−gn−1(x)|. Conclua que a sucessão de funções
gn converge uniformemente para uma função contínua e crescente F.
b) Demonstre a proposição 1.5.10.
c) Calcule o integral de F sobre o intervalo [0, 1].
d) Calcule o comprimento do gráfico de F no intervalo [0, 1].
e) Sendo C(I) o conjunto de Cantor, mostre que F(C(I)) = I. Conclua
directamente do exercício 5 que F não é um integral indefinido.
f) Prove que F não é diferenciável em nenhum ponto de C(I).
9. Prove que o gráfico da função de van der Waerden (exemplo 1.5.14) não é
rectificável em qualquer intervalo I não trivial, i.e., com mais de um ponto.
Conclua em particular que esta função não é monótona em nenhum intervalo
não trivial. sugestão: Na notação do exemplo 1.5.14, seja
m
gm(x) = fn(x).
n=0
Note que o gráfico de gm é uma linha poligonal inscrita no gráfico de f. Sendo
Γm o comprimento dessa linha no intervalo I = [0, 1], note que
1
Γm ≥ λm = |g ′ m |.
Mostre que λm → ∞. Pode aqui ser conveniente usar a aproximação de Stirling
para o factorial de n, na forma:
lim
n→∞
0
n!en nn√ = 1
2πn
10. Sendo f a função de van der Waerden (exemplo 1.5.14) mostre que o conjunto
onde f tem extremos locais é denso.
11. Suponha que f : I → R é diferenciável em I e ε > 0. Mostre que existem
funções contínuas g : I → R que não são diferenciáveis em ponto nenhum de I
e satisfazem |f(x) − g(x)| < ε, para qualquer x ∈ I.
1.6 O Problema de Borel
É justo sublinhar que a noção de “aditividade”, reconhecidamente na forma
algo vaga de princípios como “o todo é a soma das partes”, é uma questão
já intensamente debatida por filósofos gregos da Antiguidade Clássica, e.g.,
em torno dos famosos paradoxos de Zenão. O chamado paradoxo da seta( 42 )
42 “Imagine-se uma seta em voo. Em cada instante de tempo, que não tem duração, a
seta não se move. Como o tempo é uma sucessão de instantes, a seta nunca se move!”

72 Capítulo 1. Integrais de Riemann
observa essencialmente que um segmento de recta de comprimento positivo
é formado por pontos de comprimento zero. Portanto, neste caso não é
razoável sustentar que “o comprimento do todo é a soma dos comprimentos
das partes”. O paradoxo do corredor( 43 ) envolve por sua vez a partição de
um segmento de recta numa família numerável de subintervalos. A título
de ilustração, considere-se a partição de I =]0,1] dada por
P = {Ik =] 1 1
,
2k 2k−1] : k ∈ N}, onde c(I) = 1 =
∞
k=1
1
=
2k ∞
c(Ik).
Pelo menos neste caso, a propriedade de aditividade é aplicável desde que
se considerem séries em lugar das usuais somas com um número finito de
parcelas, ou seja, continua a ser verdade que “o comprimento do todo é a
soma (da série) dos comprimentos das partes”. Muito naturalmente, este
facto não parece ter sido entendido pelos Antigos, que nunca dominaram a
noção de limite, sem a qual é impossível o correcto tratamento de séries,
e não terão suspeitado da subtil diferença entre o infinito numerável e o
infinito não-numerável( 44 ), que é a verdadeira justificação para a diferença
de conclusões nos dois paradoxos referidos.
Do nosso ponto de vista, o paradoxo do corredor é especialmente notável
porque a sua solução sugere como se pode definir o “conteúdo” de alguns
conjuntos que não são Jordan-mensuráveis. A ideia em causa é a base
conceptual da moderna Teoria da Medida e aparece explicitamente na tese de
doutoramento de Borel. Consiste em observar que a aditividade do conteúdo
se aplica igualmente a partições infinitas numeráveis( 45 ), um resultado que
pode ser enunciado como se segue:
43
O corredor deve correr uma distância fixa. Demora um tempo finito a percorrer a
primeira metade, um tempo finito a percorrer metade do restante, e assim sucessivamente.
O tempo da corrida é uma soma infinita de termos positivos, à qual se julgava dever atribuir
um valor infinito. Ambos os paradoxos, entre muitos outros, são atribuídos ao filósofo
Zenão (de Eleia, no sul de Itália), que viveu no século V AC. Os paradoxos parecem
ter sido criados para exibir dificuldades lógicas da ideia de “contínuo”, hoje ubíqua na
Matemática, através de exemplos como a recta real R.
44
Foi apenas em 1873 que Cantor esclareceu esta diferença, provando em particular que
Q é numerável e R é não-numerável.
45
A tese de Borel, de 1895, que curiosamente não faz qualquer referência à teoria da
integração, introduz pelo menos três ideias relacionadas entre si e fundamentais para essa
teoria: a aditividade do conteúdo para partições numeráveis (na realidade, o lema 1.6.2
para intervalos), o teorema de Heine-Borel, e a noção de conjunto de medida nula. O
teorema de Heine-Borel é indispensável para provar a propriedade de aditividade referida
e a definição de conjunto de medida nula usa partições numeráveis para atribuir uma
“medida” a conjuntos que podem não ser Jordan-mensuráveis. Esta última definição tem
aliás um domínio de aplicação tão geral que cedo conduziu Borel a delicadas reflexões
sobre a ideia de “conjunto”. Registe-se a título de curiosidade que o orientador de tese de
Borel foi o já referido Darboux.
k=1

1.6. O Problema de Borel 73
Teorema 1.6.1. Se os conjuntos An ∈ J (R N ) são disjuntos, então
A =
∞
An ∈ J (R N ) =⇒ cN(A) =
n=1
∞
cN(An).
Este teorema é uma consequência imediata dos dois lemas que passamos
a enunciar e demonstrar (1.6.2 e 1.6.3):
Lema 1.6.2. Dados conjuntos An ∈ J (R N ), então
A ⊆
n=1
∞
An e A ∈ J (R N ) =⇒ cN(A) ≤
n=1
∞
cN(An).
Demonstração. Seja ε > 0. De acordo com 1.3.4, existem conjuntos elementares
K (compacto) e U (aberto) tais que
n=1
(i) K ⊆ A ⊆ U e cN(U\K) < ε donde cN(A) − ε < cN(K).
Pela mesma razão, existem conjuntos elementares Kn (compactos) e Un
(abertos), tais que Kn ⊆ An ⊆ Un e
cN(Un\Kn) < ε
2n e cN(Un) < cN(An) + ε
donde
2n ∞
∞
(ii) cN(Un) < cN(An) + ε
2n ∞
= cN(An) + ε.
n=1
n=1
Como K é compacto, segue-se do teorema de Heine-Borel que existe m ∈ N
tal que
∞ ∞
m
(iii) K ⊆ A ⊆ An ⊆ Un =⇒ K ⊆ Un.
n=1
Como o conteúdo de Jordan é subaditivo, concluímos de (i), (ii) e (iii) que
cN(A) − ε < cN(K) ≤
Temos assim que
cN(A) − ε <
n=1
m
cN(Un) ≤
n=1
n=1
∞
cN(Un) <
n=1
∞
cN(An) + ε, ou cN(A) <
n=1
onde finalmente fazemos ε → 0.
n=1
∞
cN(An) + ε.
n=1
∞
cN(An) + 2ε,
n=1
Lema 1.6.3. Se os conjuntos An ∈ J (R N ) são disjuntos, então
A ⊇
∞
An e A ∈ J (R N ) =⇒ cN(A) ≥
n=1
∞
cN(An).
n=1

74 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Demonstração. Notamos que, como cN é aditivo,
Bk =
k
An =⇒ cN(Bk) =
n=1
k
cN(An).
Como cN é monótono e Bk ⊆ A, temos também cN(Bk) ≤ cN(A), donde
n=1
k
cN(An) ≤ cN(A) para qualquer k ∈ N e portanto
n=1
∞
cN(An) ≤ cN(A).
Conforme dissémos, é evidente que os lemas 1.6.2 e 1.6.3 estabelecem o
teorema 1.6.1. Este último resultado permite definir o “conteúdo” de alguns
conjuntos que não são Jordan-mensuráveis por razões fáceis de explicar.
Observamos que, de acordo com 1.6.1, se os conjuntos An ∈ J (RN ) são
disjuntos e A = ∞ n=1 An, então uma das seguintes alternativas é sempre
válida:
∞
1) A é Jordan-mensurável e neste caso cN(A) = cN(An), ou
n=1
n=1
2) A não é Jordan-mensurável e neste caso não podemos ter
cN(A) =
∞
cN(An),
n=1
apenas porque o lado esquerdo desta identidade não está definido.
(Fazemos aqui a convenção natural de atribuir à série a soma +∞,
se esta divergir no sentido usual do termo.)
A ideia de Borel é muito simples: No caso 2),
a identidade cN(A) =
Exemplo 1.6.4.
∞
cN(An) deve ser a definição de cN(A).
n=1
Seja A = Q = {q1, q2, · · · , qn, · · · } e An = {qn}. É óbvio que os conjuntos An
são Jordan-mensuráveis e c(An) = 0. O conjunto Q não é Jordan-mensurável,
mas a ideia de Borel sugere que se defina c(Q) = 0.
É naturalmente necessário verificar que esta ideia não conduz a ambiguidades,
mas isso resulta de uma adaptação simples do argumento que
utilizámos a propósito dos conjuntos elementares, já na proposição 1.1.9.

1.6. O Problema de Borel 75
Lema 1.6.5. Se P = {An : n ∈ N} e P ′ = {Bm : m ∈ N} são partições do
conjunto A ⊆ R N em conjuntos Jordan-mensuráveis, então
∞
cN(An) =
n=1
Demonstração. Observamos que
A =
∞
n=1
An =
∞
m=1
Bm =⇒ An =
∞
cN(Bm).
m=1
∞
m=1
An ∩ Bm e Bm =
∞
An ∩ Bm.
Como os conjuntos An ∩ Bm são Jordan-mensuráveis e disjuntos e os conjuntos
An e Bm são Jordan-mensuráveis, obtemos de 1.6.1 que:
cN(An) =
∞
cN(An ∩ Bm) e cN(Bm) =
m=1
Segue-se imediatamente que
∞
cN(An) =
n=1
∞
n=1 m=1
∞
cN(An ∩ Bm) =
∞
m=1 n=1
n=1
∞
cN(An ∩ Bm).
n=1
∞
cN(An ∩ Bm) =
∞
cN(Bm).
m=1
A seguinte terminologia complementa a introduzida na secção 1.2.
Definição 1.6.6 (Funções σ-Aditivas e σ-Subaditivas). Seja S uma classe
de subconjuntos do conjunto X e λ : S → [0,+∞] uma função. Então λ é
a) σ-aditiva se e só se, para quaisquer conjuntos An ∈ S disjuntos,
∞
∞
An ∈ S =⇒ λ( An) =
n=1
n=1
∞
λ(An).
b) σ-subaditiva ( 46 ) se e só se para quaisquer conjuntos C,An ∈ S,
C ⊆
∞
An =⇒ λ(C) ≤
n=1
n=1
∞
λ(An).
46 Recorde-se que a soma da série ∞
n=1 λ(An) está sempre definida, podendo, claro, ser
+∞. A noção de σ-aditividade também se aplica a funções com valores reais ou complexos,
mas, nestes casos, é necessário supôr que as séries em causa são sempre convergentes no
sentido usual do termo. É fácil verificar que a noção de σ-subaditividade requer λ ≥ 0
(porquê?), e mais uma vez a questão da convergência da série em questão é irrelevante.
n=1

76 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Nesta terminologia, o teorema 1.6.1 afirma que o conteúdo de Jordan cN
é σ-aditivo na classe J (R N ), e o lema 1.6.2 diz que cN é σ-subaditivo na
mesma classe J (R N ). Deixamos como exercício a demonstração do resultado
seguinte, que pode ser usado para exibir muitos outros exemplos de funções
σ-aditivas e σ-subaditivas em classes de conjuntos apropriadas.
Teorema 1.6.7. Se R ⊆ R N e f : R → R, então o integral indefinido λ de
f é σ-aditivo em Jf(R). Se f ≥ 0 em R, então λ é σ-subaditivo.
Exemplo 1.6.8.
Apresentamos aqui um conjunto aberto limitado que não é Jordan-mensurável.
Seja D = {q1, q2, · · · , qn, · · · } = Q ∩ [0, 1] o exemplo de Dirichlet, ε > 0, e
considerem-se os conjuntos abertos
Un =]qn − ε
2n , qn + ε
∞
[ e U = Un.
2n Como o conteúdo de Jordan é σ-subaditivo, se U é Jordan-mensurável então:
∞
∞ ε
c(U) ≤ c(Un) = = 2ε.
2n−1 n=1
É evidente que D ⊆ U e sabemos que c(D) = 1. Podemos assim concluir que
c(U) ≥ 1. Segue-se que, se ε < 1
2 , então U não é Jordan-mensurável. Note-se
de passagem que U não contém o intervalo [0, 1], contrariamente ao que a nossa
intuição nos pode fazer supor.
Qualquer união numerável de conjuntos em E(R N ) ou J (R N ) é uma
união de conjuntos disjuntos na classe em questão, porque estas classes são
semi-álgebras. A ideia de Borel permite por isso atribuir um “conteúdo”, ou
“extensão”, que designamos temporariamente por ˜cN, pelo menos aos conjuntos
que são uniões numeráveis de conjuntos Jordan-mensuráveis, conforme
registamos na próxima definição:
Definição 1.6.9 (As classes Eσ(R N ) e Jσ(R N ) e a função ˜cN).
a) Jσ(R N ) é a classe formada pelos conjuntos que são uniões numeráveis
de conjuntos Jordan-mensuráveis em R N ,
b) Eσ(R N ) é a classe formada pelos conjuntos que são uniões numeráveis
de conjuntos elementares em R N . Os conjuntos E ∈ Eσ(R N ) dizem-se
σ-elementares.
c) Se A ∈ Jσ(RN ) então existem conjuntos An ∈ J (RN ) disjuntos tais
que A = ∞ n=1 An, e definimos
∞
˜cN(A) = cN(An).
n=1
n=1
n=1

1.6. O Problema de Borel 77
Exemplos 1.6.10.
1. Qualquer conjunto numerável é σ-elementar. Se E = {x1, x2, · · · , xn, · · · },
então E = ∪ ∞ n=1En, onde os conjuntos En = {xn} são elementares. Dado que
cN(En) = 0, temos ˜cN(E) = 0. Em particular, Q é σ-elementar.
2. Mais geralmente, E ⊆ R N é σ-elementar se e só se E é uma união numerável
de rectângulos limitados.
3. É fácil verificar que RN é um conjunto σ-elementar, e ˜cN(R N ) = ∞.
4. O conjunto (aberto) do exemplo 1.6.8 é σ-elementar, mas não é Jordan-mensurável.
5. A função ˜cN é uma extensão( 47 ) do conteúdo de Jordan, i.e., se A ⊆ R N é
Jordan-mensurável, então ˜cN(A) = cN(A).
6. Seja f : R → R limitada e contínua qtp no rectângulo compacto R, e D o
conjunto de pontos de descontinuidade de f. Recorde-se que D é uma união
numerável de conjuntos de conteúdo nulo, donde D ∈ Jσ(R N ) e ˜cN(D) = 0.
As observações seguintes são úteis no que se segue.
Proposição 1.6.11. Seja E ∈ Jσ(R N ). Temos então:
a) Se E ∈ Eσ(R), então ˜c(E) = 0 ⇐⇒ E é numerável.
b) ˜cN(E) = 0 ⇐⇒ int(E) = ∅.
c) ˜cN é σ-subaditiva em Jσ(R N ), ou seja, se E,Fn ∈ Jσ(R N ) então
E ⊆
∞
Fn =⇒ ˜cN(E) ≤
n=1
∞
˜cN(Fn).
Demonstração. Deixamos a verificação de a) e b) para o exercício 9. Relativamente
a c), consideramos partições de E e dos conjuntos Fn em conjuntos
Jordan-mensuráveis Ei e Fnk, donde
E =
∞
Ei,Fn =
i=1
∞
k=1
n=1
Fnk.
Como os conjuntos E ′ m = ∪m i=1 Ei ⊆ E são Jordan-mensuráveis, segue-se do
lema 1.6.2 que
E ′ m ⊆
∞
n=1
Fn =
∞
n=1 k=1
∞
Fnk =⇒ cN(E ′ m) ≤
∞
∞
n=1 n=1
cN(Fnk) =
∞
˜cN(Fn)
É imediato que cN(E ′ m) → ˜cN(E), e portanto ˜cN(E) ≤ ∞
n=1 ˜cN(Fn).
47 A função g : B → Y diz-se uma extensão de f : A → X se e só se A ⊆ B, X ⊆ Y e
g(x) = f(x) para qualquer x ∈ A.
n=1

78 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Exemplos 1.6.12.
1. O conjunto de Cantor C(I) não é σ-elementar porque tem conteúdo nulo e
não é numerável.
2. O conjunto U = [0, 1] \C(I) é σ-elementar, porque U = ∪ ∞ n=1En, onde En é
um conjunto elementar formado por 2 n−1 subintervalos, cada um de comprimento
1
3 n . Repare-se por isso que Eσ(R) não é uma semi-álgebra.
O próximo teorema indica mais algumas propriedades das classes Eσ(R N )
e Jσ(R N ) e da função ˜cN:
Teorema 1.6.13. As classes Eσ(R N ) e Jσ(R N ) são fechadas em relação a
uniões finitas ou numeráveis e intersecções finitas, e a função ˜cN é aditiva
e σ-aditiva em Jσ(R N ).
Demonstração. Para mostrar que a classe Jσ(R N ) é fechada relativamente
a uniões numeráveis, consideramos conjuntos En ∈ Jσ(R N ) e notamos que
existem conjuntos Enm ∈ J (R N ) tais que En = ∪ ∞ m=1 Enm. Segue-se que
E =
∞
n=1
En =
∞
∞
n=1 m=1
Enm
é uma união numerável de conjuntos Enm ∈ J (R N ), i.e., E ∈ Jσ(R N ).
(Note que este argumento se aplica sem alterações à classe Eσ(R N ).)
Para verificar a σ-aditividade de ˜cN, supomos que os conjuntos En são
disjuntos e que para cada n os conjuntos Enm são igualmente disjuntos. É
imediato da definição de ˜cN(E) e de ˜cN(En) que
∞
˜cN(E) = ˜cN(
∞
n=1 m=1
Enm) =
∞
∞
n=1 m=1
cN(Enm) =
∞
˜cN(En).
É muito simples verificar a aditividade de cN e o fecho das classes Eσ(R N )
e Jσ(R N ) relativamente a intersecções finitas.
De acordo com a observação feita no exemplo 1.6.10.5 acima, e para
evitar sobrecarregar a notação utilizada, passamos a escrever “cN(E)” em
lugar de “˜cN(E)” mesmo quando E ∈ Jσ(R N ).
Exemplo 1.6.14.
Seja D o exemplo de Dirichlet e I = [0, 1] \D o conjunto dos irracionais em
[0, 1]. Sabemos que D é σ-elementar, c(D) = 0 e c([0, 1]) = 1. Se I ∈ Jσ(R),
segue-se pela propriedade de aditividade referida no teorema anterior que
1 = c([0, 1]) = c(I) + c(D) ⇒ c(I) = 1.
Sabemos que int(I) = ∅ e, como referimos acima, se I ∈ Jσ(R) então c(I) = 0.
Concluímos que I ∈ Jσ(R). Em particular, Jσ(R) não é uma semi-álgebra.
n=1

1.6. O Problema de Borel 79
Eσ(R N )
Jσ(R N )
E(R N ) J (R N )
Figura 1.6.1: As classes E(R N ), Eσ(R N ), J (R N ) e Jσ(R N ).
O próximo exemplo é um conjunto perfeito muito semelhante ao de Cantor,
mas uma aparentemente ligeira modificação na sua construção faz com
que não pertença a Jσ(R). Este conjunto revela que Jσ(R) não contém
todos os conjuntos compactos, e pode ser usado, tal como o exemplo de
Dirichlet, para mostrar que Jσ(R) não é uma semi-álgebra.
Exemplo 1.6.15.
o conjunto de volterra( 48 ) - O conjunto de Cantor C(I) (exemplo 1.3.9)
é C(I) = ∩∞ n=0Fn, onde Fn é uma união de 2n intervalos fechados disjuntos
Ik,n, e F0 = I = [a, b] é o “intervalo inicial”. A sucessão de conjuntos Fn
foi definida recursivamente: dividimos cada subintervalo Ik,n de Fn em três
intervalos de igual comprimento 1
3c(Ik,n), e designamos por Jk,n o subintervalo
médio (aberto) Jk,n ⊂ Ik,n. O conjunto Fn+1 resulta de extrair de Fn os
subintervalos Jk,n, i.e.,
Fn+1 = Fn\Un, onde Un =
2 n
k=1
Jk,n.
É claro que nada nos impede de extrair, em cada passo e de cada subintervalo
Ik,n, um intervalo aberto Jk,n, ainda centrado no ponto médio de Ik,n, mas
agora com comprimento c(Jk,n) = 1
3 c(Ik,n). Exactamente como no procedimento
original de Cantor, é fácil verificar que (exercício 14)
V =
∞
Fn é um conjunto perfeito não-numerável com interior vazio.
n=o
Sendo I = F0 o intervalo inicial, temos igualmente que
∞
U = I\V = Un é σ-elementar e aberto.
n=0
48 Vito Volterra descobriu exemplos análogos a este e à “função de Volterra” descrita
mais adiante em 1881, quando era ainda estudante. Actualmente é comum dizer que
conjuntos deste tipo são “de Cantor”.

80 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Para simplificar a notação, escrevemos an = c(Jk,n). A escolha da sucessão an
é em larga medida arbitrária, mas para efeitos do presente exemplo é suficiente
seleccionar primeiro um qualquer 0 ≤ ε < 1 e definir:
1−εc(I),
se n = 0,
an =
3
1
3an−1, se n > 0.
Dizemos que V é um conjunto de volterra, que passamos a designar por
Cε(I) (nesta notação, o conjunto de Cantor do exemplo 1.3.9 é C0(I)). O
conjunto U é σ-elementar e por isso é fácil calcular o seu conteúdo. Cada
conjunto Un é formado por 2n subintervalos de comprimento an = 1−ε
3n+1c(I), donde c(Un) = (1 − ε) 2n
3n+1c(I) e
c(U) =
∞
n=0
1 − ε
c(Un) = (
3 )c(I)
∞
n=0
n 2
= (1 − ε)c(I).
3
Designando o conjunto U por Uε(I) para maior clareza, observamos que, se
Cε(I) ∈ Jσ(R N ), então
• c(I) = c(Cε(I)) + c(Uε(I)) ⇒ c(Cε(I)) = c(I) − (1 − ε)c(I) = εc(I), e
• Como Cε(I) tem interior vazio, temos c(Cε(I)) = 0.
Concluímos assim que Cε(I) ∈ Jσ(R N ) quando ε > 0.
U4
U3
U4
U2
U4
U3
U4
U1
Figura 1.6.2: A construção de Volterra com ε = 1
4 .
A função cN : Jσ(R N ) → [0, ∞] é claramente uma extensão não-trivial
do conteúdo de Jordan, mas os exemplos 1.6.14 e 1.6.15 revelam que não é
ainda uma base satisfatória para o desenvolvimento da teoria. Na verdade,
quando A ⊆ B ⊆ R N e cN(A) e cN(B) estão definidos, então devemos ter, tal
como observámos acima, cN(B\A) = cN(B)−cN(A). No entanto, vimos em
ambos os exemplos referidos que podemos ter B\A ∈ Jσ(R N ), mesmo que
A,B ∈ Jσ(R N ). Em particular, estes exemplos sugerem que uma extensão
apropriada da função cN deve estar definida numa classe de conjuntos que
seja uma semi-álgebra, além de ser fechada em relação a uniões numeráveis.
U4
U3
U4
U2
U4
U3
U4
F0
F1
F2
F3
F4

1.6. O Problema de Borel 81
Borel teve o enorme mérito de analisar e identificar com total clareza
estas dificuldades e enunciar com muita precisão o problema que entendia
dever ser resolvido, listando o que referia como “propriedades essenciais”( 49 )
a satisfazer. Borel foi assim um notável pioneiro do tipo de procedimento
que hoje chamamos de “axiomático”.
1.6.16 (Problema de Borel). Determinar uma classe MN de subconjuntos
de R N e uma função κN : MN → [0, ∞] tais que:
a) A classe MN contém os conjuntos elementares.
b) Se E ⊂ R N é elementar então κN(E) = cN(E).
c) MN é uma álgebra fechada em relação a uniões numeráveis.
d) κN é uma função σ-aditiva.
Repare-se que a referência neste enunciado a uma álgebra em vez de semiálgebra
é fácil de entender: como R N é σ-elementar, qualquer semi-álgebra
em R N fechada relativamente a uniões numeráveis e que contenha os conjuntos
elementares contém R N , ou seja, é uma álgebra.
Eσ(R N )
E(R N )
MN = ?
Figura 1.6.3: O Problema de Borel
κN = ?
Não vamos descrever imediatamente a solução que Borel descobriu para
este problema( 50 ). Estudamos para já alguns resultados auxiliares importantes,
em especial o seguinte, descoberto por Cantor em 1883:
49 As suas palavras, em Leçons sur la théorie des fonctions, são muito claras: “... definir
os elementos novos que são introduzidos a partir das suas propriedades essenciais, ou seja,
daquelas que são estritamente indispensáveis aos raciocínios que se seguem”.
50 Veremos adiante que a classe MN = B(R N ) descoberta por Borel, formada pelos conjuntos
que hoje se dizem Borel-mensuráveis, é a menor solução deste problema. Esta
classe é uma extensão de Eσ(R N ), mas não contém todos os conjuntos Jordan-mensuráveis,
facto que Borel conhecia e sublinhava com cuidado, porventura em sinal de prudente respeito
por Jordan, que gozava de grande influência.
cN

82 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Teorema 1.6.17 (de Cantor). Qualquer aberto é uma união numerável de
rectângulos abertos limitados e por isso é um conjunto σ-elementar.
Demonstração. Seja Q(R) = {]q,r[: q,r ∈ Q} a classe formada pelos intervalos
abertos de extremos racionais e, mais geralmente, considerem-se as
classes Q(R N ), formadas pelos rectângulos-N com vértices de coordenadas
racionais, i.e., os rectângulos da forma I1 × I2 × · · · × IN, com Ik ∈ Q(R).
Como Q é numerável, as classes Q(R N ) são igualmente numeráveis.
Se U ⊆ R N é um aberto e x ∈ U, existe um rectângulo aberto limitado
Rx, tal que x ∈ Rx ⊆ U. Suponha-se que
Rx = I1 × I2 × · · · × IN, onde Ik =]ak,bk[ e x = (x1,x2, · · · ,xN).
É claro que existem racionais qk e rk tais que
É também evidente que
ak < qk < xk < rk < bk e Jk =]qk,rk[∈ Q(R).
J1 × J2 × · · · × JN = Qx ∈ Q(R N ) e x ∈ Qx ⊆ Rx ⊆ U.
Concluímos assim que U =
Qx.
b2
r2
x2
q2
a2
a1
x∈U
q1
(x1, x2)
x1
Qx
r1
Rx
Figura 1.6.4: Os rectângulos Qx e Rx.
Os rectângulos Qx são limitados e abertos e a classe U = {Qx : x ∈ U} ⊆
Q(R N ). Como Q(R N ) é numerável, a classe U só pode ser numerável.
Do nosso ponto de vista nesta secção e nos termos da definição 1.6.9, concluímos
que cN(U) está definida para qualquer conjunto aberto U ⊆ R N .
b1

1.6. O Problema de Borel 83
Além disso, e de acordo com as condições a) e c) no enunciado do “Problema
de Borel”, resulta que qualquer solução MN deste problema contém
necessariamente todos os conjuntos abertos e todos os conjuntos fechados.
É muito interessante notar que o argumento usado para demonstrar
1.6.17 é igualmente válido se substituirmos os intervalos abertos de extremos
racionais ]q,r[ pelos correspondentes intervalos fechados, e portanto compactos,
[q,r]. O próximo teorema indica esta e outras propriedades análogas,
a demonstrar nos exercícios desta secção.
Teorema 1.6.18. Seja U ⊆ R N um aberto. Então,
a) U é uma união numerável de rectângulos compactos( 51 ).
b) U é uma união numerável de rectângulos limitados disjuntos.
c) Se N = 1, então U é uma união numerável de intervalos abertos
disjuntos( 52 ).
O próximo exemplo, que chamamos de função de Volterra, é análogo ao
que vimos em 1.5.6, porque é uma função diferenciável em toda a parte cuja
derivada não é Riemann-integrável. Mais uma vez, a regra de Barrow não é
aplicável a f = F ′ porque o integral de Riemann de f não existe, apesar de
f ter uma primitiva. A função de Volterra é particularmente interessante
porque F ′ é limitada, o que sugere que o facto de F ′ não ser integrável não
reflecte uma dificuldade “natural” como a do exemplo 1.5.6, mas reflecte em
vez disso uma deficiência da própria definição do integral de Riemann( 53 ).
Exemplo 1.6.19.
a função de volterra - Consideramos primeiro a função f definida por
f(x) =
2 1 x sen( x
), se x = 0,
0, se x = 0.
A função f é diferenciável em R e a sua derivada é
f ′
1 1
2xsen(
(x) =
x ) − cos( x ), se x = 0,
0, se x = 0.
Por razões evidentes, f ′ não é contínua em 0, onde a respectiva oscilação é 2.
No entanto, f ′ é limitada em qualquer intervalo limitado.
51 As uniões numeráveis de conjuntos compactos dizem-se conjuntos σ-compactos.
52 Este é o resultado descoberto por Cantor em 1883. Note (exercício 7) que esta decomposição
em intervalos abertos disjuntos é única.
53 O próprio Henri Lebesgue considerava este exemplo como uma das suas mais importantes
motivações na busca de uma teoria de integração mais geral do que a de Riemann.
Como veremos mais adiante, a regra de Barrow é válida para a função de Volterra na
teoria da integração de Lebesgue. Veja-se aliás no exercício 15 desta secção que a região
de ordenadas de F ′ é σ-elementar e o gráfico de F é rectificável.

84 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Dado a > 0, podemos facilmente adaptar esta definição para obter uma função
g : R → R, nula fora do intervalo ]0, a[, diferenciável em R, com derivada
limitada, mas descontínua nos pontos x = 0 e x = a, onde ωg ′(0) = ωg ′(a) = 2.
Para isso, escolhemos um ponto 0 < b < a/2 tal que f ′ (b) = 0 e tomamos
⎧
⎪⎨
f(x), se 0 < x < b,
f(b), se b ≤ x ≤ c = a − b,
g(x) =
⎪⎩
f(a − x), se c < x < a,
0, se x ∈ ]0, a[.
g é diferenciável em R mas g ′ é descontínua tanto em x = 0 como x = a, onde
tem oscilação igual a 2.
f(b)
b
c
a
Figura 1.6.5: Os gráfico de g e g ′ .
Designamos por U = I\Cε(I) o complementar do conjunto de Volterra no inter-
valo I e recordamos que U = ∞
n=1 ]an, bn[ é uma união numerável de intervalos
abertos disjuntos, obviamente limitados. A definição de g pode ser modificada
para obter uma função gn nula fora do intervalo ]an, bn[, diferenciável em R,
com derivada limitada, mas descontínua nos pontos x = an e x = bn, onde a
oscilação é 2. A função de volterra F é então dada por:
F(x) =
∞
gn(x).
n=1
Deixamos para o exercício 15 mostrar que
• F é diferenciável em R, com F ′ (x) = 0 quando x ∈ U, e
• F ′ é descontínua em todos os pontos de Cε(I) e por isso não é Riemannintegrável
em I quando ε > 0.
No entanto, e em última análise, este exemplo apenas ilustra novamente
a fragilidade da integrabilidade de Riemann em relação a operações de passagem
ao limite. Afinal de contas, F ′ é o limite pontual de uma sucessão de
b
c
a

1.6. O Problema de Borel 85
funções Riemann-integráveis, porque
F ′ F(x + h) − F(x)
(x) = lim
= lim
h→0 h n→∞
F(x + 1)
− F(x)
n
1
n
= lim
n→∞ gn(x), onde gn(x) = n(F(x + 1
) − F(x)).
n
As funções gn são Riemann-integráveis desde que F o seja, mas daqui não
podemos concluir a integrabilidade da função limite F ′ , como bem sabemos.
Observamos ainda, para posterior referência, que a proposição 1.3.12 se
generaliza sem dificuldades de maior às classes Eσ(R N ) e Jσ(R N ):
Lema 1.6.20. Se U ∈ Jσ(R N ) e V ∈ Jσ(R M ), então
a) Fecho em relação ao produto: U × V ∈ Jσ(R N+M ) e
cN+M(U × V ) = cN(U)cM(V ).
b) Invariância sob translacções: Se x ∈ R N então U + x ∈ Jσ(R N ) e
cN(U + x) = cN(U),
c) Invariância sob reflexões: Se W é uma reflexão de U num dos hiperplanos
xk = 0, então W ∈ Jσ(R N ) e cN(W) = cN(U).
Estas afirmações são igualmente verdadeiras substituindo Jσ(R N ), Jσ(R M )
e Jσ(R N+M ) respectivamente por Eσ(R N ), Eσ(R M ) e Eσ(R N+M ).
Demonstração. As afirmações b) e c) são consequências imediatas de 1.3.12.
Para provar a), supomos que
U =
∞
Un e V =
n=1
∞
m=1
onde os conjuntos Un ∈ J (RN ) e Vm ∈ J (RM ) formam partições, respectivamente,
de U e de V . É evidente que
U × V =
∞
e segue-se de 1.3.12 que
n=1
Un
×
∞
m=1
Vm
=
Vm,
∞
∞
n=1 m=1
Un × Vm,
Un × Vm ∈ J (R N+M ) e cN+M(Un × Vm) = cN(Un)cM(Vm).

86 Capítulo 1. Integrais de Riemann
Concluímos que U × V ∈ Jσ(R N+M ). Como os conjuntos Un × Vm formam
uma partição de U × V , temos
cN+M(U × V ) =
=
∞
n=1 m=1
∞
cN+M(Un × Vm) =
∞
cN(Un)
n=1
∞
n=1 m=1
∞
cM(Vm) = cN(U)cM(V ).
m=1
∞
cN(Un)cM(Vm) =
A adaptação destes argumentos a conjuntos σ-elementares é muito simples.
Exercícios.
1. Seja C uma classe de conjuntos tal que ∅ ∈ C e λ : C → [0, +∞] uma função
σ-aditiva em C.
a) Mostre que λ(∅) = 0, ou λ é identicamente +∞.
b) Prove que λ é aditiva.
2. Seja S uma semi-álgebra de conjuntos e λ : S → [0, +∞] uma função aditiva.
Mostre que λ é σ-aditiva se e só se λ é σ-subaditiva.
3. Prove que qualquer conjunto numerável tem conteúdo nulo.
4. Mostre que E ∈ Jσ(R N ) é nulo no sentido de Borel se e só se cN(E) = 0.
5. Suponha que 0 ≤ anm ≤ ∞ para quaisquer n, m ∈ N e prove que
∞
∞
∞
∞
=
.
n=1
m=1
anm
m=1
n=1
anm
6. Sendo R ⊆ R N e f : R → R Riemann-integrável em R, mostre que o integral
indefinido λ de f é σ-aditivo em Jf(R). (teorema 1.6.7).
7. Demonstre o teorema 1.6.18. sugestão: No caso de c) e dado x ∈ U, seja Ix
a união de todos os intervalos abertos abertos V tais que x ∈ V ⊆ U. Mostre
que os conjuntos Ix formam uma família de intervalos abertos disjuntos, que
só pode ser numerável. Mostre em particular que a decomposição referida em
c) é única.
8. Prove que, se E ∈ J (R), então E tem subconjuntos que não são Jordanmensuráveis
se e só se c(E) > 0. sugestão: Mostre que qualquer intervalo
aberto não-vazio contém subconjuntos que não são Jordan-mensuráveis.
9. Prove que se E ∈ Jσ(R N ) então cN(E) = 0 se e só se int(E) = ∅. Mostre
igualmente que se E ∈ Eσ(R), então cN(E) = 0 se e só se E é numerável.

1.6. O Problema de Borel 87
10. Mostre que as classes Eσ(R N ) e Jσ(R N ) são fechadas em relação a intersecções
finitas. Estas classes são fechadas em relação a intersecções numeráveis?
11. Verifique que cN é monótona, aditiva e subaditiva em Jσ(R N ).
12. Suponha que E ∈ Jσ(R N ) é limitado e prove que c N (E) ≤ cN(E) ≤ cN(E).
13. Determine o cardinal da classe dos abertos em R N . ( 54 )
14. Considere o conjunto de Volterra Cε(I) (exemplo 1.6.15).
a) O conjunto Fn é elementar e é formado por 2 n intervalos. Sendo J um
desses 2 n subintervalos, mostre que J ∩ Cε(I) = Cδ(J), onde δ é um
parâmetro que deve calcular. Conclua em particular que J\Cε(I) é σelementar
e calcule o seu conteúdo.
b) Mostre que Cε(I) é perfeito não-numerável e tem interior vazio.
c) Calcule c(Cε(I)), c(Cε(I)), c(Uε(I)) e c(Uε(I)).
15. Verifique as afirmações feitas no texto a propósito da função de Volterra.
Em particular, mostre que
a) g é diferenciável em R e g ′ é limitada em R, com oscilação 2 em 0 e a.
b) F é diferenciável em R, com F ′ limitada em R e F ′ (x) = 0 para x ∈ U.
sugestão: Suponha que x ∈ U e estabeleça a desigualdade seguinte:
F(x + h) − F(x)
h ≤ |h|.
c) O gráfico de F é rectificável em [0, 1].
d) F ′ é descontínua em Cε(I). sugestão: Recorde que qualquer ponto de
Cε(I) é limite de sucessões de pontos fronteira dos Fn.
e) F ′ não é Riemann-integrável, i.e., a sua região de ordenadas não é Jordanmensurável,
mas é um conjunto σ-elementar limitado. Como definiria e
calcularia o integral de F ′ em I?
16. Considere a função f definida tal como a “escada do diabo”, mas utilizando
o conjunto de Volterra Cε(I) com ε > 0 em vez do conjunto de Cantor C0(I).
Calcule o comprimento do gráfico de f no intervalo I = [0, 1]. Pode existir
alguma função Riemann-integrável g que satisfaça f ′ (x) = g(x) qtp em I?
Quais são os possíveis valores de f ′ (x) nos pontos onde esta derivada exista?
17. O conjunto U do exemplo 1.6.8 é Jordan-mensurável quando ε = 1
2 ?
18. Seja U ainda o aberto referido no exemplo 1.6.8 e F a função de Volterra
nula fora de U. O que pode concluir sobre a integrabilidade de F ′ ?
54 Usamos as seguintes designações para cardinais infinitos: ℵ0 é o cardinal de N, ℵ1 é o
cardinal de R, ℵ2 é o cardinal de P(R), ℵ3 é o cardinal de P(P(R)), etc.

88 Capítulo 1. Integrais de Riemann

Capítulo 2
A Medida de Lebesgue
As dificuldades técnicas associadas ao integral de Riemann, algumas das
quais temos vindo a apontar, eram bem conhecidas no final do século XIX,
mas certamente prevalecia a opinião que eram inevitáveis, e inultrapassáveis.
Apenas um grupo restrito de jovens matemáticos( 1 ) parece ter-se apercebido,
por volta de 1900, que era possível e desejável alargar a classe das funções
às quais atribuímos um integral, e que dessa forma se podiam ultrapassar
algumas das limitações do integral de Riemann. Por um lado, os trabalhos
de Jordan e Peano tinham revelado que este problema se reduz ao
de alargar a classe de conjuntos aos quais atribuímos um conteúdo. Por
outro lado, e como vimos, Borel tinha descoberto que certos conjuntos que
não são Jordan-mensuráveis podem ser “medidos” usando partições infinitas
numeráveis em rectângulos, e tinha igualmente identificado com muito rigor
e clareza o que ele próprio considerava como as “propriedades essenciais” a
satisfazer por qualquer possível extensão do conteúdo de Jordan.
Em 1902, o então jovem professor de liceu Henri Léon Lebesgue apresentou
a sua própria definição de conjuntos mensuráveis e de medida, numa
excepcional tese de doutoramento, com o título “Integral, área, volume”,
que submeteu à Universidade de Nancy. A ideia de Lebesgue combinava
de forma muito natural o trabalho de Jordan com o de Borel, retomando
a ideia de aproximação usada por Jordan, mas substituindo os conjuntos
elementares pelos conjuntos σ-elementares, cuja medida Lebesgue calculava
pela técnica de Borel. Os conjuntos mensuráveis “no sentido de Lebesgue”
dizem-se conjuntos de Lebesgue, ou conjuntos Lebesgue-mensuráveis,
e formam a classe L(R N ), que inclui a classe J (R N ). A medida de Lebesgue
designa-se “mN”, ou apenas “m”, é uma função mN : L(R N ) → [0, ∞],
e é uma extensão do conteúdo de Jordan cN.
1 Além de Henri Leon Lebesgue, 1875-1941, formado em 1897 pela École Normale
Supérieure, donde conhecia Borel, pelo menos o matemático italiano Giuseppe Vitali,
1875-1941, na altura assistente na Scuola Normale de Pisa, e o matemático inglês William
Henry Young, 1863-1942, então em Göttingen.
89

90 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Em 1913, Radon( 2 ) deu um passo decisivo no caminho da generalização
crescente, ao aperceber-se que a medida de Lebesgue é apenas um exemplo
de um tipo de objecto matemático que hoje tem o nome genérico de medida,
e que qualquer medida pode ser utilizada para definir integrais de funções.
Na realidade, as ideias de Borel, Lebesgue e Radon, acompanharam, e frequentemente
precederam, a vaga de fundo de abstracção que começou a
varrer os mais diversos domínios da Matemática no início do século XX, e
rapidamente conduziram à identificação de uma base axiomática apropriada
para a chamada Teoria da Medida.
Na teoria axiomática da medida, os conjuntos mensuráveis são, simplesmente,
elementos de álgebras de conjuntos de um tipo especial, ditas
σ-álgebras, das quais a classe L(R N ), descoberta por Lebesgue, é apenas
um exemplo, se bem que de importância capital. As medidas são funções
aditivas definidas em σ-álgebras, mas para as quais a propriedade de aditividade
é ainda válida para partições numeráveis.
O principal objectivo deste Capítulo é a definição da medida de Lebesgue
propriamente dita, e a identificação das suas propriedades mais relevantes.
Aqui introduzimos também a base axiomática da Teoria da Medida, uma
das mais importantes ferramentas de trabalho em todo este texto, e que em
muitos aspectos simplifica desde já o nosso estudo da medida de Lebesgue.
2.1 Espaços Mensuráveis e Medidas
Esta secção apresenta algumas das ideias mais básicas da Teoria da Medida,
todas relacionadas com a noção de σ-aditividade, e em grande parte sugeridas
pelo enunciado do “Problema de Borel”. A primeira definição que
apresentamos resume-se aliás a abstrair a condição (c) desse problema:
Definição 2.1.1 (σ-Álgebra). Seja M uma classe de subconjuntos em X.
Dizemos que M é uma σ-álgebra (em X) se e só se M é uma álgebra de
conjuntos fechada em relação a uniões numeráveis, i.e.,
Exemplos 2.1.2.
E1,E2, · · · ,En, · · · ∈ M =⇒ E =
∞
En ∈ M.
1. Nesta terminologia, a condição c) do Problema de Borel pode enunciar-se:
“MN é uma σ-álgebra em R N ”.
2. Sendo I = [0, 1], a classe J (I) é uma álgebra, mas o conjunto de Dirichlet
D = Q ∩ I mostra que J (I) não é fechada em relação a uniões numeráveis, e
portanto não é uma σ-álgebra.
2 Johann Radon (1887-1956), matemático austríaco. Foi professor em diversas universidades
alemãs, e terminou a sua carreira na Universidade de Viena, onde se tinha
doutorado em 1910.
n=1

2.1. Espaços Mensuráveis e Medidas 91
3. A classe Jσ(R N ) é fechada em relação a uniões numeráveis, mas não é uma
σ-álgebra, porque não é uma semi-álgebra.
4. Qualquer semi-álgebra em RN que contenha os rectângulos limitadas e seja
fechada em relação a uniões numeráveis contém necessariamente o próprio
conjunto RN . É por isso uma álgebra e uma σ-álgebra.
5. De acordo com o teorema de Cantor (1.6.17), qualquer σ-álgebra em R N
que contenha os rectângulos limitadas contém todos os conjuntos abertos e
portanto todos os conjuntos fechados.
6. Sendo X um qualquer conjunto, a classe de todos os subconjuntos de
X, designada P(X), é, por razões óbvias, a maior σ-álgebra em X. A classe
{∅, X} é a menor σ-álgebra em X.
A definição 2.1.1 é complementada pela seguinte:
Definição 2.1.3 (Espaço Mensurável, Conjuntos Mensuráveis). Um espaço
mensurável é um par (X, M), onde M é uma σ-álgebra no conjunto X.
Se E ⊆ X, dizemos que E é M-mensurável se e só se E ∈ M.
Quando a σ-álgebra M é óbvia do contexto da discussão, dizemos apenas
que o conjunto E é “mensurável”, em vez de “M-mensurável”. Das
propriedades seguintes, apenas o fecho em relação a intersecções numeráveis
requer ainda demonstração, o que fica como exercício.
Teorema 2.1.4 (Propriedades Algébricas de σ-Álgebras). Se M é uma
σ-álgebra em X, i.e., se (X, M) é um espaço mensurável, temos:
a) ∅, X ∈ M.
b) Fecho em relação à diferença: E, F ∈ M =⇒ E\F ∈ M.
c) Fecho em relação a uniões e intersecções, finitas e numeráveis:
m m ∞ ∞
En ∈ M, ∀n∈N =⇒ En, En, En, En ∈ M.
n=1
O objectivo da teoria da medida é o estudo de funções σ-aditivas, definidas
em σ-álgebras, e são estas as funções que chamamos medidas.
Definição 2.1.5 (Medidas: Reais, Complexas e Positivas). Supondo que
Y = R, Y = C ou Y = [0,+∞] e (X, M)) é um espaço mensurável, dizemos
que µ é uma medida se e só se µ : M → Y é uma função σ-aditiva com
µ(∅) = 0( 3 ). A medida µ diz-se, respectivamente, real, complexa ou
positiva se Y = R, Y = C ou Y = [0,+∞]. A medida positiva µ é finita
se e só se µ(E) = ∞ para todos os E ∈ M.
3 Esta condição só não se segue automaticamente da σ-aditividade quando Y = [0, +∞],
e nesse caso é equivalente à condição de µ não ser constante e igual a +∞.
n=1
n=1
n=1

92 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Observações 2.1.6.
1. As medidas reais não-negativas são as medidas positivas finitas.
2. Se π e ν são medidas positivas finitas, então µ = π − ν é uma medida real.
3. Qualquer medida complexa α é da forma α = µ+iλ, onde µ e λ são medidas
reais.
4. Só as medidas positivas podem tomar valores infinitos, e mesmo neste caso
apenas o valor +∞.
As relações entre estes tipos de medidas ilustram-se na figura 2.1.1.
Positivas
finitas
Positivas
Reais Complexas
Figura 2.1.1: Tipos de medidas.
Demonstraremos mais adiante o chamado Teorema da Decomposição de
Hahn-Jordan. Este resultado mostra que qualquer medida real µ é da forma
µ = µ + − µ − , onde µ + e µ − são medidas positivas finitas. De acordo com
as observações acima e o teorema de Hahn-Jordan, as medidas positivas são
naturalmente elementos base da teoria da Medida.
Exemplos 2.1.7.
1. A distribuição de dirac δ, definida em P(R) por
1, se 0 ∈ A, e
δ(A) =
0, se 0 ∈ A,
é uma medida em P(R), e diz-se, também, a medida de dirac. Conforme referimos
no exemplo 1, é frequentemente utilizada para representar a distribuição
de massa associada a um único ponto material, de massa unitária, colocado
na origem. Mais geralmente, se X é um conjunto e x0 ∈ X, a distribuição de
Dirac (em x0) define-se por
e é uma medida em P(X).
δx0(A) =
1, se x0 ∈ A, e
0, se x0 ∈ A,

2.1. Espaços Mensuráveis e Medidas 93
2. Sendo X um conjunto, o cardinal é uma medida em P(X). O cardinal
é uma medida positiva, que é finita se e só se o conjunto X é finito. Diz-se,
frequentemente, a medida de contagem, e é aqui designada por “#”.
3. Uma medida de probabilidade π no conjunto X = ∅ é, simplesmente,
uma medida positiva satisfazendo a condição π(X) = 1. Em certo sentido, é
legítimo dizer que a Teoria das Probabilidades não passa de um subcapítulo da
Teoria da Medida! Um dos exemplos mais simples de medida de probabilidade
resulta de tomar π(E) = #(E)/#(X), para qualquer E ∈ P(X), onde X é
um conjunto finito. Neste caso, os diversos elementos de X correspondem a
acontecimentos igualmente prováveis, o que é o modelo mais comum no estudo
de muitas questões elementares sobre, por exemplo, jogos de azar com cartas
e dados. A própria medida de Dirac é um exemplo trivial de medida de
probabilidade.
4. O usual pente de Dirac em R é a medida positiva π(E) = #(E ∩ Z).
Definição 2.1.8 (Espaço de Medida). Um espaço de medida é um terno
(X, M,µ), onde (X, M) é um espaço mensurável e µ é uma medida positiva
definida em M.
Exemplos 2.1.9.
1. (R, P(R), δ) é um espaço de medida.
2. O espaço da medida de contagem em N é (N, P(N), #).
3. Um espaço de probabilidade é um espaço de medida (X, M, µ) em que
µ(X) = 1, ou seja, em que µ é uma medida de probabilidade. Neste caso, é
tradicional dizer que os conjuntos mensuráveis, i.e., os conjuntos E ∈ M, são
os acontecimentos.
Utilizaremos, no que se segue, a seguinte terminologia:
Definição 2.1.10 (Espaço de Medida Finito, σ-Finito). O espaço de medida
(X, M,µ) diz-se finito se e só se µ é finita. Diz-se σ-finito, se e só se
existem conjuntos Xn ∈ M, tais que
µ(Xn) < ∞ e X =
∞
Xn.
n=1
Dizemos também neste último caso que a medida µ é σ-finita.
Exemplos 2.1.11.
1. Qualquer espaço de probabilidades é um espaço de medida finito, porque,
neste caso, µ(X) = 1.
2. O espaço (N, P(N), #) da medida de contagem em N é σ-finito mas não é
finito. Sendo Xn = {1, 2, · · · , n}, é claro que #(N) = +∞, #(Xn) < +∞ e
N = ∞
n=1 Xn.

94 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
3. O pente de Dirac (exemplo 2.1.7.4) é uma medida σ-finita que não é finita.
4. O espaço da medida de contagem (X, P(X), #), em qualquer conjunto X
infinito não-numerável, não é σ-finito. Basta notar que, se os conjuntos Xn ⊆
X têm medida finita, i.e., se são conjuntos finitos, então o conjunto ∪ ∞ n=1 Xn é
finito, ou infinito numerável, e portanto X = ∪ ∞ n=1 Xn.
Os próximos teoremas indicam propriedades válidas para qualquer medida,
que utilizaremos quase constantemente no que se segue. Começamos
por resumir alguns dos resultados elementares que já apresentámos até aqui.
Teorema 2.1.12. Seja µ uma medida definida na σ-álgebra M em X. Se
os conjuntos E,F,E1,E2, · · · ,En, · · · são M-mensuráveis, temos:
a) µ(∅) = 0.
b) Aditividade e σ-aditividade: Se os conjuntos En são disjuntos,
m
µ( En) =
n=1
m
∞
µ(En) e µ( En) =
n=1
n=1
∞
µ(En).
Se µ é não-negativa, i.e., se µ é uma medida positiva, temos ainda:
c) Monotonia: E ⊆ F =⇒ µ(E) ≤ µ(F).
d) Subaditividade e σ-subaditividade:
m
µ( En) ≤
n=1
m
∞
µ(En) e µ( En) ≤
n=1
n=1
n=1
∞
µ(En).
Recordamos que o conjunto R = [−∞,+∞] se diz a “recta acabada”,
e escrevemos analogamente R + = [0,+∞]. Qualquer sucessão monótona em
R converge para algum α ∈ R, e introduzimos aqui as seguintes convenções:
• Se a sucessão de termo geral xn é crescente, então α = supxn, e
escrevemos “xn ր α”.
• Quando a sucessão é decrescente, α = inf xn, e escrevemos “xn ց α”.
n=1
Se os conjuntos En formam uma sucessão crescente, escrevemos
En ր E, onde se entende que E =
∞
En.
n=1
Se os conjuntos En formam uma sucessão decrescente, escrevemos
En ց E, onde se entende que E =
∞
En.
n=1

2.1. Espaços Mensuráveis e Medidas 95
Se os conjuntos En são M-mensuráveis e formam uma sucessão crescente,
é possível usar indirectamente a σ-aditividade de µ para calcular a medida
do conjunto ∪ ∞ n=1 En.
Teorema 2.1.13 (da Convergência Monótona de Lebesgue). Se os conjuntos
En ∈ M e En ր E, então E ∈ M e µ(En) → µ(E).
Demonstração. Sendo Fk+1 = Ek+1\Ek e F1 = E1, notamos que os conjuntos
Fk são disjuntos e verificam
En =
n
Fk e E =
k=1
∞
n=1
En =
∞
Fk.
Como os conjuntos Fk são disjuntos e µ é aditiva e σ-aditiva, temos
µ(En) = µ(
n
Fk) =
k=1
k=1
n
∞
µ(Fk) e µ(E) = µ( Fk) =
k=1
É portanto óbvio que µ(En) → µ(E).
k=1
∞
µ(Fk).
k=1
Se os conjuntos En formam uma sucessão decrescente, temos
Teorema 2.1.14. Se os conjuntos En ∈ M e En ց E, então E ∈ M. Se,
além disso, µ(E1) = +∞, então µ(En) → µ(E).
Demonstração. Os conjuntos Fn = E1\En são M-mensuráveis e formam
uma sucessão crescente. Portanto,
Por outro lado,
∞
∞
µ(Fn) → µ( Fn), ou seja, µ(E1\En) → µ( (E1\En)).
n=1
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
(E1\En) = E1\ En =⇒ µ(E1\En) → µ(E1\ En).
Dado que En ⊆ E1 e ∩ ∞ n=1 En ⊆ E1, se todos os conjuntos em causa têm
medida finita, é claro que
∞
∞
µ(En) = µ(E1) − µ(E1\En) e µ( En) = µ(E1) − µ(E1\ En).
n=1
∞
Obtemos imediatamente que µ(En) → µ( En).
A hipótese adicional µ(E1) = +∞, referida no teorema anterior, só não
é automaticamente satisfeita quando µ é uma medida positiva. O exemplo
seguinte mostra que, neste caso, a hipótese é indispensável.
n=1
n=1
n=1

96 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Exemplo 2.1.15.
Considerem-se os conjuntos En = {k ∈ N : k ≥ n} no espaço de medida (de
contagem) (N, P(N), #). É claro que
En ց
Exercícios.
∞
En = ∅ mas #(En) = +∞ não converge para #(∅) = 0.
n=1
1. Seja X um conjunto infinito. Diga, para cada um dos exemplos seguintes,
se a função de conjuntos em causa µ : P(X) → [0, +∞] é aditiva, subaditiva,
σ-aditiva, σ-subaditiva.
a) µ(E) = 0, se E é finito, com µ(E) = 1, se E é infinito,
b) µ(E) = 0, se E é finito, com µ(E) = +∞, se E é infinito.
2. Suponha que M é uma σ-álgebra em X e E1, E2, · · · , En, · · · são conjuntos
em M. Prove que E = ∩ ∞ n=1 En pertence igualmente a M (Teorema 2.1.4).
3. Suponha que µ é uma medida definida na σ-álgebra M e E é M-mensurável.
Prove que a função λ definida por λ(F) = µ(F ∩E) é igualmente uma medida.
4. Em cada um dos casos seguintes, prove que a função µ : P(X) → [0, +∞]
dada é uma medida na σ-álgebra P(X).
a) A medida de contagem #.
b) a medida de Dirac δx0, onde x0 ∈ X.
5. Suponha que (X, M) é um espaço mensurável e µ é uma medida complexa
definida em M. Prove que
a) Existem medidas reais α e β tais que µ = α + iβ.
b) µ(∅) = 0.
c) µ é aditiva.
6. Suponha que, para cada n ∈ N, µn : Mn → [0, +∞] é uma medida positiva
na σ-álgebra Mn em X. Considere
∞
∞
M = Mn e µ : M → [0, +∞] dada por µ(E) = µn(E), para E ∈ M.
n=1
Prove que M é uma σ-álgebra em X e µ é uma medida positiva em M.
7. (O Lema de Borel-Cantelli)( 4 ): Seja (X, M, µ) um espaço de medida.
Suponha que os conjuntos En são M-mensuráveis e ∞
n=1 µ(En) < ∞. Sendo
4 De Borel, e Francesco Paolo Cantelli, 1875-1966, matemático italiano, professor na
Universidade de Roma.
n=1

2.2. A Medida de Lebesgue 97
E o conjunto dos x ∈ X que pertencem a um número infinito de conjuntos
En’s, prove que E ∈ M e µ(E) = 0. Sugestão: Prove primeiro que
E =
∞
n=1 k=n
∞
Ek.
8. Existe alguma σ-álgebra infinita numerável? Sugestão: Comece por provar
que qualquer σ-álgebra infinita contém uma família infinita de conjuntos mensuráveis
disjuntos.
2.2 A Medida de Lebesgue
Passamos a descrever a solução do Problema de Borel descoberta por Lebesgue,
que envolve:
• A classe L(R N ), dos conjuntos ditos Lebesgue-mensuráveis, e
• A medida de Lebesgue mN, que é uma função mN : L(R N ) → [0,+∞].
Notamos primeiro que qualquer solução (MN,κN) do Problema de Borel é
uma extensão do conteúdo de Jordan tal como o definimos em 1.6.9 para
a classe dos conjuntos σ-elementares:
• Por um lado, como MN é uma σ-álgebra que contém os conjuntos
elementares, temos necessariamente Eσ(R N ) ⊂ MN.
• Por outro lado, se E ∈ Eσ(R N ), existem conjuntos elementares disjuntos
En tais que E = ∞
n=1 En, donde
κN(E) =
∞
κN(En) =
n=1
∞
cN(En) = cN(E).
Como R N é σ-elementar, é também claro que qualquer subconjunto de R N
pode ser aproximado por excesso por conjuntos σ-elementares, i.e.,
n=1
Se E ⊆ R N , existe U ∈ Eσ(R N ) tal que E ⊆ U.
Se κN(E) é uma qualquer solução do Problema de Borel, temos então, por
monotonia,
κN(E) ≤ κN(U) = cN(U).
Concluímos que cN(U) é uma aproximação por excesso de κN(E), i.e.,
κN(E) é minorante do conjunto cN(U) : E ⊆ U,U ∈ Eσ(R N ) .

98 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Como já mencionámos, a próxima definição (de Lebesgue) para o que
hoje chamamos de medida exterior de Lebesgue resulta da definição de Jordan
e Peano para o conteúdo exterior pela simples substituição dos conjuntos
elementares pelos conjuntos σ-elementares. Resume-se a observar que a
melhor aproximação por excesso que podemos calcular para κN(E) usando
apenas conjuntos σ-elementares é
inf cN(U) : E ⊆ U,U ∈ Eσ(R N ) .
Definição 2.2.1 (Medida Exterior de Lebesgue ). A medida exterior de
Lebesgue em R N é a função m ∗ N : P(RN ) → [0,+∞], dada por
m ∗ N(E) = inf cN(U) : E ⊆ U,U ∈ Eσ(R N ) .
A próxima proposição compara a medida exterior de Lebesgue com o
conteúdo interior, exterior, e com a função cN.
Proposição 2.2.2. Se E ⊆ R N , então
a) Se E é limitado, cN(E) ≤ m∗ N (E) ≤ cN(E),
b) Se E ∈ J (RN ), m∗ N (E) = cN(E).
Demonstração. Sendo E limitado, consideramos os conjuntos
A = {cN(K) : K ⊆ E,K ∈ E(R N )},B = {cN(U) : U ⊇ E,U ∈ E(R N )} e
C = {cN(U) : U ⊇ E,U ∈ Eσ(R N )}.
a) É evidente que B ⊆ C, e portanto m∗ N (E) = inf C ≤ inf B = cN(E).
Para provar que cN (E) ≤ m∗ N (E), supomos que K ⊆ E ⊆ U, onde K é
elementar e U é σ-elementar. Existem conjuntos elementares disjuntos Un
tais que U = ∞ n=1 Un, e segue-se da σ-subaditividade de cN que
cN(K) ≤
∞
cN(Un) = cN(U), ou seja,
n=1
cN(K) é minorante de C, donde cN(K) ≤ inf C = m∗ N (E). Temos assim
que m∗ N (E) é majorante de A, e concluímos que m∗ N (E) ≥ supA = cN(E). b) É uma consequência evidente de a).
Exemplos 2.2.3.
1. O conjunto Q é σ-elementar, e portanto 0 ≤ m ∗ (Q) ≤ c1(Q) = 0, ou seja,
m ∗ (Q) = 0. Note-se que escrevemos m ∗ em vez de m ∗ 1.

2.2. A Medida de Lebesgue 99
2. Sendo D = Q ∩ [0, 1] o exemplo de Dirichlet, temos
0 = c(D) = c1(D) = m ∗ (D) < c(D) = 1.
As propriedades mais essenciais da medida exterior da Lebesgue são as
seguintes, que veremos mais adiante serem a base da definição axiomática
de “medida exterior”.
Proposição 2.2.4. Dados E,En,F ⊆ R N , temos:
a) Monotonia: Se E ⊆ F então m ∗ N (E) ≤ m∗ N (F),
b) m∗ N (∅) = 0,
c) σ-subaditividade: E ⊆
∞
En =⇒ m ∗ N(E) ≤
n=1
∞
m ∗ N(En).
Demonstração. As afirmações em a) e b) são muito fáceis de verificar. Relativamente
a c), dados conjuntos σ-elementares Un tais que En ⊆ Un, temos
E ⊆
∞
n=1
En ⊆
∞
Un = U.
O conjunto U é σ-elementar, e segue-se de 1.6.11 c) (σ-subaditividade) que:
n=1
m ∗ N(E) ≤ cN(U) ≤
n=1
∞
cN(Un).
Como os conjuntos Un são arbitrários, podemos agora concluir que:
Observação 2.2.5.
m ∗ N(E) ≤
n=1
∞
m ∗ N(En).
n=1
A medida exterior de Lebesgue coincide com o conteúdo de Jordan em Jσ(R N ):
Se E ∈ Jσ(R N ), existem conjuntos disjuntos En ∈ J (R N ) tais que
E =
∞
n=1
Segue-se de 2.2.2 que
(1)
∞
n=1
m ∗ N (En) =
En, donde m ∗ N (E) ≤
∞
n=1
∞
n=1
m ∗ N (En), de 2.2.4.
cN(En) = cN(E), e por isso m ∗ N (E) ≤ cN(E).

100 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Por outro lado, como Fm = m
n=1 En é Jordan-mensurável e Fm ⊆ E, temos
(2) m ∗ N (E) ≥ m∗ N (Fm) = cN(Fm) =
m
∞
cN(En) → cN(En) = cN(E).
n=1
Concluímos de (1) e (2) que cN(E) = m ∗ (E).
É por vezes conveniente calcular a medida exterior de Lebesgue usando
procedimentos distintos do que optámos por referir em 2.2.1.
Proposição 2.2.6. Dado E ⊆ RN , temos:
m ∗
∞
∞
N(E) = inf cN(Rn) : E ⊆ Rn, Rn rectângulo limitado ,
n=1
n=1
inf cN(U) : E ⊆ U ⊆ R N ,U aberto .
Demonstração. Escrevemos para simplificar
∞
∞
R = cN(Rn) : E ⊆ Rn, Rn rectângulo limitado ,
n=1
n=1
A = cN(U) : E ⊆ U ⊆ R N , U aberto .
Dados rectângulos limitados Rn tais que E ⊆ ∞ n=1 Rn, deve ser claro que
existem rectângulos limitados disjuntos ˜ Rn tais que
(1) E ⊆
∞
n=1
Rn =
Ũ =
∞
n=1
˜Rn onde
∞
n=1
O conjunto Ũ é σ-elementar, e temos assim que
∞
(2) m ∗ N (E) ≤ cN( Ũ) ≤
n=1
n=1
cN( ˜ Rn) = cN( Ũ) ≤
∞
cN(Rn).
n=1
cN(Rn) donde m ∗ N (E) ≤ inf R.
Qualquer conjunto σ-elementar U é uma união numerável de rectângulos Rn
disjuntos, e como cN(U) = ∞
n=1 cN(Rn) ≥ inf R, segue-se também que
m ∗ N(E) ≥ inf R, ou seja, m ∗ N(E) = inf R.
É fácil verificar que, dado ε > 0, existem rectângulos abertos R ′ n ⊇ Rn tais
que cN(R ′ n\Rn) < ε/2 n . O conjunto V = ∞
n=1 R′ n é aberto e portanto
inf A ≤ cN(V ) ≤
∞
cN(R ′ n) ≤
n=1
∞
n=1
cN(Rn) + ε
2n
Como inf A ≤ cN(U)+ε, concluímos que inf A ≤ m∗ N
para obter inf A ≤ m∗ N
donde é óbvio que m∗ N (E) ≤ inf A, e portanto m∗ N
= cN(U) + ε.
(E)+ε, e fazemos ε → 0
(E). Por outro lado, qualquer aberto é σ-elementar,
(E) = inf A.

2.2. A Medida de Lebesgue 101
Observação 2.2.7.
Segue-se do resultado anterior que E é um conjunto nulo no sentido de Borel
se e só se m∗ N (E) = 0.
A medida exterior de Lebesgue providencia apenas uma aproximação por
excesso da medida de Lebesgue. Lebesgue descobriu, igualmente, uma aproximação
por defeito apropriada, dita hoje a medida interior de Lebesgue,
e definiu os conjuntos Lebesgue-mensuráveis, imitando Jordan e Peano,
como os conjuntos cujas medidas interior e exterior de Lebesgue são iguais.
No entanto, não se deve inferir da relativa facilidade com que introduzimos
a medida exterior de Lebesgue que a definição da correspondente medida
interior é imediata, e deixamos para os exercícios 8 e 10 desta secção verificar
que esta questão não é trivial, e a sua solução está longe das ideias de Jordan
e Peano. Preferimos aqui não seguir exactamente o procedimento original
de Lebesgue, e observar que:
Seja qual for a “correcta” definição de medida interior de Lebesgue,
devemos ter, para os conjuntos Lebesgue-mensuráveis, que
mN(E) = m ∗ N (E),
exactamente como temos, para os conjuntos Jordan-mensuráveis, que
cN(E) = cN(E).
De acordo com esta observação, a medida exterior m∗ N deve coincidir
com a medida positiva mN na classe dos conjuntos Lebesgue-mensuráveis
L(RN ) e será portanto σ-aditiva em L(RN ). Por outras palavras, a medida
exterior de Lebesgue é aditiva na classe L(RN ). Por esta razão, e em vez de
nos ocuparmos da definição da medida interior de Lebesgue, propomo-nos
resolver o seguinte problema:( 5 )
2.2.8 (O Problema “Fácil” de Lebesgue). Determinar uma σ-álgebra
MN ⊇ E(R N ) onde a medida exterior de Lebesgue seja aditiva.
Começamos o nosso estudo detalhado do problema “fácil” de Lebesgue
2.2.8 por uma observação muito simples, sugerida pela figura 2.2.1.
5 Recorde aliás do exercício 2 da secção 1.6 que a medida exterior, que é σ-subaditiva,
é também σ-aditiva em qualquer semi-álgebra onde seja aditiva.

102 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
E
R ∩ E
R\E
Figura 2.2.1: Decomposição do rectângulo R.
Proposição 2.2.9. Se MN é solução do problema 2.2.8 então, para qualquer
E ∈ MN e qualquer rectângulo-N limitado R, temos:
R
cN(R) = m ∗ N(R ∩ E) + m ∗ N(R\E).
Demonstração. Seja MN uma solução do problema 2.2.8. Temos então:
(1) R ∩ E,R\E ∈ MN, porque MN é uma semi-álgebra que contém o
conjunto E e o rectângulo limitado R.
(2) m ∗ N (R) = m∗ N (R ∩ E) + m∗ N (R\E), porque m∗ N é aditiva em MN, os
conjuntos R ∩ E e R\E são disjuntos e R = (R ∩ E) ∪ (R\E).
(3) cN(R) = m∗ N (R) = m∗N (R ∩ E) + m∗N (R\E), de acordo com 2.2.2.
A condição referida em 2.2.9 pode ser reformulada de diversas maneiras,
e é especialmente útil reconhecer que o rectângulo R pode ser substituído
por um qualquer subconjunto arbitrário de R N . Neste caso, esta reformulação
é uma consequência directa e quase trivial da definição da medida
exterior de Lebesgue. No entanto, a medida exterior de Lebesgue é, como
já mencionámos, apenas um exemplo concreto de uma noção mais abstracta
de medida exterior e, nesse contexto mais geral, o resultado abaixo sugere
ideias muito úteis para a definição e estudo de outras medidas de interesse.
Proposição 2.2.10. Se E ⊆ R N as seguintes afirmações são equivalentes:
a) cN(R) = m∗ N (R∩E)+m∗ N (R\E), para qualquer rectângulo-N limitado
R.
b) m ∗ N (F) = m∗ N (F ∩ E) + m∗ N (F \E), para qualquer F ⊆ RN .

2.2. A Medida de Lebesgue 103
Demonstração.
É evidente que b) ⇒ a) e portanto limitamo-nos a provar
é subaditiva, donde
que a) ⇒ b). Recordamos que m ∗ N
m ∗ N(F) ≤ m ∗ N(F ∩ E) + m ∗ N(F \E).
Por esta razão, temos a provar apenas a desigualdade
m ∗ N(F) ≥ m ∗ N(F ∩ E) + m ∗ N(F \E).
Considerem-se rectângulos limitados Rn tais que F ⊆ ∪∞ n=1Rn. É claro que
Como m ∗ N
F ∩ E ⊆
∞
(Rn ∩ E) e F \E ⊆
n=1
é σ-subaditiva, sabemos que
m ∗ N(F ∩ E) ≤
∞
n=1
∞
(Rn\E).
n=1
m ∗ N(Rn ∩ E) e m ∗ N(F \E) ≤
Adicionando as desigualdades precedentes, obtemos
m ∗ N (F ∩ E) + m∗N (F \E) ≤
∞
n=1
∞
m ∗ N(Rn\E).
n=1
[m ∗ N (Rn ∩ E) + m ∗ N (Rn\E)].
Por hipótese, temos m ∗ N (Rn ∩ E) + m ∗ N (Rn\E) = cN(Rn). Concluímos que
m ∗ N (F ∩ E) + m∗N (F \E) ≤
∞
cN(Rn).
Segue-se da proposição 2.2.6 que m ∗ N (F ∩ E) + m∗ N (F \E) ≤ m∗ N (F).
n=1
As definições fundamentais da teoria de Lebesgue são as seguintes:
Definição 2.2.11 (Conjuntos de Lebesgue, Medida de Lebesgue). Sendo
E ⊆ R N ,
a) E diz-se Lebesgue-mensurável (em R N ) se e só se( 6 )
m ∗ N(F) = m ∗ N(F ∩ E) + m ∗ N(F \E), para qualquer F ⊆ R N .
b) L(R N ) é a classe dos conjuntos Lebesgue-mensuráveis em R N .
6 O trabalho original de Lebesgue contemplava conjuntos E ⊆ I, onde I é um intervalo
limitado. A medida interior de E é neste caso c(I)−m ∗ (I\E), e a igualdade entre medida
interior e medida exterior é a identidade c(I) = m ∗ (E) + m ∗ (I\E), que é claramente um
caso especial da aqui referida. Por outras palavras, a ideia original de Lebesgue estava
certamente muito próxima da que aqui optámos por seguir.

104 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
c) A medida de Lebesgue mN : L(R N ) → [0, ∞] é a restrição de m ∗ N
a L(R N ).
Exemplos 2.2.12.
1. R N é Lebesgue-mensurável: Tomando E = R N na definição 2.2.11, é claro
que F ∩ E = F e F \E = ∅, donde
m ∗ N (F ∩ E) + m∗ N (F \E) = m∗ N (F) + m∗ N (∅) = m∗ N (F).
2. Qualquer conjunto com medida exterior nula é Lebesgue-mensurável: Se F ⊆
RN e m∗ N (E) = 0 e então m∗N (F ∩E) = 0, porque F ∩E ⊆ E e m∗N é monótona.
Temos assim que
Por outro lado, e como m ∗ N
m ∗ N (F ∩ E) + m∗ N (F \E) = m∗ N (F \E) ≤ m∗ N (F).
é subaditiva, temos
m ∗ N (F ∩ E) + m∗ N (F \E) ≥ m∗ N (F).
3. O conjunto Q dos racionais é Lebesgue-mensurável: porque tem medida exterior
nula, como vimos no exemplo 2.2.3.
4. Qualquer conjunto Jordan-mensurável é Lebesgue-mensurável: se E ∈ J (R N )
e R é um rectângulo-N limitado então
cN(R) = cN(R ∩ E) + cN(R\E) = m ∗ N(R ∩ E) + m ∗ N(R\E).
5. A classe L(R N ) é fechada relativamente a complementações: porque a condição
em 2.2.11 a) é evidentemente simétrica em E e E c .
Passamos a mostrar que L(R N ) é solução do problema “fácil” de Lebesgue,
começando por alguns resultados parciais mais fáceis de estabelecer:
Proposição 2.2.13. Sejam A,B ⊆ R N :
a) L(R N ) é uma álgebra.
b) Aditividade:
A ∩ B = ∅ e A ∈ L(R N ) =⇒ m ∗ N (A ∪ B) = m∗ N (A) + m∗ N (B).
c) Em particular, se A1, · · · ,An ∈ L(R N ) são disjuntos então
n
Ak ∈ L(R N ) e m ∗ N (
n
Ak) =
k=1
k=1
n
k=1
m ∗ N (Ak).
Demonstração. Vimos nos exemplos 2.2.12 que R N ∈ L(R N ) e que L(R N )
é fechada relativamente a complementações. Basta-nos por isso provar que
L(R N ) é fechada em relação à intersecção (ver figura 2.2.2).

2.2. A Medida de Lebesgue 105
A B
R ∩ A\B
A ∩ B
R\A
Figura 2.2.2: R\(A ∩ B) = (R ∩ A\B) ∪ (R\A).
a) Usamos 2.2.11 a) de duas formas:
(1) E = A e F = R ⇒ m ∗ N (R) = m∗ N (R ∩ A) + m∗ N (R\A).
(2) E = B e F = R∩A ⇒ m ∗ N (R∩A) = m∗ N (R∩A∩B)+m∗ N (R∩A\B).
Usamos (2) em (1), para obter:
(3) m ∗ N (R) = m∗ N (R ∩ A ∩ B) + m∗ N (R ∩ A\B) + m∗ N (R\A).
Como sugerido na figura 2.2.2, temos R\(A∩B) = (R\A)∪(R∩A\B),
e portanto, como a medida exterior é subaditiva,
(4) m ∗ N (R\(A ∩ B)) ≤ m∗ N (R ∩ A\B) + m∗ N (R\A).
Segue-se agora de (3) e (4) que
m ∗ N (R) ≥ m∗N (R ∩ A ∩ B) + m∗N (R\(A ∩ B)),
e concluímos que A ∩ B ∈ L(R N ).
b) Tomamos E = A e F = A ∪ B em 2.2.11 a), e obtemos
m ∗ N (A ∪ B) = m∗ N ((A ∪ B) ∩ A) + m∗N ((A ∪ B)\A).
É claro que (A ∪ B) ∩ A = A e (A ∪ B)\A = B, ou seja,
R
m ∗ N(A ∪ B) = m ∗ N(A) + m ∗ N(B).
c) Segue-se de uma indução evidente que se os conjuntos A1, · · · ,An ∈
L(R N ) são disjuntos, então
n
k=1
Ak ∈ L(R N ) e m ∗ N (
n
Ak) =
k=1
n
k=1
m ∗ N (Ak).

106 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
O próximo teorema mostra que L(R N ) é efectivamente uma solução do
problema “fácil” de Lebesgue, dita a σ-álgebra de Lebesgue.
Teorema 2.2.14. m ∗ N é σ-aditiva em L(RN ) e L(R N ) é uma σ-álgebra.
Demonstração. Dados conjuntos En ∈ L(R N ), definimos
E =
∞
En e Fn =
n=1
n
Ek.
Os conjuntos Fn são Lebesgue-mensuráveis, porque L(R N ) é uma álgebra
(2.2.13 c)), e podemos supor que os conjuntos En são disjuntos sem perder
generalidade (porquê?). Para provar que m ∗ N é σ-aditiva em L(RN ), bastanos
notar que
∞
n=1
m ∗ N(En) ≥ m ∗ N(E) ≥ m ∗ N(Fn) =
k=1
n
m ∗ N(Ek) →
k=1
∞
m ∗ N(En).
Para verificar que E ∈ L(R N ), seja R um rectângulo limitado. Observamos
primeiro que, como Fn ∈ L(R N ) e E ⊇ Fn, temos
(i) cN(R) = m ∗ N (R ∩ Fn) + m ∗ N (R\Fn) ≥ m ∗ N (R ∩ Fn) + m ∗ N (R\E).
Como os conjuntos R∩Ek são mensuráveis e disjuntos, usamos a σ-aditividade
que acabámos de demonstrar para obter
(ii) m ∗ N(R ∩ Fn) =
n
m ∗ N(R ∩ Ek) →
k=1
∞
n=1
n=1
m ∗ N(R ∩ En) = m ∗ N(R ∩ E).
Concluímos de (i) e (ii) que cN(R) ≥ m∗ N (R ∩ E) + m∗ N (R\E), o que, como
já observámos, garante que E é Lebesgue-mensurável.
Usando o resultado anterior, registamos desde já que:
Observações 2.2.15.
1. A classe L(R N ) contém as classes Eσ(R N ) e Jσ(R N ): Qualquer conjunto Jordan-mensurável
é Lebesgue-mensurável, como vimos no exemplo 2.2.12.4. Como
L(R N ) é uma σ-álgebra, é claro que Eσ(R N ) ⊆ Jσ(R N ) ⊆ L(R N ).
2. Os conjuntos abertos são Lebesgue-mensuráveis, porque são σ-elementares.
Os conjuntos fechados, que são os respectivos complementares, são igualmente
Lebesgue-mensuráveis, porque L(R N ) é uma álgebra.

2.2. A Medida de Lebesgue 107
3. O conjunto do exemplo 1.6.8 é Lebesgue-mensurável: O conjunto é da forma
Uε =
∞
]qn − ε
n=1
2 n , qn + ε
2 n[,
onde q1, q2, · · · , qn, · · · são os racionais de [0, 1]. Uε é Lebesgue-mensurável,
porque é aberto, mas não é Jordan-mensurável, pelo menos quando ε < 1/2,
4. O conjunto de Volterra Cε(I) é Lebesgue-mensurável, porque é fechado. Sendo
Uε(I) = I\Cε(I), temos m(Uε(I)) = (1−ε)c(I), e como m(I) = m(Cε(I))+
m(Uε(I)) é claro que m(Cε(I)) = εc(I). Recorde que Cε(I) ∈ Jσ(R N ) quando
ε > 0.
5. (L(RN ), mN) é uma solução do problema de Borel. Poderão existir outras
soluções (MN, κN) do problema de Borel com κN = m∗ N , mas teremos sempre
(E) para qualquer E ∈ MN.
κn(E) ≤ m ∗ N
6. L(R N ) é a maior solução do problema “fácil” de Lebesgue, como verificámos
na proposição 2.2.9.
O próximo resultado revela uma relação essencial entre os conjuntos Lebesgue-mensuráveis
e os conjuntos abertos: os conjuntos Lebesgue-mensuráveis
são os que podem ser aproximados por excesso por conjuntos abertos
com erro arbitrariamente pequeno, sendo este erro quantificado pela medida
exterior do conjunto diferença.
Teorema 2.2.16. E ∈ L(RN ) se e só se para qualquer ε > 0 existe um
conjunto aberto U ⊆ RN tal que E ⊆ U e m∗ N (U\E) < ε.
Demonstração. Consideramos as afirmações
(1) ∀ε>0 ∃U⊆RN tal que U é aberto, E ⊆ U e m∗ N (U\E) < ε, e
(2) E ∈ L(R N ).
• (1) ⇒ (2): Existem neste caso abertos Un ⊇ E tais que m ∗ N (Un\E) <
1/n, e definimos B = ∞
n=1 Un. Note-se que (figura 2.2.3)
B ∈ L(R N ),B ⊇ E e B\E ⊆ Un\E.
Como m∗ N (B\E) ≤ m∗ N (Un\E) < 1/n → 0, temos m∗ N (B\E) = 0, e
portanto B\E ∈ L(RN ), donde E = B\(B\E) ∈ L(RN ).
• (2) ⇒ (1):
É conveniente separar o argumento em dois subcasos,
a) mN(E) < +∞: de acordo com 2.2.6, existe para qualquer ε > 0
um aberto U tal que E ⊆ U, e
m ∗ N(E) = mN(E) ≤ cN(U) = mN(U) ≤ mN(E) + ε.
Temos de 2.2.13 b) que mN(U) = mN(E)+mN(U\E), e portanto
m ∗ N(U\E) = mN(U\E) = mN(U) − mN(E) < ε.

108 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
b) mN(E) = +∞: tomamos En = E∩Rn, onde Rn é, por exemplo, o
rectângulo formado pelos x = (x1, · · · ,xN) com |xk| ≤ n. Como
En ∈ L(RN ) e tem medida finita, temos de a) que existe um
aberto Un ⊇ En tal que mN(Un\En) < ε/2n . É claro que
E =
∞
n=1
En ⊆
∞
Un = U, e U\E =
n=1
∞
(Un\E) ⊆
n=1
∞
(Un\En).
n=1
U é aberto, e como a medida exterior é σ-subaditiva, temos
m ∗ N
∞
(U\E) ≤ mN( Un\En) ≤
n=1
Un
E B
∞
mN(Un\En) <
n=1
Um
Figura 2.2.3: Os conjuntos E, B, e os abertos Un.
O teorema anterior é muitas vezes utilizado na forma
∞
n=1
ε
< ε.
2n Corolário 2.2.17. E ∈ L(R N ) se e só se existem conjuntos abertos Un ⊆
R N tais que E ⊆ Un e m ∗ N (Un\E) → 0, donde mN(Un) → mN(E). Os
conjuntos Un podem sempre ser supostos formar uma sucessão decrescente.
Demonstração. De acordo com o teorema anterior, E ∈ L(R N ) se e só se
existe uma sucessão de abertos Un ⊇ E tais que m ∗ N (Un\E) → 0. A sucessão
pode ser suposta decrescente, porque podemos substituir os conjuntos Un
pelos conjuntos Vn = ∩ n k=1 Uk. Temos ainda que
mN(E) ≤ mN(Un) = mN(E) + mN(Un\E) =⇒ mN(Un) → mN(E).

2.2. A Medida de Lebesgue 109
Este corolário permite-nos obter facilmente um resultado de unicidade
parcial para as soluções do Problema de Borel.
Corolário 2.2.18. Se (MN,κN) é solução do Problema de Borel, então
κN(E) = m ∗ N (E) para qualquer E ∈ MN ∩ L(R N ).
Demonstração. Qualquer solução κN do Problema de Borel coincide com cN
nos rectângulos limitados, e portanto, por σ-subaditividade, κN(U) = cN(U)
para qualquer aberto U ⊆ R N . Como κN é monótona, temos ainda, para
qualquer E ∈ MN,( 7 )
κN(E) ≤ inf{mN(U) : E ⊆ U, U aberto } = m ∗ N(E)
De acordo com 2.2.17, se E ∈ MN ∩ L(R N ) existem conjuntos abertos
Un ⊇ E tais que mN(Un\E) → 0, e notamos que
κN(E) + κN(Un\E) = κN(Un) = mN(Un) = mN(E) + mN(Un\E).
Dado que κN(Un\E) ≤ m ∗ N (Un\E) = mN(Un\E), é claro que κN(Un\E) →
0, e concluímos que κN(E) = mN(E).
Antes de generalizar a proposição 1.3.12, sobre produtos cartesianos, e
a invariância do conteúdo sob translações e reflexões, aos conjuntos Lebesgue-mensuráveis,
investigamos as correspondentes propriedades da medida
exterior de Lebesgue.
Proposição 2.2.19. Sejam E ⊆ R N , F ⊆ R M e x ∈ R N . Seja ainda R a
reflexão de E no hiperplano xk = 0. Temos então:
a) Invariância sob translações: m ∗ N (E + x) = m∗ N (E).
b) Invariância sob reflexões: m ∗ N (R) = m∗ N (E).
c) Medida exterior do produto: m ∗ N+M (E × F) ≤ m∗ N (E) × m∗ M (F).(8 )
Demonstração. A verificação de a) e de b) é um exercício muito simples.
Por exemplo, é muito fácil mostrar que
cN(U) : E ⊆ U,U ∈ Eσ(R N ) = cN(V ) : E + x ⊆ V,V ∈ Eσ(R N ) ,
porque os conjuntos V são da forma V = (U + x), e cN(U + x) = cN(U).
Para provar c), sejam Un ⊆ R N e Vn ⊆ R M conjuntos abertos tais que
Un ⊇ E,Vn ⊇ F,cN(Un) → m ∗ N(E) e cM(Vn) → m ∗ M(F).
7 Existem soluções do problema de Borel que não são soluções do problema “fácil” de
Lebesgue, i.e., para as quais existem conjuntos E ∈ MN tais que κN(E) < m ∗ N(E).
Veremos adiante que as soluções do problema “fácil” de Lebesgue se dizem as soluções
regulares do problema de Borel.
8 Temos na realidade que m ∗ N+M(E × F) = m ∗ N(E) × m ∗ M(F), mas só estabeleceremos
esta afirmação no próximo Capítulo.

110 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
É claro que E × F ⊆ Un × Vn, e portanto, usando o lema 1.6.20, temos
(i) m ∗ N+M (E × F) ≤ cN+M(Un × Vn) = cN(Un)cM(Vn) → m ∗ N (E)m∗ M (F),
desde que o produto m∗ N (E)m∗ M (F) não corresponda a uma indeterminação
do tipo (0)(∞).
Suponha-se agora que o produto m∗ N (E) × m∗ M
que m∗ N (E) = 0 e m∗ M (F) = ∞ (o argumento para o caso m∗ N
m∗ M
(F) é da forma 0 × ∞, e
(E) = ∞ e
(F) = 0 é inteiramente análogo). Definimos os conjuntos auxiliares
Fn = {y ∈ F : y ≤ n}, donde F =
∞
Fn e E × F =
n=1
∞
E × Fn.
Os conjuntos Fn têm medida exterior finita, porque são limitados. Segue-se
de (i) que m ∗ N+M (E × Fn) = 0 × m ∗ M (Fn) = 0 e portanto
Exemplo 2.2.20.
m ∗ N+M(E × F) ≤
∞
n=1
m ∗ N+M(E × Fn) = 0.
Se E ⊂ R N tem medida exterior nula e F ⊆ R M é arbitrário, então E × F
é Lebesgue-mensurável, porque tem medida exterior nula, como acabámos de
verificar.
Podemos agora generalizar a proposição 1.3.12 aos conjuntos Lebesguemensuráveis.
Teorema 2.2.21. Sejam A ∈ L(R N ) e B ∈ L(R M ).
n=1
a) Invariância sob translacções: Se x ∈ R N , A + x ∈ L(R N ) e
mN(A + x) = mN(A),
b) Invariância sob reflexões: Se C é a reflexão de A no hiperplano xk =
0, então C ∈ L(R N ), e mN(A) = mN(C), e
c) Fecho em relação ao produto: A × B ∈ L(R N+M ) e
mN+M(A × B) = mN(A) × mM(B).

2.2. A Medida de Lebesgue 111
Demonstração. As afirmações a) e b) são consequências muito simples das
correspondentes afirmações em 2.2.19 e a sua verificação fica para o exercício
12. Passamos a provar apenas a afirmação c).
De acordo com 2.2.17, existem conjuntos abertos Un ⊇ A e Vn ⊇ B, tais
que mN(Un\A) → 0 e mM(Vn\B) → 0. Notamos que
Un × Vn é aberto, A × B ⊆ Un × Vn e
(Un × Vn)\(A × B) = [Un × (Vn\B)] ∪ [(Un\A) × Vn].
Se os conjuntos A e B têm ambos medida finita, deve ser claro que
m ∗ N+M (Un × (Vn\B)) → 0 e m ∗ N+M ((Un\A) × Vn) → 0, e portanto
m ∗ N+M ((Un × Vn)\(A × B)) → 0.
Segue-se do corolário 2.2.17 que A × B é Lebesgue-mensurável e
mN+M(Un × Vn) → mN+M(A × B).
É também claro que mN+M(Un × Vn) = cN(Un)cM(Vn) → mN(A)mM(B) e
temos assim que
mN+M(A × B) = mN(A)mM(B).
Se A ou B têm medida infinita, basta-nos considerar os conjuntos An =
{x ∈ A : ||x|| < n} e Bn = {x ∈ B : ||x|| < n}, e notar que An ր A,
Bn ր B e An × Bn ր A × B. Aplicando o teorema da convergência
monótona 2.1.13 e o resultado que demonstrámos para conjuntos de medida
finita, concluímos que A × B é mensurável e( 9 )
mN+M(An × Bn) = mN(An)mM(Bn) ր mN(A)mM(B) = mN+M(A × B).
Relativamente a produtos de conjuntos, a seguinte proposição é também
útil. É aliás válida para qualquer B ∈ L(RM ) (ver o exercício 14), e como
já dissémos é mesmo válida para quaisquer conjuntos, observação que será
verificada no próximo Capítulo.
Proposição 2.2.22. Se A ⊆ R N e B ⊆ R M é um rectângulo-M então
m ∗ N+M (A × B) = m∗ N (A)mM(B).
9 Neste caso não há qualquer indeterminação, porque se mN(A)mM(B) = (0)(∞) então
mN(An)mM(Bn) = 0 para qualquer n.

112 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Demonstração. Temos a provar que m∗ N+M (A × B) ≥ m∗ N (A) × mM(B).
Supomos primeiro que B é um rectângulo compacto. Dado um aberto U ⊇
A × B, sabemos que
U =
∞
Rn × Tn, onde Rn ⊂ R N e Tn ⊂ R M são rectângulos abertos.
n=1
Fixado x ∈ A, notamos que a classe T = {Tn : x ∈ Rn} é, por razões óbvias,
uma cobertura aberta do compacto B. Existe por isso uma subcobertura
finita T ′ = {Tn1 ,Tn2 , · · · ,Tnk } ⊆ T de B. Observamos que
Qx =
k
i=1
Rni =⇒ Qx × B ⊆
k
i=1
Rni
× Tni ⊆ U.
O conjunto V =
Qx é aberto, e A × B ⊆ V × B ⊆ U. É evidente que
x∈A
m∗ N (A) ≤ mN(V ) e portanto
m ∗ N(A)mM(B) ≤ mN(V )mM(B) = mN+M(V × B) ≤ mN+M(U).
Por outras palavras, m∗ N (A)mM(B) ≤ mN+M(U) para qualquer aberto U ⊇
A × B, donde m∗ N (A)mM(B) ≤ m∗ N+M (A × B). Deixamos como exercício
a generalização deste resultado para qualquer conjunto mensurável B.
Exercícios.
B
x
Qx
A
Qx × B
A × B U
Figura 2.2.4: Qx × B ⊆ U.

2.2. A Medida de Lebesgue 113
1. Prove que a medida exterior de Lebesgue é invariante sob translacções, e conclua
que a classe dos conjuntos Lebesgue-mensuráveis é igualmente invariante
sob translacções.
2. Prove que qualquer conjunto numerável E ⊆ RN verifica m∗ N (E) = 0.
3. Determine conjuntos E ⊆ R tais que
c(E) < m ∗ (E) = c(E) e c(E) < m ∗ (E) < c(E).
4. Prove que se m∗ N (E) = 0 então qualquer subconjunto de E é Lebesguemensurável.
5. Prove que se I ⊆ R é um intervalo ilimitado então I ∈ L(R) e m(I) = +∞.
6. Prove que R\Q é Lebesgue-mensurável, com m(R\Q) = ∞.
7. Prove que se K é compacto, então m∗ N (K) = cN(K).
8. Mostre que podemos ter mN(E) > 0 e intE = ∅.
9. Determine o cardinal das classes J (R N ) e L(R N ). sugestão: Considere o
conjunto de Cantor.
10. Podemos definir a medida interior de Lebesgue do conjunto E ⊆ R N usando
sup{cN(K) : K ∈ Eσ(E)}?
11. Suponha que E ⊆ R ⊂ R N , e R é um rectângulo limitado. Mostre que E é
Lebesgue-mensurável se e só se m ∗ N (E) + m∗ N (R\E) = cN(R).( 10 )
12. Complete a demonstração do teorema 2.2.21.
13. Generalize a propriedade de σ-aditividade da medida de Lebesgue da seguinte
forma: suponha que os conjuntos En ⊆ R N são mensuráveis e disjuntos, e considere
quaisquer conjuntos An ⊆ En. Mostre que:
m ∗ ∞
∞
( An) = m ∗ (An).
n=1
Aproveite para mostrar que se os conjuntos Fn são mensuráveis e Fn ր F então
m ∗ N (A ∩ Fn) ր m ∗ N (A ∩ F) para qualquer A ⊆ RN . sugestão: Considere
primeiro o caso de uma união finita.
14. Seja A ⊆ R N e B ∈ L(R M ). Mostre que m ∗ N+M (A × B) = m∗ N (A)mM(B).
sugestão: Use a proposição 2.2.22, e suponha primeiro que B é aberto. Pode
ser conveniente usar o exercício anterior.
10 Mostramos assim que a definição original de Lebesgue, aplicável apenas a conjuntos
limitados, é nesse caso equivalente à definição que referimos em 2.2.11.
n=1

114 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
15. Suponha que ∞
n=1 |cn| < ∞, seja D = {xn : n ∈ N} um conjunto infinito
numerável em R, e considere a função f : R → R nula fora de D, tal que
f(xn) = cn.
a) Prove que f ′ (x) = 0 qtp em R. sugestão: Aplique o lema de Borel-
Cantelli aos conjuntos:
∞ ∞
|cn| 1
An,k = x ∈ R : > , e Ak = An,k.
|x − xn| k
m=1 n=m
b) Mostre que a conclusão anterior é igualmente válida desde que, para
qualquer intervalo limitado I, e tomando K = {n ∈ N : xn ∈ I}, se tenha
|cn| < ∞.
n∈K
2.3 Os Espaços de Borel e de Lebesgue
Passamos a definir os conjuntos de Borel a que já aludimos diversas vezes,
e esclarecemos a relação entre estes conjuntos e os conjuntos Lebesguemensuráveis.
Não usamos aqui a definição original de Borel, que é construtiva(
11 ), e bastante complexa. Sabemos hoje que os conjuntos de Borel
formam a menor σ-álgebra em R N que contém os conjuntos abertos, e este
facto permite uma definição muito mais sucinta. Precisamos apenas de
provar um resultado abstracto preliminar:
Proposição 2.3.1. Se {Mα : α ∈ J} é uma família não-vazia de σ-álgebras
em X, a classe M = ∩a∈JMα é uma σ-álgebra em X.
Demonstração. Sabemos que qualquer σ-álgebra Mα ⊇ {∅,X}, e portanto
M ⊇ {∅,X}. Em particular, M = ∅. Para verificar que M é fechada em
relação à complementação, basta-nos notar que, como cada σ-álgebra Mα
é fechada em relação à complementação,
A ∈ M ⇔ A ∈ Mα, ∀α∈J ⇒ A c ∈ Mα, ∀α∈J ⇔ A c ∈ M.
Analogamente, e para demonstrar que M é fechado em relação a uniões numeráveis,
observamos que cada σ-álgebra Mα é fechada em relação a uniões
numeráveis, donde
∞
∞
An ∈ M ⇐⇒ An ∈ Mα, ∀α∈J =⇒ An ∈ Mα, ∀α∈J ⇐⇒ An ∈ M.
n=1
11 A opção de Borel parece ter sido motivada, pelo menos parcialmente, por razões filosóficas.
Borel revela algum desconforto com noções demasiado abstractas da ideia de “conjunto”,
e prefere referir conjuntos que podem ser definidos usando apenas rectângulos, e
operações de intersecção, união e complementação sobre famílias numeráveis de conjuntos.
Naturalmente, este facto não o impede de reconhecer que a sua própria definição de
conjunto de medida nula não se coaduna com estas reservas.
n=1

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 115
Se C é uma família inteiramente arbitrária de subconjuntos de X, então
a σ-álgebra P(X) que contém todos os subconjuntos de X contém certamente
todos os conjuntos em C. Portanto, existem sempre σ-álgebras de X
que contém todos os conjuntos em C. A intersecção de todas as σ-álgebras
que contêm C é, de acordo com a proposição anterior, a menor σ-álgebra
de X que contém C (porquê?). Introduzimos por isso:
Definição 2.3.2 (σ-Álgebra Gerada pela Classe C). Se C é uma classe de
subconjuntos do conjunto X, a intersecção de todas as σ-álgebras em X que
contêm a classe C diz-se a σ-álgebra gerada por C.
Exemplo 2.3.3.
Se C = {E}, onde E ⊆ X, a σ-álgebra gerada por C é M = {∅, E, E c , X}.
Definimos os conjuntos Borel-mensuráveis usando 2.3.2, com X = R N ,
e sendo C a classe dos subconjuntos abertos de R N :
Definição 2.3.4 (Conjuntos Borel-Mensuráveis). A σ-álgebra gerada pelos
subconjuntos abertos de R N diz-se a σ-álgebra de borel, e designa-se
por B(R N ). Os conjuntos em B(R N ) dizem-se borel-mensuráveis, ou
conjuntos de borel.( 12 )
Exemplos 2.3.5.
1. Qualquer conjunto aberto (ou fechado) é Borel-mensurável. Em particular,
sendo S ⊆ R N um conjunto qualquer, o seu interior, exterior e fronteira são
sempre Borel-mensuráveis.
2. O conjunto de Cantor C(I) e o conjunto de Volterra Cε(I) são Borel-mensuráveis,
porque são fechados.
3. Se os conjuntos Un são abertos, então G = ∩ ∞ n=1 Un é Borel-mensurável,
apesar de G não ser necessariamente aberto, ou fechado. Analogamente, se os
conjuntos Fn são fechados, então F = ∪ ∞ n=1 Fn é Borel-mensurável, apesar de
F não ser necessariamente fechado, ou aberto.
4. Se B = {x1, x2, · · · , xn, · · · } é um conjunto numerável em R N , tomamos
Fn = {xn} (um conjunto fechado, logo Borel-mensurável), e notamos que
B = ∪ ∞ n=1 Fn é Borel-mensurável.
Os conjuntos dos tipos mencionados em 2.3.5.3 têm nomes especiais:
Definição 2.3.6 (Conjuntos Fσ e Gδ). Se E ⊆ R N , dizemos que
a) E é um conjunto Fσ, ou de tipo Fσ, se e só se E é a união de uma
família numerável de fechados, e
12 Esta definição é aplicável em qualquer espaço topológico (X, O): sendo O a família
dos conjuntos abertos em X, B(X) é a σ-álgebra gerada por O.

116 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
b) E é um conjunto Gδ, ou de tipo Gδ, se e só se E é a intersecção de
uma família numerável de abertos.( 13 )
Exemplos 2.3.7.
1. De acordo com 1.6.18, qualquer conjunto aberto em R N é um conjunto Fσ.
2. O conjunto dos racionais é um conjunto Fσ, porque é numerável.
3. O conjunto dos irracionais é um conjunto Gδ, porque é o complementar dum
conjunto Fσ.
Sabemos que L(R N ) é uma σ-álgebra que contém os abertos. Como a
σ-álgebra de Borel é a menor σ-álgebra que contém os abertos, temos
Corolário 2.3.8. B(R N ) ⊆ L(R N ).
Note-se em particular que
• Se MN é solução do problema de Borel, temos B(R N ) ⊆ MN, porque
MN é uma σ-álgebra que contém os abertos.
• Se MN é solução do problema de Lebesgue, temos B(R N ) ⊆ MN ⊆
L(R N ), porque (R N , MN,mN) é uma solução do problema de Borel,
e porque L(R N ) é a maior solução do problema de Lebesgue.
• Veremos na próxima secção que B(R N ) = L(R N ) = P(R N ).
Vimos no teorema 2.2.16 que os conjuntos Lebesgue-mensuráveis podem
ser aproximados por excesso por conjuntos abertos. Obtemos a seguir mais
alguns tipos de aproximações de conjuntos Lebesgue-mensuráveis, mostrando
em particular que estes conjuntos:
• Podem ser aproximados por defeito por conjuntos fechados, e
• Diferem de conjuntos Borel-mensuráveis por conjuntos de medida nula.
Teorema 2.3.9. As seguintes afirmações são equivalentes:
a) E ⊆ R N é Lebesgue-mensurável.
b) Para qualquer ε > 0, existem F (fechado), e U (aberto), tais que
F ⊆ E ⊆ U, e mN(U\F) < ε.
c) Existem A,B ∈ B(R N ), onde A é um Fσ, e B um Gδ, tais que
A ⊆ E ⊆ B e mN(B\A) = 0.
13 As letras “s” (σ) e “d” (δ) são as iniciais de “união” e “intersecção” na língua alemã.

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 117
Demonstração. a) ⇒ b) Se E é Lebesgue-mensurável então E c é, igualmente,
Lebesgue-mensurável. Dado ε > 0 temos, de acordo com 2.2.16, que
• Existe um aberto U tal que E ⊆ U e mN(U\E) < ε
2 , e
• Existe um aberto V tal que E c ⊆ V e mN(V \E c ) < ε
2 .
É claro que F = V c é fechado e F ⊆ E. Basta-nos agora notar que
U\F = (U\E) ∪ (E\F) = (U\E) ∪ (V \E c ) ⇒ mN(U\F) < ε ε
+ = ε.
2 2
b) ⇒ c): Se n ∈ N, existem conjuntos Fn (fechado) e Un (aberto) tais que
Fn ⊆ E ⊆ Un e mN(Un\Fn) < 1
n .
Os conjuntos A = ∪ ∞ n=1 Fn e B = ∩ ∞ n=1 Un são, respectivamente, um Fσ e
um Gδ, temos A ⊆ E ⊆ B e B\A ⊆ Un\Fn, donde
mN(B\A) ≤ mN(Un\Fn) < 1
n , para qualquer n ⇒ mN(B\A) = 0.
c) ⇒ a): E = A ∪ D, onde D = E\A ⊆ B\A. A é Borel-mensurável,
logo Lebesgue-mensurável, e D é Lebesgue-mensurável, porque m∗ N (D) = 0.
Segue-se que E é Lebesgue-mensurável.
Os conjuntos com medida finita podem ainda ser aproximados por conjuntos
compactos, e mesmo por conjuntos elementares:
Teorema 2.3.10. Se E ⊆ RN e m∗ N (E) < +∞, então as seguintes afirmações
são equivalentes:
a) E é Lebesgue-mensurável.
b) Para qualquer ε > 0, existem K (compacto) e U (aberto) tais que
K ⊆ E ⊆ U e mN(U\K) < ε.
c) Para qualquer ε > 0, existe um conjunto elementar J tal que ( 14 )
m ∗ N(E∆J) < ε.
Demonstração. É evidente de 2.3.9 que b) ⇒ a), e deixamos para o exercício
5 mostrar que a) ⇒ b), ou seja, que o conjunto fechado referido em 2.3.9
pode ser substituído por um compacto.
14 Se A e B são conjuntos, o conjunto A∆B = (A\B)∪(B\A) é a diferença simétrica
de A e B.

118 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Para provar que b) ⇒ c), notamos que o aberto U é uma união numerável
de rectângulos abertos limitados Rn. Os rectângulos Rn formam,
por razões óbvias, uma cobertura aberta do compacto K. Existe por isso
uma subcobertura finita de K por rectângulos R1, · · · ,Rm, e o conjunto
J = ∪ m n=1 Rn é elementar. Observamos que (ver figura 2.3.1)
K ⊆ E ⊆ U e K ⊆ J ⊆ U =⇒ E∆J ⊆ U\K =⇒ m ∗ N (E∆J) < ε.
U E
J
K
Figura 2.3.1: E∆J ⊆ U\K
• m ∗ N (E\A) ≤ m∗N (E\Jn) < ε
2n, donde m∗N (E\A) = 0, e
• m ∗ N (A\E) = m∗ N (
∞
(Jn\E)) ≤
n=1
∞
n=1
m ∗ N (Jn\E) <
∞
n=1
ε
= ε
2n B = A∪(E\A) é Lebesgue-mensurável, contém E e m∗ N (B\E) < ε. Provámos
assim que, para qualquer ε > 0, existe um conjunto Lebesgue-mensurável
B ⊇ E tal que m∗ N (B\E) < ε. É fácil concluir daqui que E é igualmente
Lebesgue-mensurável (exercício 5).
As propriedades dos conjuntos Jordan- e Lebesgue-mensuráveis relacionadas
com produtos cartesianos e com a invariância sob translacções e reflexões,
que vimos em 1.3.12 e 2.2.21, são também comuns aos conjuntos de
Borel.
Teorema 2.3.11. Sejam A ∈ B(R N ), B ∈ B(R M ) e x ∈ R N .
a) Fecho em relação ao produto: A × B ∈ B(R N+M ).
b) Invariância sob translacções: A + x ∈ B(R N ).
c) Invariância sob reflexões: Se C é a reflexão de A no hiperplano xk =
0, então C ∈ B(R N ).

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 119
Demonstração. Demonstramos aqui a), deixando as observações em b) e c)
para o exercício 9. Suponha-se primeiro que U ⊆ R N é um conjunto aberto,
e considere-se a classe de conjuntos BU, dada por:
Deve ser claro que neste caso
BU = V ⊆ R M : U × V ∈ B(R N+M ) .
(1) A classe BU contém todos os subconjuntos abertos de R M .
Temos, por razões óbvias, que
V =
∞
m=1
Vm ⇒ U × V =
∞
m=1
U × Vm.
Se os conjuntos Vm ∈ BU, então os conjuntos U ×Vm são Borel-mensuráveis.
Como B(R N+M ) é uma σ-álgebra, é claro que, neste caso, U ×V é igualmente
Borel-mensurável. Por outras palavras,
(2) A classe BU é fechada em relação a uniões numeráveis.
Por outro lado, temos que U × V c = (U × V ) c ∩ U × R M . Se V ∈ BU,
então (U × V ) c é Borel-mensurável, porque é o complementar do conjunto
Borel-mensurável U × V . Sendo U aberto, deve ser evidente que U × R M é
aberto, e concluímos que U × V c é Borel-mensurável. Temos assim,
(3) A classe BU é fechada em relação a complementações.
Podemos concluir de (1), (2) e (3) que:
(4) A classe BU é uma σ-álgebra que contém os abertos, e portanto contém
os conjuntos Borel-mensuráveis. Dito doutra forma,
(5) Se U ∈ R N é aberto e B ∈ B(R M ), então U × B ∈ B(R N+M ).
Para terminar a demonstração de a), supomos que B ∈ B(RM ) e consideramos
a classe de conjuntos B∗ B dada por:
B ∗ B = U ⊆ R N : U × B ∈ B(R N+M ) .
Como vimos em (5), a classe B ∗ B contém os abertos de RN , e é simples
adaptar os argumentos acima para mostrar que esta classe é, também, uma
σ-álgebra:
• U = ∞ n=1 Un ⇒ U × B = ∞ relação a uniões numeráveis.
n=1 Un × B e, por isso, B ∗ B
é fechada em
• Uc × B = (U × B) c ∩ RN × B , donde B∗ B é fechada em relação a
complementações.

120 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Podemos concluir, mais uma vez, que
(6) A classe B ∗ B
é uma σ-álgebra que contém os abertos, e portanto contém
os conjuntos Borel-mensuráveis. Dito doutra forma,
(7) Se A ∈ B(R N ) e B ∈ B(R M ), então A × B ∈ B(R N+M ).
Vimos em 2.2.6 que a medida exterior de Lebesgue pode ser calculada
recorrendo apenas a conjuntos abertos. Como os conjuntos abertos são
mensuráveis, esta observação pode ser reformulada como se segue:
Teorema 2.3.12. Se E ∈ L(R N ), então
mN(E) = inf mN(U) : E ⊆ U ⊆ R N ,U aberto .
Esta propriedade da medida de Lebesgue é na realidade partilhada por
muitas outras medidas definidas em R N , e é por isso conveniente introduzir
a seguinte:
Definição 2.3.13 (Medida Regular). Seja µ uma medida positiva definida
na σ-álgebra M ⊇ B(R N ). Dizemos que µ é regular( 15 ) em N ⊆ M se e
só se
µ(E) = inf µ(U) : E ⊆ U,U ⊆ R N aberto , para qualquer E ∈ N.
Se N é uma σ-álgebra, dizemos também que o espaço (R N , N,µ) é regular.
Exemplos 2.3.14.
1. A medida de Lebesgue é regular em L(R N ).
2. A medida de Dirac é regular em P(R).
3. Se a medida µ é o cardinal, temos inf {µ(U) : E ⊆ U, U aberto } = +∞ para
qualquer E = ∅, porque qualquer aberto não-vazio é não-numerável. Como
qualquer conjunto finito é Borel-mensurável, µ não é regular em B(R N ).
4. O pente de Dirac dado por µ(E) = #(E ∩ Z) é regular. Em contrapartida,
o pente dado por λ(E) = #(E ∩ Q) não é regular.
5. As soluções do problema “fácil” de Lebesgue são as soluções regulares do
problema de Borel.
15 Mais exactamente, esta propriedade diz-se a regularidade exterior da medida µ.
Esta noção é efectivamente aplicável em qualquer espaço topológico (X, O), e a qualquer
medida µ definida numa σ-álgebra M ⊇ B(X) ⊇ O, tal como a de regularidade interior,
que é a afirmação que µ(E) = sup{µ(K) : K ⊆ E,K compacto }. A distinção entre
regularidade, regularidade interior e regularidade exterior não é especialmente importante
em R N , e em particular deve estabelecer-se no exercício 4 a regularidade interior da medida
de Lebesgue, mas é mais relevante noutros espaços topológicos.

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 121
Veremos mais adiante que muitas das propriedades da medida de Lebesgue
indicadas nesta secção, depois de convenientemente reformuladas,
são comuns a todas as medidas regulares σ-finitas definidas em B(R N ), e
em especial são comuns a todas as medidas que são finitas em conjuntos
compactos de R N .( 16 )
Se E é um conjunto Lebesgue-mensurável de medida nula e F ⊆ E,
sabemos que F é igualmente Lebesgue-mensurável, por razões muito simples.
Esta é uma propriedade do espaço de Lebesgue que não é partilhada por
todos os espaços de medida, e introduzimos a este respeito a
Definição 2.3.15 (Espaço Completo). O espaço (X, M,µ) é completo se
e só se todos os subconjuntos de conjuntos de medida nula são mensuráveis,
ou seja, se µ(C) = 0 e N ⊆ C ⇒ N ∈ M, donde µ(N) = 0. Dizemos
também que a medida µ é completa.
Exemplos 2.3.16.
1. O espaço de medida de Lebesgue é completo.
2. Veremos na próxima secção que o espaço de Borel não é completo.
É fácil mostrar que qualquer espaço de medida (X, M,µ) tem uma extensão
completa. Começamos por definir a classe de conjuntos( 17 )
Mµ = {E ⊆ X : Existem A,B ∈ M tais que A ⊆ E ⊆ B e µ(B\A) = 0} .
Passamos a verificar que a medida dos conjuntos A e B referidos acima
depende apenas do conjunto E ∈ Mµ. Sejam A1,A2,B1,B2 ∈ M tais que
Ai ⊆ E ⊆ Bi e µ(Bi\Ai) = 0 para i = 1 e i = 2.
Com A ′ = A1 ∪ A2 e B ′ = B1 ∩ B2, temos por razões óbvias que
Ai ⊆ A ′ ⊆ E ⊆ B ′ ⊆ Bi donde µ(Ai) = µ(A ′ ) = µ(B ′ ) = µ(Bi).
Definimos µ : Mµ → R + tomando µ(E) = µ(A), sempre supondo que
A ⊆ E ⊆ B, A,B ∈ M e µ(B\A) = 0, e observamos que µ é uma evidente
extensão de µ.
Teorema 2.3.17 (Menor Extensão Completa). (X, Mµ,µ) é a menor extensão
completa de (X, M,µ). Mais especificamente,
a) (X, Mµ,µ) é uma extensão completa de (X, M,µ),
16 Estas propriedades são também frequentes em medidas definidas em σ-álgebras B(X)
noutros espaços topológicos, mas a sua aplicabilidade depende de condições adicionais
sobre o espaço X.
17 Quando M = B(R N ) e µ = mN, é claro que Mµ = L(R N ), como vimos em 2.3.9.

122 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
b) Qualquer extensão completa de (X, M,µ) é uma extensão de (X, Mµ,µ),
c) Se (X, N,ρ) é uma extensão de (X, M,µ), então ρ(E) = µ(E), para
os conjuntos E ∈ N ∩ Mµ.
N
M
N ρ
Mµ
Figura 2.3.2: Extensões do espaço (X, M,µ)
Demonstração. Começamos por mostrar que (X, Mµ,µ) é um espaço de
medida.
(1) Mµ é fechada em relação a uniões numeráveis: Supomos que os conjuntos
En ∈ Mµ, ou seja, existem conjuntos An,Bn ∈ M tais que:
ρ
ρ
µ
µ
An ⊆ En ⊆ Bn e µ(Bn\An) = 0.
Sendo E = ∞ n=1 En,A = ∞ n=1 An e B = ∞ n=1 Bn, é claro que A ⊆
E ⊆ B, A,B ∈ M, e
B\A ⊆
∞
(Bn\An) , donde 0 ≤ µ(B\A) ≤
n=1
Concluímos que E ∈ Mµ.
∞
µ(Bn\An) = 0.
(2) µ é σ-aditiva em Mµ: Se os conjuntos En são disjuntos, então os
conjuntos An são igualmente disjuntos, e temos
∞
µ(E) = µ(A) = µ( An) =
n=1
n=1
∞
µ(An) =
n=1
∞
µ(En).
(3) Mµ é fechada em relação a uniões numeráveis: Se A ⊆ E ⊆ B e
µ(B\A) = 0 então B c ⊆ E c ⊆ A c e A c \B c = B\A.
Provámos assim que (X, Mµ,µ) é um espaço de medida e uma extensão de
(X, M,µ). Deixamos a conclusão da demonstração para o exercício 6.
n=1

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 123
Aproveitamos para sumarizar aqui diversas propriedades interessantes
das soluções dos problemas de Borel e de Lebesgue.
Observações 2.3.18. Se (MN, κN) é solução do problema de Borel, então:
1. Unicidade: κN(E) = mN(E), para qualquer E ∈ MN ∩ L(R N ). Em particular,
κN(E) = mN(E) quando E ∈ B(R N ). Esta observação é o corolário
2.2.18.
2. Soluções regulares: Se κN é regular, i.e., se κN é solução do problema “fácil”
de Lebesgue, então κN é uma restrição de mN, tal como definida em L(R N )( 18 ).
Em particular, (L(R N ), mN) é a maior solução regular do problema de Borel.
Esta observação é, como notámos, consequência imediata de 2.2.9 e 2.2.10.
3. Soluções completas: Se κN é completa, então κN é uma extensão de mN, tal
como definida em L(R N ). (L(R N ), mN) é portanto a menor solução completa
do problema de Borel. Esta observação resulta do teorema 2.3.17 e da c) do
teorema 2.3.9.
4. (L(R N ), mN) é a única solução completa e regular do problema de Borel,
como é evidente de 2. e 3. acima.
Exemplo 2.3.19.
o conjunto de Volterra generalizado - Introduzimos aqui um outro
exemplo interessante, que é uma união numerável de conjuntos de Volterra no
sentido em que estes conjuntos foram definidos em 1.6.15, e é por isso Borelmensurável.
Começamos por observar que o procedimento usado para definir o conjunto
de Volterra Cε(I) é igualmente aplicável mesmo quando o conjunto inicial I é
uma união numerável de intervalos disjuntos In, i.e.,
∞
∞
Se I = In, tomamos Cε(I) = Cε(In), e temos ainda m(Cε(I)) = εm(I).
n=1
n=1
Sendo Jn = Cε(In) ⊂ In, é claro que I\Cε(I) = ∞
n=1 (In\Jn). Deve notar-se
que o conjunto In\Jn é uma união numerável de intervalos abertos disjuntos,
independentemente do tipo de cada um dos intervalos In, e portanto o conjunto
I\Cε(I) é também uma união numerável de intervalos abertos disjuntos. Esta
operação pode assim ser aplicada recursivamente, i.e.,
• Fixamos um “intervalo inicial” U1 = I = [a, b].
• Seleccionamos uma sucessão de reais 0 < εn < 1.
• Definimos, para n ∈ N, Fn = Cεn(Un), e Un+1 = Un\Fn.
18 Registe-se, a este respeito, as extensões não regulares da medida de Lebesgue
a σ-álgebras M ⊃ L(R N ), M = L(R N ), descobertas em 1950 (Kakutani,S. e Oxtoby,
J., Construction of a non-separable invariant extension of the Lebesgue measure space, e
Kodaira, K., Kakutani, S., A non-separable translation invariant extension of the Lebesgue
measure space, ambos em Ann. of Math. (2) 52, (1950).

124 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
O exemplo que desejamos introduzir aqui é o conjunto
∞
∞
F(I) = Fn, e referimos igualmente G(I) = Un.
n=1
O mecanismo de definição do conjunto G(I) é análogo ao que usámos para
definir os conjuntos de Cantor e de Volterra. A diferença está em que, em
vez de extrair, em cada passo, uma união finita de “intervalos médios”, aqui
extraímos, em cada passo, uma união numerável de conjuntos de Volterra. Por
esta razão, para n > 1 os conjuntos Un são abertos que não são elementares.
Segue-se que G(I) é de tipo Gδ, F(I) é de tipo Fσ, e G(I) e F(I) são Borelmensuráveis.
Note-se de passagem que os conjuntos ∪ N n=1 Fn são compactos.
U1 U2 U3 U4
Figura 2.3.3: Fn = Cεn(Un), Un+1 = Un\Fn, F(I) =
n=1
F1 = Cε1(U1)
F2 = Cε2(U2)
F3 = Cε3(U3)
F4 = Cε4(U4)
∞
Cεn(Un).
A medida dos conjuntos G(I) e F(I) depende da sucessão ε1, ε2, · · ·, mas em
qualquer caso m(F(I)) = ∞
n=1 m(Fn). Fixado 0 < ε < 1, podemos tomar
ε1 = 1
2 ε, e é simples definir εn para n > 1 de forma a que( 19 )
m(Fn) = 1
2 m(Fn−1) = 1
2nεc(I), que resulta de εn+1 = 1
2
Passamos a escrever Fε(I) e Gε(I), e obtemos:
m(Fε(I)) =
∞
n=1
n=1
εn
.
1 − εn
1
2 n εc(I) = εc(I), e m(Gε(I)) = (1 − ε)c(I).
O que torna este exemplo notável é a seguinte propriedade, aparentemente
paradoxal: qualquer subintervalo não-trivial de I intercepta tanto Fε(I) como
Gε(I) em conjuntos de medida positiva. Registamos este facto na:
19 Se ε1 = 1
2
é fácil mostrar que εn ց 0, mas é também simples
calcular explicitamente o valor de εn.
ε < 1
2
1 εn e εn+1 = 2 1−εn

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 125
Proposição 2.3.20. Se J ⊆ I, e c(J) > 0, então
m(J ∩ Fε(I)) > 0 e m(J ∩ Gε(I)) > 0.
Demonstração. Apenas esboçamos a demonstração, deixando os detalhes
para o exercício 7. É necessário verificar cada uma das seguintes afirmações:
(1) O interior de Gε(I) é vazio, e portanto Fε(I) é denso em I, porque
o comprimento de cada um dos intervalos abertos que constituem Un
não excede 1/3 n .
(2) Sendo Un = ∞ Fε(I) ∩ K = Fε ′(K) e Gε(I) ∩ K = Gε ′(K). Temos em particular
k=1 In,k, e tomando K = In,k, existe ε ′ > 0 tal que
m(Fε(I) ∩ K) = ε ′ c(K) > 0 e m(Gε(I) ∩ K) = (1 − ε ′ )c(K) > 0
O cálculo de ε ′ , que depende de ε e de n, fica como exercício.
(3) Se ∅ = J ⊂ I é aberto então existem naturais n ′ ,k ′ tais que In ′ ,k ′ ⊂ J.
• De acordo com (1), Fε(I) é denso em I e portanto se ∅ = J ⊂ I
então existe x ∈ J ∩ Fε(I).
• Como Fε(I) = ∞ n=1 Fn, é claro que existe n tal que x ∈ Fn.
Fn = ∞ k=1 Cεn(In,k), e portanto existe k tal que x ∈ Cεn(In,k).
• O conjunto Cεn(In,k) é um conjunto de Volterra “normal”. Restanos
mostrar que, como x ∈ J, então J contém um dos intervalos
abertos que constituem o conjunto In,k\Cεn(In,k) ⊂ Un+1. Esse
intervalo é claramente do tipo In+1,k ′.
Observamos agora que J∩Fε(I) ⊇ In+1,k ′∩Fε(I) e J∩Gε(I) ⊇ In+1,k ′∩Gε(I)
e aplicamos (2).
Conforme referimos no Capítulo anterior, existem noções sobre a “extensão”
de conjuntos que não são baseadas na Teoria da Medida, mas usam
em lugar dela conceitos de natureza topológica, sobretudo o de densidade,
e estão associadas às chamadas categorias de Baire( 20 ), que afloramos
aqui. Começamos por observar que, deste ponto de vista topológico, os
conjuntos E ⊆ R N mais “insignificantes” são os que satisfazem a condição
int(E) = ∅, i.e., os que não são densos em nenhum conjunto aberto nãovazio.
Dizemos por isso que estes conjuntos são raros( 21 ), e apresentamos
a seguir alguns exemplos deste tipo de conjuntos:
20 René-Louis Baire, 1874-1932, matemático francês, foi professor nas universidades de
Montpellier e de Dijon. As suas obras mais conhecidas são Théorie des Nombres Irrationels,
des Limites et de la Continuité, de 1905, e Leçons sur les Théories Générales de
l’Analyse, de 1907-1908. A definição de “categorias de Baire” (2.3.22) é naturalmente
aplicável em qualquer espaço topológico.
21 O termo “raro” tem sido usado em Português, mas afasta-se um pouco da terminologia
usada noutras línguas para designar o mesmo tipo de conjuntos: “nowhere dense”, “nulle
part dense”, “denso en ninguna parte”, etc.

126 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Exemplos 2.3.21.
1. Os conjuntos finitos.
2. Os conjuntos de conteúdo nulo.
3. Qualquer conjunto fechado de interior vazio, em particular os conjuntos de
Cantor e de Volterra.
As seguintes definições devem-se a Baire.
Definição 2.3.22 (Categorias de Baire). E ⊆ R N é de primeira categoria
se e só se E é uma união numerável de conjuntos raros. Caso contrário,
E é de segunda categoria.
É fácil apresentar exemplos de conjuntos de primeira categoria:
Exemplos 2.3.23.
1. Qualquer conjunto numerável, em particular Q. Note que um conjunto de
primeira categoria pode ser denso.
2. O conjunto de pontos de descontinuidade de uma função Riemann-integrável,
porque é uma união numerável de conjuntos de conteúdo nulo. Mais geralmente,
qualquer conjunto nulo em Jσ(R N ) é um conjunto de primeira categoria.
3. O conjunto Fε(I) do exemplo 2.3.19, porque é uma união numerável de conjuntos
de Volterra, no sentido do exemplo 1.6.15.
O principal resultado sobre categorias de Baire deve-se ao próprio Baire,
e é hoje usualmente enunciado em termos abstractos numa das seguintes
formas:( 22 )
Teorema 2.3.24 (de Baire). Seja X um espaço métrico completo, ou um
espaço de Hausdorff( 23 ) localmente compacto. Temos então que:
a) A intersecção de qualquer família numerável de conjuntos abertos densos
em X é um conjunto denso em X.
b) X é de segunda categoria.
22 N
Note que o teorema é válido quando X é um qualquer subconjunto fechado de R ,
em particular quando X = R N .
23
Felix Hausdorff, 1868-1942, matemático alemão de origem judaica, criou as bases
da Topologia Geral. Forçado a reformar-se em 1935 pelo regime nazi, suicidou-se com a
família mais próxima em 1942, para evitar o transporte para um dos campos de extermínio.

2.3. Os Espaços de Borel e de Lebesgue 127
Sendo certo que os conjuntos nulos e os conjuntos de primeira categoria
são, em certo sentido, “pequenos”, deve ser claro que estas noções são distintas(
24 ). Por exemplo, o conjunto Fε(I) do exemplo 2.3.19 é de primeira
categoria, mas é difícil sustentar a “pequenez” de Fε(I) do ponto de vista da
Teoria da Medida! Existem também conjuntos de segunda categoria que são
nulos, como passamos a mostrar. Em particular, existem conjuntos nulos
que não pertencem a Jσ(R N ), o que certamente não é um facto óbvio.
Exemplos 2.3.25.
1. Tal como no exemplo 1.6.8, tomamos
Uε =
∞
]qn − ε
n=1
2 n , qn + ε
2 n[,
onde q1, q2, · · · , qn, · · · são agora todos os racionais de R. Tomamos
Vk = U 1/k e G =
∞
k=1
Vk, donde m(Vk) < 2
k
e m(G) = 0.
Sendo F = R\G = G c , é claro que F é um conjunto de primeira categoria (V c
k
é raro, porque é fechado e não contém qualquer racional). É fácil verificar que
a união (finita ou numerável) de conjuntos de primeira categoria é ainda de
primeira categoria. Como R é de segunda categoria (pelo teorema de Baire),
segue-se que G não pode ser de primeira categoria. G é portanto um conjunto
nulo de segunda categoria.( 25 )
2. Continuando o exemplo anterior, observamos que R = F ∪ G, ou seja, R é a
união de um conjunto nulo com um conjunto de primeira categoria, observação
que mostra mais uma vez como estas noções devem ser interpretadas e usadas
com precaução.
24 Existe, apesar disso, um resultado fascinante de dualidade entre os conjuntos de
primeira categoria e os conjuntos nulos (que requer a hipótese do contínuo!), e que se
deve a Sierpinski e ao extraordinário matemático húngaro Paul Erdös, 1913-1996. A referência
essencial aqui é o livro Measure and Category, de 1971, do já mencionado John
Oxtoby. Erdös é um dos personagens mais interessantes da Matemática do século XX,
em nome de quem se inventou o “número de Erdös” (o número de Erdös de um qualquer
matemático é 1 se esse matemático publicou um artigo com Erdös, e de n + 1 se publicou
um artigo com algum matemático com número de Erdös n). Mais de 1.000 matemáticos
atingiram o número de Erdös 1! Entre muitas outras ideias originais e saudavelmente
excêntricas, Erdös é recordado pelo seu mítico e divino “Livro”, onde Deus supostamente
escreveu as demonstrações “correctas” para todos os teoremas relevantes da Matemática
(Erdös achava mais importante acreditar na existência do Livro do que na existência de
Deus!). Recomenda-se vivamente a obra O Homem Que Só Gostava de Números, de Paul
Hoffman, já publicada em Português.
25 Este facto parece ter sido usado por ilustres matemáticos dos finais do século XIX para
atacar as ideias de Borel, precisamente por permitirem considerar como “insignificantes”
conjuntos de segunda categoria. Curiosamente, a primeira aplicação que Borel deu à sua
definição de medida nula, na sua tese de doutoramento, envolveu um conjunto de segunda
categoria.

128 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Exercícios.
1. Mostre que os conjuntos elementares são de tipo Gδ.
2. Supondo que f : K → R é limitada no rectângulo-N compacto K, mostre
que o conjunto de pontos de descontinuidade de f é um Fσ.
3. Qual é a σ-álgebra gerada em R N pelos conjuntos finitos?
4. Prove que se E ∈ L(R N ) então mN(E) = sup{mN(K) : K ⊆ E, K compacto },
o que dizemos ser a regularidade interior da medida de Lebesgue.
5. Conclua a demonstração do teorema 2.3.10. sugestão:
• Verifique que se F é um conjunto fechado com medida finita então existem
conjuntos compactos Kn ր tais que Kn ⊆ F e mN(F \Kn) → 0. Conclua
que 2.3.10 a) ⇒ 2.3.10 b).
• Para concluir a demonstração, mostre que se existem conjuntos mensuráveis
Bn ⊇ E tais que m ∗ N (Bn\E) → 0 então E é Lebesgue-mensurável.
6. Complete a demonstração do teorema 2.3.17.
7. Este exercício diz respeito ao exemplo 2.3.19, e à proposição 2.3.20.
a) Mostre que εn = 1 ε
2 2n−1 ց 0, quando ε < 1. Calcule o valor
(1 − ε) + ε
de ε ′ referido no ponto (2) da demosntração de 2.3.20.
b) Cada conjunto Un é uma união numerável de intervalos disjuntos In,k.
Calcule αn = max{c(In,k) : k ∈ N} e mostre que αn → 0 quando n → ∞.
Conclua que G(I) tem interior vazio.
c) Calcule m(Fε(I) ∩In,k) > 0 e m(Gε(I) ∩In,k) > 0, para quaisquer n, k ∈
N.
d) Para provar o ponto (3) da demonstração de 2.3.20, mostre que se J é um
intervalo aberto, Cε(I) ∩ J = ∅ e I\Cε(I) = Uε(I) = ∞
n=1 In, onde os
I ′ ns são intervalos abertos disjuntos não-vazios, então existe um intervalo
In ⊂ J.
8. Determine uma função f : R → R tal que, se g(x) = f(x) qtp em R, então g
é descontínua em todos os pontos x ∈ R. sugestão: Suponha primeiro que f
é a função característica de Fε(I).
9. Conclua a demonstração do teorema 2.3.11.
10. Mostre que o complementar de um conjunto raro é denso, mas o complementar
de um conjunto denso não é necessariamente raro. O que pode dizer
sobre o complementar de um conjunto de primeira categoria?

2.4. Conjuntos Não-Mensuráveis 129
11. Suponha que a) do teorema 2.3.24 é válido quando X é um subconjunto
fechado de R N , e mostre que nesse caso qualquer rectângulo com medida positiva
é um conjunto de segunda categoria em R N .
2.4 Conjuntos Não-Mensuráveis
É fácil enunciar múltiplas questões sobre os problemas de Borel e de Lebesgue
para as quais ainda não obtivémos qualquer tipo de resposta:
• Existem conjuntos que não são Lebesgue-mensuráveis, ou seja, temos
L(R N ) = P(R N )?
• Existem conjuntos Lebesgue-mensuráveis que não são Borel-mensuráveis,
ou seja, temos B(R N ) = L(R N )?
• Existem soluções do problema de Borel definidas na classe P(R N )?
Veremos nesta secção que as duas primeiras questões acima têm resposta
afirmativa, i.e.,
B(R N ) = L(R N ) = P(R N ).
Relativamente à última questão, passamos a estudar um problema análogo,
mas reforçado com a usual invariância sob translacções, enunciado pelo
próprio Lebesgue em 1904, e que aqui chamamos( 26 ):
2.4.1 (O Problema “Difícil” de Lebesgue). Determinar uma função m :
P(R) → [0, ∞] com as seguintes propriedades:
1. Normalização: Se I é um intervalo de extremos a,b, m(I) = b − a.
2. Invariância sob translacções: Se x é um real e E ⊆ R,
m(E + x) = m(E).
3. σ-aditividade: Se {En} é uma sucessão de conjuntos disjuntos em R,
∞
∞
m( En) = m(En).
n=1
Vitali( 27 ) rapidamente descobriu que este problema não tem solução,
pelo menos no contexto da Teoria dos Conjuntos tal como é normalmente
concebida hoje.
26 Em “Leçons Sur L’Integration et La Recherche de Fonctions Primitives”, de H. Lebesgue,
Paris 1904 e 1928. Lebesgue enunciou a condição 1. na forma (equivalente) de
“m([0,1]) = 0”.
27 Vitali, G.: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna
(1905). De Giuseppe Vitali, 1875-1941, matemático italiano, professor nas Universidades
de Pádua e Bolonha. Também publicado em “Moderna Teoria Delle Funzioni di Variabile
Reale”, de G.Vitali e G.Sansone, 1935, Parte 1, pp. 58-60 da edição de 1943.
n=1

130 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Exemplo 2.4.2.
o exemplo de Vitali: A relação ∼ definida em R por
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q
é de equivalência. Fixado um real x, a classe de equivalência de x é o conjunto
[x] = {x + q : q ∈ Q} e, por isso, tem representantes (elementos) em qualquer
intervalo aberto não-vazio. Em particular, existe um racional q tal que
−x < q < −x + 1, i.e., 0 < x + q < 1.
Se tomarmos v = x + q, então x ∼ v e v ∈ ]0, 1[. Por outras palavras,
2.4.3. Qualquer classe de equivalência [x] tem pelo menos um representante v
no intervalo ]0, 1[.
De acordo com o axioma da escolha, ( 28 )
2.4.4. Existe um conjunto V que contém exactamente um representante de
cada classe de equivalência [x], representante esse sempre em ]0, 1[.
Sendo r1, · · · , rn, · · · os racionais de ] − 1, 1[, definimos
Provamos, em seguida, que
Vn = V + rn = {v + rn : v ∈ V } , e G =
∞
Vn.
2.4.5. Os conjuntos Vn são disjuntos entre si, i.e., Vn ∩ Vm = ∅ ⇒ n = m.
Demonstração. Se x ∈ Vn ∩ Vm, existe v ∈ V tal que v + rn = x, porque
x ∈ Vn, e existe também v ∗ ∈ V tal que v ∗ + rm = x, porque x ∈ Vm. Mas
x = v + rn = v ∗ + rm ⇒ v − v ∗ = rm − rn ∈ Q ⇒ v ∼ v ∗ ⇒ [v] = [v ∗ ].
Como V tem exactamente um representante de cada classe [v], temos v = v ∗
e rn = rm, donde n = m.
Suponha-se que o Problema 2.4.1 tem solução. Como m é invariante sob
translacções (propriedade 2), temos m(Vn) = m(V ). Como os conjuntos Vn
são disjuntos entre si, temos, por σ-aditividade, (propriedade 3), que:
∞
∞
m(G) = m(Vn) = m(V ).
n=1
Concluímos que m(G) só pode tomar um de dois valores, dependendo do valor
de m(V ):
(1) m(V ) = 0 =⇒ m(G) = +∞, ou
(2) m(V ) = 0 =⇒ m(G) = 0.
28 Ver nota complementar sobre o axioma da escolha, no final desta secção.
n=1
n=1

2.4. Conjuntos Não-Mensuráveis 131
Demonstramos que o problema “difícil” de Lebesgue não tem solução, verificando
que qualquer uma destas alternativas conduz a contradições. Provamos
primeiro que a alternativa (1) é impossível:
2.4.6. G ⊆] − 1, 2[, donde m(G) ≤ m(] − 1, 2[) = 3 < +∞.
Demonstração. Basta observar que V ⊆ ]0, 1[ e −1 < rn < +1, donde Vn ⊆
] − 1, 2[ e G ⊆] − 1, 2[. Como m é monótona, temos m(G) ≤ m(] − 1, 2[) e, de
acordo com 1. (Normalização), m(] − 1, 2[) = 3.
Provamos, finalmente, que a alternativa (2) é igualmente impossível, porque
2.4.7. ]0, 1[⊆ G, donde 1 ≤ m(G) e m(G) = 0.
Se x ∈ ]0, 1[, existe algum v ∈ V que é equivalente a x, porque V contém um
representante de qualquer classe, incluindo [x]. Naturalmente, x = v + r, onde
r ∈ Q. Sabemos também que v ∈ ]0, 1[. Como também x ∈ ]0, 1[, é claro que
r = x − v ∈] − 1, 1[. Por outras palavras, existe um natural n tal que r = rn e
x ∈ Vn, donde x ∈ G.
Como acabámos de ver, o problema 2.4.1 não tem solução, ou seja, não
é possível atribuir um comprimento a todos os subconjuntos da recta real de
modo a satisfazer as três propriedades que indicámos. Como também vimos,
a medida de Lebesgue satisfaz as condições (1), (2) e (3) do Problema 2.4.1,
pelo que podemos concluir, desde já, que L(R) = P(R). Por outras palavras,
Existem subconjuntos de R que não são Lebesgue-mensuráveis.
A medida de Lebesgue é invariante sob translacções, e sabemos que se V é
Lebesgue-mensurável então V +x é igualmente Lebesgue-mensurável. Seguese
imediatamente que
o conjunto V do exemplo de Vitali não é Lebesgue-mensurável.
Deixamos como exercício verificar que o argumento de Vitali pode ser adaptado
para demonstrar o seguinte
Teorema 2.4.8. Existem conjuntos não-mensuráveis VE ⊆ E ⊆ R se e só
se m∗ N (E) > 0.
Aproveitamos para uma breve descrição do chamado axioma da escolha
da Teoria dos Conjuntos, e para esclarecer um pouco melhor o seu
papel na definição do exemplo de Vitali. Uma das maneiras de enunciar este
axioma é a seguinte:
2.4.9 (Axioma da Escolha). Seja F uma família de conjuntos não-vazios, e
T = ∪C∈FC. Então existe uma função f : F → T tal que f(C) ∈ C, para
qualquer C ∈ F.

132 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Intuitivamente, a função f “escolhe” um elemento de cada conjunto C
que pertence à família F, e daí o nome do axioma. É por isso comum
referirmo-nos a f como uma “função de escolha”.
No caso do exemplo de Vitali, começamos por tomar Cx = [x]∩]0,1[ para
qualquer x ∈ R. Temos, então, (porquê?)
Para qualquer x ∈ R, Cx = {y ∈ ]0,1[: x ∼ y}, Cx = ∅, e ainda
T =
x∈R
Cx =]0,1[.
Seja agora F = {Cx : x ∈ R}. Pelo axioma da escolha, existe uma função
f : F →]0,1[ tal que f(C) ∈ C, para qualquer C ∈ F. O conjunto A usado
no exemplo de Vitali é, exactamente,
A = f(F) = {f(C) : C ∈ F} .
Este conjunto verifica as seguintes propriedades:
(1) A contém um representante de cada classe de equivalência: Se x ∈ R,
existe a ∈ A tal que a ∼ x: basta considerar a = f(Cx).
(2) A contém apenas um representante de cada classe de equivalência: Se
a,a ∗ ∈ A, então a = f(C), e a ∗ = f(C ∗ ). Se a = a ∗ então C = C ∗ .
Como a e a ∗ pertencem a classes de equivalência distintas, não podem
ser equivalentes entre si.
A relação entre o axioma da escolha e o problema “difícil” de Lebesgue
é uma questão delicada, e não completamente compreendida, envolvendo os
fundamentos da Teoria dos Conjuntos. Sabe-se ( 29 ) que a existência de uma
solução para o problema “difícil” de Lebesgue é compatível com a negação
do axioma da escolha, mas não é consequência dessa negação. Existem,
mesmo, diferenças subtis em questões semelhantes em R N , dependendo da
dimensão N. Por exemplo, se substituirmos no problema de Lebesgue a
σ-aditividade pela aditividade, então existem soluções em R e R 2 ( 30 ), mas,
sempre como consequência do axioma da escolha, não há solução em R 3 . A
este respeito, é conhecido o:
2.4.10 (Paradoxo de Banach-Tarski). ( 31 ) Se A é uma esfera em R 3 de raio
R, existem conjuntos Cn,Dn, 1 ≤ n ≤ 6, tais que:
29
Solovay, R.M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable,
Ann. of Math. 92 (1970).
30
Banach, S. “Sur le Problème de la Mesure”, Fundamenta Mathematicae, 1923, 4, pp.6-
33. Stefan Banach, 1892-1945, polaco, foi um dos grandes matemáticos do século XX. A
sua tese de doutoramento (1920), intitulada “Sobre Operações em Conjuntos Abstractos
e as suas Aplicações a Equações Integrais” é frequentemente tomada como marcando a
criação da Análise Funcional.
31
Alfred Tarski, 1902-1983, também de origem polaca, foi professor nas Universidades
de Varsóvia e Harvard, e associou-se à Universidade de Berkeley, na Califórnia, desde 1942.
O trabalho original de Banach e Tarski é “Sur la décomposition des ensembles de points
en parties respectivement congruentes”, Fundamenta Mathematicae, 1924, 6, pp.244-277.

2.4. Conjuntos Não-Mensuráveis 133
a) Os conjuntos Cn são disjuntos, e a sua união é a esfera A,
b) Os conjuntos Dn são disjuntos, e a sua união consiste em duas esferas
disjuntas B e C, cada uma de raio R.
c) Os conjuntos Cn e Dn são isométricos (i.e., existem funções bijectivas
fn : Cn → Dn tais que f(x) − f(y) = x − y).
B(R N )
L(R N )
Eσ(R N ) Jσ(R N )
Figura 2.4.1: Relações entre classes de subconjuntos de R N .
É muito interessante reconhecer que L(R) = P(R) implica B(R) = L(R).
Antes de estabelecermos este facto, provamos alguns resultados auxiliares
que nos serão também úteis mais adiante, quando estudarmos outras medidas
na recta real.
Lema 2.4.11. Se f : R → R é contínua e crescente e M é uma σ-álgebra
em R que contém os intervalos (e.g., M = B(R) ou M = L(R)), então a
classe A = {E ∈ R : f(E) ∈ M} é uma σ-álgebra que contém B(R).
Demonstração. É claro que B(R) ⊆ M, e passamos a mostrar que A é uma
σ-álgebra que contém os intervalos, para concluir que B(R) ⊆ A. Notamos
primeiro que:
(1) A contém todos os intervalos: As funções contínuas transformam intervalos
em intervalos( 32 ), e por hipótese qualquer intervalo pertence
a M.
(2) A é fechada para uniões numeráveis: Para qualquer função f, temos
f
∞
n=1
En
=
∞
f (En).
n=1
32 Esta afirmação é o clássico Teorema do Valor Intermédio.

134 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
y
A função f pode não ser injectiva, e designamos por N o conjunto dos
y ∈ R para os quais a equação y = f(x) tem múltiplas soluções x ∈ R
(os pontos y ∈ N correspondem a segmentos horizontais no gráfico de
f). Temos então:
(3) N é finito ou infinito numerável, donde N é Borel-mensurável: y ∈ N
se e só se existem x1 = x2 tais que f(x1) = f(x2) = y. Supomos
sem perda de generalidade que x1 < x2 e notamos que, como f é
crescente, temos f(x) = y para qualquer x ∈ [x1,x2]. Existe por isso
um racional ry tal que x1 < ry < x2, donde f(ry) = y (figura 2.4.2).
A função ψ : N → Q dada por ψ(y) = ry é obviamente injectiva, e
portanto o cardinal de N não excede o cardinal de Q.
y ′′
y ′
x1 ry x2 ry ′ ry ′′
Figura 2.4.2: Os pontos y,y ′ ,y ′′ ∈ N, e os pontos ry,ry ′,ry ′′ ∈ Q
(4) A é fechada para complementações: Dado E ⊆ R, o conjunto K =
f(E) ∩ f(E c ) ⊆ N, por razões evidentes, e K é finito ou infinito
numerável, de acordo com (3). Segue-se que K é Borel-mensurável,
donde K ∈ M. Como f(E)∪f(E c ) = f(R), temos então (figura 2.4.3)
f(E c ) = [f(R)\f(E)] ∪ K
f(R) é um intervalo, porque R o é, e f(E) ∈ M quando E ∈ A.
Podemos neste caso concluir que f(E c ) ∈ M, ou seja, E c ∈ A.
Concluímos de (1), (2) e (4) que A é uma σ-álgebra que contém os intervalos,
e portanto A contém os abertos e os conjuntos Borel-mensuráveis.
Tomando M = B(R) concluímos em particular que as funções contínuas
crescentes transformam conjuntos Borel-mensuráveis em conjuntos Borelmensuráveis,
ou seja,

2.4. Conjuntos Não-Mensuráveis 135
f(E) K = f(E) ∩ f(E c )
f(E c )
Figura 2.4.3: f(E c ) = [f(R)\f(E)] ∪ K, e K ⊆ N é numerável.
Teorema 2.4.12. Se f : R → R é uma função contínua crescente e E ∈
B(R) então f(E) ∈ B(R).
Exemplo 2.4.13.
O resultado anterior permite-nos apresentar um conjunto E nulo, e por isso
Lebesgue-mensurável, que não é Borel-mensurável. Usamos um engenhoso
argumento indirecto, que combina diversos exemplos que já mencionámos: a
“escada do diabo” F (1.5.9), o conjunto de Cantor C (1.3.9), e o exemplo de
Vitali V (2.4.4). Limitamo-nos a observar que:
a) Como F(C) = [0, 1] e V ⊂ [0, 1], existe E ⊂ C tal que F(E) = V .
b) E ⊂ C é um conjunto Jordan-mensurável de conteúdo nulo, e portanto
E é Lebesgue-mensurável. C é evidentemente um conjunto de Borel de
medida nula.
c) Pelo teorema 2.4.12, se E ∈ B(R) então F(E) ∈ B(R).
d) V = F(E) não é Borel-mensurável, já que nem sequer é Lebesgue-mensurável.
Segue-se de c) que E não é Borel-mensurável.
Mostrámos assim que
• Existem conjuntos Lebesgue-mensuráveis que não são Borel-mensuráveis,
• Existem conjuntos Jordan-mensuráveis que não são Borel-mensuráveis,
• O espaço de Borel não é completo, e
•
É possível que uma função contínua transforme conjuntos Lebesgue-mensuráveis
em conjuntos não-mensuráveis.
Exemplo 2.4.14.
O Exemplo de Sierpinski( 33 ): Retomamos a relação de equivalência referida
no exemplo de Vitali, ou seja, se x, y ∈ R, então x ∼ y se e só se x − y ∈ Q.
Notamos que, se x ∈ Q, então x ∼ −x, ou seja, as classes de equivalência
33 Este exemplo é uma adaptação do apresentado em Sierpinski, W. Sur un problème
conduisant à un ensemble non mesurable. Fund. Math. 10 (1927) 177-179. Waclaw
Sierpinski, 1882-1969, professor na Universidade de Varsóvia, foi um dos mais produtivos
matemáticos polacos do século XX.

136 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
[x] e [−x] são distintas, porque x − (−x) = 2x ∈ Q é equivalente a x ∈ Q.
Designamos o conjunto de todas as classes [x] por R/Q ( 34 ).
• Consideramos a família W = {{[x], [−x]} : x ∈ R}, e mais uma vez
usamos o axioma de escolha para seleccionar em cada conjunto {[x], [−x]}
uma das classes de equivalência que o constituem (claro que quando x ∈ Q
existe apenas uma classe para seleccionar, que é [0]). Mais precisamente,
observamos que existe uma função “de escolha” f : W → R/Q tal que
f(ω) ∈ ω para qualquer ω ∈ W.
• O exemplo de Sierpinski é o conjunto S = {x ∈ R : [x] ∈ f(W)},
ou seja, é formado pelos reais cujas classes de equivalência foram seleccionadas
pela função de escolha f. Note-se que, se r ∈ Q,
(1) S + r = S e S c + r = S c , e
(2) Se x ∈ Q, então r + x ∈ S ⇐⇒ r − x ∈ S c .
É fácil obter de (2) que a reflexão do conjunto S em qualquer racional
é o conjunto Q ∪ S c , e a reflexão de S c em qualquer racional é o conjunto
S\Q. Como a medida exterior de Lebesgue é invariante sob reflexões e Q é
um conjunto nulo, podemos alargar esta observação para
Lema 2.4.15. Se I é um intervalo de extremos racionais, então
m ∗ (S ∩ I) = m ∗ (S c ∩ I).
Demonstração. Seja F = I\Q, q ∈ Q o ponto médio do intervalo I, e F − e
F + os conjuntos formados pelos pontos de F respectivamente à esquerda e
à direita de q, ou seja,
F − = {x ∈ F : x < q} e F + = {x ∈ F : x > q}.
Sendo ρ : R → R a reflexão em q, i.e., ρ(q + x) = q − x, notamos que
q + x ∈ S ∩ F + ⇐⇒ q − x ∈ S c ∩ F − , ou seja, S c ∩ F − = ρ(S ∩ F + )
q + x ∈ S c ∩ F + ⇐⇒ q − x ∈ S ∩ F − , ou seja, S c ∩ F + = ρ(S ∩ F − )
Como a medida exterior de Lebesgue é invariante sob reflexões, temos
m ∗ (S c ∩ F − ) = m ∗ (S ∩ F + ) e m ∗ (S c ∩ F + ) = m ∗ (S ∩ F − ).
Os conjuntos F + e F − são mensuráveis, disjuntos e F = F + ∪F − , e portanto
m ∗ (S ∩ F) = m ∗ (S ∩ F + ) + m ∗ (S ∩ F − ) =
= m ∗ (S c ∩ F − ) + m ∗ (S c ∩ F + ) = m ∗ (S c ∩ F).
m ∗ (I\F) = 0, donde m ∗ (S ∩I) = m ∗ (S ∩F) = m ∗ (S c ∩F) = m ∗ (S c ∩I).
34 R/Q é na verdade um grupo quociente do grupo aditivo dos reais, porque Q é um
subgrupo normal de R, mas não usamos esse facto aqui.

2.4. Conjuntos Não-Mensuráveis 137
A medida exterior de Lebesgue é também invariante sob translacções, o
que nos permite obter
Lema 2.4.16. Se I é um intervalo de extremos racionais então m ∗ (S ∩I) =
λ m(I), onde λ = m ∗ (S ∩ [0,1]) ≥ 1/2.
Demonstração. No que se segue, I e J são intervalos de extremos racionais.
Começamos por mostrar que
(i) m(I) = m(J) =⇒ m ∗ (S ∩ I) = m ∗ (S ∩ J).
É claro que se m(I) = m(J) então J é uma translacção de I, e no caso
presente existe r ∈ Q tal que J = I + r. Notámos em (2) que S e S c
são invariantes sob translacções racionais, e concluímos que S ∩ J é uma
translacção de S ∩ I, já que
(S ∩ I) + r = (S + r) ∩ (I + r) = S ∩ J, donde m ∗ (S ∩ I) = m ∗ (S ∩ J).
Mostramos agora que, se n ∈ N,
(ii) m(I) = n m(J) =⇒ m ∗ (S ∩ I) = n m ∗ (S ∩ J).
É claro que existe uma partição de I em n subintervalos I1,I2, · · · ,In, cada
um de extremos racionais e comprimento m(J), e temos assim que
m ∗ (S ∩ I) =
n
m ∗ (S ∩ Ik) =
k=1
n
k=1
m ∗ (S ∩ J) = n m ∗ (S ∩ J).
Para terminar, continuamos a supor que I é um intervalo de extremos
racionais, e notamos sucessivamente de (i) e (ii) que
• Se m(I) = n então m ∗ (S ∩ I) = n m ∗ (S ∩ [0,1]) = n λ,
• Se m(I) = 1/n então m ∗ (S ∩ I) = λ/n, e
• Em qualquer caso, m ∗ (S ∩ I) = λ m(I).
É evidente que m ∗ (S ∩ [0,1]) ≤ 1, i.e., λ ≤ 1, mas temos também
m(I) ≤ m ∗ (S ∩ I) + m ∗ (S c ∩ I) = 2λ m(I) =⇒ λ ≥ 1/2.
Os resultados anteriores podem ser generalizados na seguinte forma:
Lema 2.4.17. Se E ∈ L(R) então m ∗ (S ∩ E) = m ∗ (S c ∩ E) = λ m(E).

138 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Demonstração. Observamos primeiro que se A ⊂ B são conjuntos mensuráveis
e T é um conjunto arbitrário então
m ∗ (T ∩ B) = m ∗ (T ∩ A) + m ∗ (T ∩ (B\A)) ≤ m ∗ (T ∩ A) + m(B\A).
Em particular, se m(B\A) < ε então
(i) m ∗ (T ∩ A) ≤ m ∗ (T ∩ B) ≤ m ∗ (T ∩ A) + ε.
Se I é um qualquer intervalo limitado é evidente que existem intervalos de
extremos racionais In ⊇ I tais que m(In\I) → 0. Tomando em (i) A = I e
B = In obtemos m ∗ (T ∩ In) → m ∗ (T ∩ I). Concluímos dos lemas 2.4.15 e
2.4.16 que
(ii) Se I é um intervalo limitado então m ∗ (S ∩ I) = λ m(I) = m ∗ (S c ∩ I).
É imediato generalizar (ii) para intervalos ilimitados.
Qualquer aberto U ⊆ R é uma união numerável de intervalos disjuntos
In. De acordo com o exercício 13 da secção 2.2 e (ii) temos
m ∗ (S ∩ U) =
∞
m ∗ (S ∩ In) =
n=1
∞
λ m(In) = λ m(U).
n=1
A mesma observação é válida substituindo S por S c e portanto
(iii) Se U é um aberto então m ∗ (S ∩ U) = λ m(I) = m ∗ (S c ∩ U).
A conclusão da demonstração é parte do exercício 5.
O principal resultado sobre o exemplo de Sierpinski é o seguinte:
Teorema 2.4.18. Se E ∈ L(R) então m ∗ (S ∩ E) = m ∗ (S c ∩ E) = m(E).
Em particular, S não é Lebesgue-mensurável.
Demonstração. Sabemos que 1/2 ≤ λ ≤ 1, e provamos que na realidade
λ = 1, argumentando por contradição. Supomos assim que m ∗ (S ∩ [0,1]) =
λ < 1.
É claro que existe um aberto U ⊇ S ∩ [0,1] tal que m(U) < 1, e consideramos
o conjunto K = [0,1]\U. Notamos que K é fechado, m(K) > 0 e
K ∩ S = ∅, e concluímos que λ = 1, porque
0 = λ m(K) = m ∗ (S ∩ K) = m ∗ (∅) = 0 é impossível.
Para mostrar que S não é mensurável, argumentamos igualmente por
contradição: Se S é mensurável e E é também mensurável com 0 < m(E) <
∞ então m(E) = m(S ∩ E) + m(S c ∩ E) = 2 m(E), o que é impossível.

2.5. Medidas Exteriores 139
O conjunto de Sierpinski S permite-nos construir outros exemplos interessantes,
alguns dos quais referidos no próximo teorema, cuja demonstração
deixamos para o exercício 5.
Teorema 2.4.19. Definimos a classe M e a função µ : M → [0, ∞] por
M = {(E ∩ S) ∪ (F ∩ S c ) : E,F ∈ L(R)} e
µ(A) = 1
2 m∗ (A ∩ S) + 1
2 m∗ (A ∩ S c ).
Temos então que (R, M,µ) é um espaço de medida, uma extensão não trivial
do espaço de Lebesgue e uma solução não regular do Problema de Borel.
Exercícios.
1. Mostre que o conjunto A referido na discussão do exemplo de Vitali não é
Lebesgue-mensurável.
2. Mostre que o conjunto A indicado na discussão do exemplo de Vitali pode
ser definido de modo que m ∗ (A) < ε, onde ε > 0 é arbitrário.
3. Adapte a definição do exemplo de Vitali para obter um subconjunto nãomensurável
de um qualquer conjunto E ⊆ RN com m∗ N (E) > 0. Conclua que
(E) > 0.
E tem subconjuntos não-mensuráveis se e só se m ∗ N
4. Suponha que f : R → R é uma função contínua crescente. Prove que f
transforma conjuntos nulos em conjuntos nulos se e só se transforma conjuntos
Lebesgue-mensuráveis em conjuntos Lebesgue-mensuráveis.
5. Este exercício refere-se ao exemplo de Sierpinski S:
a) Mostre que m ∗ (S ∩ E) = m ∗ (S c ∩ E) = λ m(E) para qualquer E ∈ R,
para concluir a demonstração do lema 2.4.17. sugestão: Recorde que a
afirmação está demonstrada quando E é um aberto.
b) Mostre que os conjuntos T ⊆ S com m ∗ (T) > 0 não são Lebesguemensuráveis.
Observe que se m(E) > 0 então E ∩ S é um subconjunto
de E que não é Lebesgue-mensurável, o que é outra forma de esclarecer
a questão do exercício 3.
c) Qual é a σ-álgebra gerada por S e pelos conjuntos elementares?
d) Demonstre o teorema 2.4.19. sugestão: Verifique que M é uma σálgebra
e µ é uma medida.
2.5 Medidas Exteriores
A medida exterior de Lebesgue é apenas um exemplo concreto de uma classe
de funções σ-subaditivas, ditas medidas exteriores, que têm um papel auxiliar,
mas importante, na Teoria da Medida. São definidas como se segue:

140 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Definição 2.5.1 (Medidas Exteriores). A função λ : P(X) → [0,+∞] diz-se
uma medida exterior em X se e só se λ é σ-subaditiva, e λ(∅) = 0.
A principal restrição na definição anterior é, para além da σ-subaditividade,
o facto de λ estar definida para todos os subconjuntos de X. A
importância das medidas exteriores resulta, como veremos nesta secção, de
que qualquer medida exterior λ determina uma σ-álgebra de conjuntos, ditos
λ-mensuráveis, e a restrição de λ a essa classe é sempre uma medida. De
forma mais sucinta,
Qualquer medida exterior determina um espaço de medida.
Exemplos 2.5.2.
1. A função λ : P(X) → [0, +∞], dada por
0, se E = ∅, e
λ(E) =
1, se E = ∅,
é uma medida exterior. A função λ não é aditiva, e não é uma medida, excepto
nos casos triviais em que X é vazio, ou tem apenas um elemento.
2. Se R é um subconjunto limitado de R N , o conteúdo exterior de Jordan está
definido para qualquer subconjunto E de R, e vimos, nos exercícios do capítulo
anterior, que é uma função subaditiva. Deixamos para os exercícios
desta secção verificar que, no entanto, o conteúdo exterior de Jordan não é
σ-subaditivo, e, portanto, não é uma medida exterior em R.
O próximo resultado é muito simples de provar.
Teorema 2.5.3. Qualquer medida exterior é monótona e subaditiva.
Utilizaremos com alguma frequência o seguinte procedimento de definição
de medidas exteriores.
Teorema 2.5.4. Seja X um conjunto, S uma classe de subconjuntos de X,
e λ : S → [0, ∞] uma função. Suponha-se que:
a) ∅ ∈ S, e λ(∅) = 0,
b) Existem conjuntos Sn ∈ S, tais que X = ∪ ∞ n=1 Sn( 35 ), e
c) λ ∗ : P(X) → [0, ∞] é dada por
λ ∗
∞
(E) = inf λ(Sn) : E ⊆
n=1
∞
Sn,Sn ∈ S .
n=1
35 Dizemos neste caso que S é uma cobertura sequencial de X.

2.5. Medidas Exteriores 141
Então λ ∗ é uma medida exterior em X.
Demonstração. Como ∅ ∈ S, tomamos Sn = ∅ para qualquer n ∈ N, para
concluir que λ ∗ (∅) = 0. Para provar que λ ∗ é σ-subaditivo, consideramos
conjuntos E,En ⊆ X, onde
E ⊆
∞
En.
Dado ε > 0 arbitrário, existem conjuntos Smn, com n,m ∈ N, tais que
∞
En ⊆ Smn, e λ ∗ ∞
(En) ≤ λ(Smn) ≤ λ ∗ (En) + ε
2n. m=1
n=1
m=1
A família {Smn : n,m ∈ N} é uma cobertura numerável de E por conjuntos
em S, i.e., E ⊆ ∪ ∞ n=1 ∪∞ m=1 Smn, e portanto
λ ∗ (E) ≤
∞
n=1 m=1
∞
∞
λ(Smn) ≤ [λ ∗ (En) + ε
∞
] ≤ ε + λ
2n ∗ (En).
n=1
Fazendo ε → 0, obtemos o resultado pretendido.
Exemplos 2.5.5.
1. Designando por R(R N ) a classe dos rectângulos-N limitados, é claro que
R(R N ) é uma cobertura sequencial de X = R N . A medida exterior de Lebesgue
em R N pode ser obtida fazendo S = R(R N ), e λ = cN.
2. Generalizando o exemplo anterior, qualquer função λ : R(R N ) → [0, ∞] que
n=1
satisfaça λ(∅) = 0 determina uma medida exterior λ ∗ em R N , dada por
λ ∗
∞
∞
(E) = inf λ(Rn) : E ⊆
n=1
n=1
Rn, Rn ∈ R(R N )
3. A classe F(R) formada pelos intervalos da forma ]a, b] é uma cobertura sequencial
de R. Vimos no exemplo 1.2.5.5 que qualquer função F : R → R
determina uma função λ : F(R) → R, dada por λ(]a, b]) = F(b) − F(a). Supondo
que F é crescente, a função λ∗ : P(R) → [0, ∞], dada por
λ ∗
∞
∞
(E) = inf [F(bn) − F(an)] : E ⊆ ]an, bn],
n=1
é uma medida exterior em R.
4. Dados espaços de medida (X, M, µ) e (Y, N, ν), é por vezes conveniente
definir uma medida “produto” em X × Y , que aqui designaremos por µ ⊗ ν.
Esta medida deve ser tal que( 36 )
n=1
se A ∈ M e B ∈ N então (µ ⊗ ν)(A × B) = µ(A)ν(B).
36 Note que a condição indicada é especialmente natural quando os espaços em causa
são espaços de probabilidade independentes.
.

142 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Para definir a medida µ ⊗ν, consideraremos primeiro a classe S formada pelos
conjuntos que são produtos cartesianos da forma A×B, com A ∈ M e B ∈ N.
Esta classe contém o conjunto X ×Y , e é portanto uma cobertura sequencial de
X ×Y . Definimos λ : S → [0, ∞] por λ(A×B) = µ(A)ν(B). A medida exterior
λ ∗ determinada pela função λ nos termos do teorema 2.5.4 será utilizada para
definir os conjuntos mensuráveis em X × Y e a medida µ ⊗ ν.
5. Seja µ uma medida positiva em R N definida numa σ-álgebra M que contém
os abertos. Se E ⊆ R N , definimos µ ∗ (E) = inf{µ(U) : E ⊆ U, U aberto }.
É fácil verificar que µ ∗ é uma medida exterior (exercício 5), e notamos da
definição 2.3.13 que µ é regular em N ⊆ M se e só se µ(E) = µ ∗ (E), para
qualquer E ∈ N.
Os resultados desta secção são como dissémos aplicáveis a qualquer medida
exterior, e devem-se sobretudo a Caratheodory( 37 ). Dada uma medida
exterior µ ∗ , propomo-nos aqui:
• Definir os conjuntos ditos “µ ∗ -mensuráveis”,
• Mostrar que µ ∗ é aditiva na classe dos conjuntos µ ∗ -mensuráveis, e
• Provar que a classe dos conjuntos µ ∗ -mensuráveis é uma σ-álgebra.
Deve ser claro que neste caso a restrição de µ ∗ à classe dos conjuntos µ ∗ -
mensuráveis é uma medida, ou seja, a medida exterior µ ∗ determina um
espaço de medida, como referimos no início desta secção. Começamos por
abstrair do problema “fácil” de Lebesgue (2.2.8) o que chamamos:
2.5.6 (Problema de Caratheodory). Dada uma medida exterior µ ∗ em X,
determinar uma σ-álgebra M onde µ ∗ seja aditiva.
Resolveremos este problema usando uma ideia directamente sugerida
pela definição 2.2.11.
Definição 2.5.7 (Conjuntos µ ∗ -Mensuráveis). Dada uma medida exterior
µ ∗ em X, o conjunto E ⊆ X diz-se µ ∗ -mensurável se e só se
µ ∗ (F) = µ ∗ (F ∩ E) + µ ∗ (F \E), para qualquer conjunto F em X.
Designamos a classe dos conjuntos µ ∗ -mensuráveis por Mµ ∗.
Exemplos 2.5.8.
1. No caso da medida exterior de Lebesgue, os conjuntos m∗ N-mensuráveis são,
evidentemente, os conjuntos que são Lebesgue-mensuráveis no sentido de 2.2.11.
37 Constantin Caratheodory (1873-1950), matemático alemão, professor na Universidade
de Munique.

2.5. Medidas Exteriores 143
2. A medida de Dirac δ num qualquer conjunto X está definida em toda a classe
P(X), e é σ-subaditiva, porque é σ-aditiva. É, portanto, também uma medida
exterior. Neste caso, qualquer conjunto E ⊆ X é δ-mensurável, porque sendo
δ aditiva em P(X), a condição em 2.5.7 é satisfeita por qualquer E ⊆ X.
3. Se X = ∅ é um conjunto e E ⊆ X, definimos
µ ∗
0, se E = ∅, e
(E) =
1, se E = ∅.
É simples verificar que µ ∗ é uma medida exterior no conjunto X (trata-se do
exemplo 2.5.2.1 referido atrás). Sendo E ⊆ X µ ∗ -mensurável, tomamos F = X
em 2.5.7, para concluir que µ ∗ (X) = µ ∗ (E) + µ ∗ (E c ).
Como X = ∅, sabemos que µ ∗ (X) = 1, e a igualdade anterior só pode ser válida
se µ ∗ (E) = 0 ou µ ∗ (E c ) = 0, ou seja, se E = ∅ ou E c = ∅ ( i.e., se E = X).
Por outras palavras, os únicos conjuntos que podem ser µ ∗ -mensuráveis são ∅
e X. Como estes conjuntos são sempre µ ∗ -mensuráveis (porquê?), neste caso
os conjuntos µ ∗ -mensuráveis reduzem-se exactamente a ∅ e X.
Passamos a demonstrar que Mµ ∗ é sempre uma álgebra, utilizando
uma adaptação óbvia do argumento que usámos na proposição 2.2.13.
Teorema 2.5.9. A classe Mµ ∗ é uma álgebra em X, i.e.,
a) X ∈ Mµ ∗,
b) Fecho em relação à complementação: A ∈ Mµ ∗ =⇒ Ac ∈ Mµ ∗, e
c) Fecho em relação à intersecção: A,B ∈ Mµ ∗ =⇒ A ∩ B ∈ Mµ ∗.
Demonstração. Deixamos as demonstrações de a) e b) como exercício. Para
provar c), temos a mostrar que se A,B ∈ Mµ ∗ então A ∩B ∈ Mµ ∗, ou seja,
µ ∗ (F) = µ ∗ (F ∩ (A ∩ B)) + µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ), para qualquer F ⊆ X.
Como µ ∗ é, por hipótese, subaditiva, temos apenas que mostrar que
µ ∗ (F) ≥ µ ∗ (F ∩ (A ∩ B)) + µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ).
Para estimar µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ), notamos que
F ∩ (A ∩ B) c = (F ∩ A c ) ∪ (F ∩ A ∩ B c ).
(Observe-se a figura 2.2.2). Como µ ∗ é subaditiva, temos
µ ∗ (F ∩ A c ) + µ ∗ (F ∩ A ∩ B c ) ≥ µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ).
Somando µ ∗ (F ∩ A ∩ B) a ambos os membros desta desigualdade, temos
(i ) µ ∗ (F ∩ A c ) + µ ∗ (F ∩ A ∩ B) + µ ∗ (F ∩ A ∩ B c ) ≥
≥ µ ∗ (F ∩ A ∩ B) + µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ).

144 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Como B ∈ Mµ ∗ e F ∩ A ⊆ X, usamos a definição 2.5.7, com B em vez
de E e F ∩ A em vez de F, para concluir que
µ ∗ (F ∩ A ∩ B) + µ ∗ (F ∩ A ∩ B c ) = µ ∗ (F ∩ A).
A desigualdade (i) pode, portanto, escrever-se na forma
(ii) µ ∗ (F ∩ A c ) + µ ∗ (F ∩ A) ≥ µ ∗ (F ∩ A ∩ B) + µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ).
Como A ∈ Mµ ∗ e F ⊆ X, temos µ∗ (F ∩A c ))+µ ∗ (F ∩A) = µ ∗ (F), e segue-se
finalmente de (ii) que µ ∗ (F) ≥ µ ∗ (F ∩ A ∩ B) + µ ∗ (F ∩ (A ∩ B) c ).
Mµ
É extremamente simples mostrar que a função µ ∗ é aditiva na álgebra
∗, e é sobretudo de sublinhar que, para que seja válida a identidade
µ ∗ (A ∪ B) = µ ∗ (A) + µ ∗ (B), com A e B disjuntos,
basta que um dos conjuntos A e B seja µ ∗ -mensurável.
Lema 2.5.10. Se A e B são disjuntos e A ∈ Mµ ∗, então
µ ∗ (A ∪ B) = µ ∗ (A) + µ ∗ (B).
Demonstração. Utilizamos a definição 2.5.7, com A no lugar de E e A ∪ B
no lugar de F. Sendo A e B disjuntos, temos
(A ∪ B) ∩ A = A e (A ∪ B)\A = B,
donde, como A é mensurável, se segue que
µ ∗ (A ∪ B) = µ ∗ ((A ∪ B) ∩ A) + µ ∗ ((A ∪ B)\A) = µ ∗ (A) + µ ∗ (B).
Este resultado pode ser generalizado, fazendo intervir um segundo conjunto
arbitrário C, que também não necessita ser µ ∗ -mensurável.
A B
C
Figura 2.5.1: B e C são arbitrários, A ∈ Mµ ∗.
Proposição 2.5.11. Se A e B são disjuntos, C ⊆ X e A ∈ Mµ ∗, então
µ ∗ (C ∩ (A ∪ B)) = µ ∗ (C ∩ A) + µ ∗ (C ∩ B).

2.5. Medidas Exteriores 145
Demonstração. Consideramos o conjunto D dado por:
D = C ∩ (A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B).
Por hipótese, A ∈ Mµ ∗, donde temos, mais uma vez, que
µ ∗ (D) = µ ∗ (D ∩ A) + µ ∗ (D\A).
Como, obviamente, D ∩ A = C ∩ A, e D\A = C ∩ B, concluímos que
µ ∗ (D) = µ ∗ (D ∩ A) + µ ∗ (D ∩ B).
Este último resultado generaliza-se, por um simples argumento de indução
finita, ao seguinte:
Corolário 2.5.12. Se os conjuntos En ∈ Mµ ∗ são disjuntos e F ⊆ X,então
µ ∗ m
( (F ∩En)) =
n=1
m
n=1
µ ∗ (F ∩En) e em particular µ ∗ (
m
En) =
n=1
m
µ ∗ (En).
É claro do lema 2.5.10 que a função µ ∗ é aditiva na álgebra Mµ ∗. Provamos
a seguir uma forma generalizada da propriedade de σ-aditividade( 38 ),
com a particularidade muito interessante de não necessitarmos supor, no seu
enunciado, que o conjunto E = ∪∞ n=1En é µ ∗-mensurável. Teorema 2.5.13. Se os conjuntos En ∈ Mµ ∗ são disjuntos e F ⊆ X, então
µ ∗ ∞
∞
( (F ∩En)) = µ ∗ (F ∩En) e em particular µ ∗ ∞
∞
( En) = µ ∗ (En).
n=1
n=1
n=1
Demonstração. Mais uma vez, temos a provar apenas que
µ ∗ (F ∩ E) ≥
∞
µ ∗ (F ∩ En).
n=1
Tomamos ˜ Em = ∪ m n=1 En. Usamos o corolário 2.5.12, com ˜ Em no lugar de
E, para concluir que µ ∗ (F ∩ ˜ Em) = m
n=1 µ∗ (F ∩ En). Notamos que
˜Em ⊆ E ⇒ F ∩ ˜ Em ⊆ F ∩ E ⇒
Obtemos, finalmente, que
m
m
n=1
n=1
n=1
µ ∗ (F ∩ En) = µ ∗ (F ∩ ˜ Em) ≤ µ ∗ (F ∩ E).
lim µ
m→+∞
n=1
∗ (F ∩ En) ≤ µ ∗ (F ∩ E), i.e., µ
n=1
∗ (F ∩ En) ≤ µ ∗ (F ∩ E).
38 Recorde o exercício 13 da secção 2.2.
∞

146 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
Já demonstrámos para qualquer medida exterior µ ∗ que:
• Mµ ∗ é uma álgebra,
• µ ∗ é aditiva, e portanto σ-aditiva, em Mµ ∗.
Para mostrar que Mµ ∗ é solução do Problema 2.5.6, resta-nos provar que
• Mµ ∗ é uma σ-álgebra, i.e., é fechada em relação a uniões numeráveis.
É precisamente o facto de termos demonstrado o teorema anterior sem
supor que ∪∞ n=1En ∈ Mµ ∗ que agora nos permite provar que, na realidade,
temos sempre ∪∞ n=1En ∈ Mµ ∗. Começamos por verificar esta afirmação, no
caso especial de uma família de conjuntos disjuntos.
Lema 2.5.14. Se os conjuntos En ∈ Mµ ∗ são disjuntos, então
E =
∞
En ∈ Mµ ∗.
n=1
Demonstração. Sendo F ⊆ X arbitrário, temos a provar que
µ ∗ (F) ≥ µ ∗ (F ∩ E) + µ ∗ (F ∩ E c ).
Definimos, novamente, ˜ Em = ∪m n=1En, e notamos que ˜ Em ∈ Mµ ∗, porque
Mµ ∗ é uma álgebra. Temos portanto µ∗ (F) = µ ∗ (F ∩ ˜ Em) + µ ∗ (F ∩ ˜ Ec m).
É evidente da monotonia de µ ∗ que
µ ∗ (F) = µ ∗ (F ∩ ˜ Em) + µ ∗ (F ∩ ˜ E c m) ≥ µ ∗ (F ∩ ˜ Em) + µ ∗ (F ∩ E c ).
De acordo com 2.5.12, temos µ ∗ (F ∩ ˜ Em) = m
n=1 µ∗ (F ∩ En) e, por isso,
µ ∗ (F) ≥
m
n=1
Fazendo m → +∞, obtemos µ ∗ (F) ≥
µ ∗ (F ∩ En) + µ ∗ (F ∩ E c ).
n=1
Observamos finalmente de 2.5.13 que µ ∗ (F ∩ E) = ∞ n=1 µ∗ (F ∩ En), e
concluímos assim que µ ∗ (F) ≥ µ ∗ (F ∩ E) + µ ∗ (F ∩ Ec ).
∞
µ ∗ (F ∩ En) + µ ∗ (F ∩ E c ).
O principal resultado desta secção é agora quase evidente.
Teorema 2.5.15. Mµ ∗ é uma σ-álgebra e a restrição de µ∗ a Mµ ∗ é uma
medida positiva.

2.5. Medidas Exteriores 147
Demonstração. Para verificar que Mµ ∗ é fechada em relação a uniões numeráveis,
supomos que os conjuntos En ∈ Mµ ∗, e definimos
˜E1 = E1 e, para m > 1, ˜ m−1
Em = Em\ En.
Os conjuntos ˜ Em pertencem a Mµ ∗, porque Mµ ∗ é uma álgebra. Estes
conjuntos são, evidentemente, disjuntos. Como E = ∞ n=1 ˜ En = ∞ n=1 En,
n=1
concluímos de 2.5.14 que E ∈ Mµ ∗, i.e., Mµ ∗ é uma σ-álgebra.
Exercícios.
1. Mostre que, se µ ∗ é uma medida exterior e µ ∗ (E) = 0, então F ⊆ E ⇒ F é
µ ∗ -mensurável e µ(F) = 0.
2. Complete a demonstração do teorema 2.5.9.
3. Se R é um subconjunto limitado de R N , o conteúdo exterior de Jordan está
definido para qualquer subconjunto E de R. Verifique que o conteúdo exterior
de Jordan, apesar de subaditivo, não é σ-subaditivo e portanto não é uma
medida exterior em R.(Exemplo 2.5.2.2)
4. Em cada um dos casos seguintes, prove que a função µ ∗ : P(X) → [0, +∞]
dada é uma medida exterior e descreva os conjuntos µ ∗ -mensuráveis.
a) µ ∗ (E) = #(E).
b) µ ∗
0, se E é finito ou numerável,
(E) =
1, se E é não-numerável.
(Suponha, aqui, X infinito não-numerável.)
5. Seja µ uma medida positiva em R N definida numa σ-álgebra M que contém
os abertos. Sendo µ ∗ (E) = inf{µ(U) : E ⊆ U, U aberto }, mostre que µ ∗ é
uma medida exterior.
6. Suponha que µ ∗ é uma medida exterior em X, F ⊆ X, e λ ∗ : P(X) → [0, +∞]
é dada por λ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ F). Mostre que λ ∗ é uma medida exterior. Qual
é a relação entre os conjuntos µ ∗ -mensuráveis e os conjuntos λ ∗ -mensuráveis?
7. Suponha que µ ∗ n : P(X) → [0, +∞] é uma medida exterior para qualquer
n ∈ N e prove que µ ∗ , dada por µ ∗ (E) = ∞ n=1 µ∗n (E), é igualmente uma
medida exterior em X.
8. Dado o espaço de medida (X, M, µ), definimos a função λ ∗ : P(X) → [0, +∞]
por λ ∗ (E) = inf {µ(S) : E ⊆ S, S ∈ M}. Prove as seguintes afirmações:
a) λ ∗ é uma medida exterior e, sendo Mλ ∗ a classe dos conjuntos λ∗ -
mensuráveis, M ⊆ Mλ ∗,

148 Capítulo 2. A Medida de Lebesgue
b) λ ∗ (F) = 0 se e só se existe E ∈ M tal que F ⊆ E e µ(E) = 0. Em
particular, (X, M, µ) é completo se e só se λ ∗ (E) = 0 ⇒ E ∈ M.
c) Se o espaço (X, M, µ) é finito e λ é a restrição de λ∗ a Mλ∗, prove que
(X, Mλ∗, λ) = (X, Mµ, µ), tal como este espaço foi definido em 2.3.17.
d) Mostre que a conclusão da alínea anterior é ainda válida, supondo apenas
que o espaço (X, M, µ) é σ-finito.
e) Verifique que, quando (X, M, µ) não é σ-finito, podemos ter (X, Mλ ∗, λ) =
(X, Mµ, µ).

Capítulo 3
Integrais de Lebesgue
A exposição que se segue é, em certo sentido, uma adaptação directa das
ideias de Jordan e Peano apresentadas no Capítulo 1: resulta destas pela
simples substituição do conteúdo de Jordan pela medida de Lebesgue. A correspondente
definição do integral é a que Lebesgue chamava de “geométrica”,
e tem como principal vantagem a de tornar evidente a relação entre alguns
dos principais resultados da Teoria da Medida e da Teoria da Integração.
Neste contexto, as funções Lebesgue-mensuráveis são as funções cujas
regiões de ordenadas são conjuntos Lebesgue-mensuráveis. Analogamente,
as funções Borel-mensuráveis são aquelas cujas regiões de ordenadas são conjuntos
Borel-mensuráveis. Os respectivos integrais de Lebesgue são definidos
usando a medida de Lebesgue das suas regiões de ordenadas, e dizem-se, por
isso, “em ordem à medida de Lebesgue”.
Estabelecemos muito rapidamente algumas das propriedades mais relevantes
do integral de Lebesgue, usando frequentemente argumentos conhecidos
do Capítulo 1. As vantagens técnicas do integral de Lebesgue começarão
a tornar-se aparentes quando estudarmos os resultados clássicos sobre limites
e integrais, hoje conhecidos como o teorema da convergência monótona,
ou de Beppo Levi, e o teorema da convergência dominada, ou de Lebesgue.
Estes resultados são centrais na moderna teoria da integração, e são reflexos
directos das “propriedades essenciais” identificadas no enunciado do
Problema de Borel.
Estudamos, em seguida, o teorema de Fubini-Lebesgue. Este teorema
estabelece a mensurabilidade das secções de qualquer conjunto mensurável, e
exprime a medida desse conjunto como o integral da medida das suas secções,
convenientemente escolhidas. Um corolário directo, mas fundamental, do
teorema de Fubini-Lebesgue permite-nos caracterizar as funções mensuráveis
de uma forma mais conveniente para o desenvolvimento da teoria: as
funções mensuráveis são limites de sucessões de funções simples mensuráveis.
Os integrais destas funções simples desempenham, na teoria de Lebesgue, o
papel das somas de Darboux na teoria de Riemann.
149

150 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
A aproximação de funções mensuráveis por funções simples, combinada
com a relativa facilidade de estudo das próprias funções simples, vai-nos
ainda permitir provar neste Capítulo mais algumas propriedades importantes
das funções mensuráveis e dos respectivos integrais. Repetimos aqui
argumentos conhecidos do Capítulo 1 mas, neste caso, os teoremas sobre integração
e passagem ao limite conduzem-nos a resultados muito elegantes e
fáceis de aplicar, em particular sobre a integração de séries. Como corolário
destes, obtemos uma versão preliminar do clássico Teorema de Riesz-Fischer.
Terminamos o Capítulo estudando a aproximação de funções mensuráveis
por funções contínuas. Como veremos, os resultados associados a esta questão
reflectem, essencialmente, os que já estudámos sobre a aproximação de
conjuntos mensuráveis por conjuntos fechados e por conjuntos abertos, ou
seja, reflectem a regularidade da medida de Lebesgue.
3.1 O Integral de Lebesgue
A figura 3.1.1 é o ponto de partida da teoria de Lebesgue, como o foi para
a teoria de Riemann. É de notar que, em resultado directo de substituir os
R
E
Figura 3.1.1:
Ω +
f
Ω −
R N+1
R N
fdmN = mN+1(Ω
E
+ ) − mN+1(Ω − )
conjuntos Jordan-mensuráveis, e o conteúdo de Jordan, pelos conjuntos Lebesgue-mensuráveis,
e pela medida de Lebesgue, as nossas definições básicas
passam a ser aplicáveis a funções ilimitadas, ou mesmo com valores infinitos,
e podendo ser, além disso, diferentes de zero em conjuntos igualmente ilimitados.
Em particular, e como veremos, muitos dos integrais que se dizem
impróprios na teoria de Riemann são integrais de Lebesgue, no sentido aqui
definido.

3.1. O Integral de Lebesgue 151
Definição 3.1.1 (Funções mensuráveis, Integrais de Lebesgue). Se E ⊆
S ⊆ R N , e f : S → R, então
a) f é lebesgue-mensurável em E se e só se o conjunto ΩE(f) é Lebesgue-mensurável
em R N+1 . Analogamente, f é borel-mensurável
em E se e só se o conjunto ΩE(f) é Borel-mensurável em R N+1 .
b) Se f é Lebesgue-mensurável em E, e pelo menos um dos conjuntos
Ω +
E (f) e Ω+
E (f) tem medida finita, o integral de lebesgue de f
(em ordem a mN) em E é dado por
fdmN =
E
E
f(x)dx = mN+1(Ω +
−
E (f)) − mN+1(ΩE (f)).
c) f é lebesgue-somável em E se e só f é Lebesgue-mensurável em E,
e mN+1(ΩE(f)) < ∞.
É evidente que as funções Borel-mensuráveis são Lebesgue-mensuráveis,
e é simples exibir funções Lebesgue-mensuráveis, e mesmo Riemannintegráveis,
que não são Borel-mensuráveis (exercício 4).
Exemplificamos abaixo o cálculo de alguns integrais de Lebesgue:
Exemplos 3.1.2.
1. Funções Riemann-integráveis: A função f : E → R é Riemann-integrável
em E se e só se ΩE(f) é Jordan-mensurável. Neste caso, ΩE(f) é, evidentemente,
Lebesgue-mensurável, e portanto f é Lebesgue-mensurável em E. O
integral de Riemann de f sobre E é dado por
E
f = cN+1(Ω +
−
+
−
E (f)) − cN+1(ΩE (f)) = mN+1(Ω
E (f)) − mN+1(ΩE (f)).
Por outras palavras, qualquer integral de Riemann é um integral de Lebesgue,
e o integral de Lebesgue é uma extensão do integral de Riemann, tal como a
medida de Lebesgue é uma extensão do conteúdo de Jordan.
2. Se os conjuntos An ր B ⊆ RN e a função f está definida pelo menos em
B, é evidente que ΩAn(f) ր ΩB(f). Em particular, se f é mensurável e
não-negativa em cada conjunto An então segue-se do teorema da convergência
monótona de Lebesgue que f é mensurável em B e
f = mN(ΩAn(f)) = mN(ΩAn(f)) ր mN(ΩB(f)) = fdmN.
An
Esta observação permite-nos calcular múltiplos exemplos de integrais de Lebesgue
que não são integrais de Riemann:
a) f(x) = 1
√ x ≥ 0 é Riemann-integrável em An =] 1
n , 1], e B = ∪∞ n=1 An =
]0, 1]. Concluímos que f é Lebesgue-mensurável em ]0, 1], e que
1
1
1
1
√ dm = lim √ dx = lim
x n→∞ x n→∞ 2√x x=1 x= 1 = lim
n n→∞ 2
1 − 1
√ = 2.
n
0
1
n
B

152 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
b) A função f(x) = e −x é Riemann-integrável em An = [0, n] ր [0, +∞[, e
An
e −x n
dx =
0
e −x dx = 1 − e −n → 1 =
∞
e −x dx.
O integral à direita é um integral de Lebesgue, e f é Lebesgue-somável
em [0, ∞[.
3. A função de Dirichlet dir em R não é Riemann-integrável em nenhum intervalo
não-trivial. No entanto, dir é a função característica dos racionais Q, e,
portanto, a sua região de ordenadas é ΩR(dir) = Q×]0, 1[. O conjunto ΩR(dir)
é Borel-mensurável, porque é um produto cartesiano de conjuntos Borel-mensuráveis.
Temos, ainda, m2(ΩR(dir)) = 0 × 1 = 0. Concluímos que a função
de Dirichlet é Borel-mensurável, e
dir dm = 0.
R
4. Mais geralmente, se f é a função característica de um conjunto E ⊆ RN Borel-mensurável (respectivamente, Lebesgue-mensurável), então f é uma função
Borel-mensurável (respectivamente, Lebesgue-mensurável), e o seu integral é
a medida do conjunto E:
fdmN = mN(E).
R N
5. integrais impróprios de Riemann: As definições de integral que referimos
no Capítulo 1 não contemplam a integração de funções que são ilimitadas na
região de integração e/ou que são diferentes de zero em regiões de integração
ilimitadas. Apesar disso, e ainda antes da introdução da teoria de Lebesgue,
os chamados integrais impróprios de Riemann foram usados para ultrapassar
este tipo de dificuldades, pelo menos em alguns casos particulares( 1 ). A sua
definição (quando a região de integração B ⊆ R N , N > 1) supõe que
i) Existem conjuntos Jordan-mensuráveis An ր B, tais que f é Riemannintegrável,
no sentido usual, em cada conjunto An.
ii) Existe α ∈ R tal que, se a sucessão de conjuntos An satisfaz i), então
α = lim f
n→∞
iii) Neste caso, o integral impróprio de Riemann de f em B é dado por:
f = α = lim f
B
n→∞
An
1 O integral impróprio diz-se de primeira espécie se a integranda é ilimitada, e de
segunda espécie se a região de integração é ilimitada. Os integrais impróprios simultaneamente
de 1 a e 2 a espécie dizem-se mistos. Cauchy introduziu integrais impróprios
em R, mas em R N a teoria é mais complexa, e deve-se sobretudo ao matemático alemão
Harnack, que a desenvolveu nos finais do século XIX.
An
0

3.1. O Integral de Lebesgue 153
Quando f ≥ 0, e de acordo com a observação no exemplo 2, a condição ii) é
automática, e o valor de α é o integral de Lebesgue de f em B. Dito doutra
forma, se f ≥ 0 e a condição i) é satisfeita, o integral impróprio de Riemann de
f em B existe, e é o integral de Lebesgue de f em B. Temos assim que qualquer
integral impróprio de Riemann de uma função não-negativa é um integral de
Lebesgue, e pode ser calculado usando uma qualquer sucessão de conjuntos
Jordan-mensuráveis que satisfaça i).
Deixamos para o exercício 5 a análise do caso em que f muda de sinal, mas
resumimos aqui as principais conclusões:
• O integral impróprio de f existe, e é finito, no sentido indicado acima,
se e só se o integral impróprio de |f| também existe, e é finito. Dizemos
neste caso que o integral impróprio de Riemann de f é absolutamente
convergente e, mais uma vez, qualquer integral impróprio de Riemann
absolutamente convergente é um integral de Lebesgue.
• Se f : R → R, o integral impróprio de f pode existir no sentido que
referimos no exercício 1 da secção 1.5 sem ser absolutamente convergente.
Neste caso, f não é Lebesgue-somável, e o seu integral de Lebesgue não
está definido.
No que se segue, e para simplificar a nossa terminologia, escreveremos
com frequência “B-mensurável”, e “L-mensurável”, em lugar de “Borel-mensurável”,
e “Lebesgue-mensurável”. Usaremos esta convenção com funções,
e com conjuntos. Por outro lado, muitos dos teoremas, demonstrações e
definições que estudamos são aplicáveis, sem qualquer alteração, quando a
expressão “Lebesgue-mensurável” é substituída, em todas as suas ocorrências,
por “Borel-mensurável”.
É este o caso da própria definição de função “Le-
besgue-mensurável/Borel-mensurável”, que apresentámos em 3.1.1 a). Mais
uma vez para simplificar a nossa terminologia, e evitar repetições óbvias e
triviais, convencionamos que, até menção em contrário, a utilização da expressão
“mensurável”, sem mais qualificativos, no contexto de um teorema,
demonstração, ou definição, significa que esta pode ser identicamente substituída,
em todas as suas ocorrências nesse mesmo contexto, tanto por “Lmensurável”,
como por “B-mensurável”. Também até menção em contrário,
a palavra “somável” entende-se como “Lebesgue-somável”, no sentido de
3.1.1 c). Seguimos estas convenções já na próxima definição, que generaliza
3.1.1 a funções vectoriais f : S → R M .
Definição 3.1.3 (Funções Vectoriais: Mensurabilidade e Integral). Se E ⊆
S ⊆ R N , e f : S → R M , donde f = (f1,f2, · · · ,fM), com fk : S → R, então
a) f é mensurável em E se e só se as funções fk são mensuráveis em
E, para 1 ≤ k ≤ M, no sentido de 3.1.1.
b) f é somável em E se e só as funções fk são somáveis em E.

154 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
c) Se f é mensurável em E, o integral de lebesgue de f (em ordem
a mN) em E é dado por
fdmN = f1dmN, f2dmN, · · · , fMdmN ,
E
E
E
E
sempre que todos os integrais de Lebesgue à direita estão definidos.
Exemplo 3.1.4.
funções mensuráveis complexas: Seja f : R N → C uma função complexa,
donde f(x) = u(x) + iv(x), com u, v : R N → R. A função f é mensurável se
e só se as funções u, e v são mensuráveis, e o integral de f é dado por
fdmN = udmN + i vdmN,
E
sempre que existem os integrais de u e de v no conjunto E.
E
Se as funções f e g estão definidas pelo menos no conjunto E ⊆ R N ,
dizemos que f e g são equivalentes em E, e escrevemos “f ≃ g”, se e só
se f(x) = g(x), qtp em E. Note-se a seguir que a substituição de uma
função por outra que lhe seja equivalente, ou seja, a modificação dos seus
valores num conjunto de medida nula, não altera a sua L-mensurabilidade
nem o valor do respectivo integral. Em particular, a L-mensurabilidade de
f em E pode ser decidida mesmo quando f está apenas definida qtp em E:
Proposição 3.1.5. Sejam G ⊆ E ⊆ R N , f : E → R, g : G → R, onde
mN(E\G) = 0 e f ≃ g em G. Temos então:
a) f é L-mensurável em E ⇐⇒ g é L-mensurável em G. Neste caso,
b) O integral de f em E existe ⇐⇒ o integral de g em G existe, e
fdmN = gdmN.
E
Demonstração. Se D = {x ∈ G : f(x) = g(x)} ∪ (E\G) então mN(D) = 0.
Seja F a “faixa vertical” em R N+1 dada por F = D ×R. Temos mN+1(F) =
mN(D)m1(R) = 0, e é fácil verificar que
ΩE(f)∆ΩG(g) = (ΩE(f)\ΩG(g)) ∪ (ΩG(g)\ΩE(f)) ⊆ F.
As regiões de ordenadas de f e g diferem assim por um conjunto nulo.
Concluímos que ΩF(f) é L-mensurável se e só se ΩE(g) é L-mensurável, e
neste caso os integrais de f (em F) e g (em E) são iguais, sempre que algum
deles exista.
Observações 3.1.6.
G
E

3.1. O Integral de Lebesgue 155
1. A relação “f ≃ g” é efectivamente de equivalência, por exemplo na classe
das funções reais definidas em E ⊆ R N . Deve ser evidente que é reflexiva, ou
seja, f ≃ f, e simétrica, i.e., f ≃ g ⇐⇒ g ≃ f. Para verificar que a relação é
transitiva, suponha-se que f ≃ g e g ≃ h, e sejam A = {x ∈ E : f(x) = g(x)}
e B = {x ∈ E : g(x) = h(x)}. Como A ∪ B tem medida nula e f(x) = g(x) =
h(x) quando x ∈ A ∪ B, é claro que f ≃ h.
2. Se fn(x) → f(x) qtp em E e gn ≃ fn também em E, então gn(x) → f(x)
qtp em E. Para verificar esta afirmação, sejam
B = {x ∈ E : lim
n→∞ fn(x) = f(x)}, An = {x ∈ E : fn(x) = gn(x)}, A =
∞
An.
Os conjuntos An e C = E\B são nulos por hipótese, e é claro que A e A ∪ C
são igualmente nulos. Temos além disso que
x ∈ A ∪ C =⇒ gn(x) = fn(x) → f(x), ou seja, gn(x) → f(x) qtp em E.
3. As seguintes observações são úteis, e.g., na demonstração das proposições
3.1.9 e 3.1.10.
a) Se f é L-mensurável em E e f(x) ≥ 0 qtp em E, então existe uma função
˜f ≃ f tal que ˜ f é L-mensurável em E e ˜ f(x) ≥ 0 para qualquer x ∈ E.
Basta considerar
˜f(x) =
f(x), se f(x) ≥ 0
0, se f(x) < 0
b) Se f e g são L-mensuráveis em E e f(x) ≤ g(x) qtp em E, existem
funções ˜ f ≃ f e ˜g ≃ g, ambas L-mensuráveis em E, tais que ˜ f(x) ≤ ˜g(x)
para qualquer x ∈ E. Tome-se agora
˜f(x) =
f(x), se f(x) ≤ g(x)
0, se f(x) > g(x)
˜g(x) =
g(x), se f(x) ≤ g(x)
0, se f(x) > g(x)
4. A proposição 3.1.5 não é válida para funções B-mensuráveis: se f ≃ g e
g é B-mensurável então f pode não ser B-mensurável (exercício 4), porque o
espaço de Borel (R N , B(R N ), mN) não é completo.
Se E ⊆ R N e f : R N → R, é evidente que as regiões de ordenadas de f
em E, e de fχE em R N , são iguais. Concluímos que
Proposição 3.1.7. Se E ⊆ R N , e f : R N → R, então
a) f é mensurável em E se e só se fχE é mensurável em R N .
b) Se f é mensurável em E, e algum dos seguintes integrais existe, o
outro existe igualmente, e
fdmN = fχEdmN.
E
R N
n=1

156 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
O resultado seguinte inclui a usual desigualdade triangular. A sua demonstração,
uma adaptação directa da de 1.4.7), é o exercício 9.
Proposição 3.1.8. Se E ⊆ R N , e f : E → R, então
a) f é mensurável em E se e só se as funções f + e f − são mensuráveis
em E. Neste caso, a função |f| é mensurável em E, e
E
|f|dmN =
E
f +
dmN + f
E
− dmN.
b) f é somável em E se e só se as funções f + e f − são somáveis em E.
Neste caso,
E
fdmN =
E
f +
dmN − f
E
− dmN, e
E
fdmN
≤
E
|f|dmN.
As duas proposições seguintes indicam as propriedades fundamentais de
monotonia do integral de Lebesgue, em relação à região de integração, e em
relação à função integranda.
Proposição 3.1.9. Se E ⊆ R N , f : E → R é mensurável em E, e F ⊆ E
é mensurável, então f é mensurável em F. Se f ≥ 0 qtp, temos ainda
F
fdmN ≤
E
fdmN.
Demonstração. Se G = F × R, é claro que ΩF(f) = ΩE(f) ∩ G ⊆ ΩE(f).
Como os conjuntos ΩE(f) e G são mensuráveis, segue-se que ΩF(f) é mensurável,
i.e., f é mensurável em F. Caso f ≥ 0 qtp, seja ˜ f a função definida
como na observação 3.1.6.3 a). Temos então
F
fdmN =
F
˜fdmN = mN+1(Ω +
F ( ˜ f)) ≤ mN+1(Ω +
E ( ˜ f)), e
mN+1(Ω +
E ( ˜
f)) =
E
˜fdmN =
E
fdmN.
Proposição 3.1.10. Se E ⊆ R N , f,g : E → R são mensuráveis em E,
f(x) ≤ g(x) qtp em E, e os integrais de f e de g em E existem, então
E
fdmN ≤
E
gdmN.

3.1. O Integral de Lebesgue 157
Demonstração. Supomos primeiro que f(x) ≤ g(x), para qualquer x ∈ E.
Temos, então, Ω +
E (f) ⊆ Ω+
E (g) e Ω−
E (g) ⊆ Ω−
E (f), donde se segue que
fdmN =mN+1(Ω
E
+
−
E (f)) − mN+1(ΩE (f)) ≤
gdmN.
≤mN+1(Ω + E (g)) − mN+1(Ω − E (g)) =
Para adaptar este argumento ao caso em que f(x) ≤ g(x) apenas qtp em
E, consideramos funções ˜ f e ˜g definidas como em 3.1.6.3 b). Aplicando o
resultado que acabámos de provar a ˜ f e ˜g, temos
fdmN = ˜fdmN ≤ ˜gdmN = gdmN.
E
E
As seguintes propriedades são fáceis de estabelecer (exercício 6), e serão
utilizadas com muita frequência:
Proposição 3.1.11. Se f ≥ 0 é uma função mensurável em E ⊆ R N , então
a) f é somável em E =⇒ f é finita qtp em E.
b)
E fdmN = 0 ⇐⇒ f ≃ 0 em E.
Note-se em particular que se f : E → R é somável então existe ˜ f : E → R
tal que f ≃ ˜ f.
A mensurabilidade e o integral da função f no conjunto E foram definidos
(f) ∪ Ω−
E (f), onde
em termos do conjunto ΩE(f) = Ω +
E
Ω + E (f) = {(x,y) ∈ RN+1 : x ∈ E, 0 < y < f(x)}, e
Ω −
E (f) = {(x,y) ∈ RN+1 : x ∈ E, 0 > y > f(x)}.
O gráfico de f em E é GE(f) = {(x,y) ∈ RN+1 : x ∈ E, y = f(x)}. É evidente
que ΩE(f) não inclui quaisquer pontos de GE(f), mas na realidade a
inclusão ou exclusão de pontos do gráfico de f no conjunto ΩE(f) é em larga
medida irrelevante porque, como veremos, o gráfico de uma função mensurável
tem sempre medida nula( 2 ). Em alternativa a ΩE(f), considerem-se
os conjuntos ΣE(f) = Σ +
E (f) ∪ Σ−
E (f), onde
Σ +
E (f) = {(x,y) ∈ RN+1 : x ∈ E, e 0 < y ≤ f(x)}, e
Σ −
E (f) = {(x,y) ∈ RN+1 : x ∈ E, e 0 > y ≥ f(x)}.
Notamos que ΓE(f) = ΣE(f)\ΩE(f) ⊆ GE(f), porque ΓE(f) é o gráfico de
f no subconjunto de E onde f(x) = 0. Passamos a provar:
2 Aliás, analogamente ao que ocorre para as funções Riemann-integráveis, cujo gráfico
é sempre um conjunto de conteúdo nulo.
E
E
E

158 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Teorema 3.1.12. Se E ⊆ R N , e f : E → R, então
a) ΩE(f) é mensurável se e só se ΣE(f) é mensurável.
b) Se f é mensurável então ΓE(f) é mensurável e mN+1(GE(f)) = 0.
Em particular, mN+1(ΣE(f)) = mN+1(ΩE(f)).
Demonstração. Seja g a função definida por g(x) = f(x), quando x ∈ E, e
g(x) = 0, quando x ∈ E. A função g é mensurável em R N , e definimos
Ω = ΩE(f) = Ω R N(g),Σ = ΣE(f) = Σ R N(g), e Γ = ΓE(f) = Γ R N(g).
Mostramos primeiro que:
(1) Se g ≥ 0 e Ω é mensurável então Σ é mensurável:
) : (x,y) ∈ Ω} é uma translação vertical
de Ω. Ωn é mensurável, e mN+1(Ωn) = mN+1(Ω). ∆n = Ω ∪ Ωn é
mensurável e ∆n ց Σ, donde Σ é mensurável.
O conjunto Ωn = {(x,y + 1
n
(2) Se g ≥ 0 e Σ é mensurável então Ω é mensurável:
Σn = {(x,y − 1
n ) : (x,y) ∈ Σ} é uma translação vertical de Σ, e é por
isso mensurável. O conjunto ˜ ∆n = Σn ∩ Σ é mensurável e ˜ ∆n ր Ω,
donde Ω é mensurável. Notamos de passagem que
(3) Se g ≥ 0 então mN+1( ˜ ∆n) → mN+1(Ω), porque ˜ ∆n ր Ω.
As implicações (1) e (2) concluem a demonstração de a) para g ≥ 0.
Provamos agora b), mantendo a restrição g ≥ 0. Um cálculo simples
mostra que
(4) mN+1(Σ) = mN+1(Σn) = mN+1( ˜ ∆n) + mN+1 (Σn\Σ) e
(5) (Σn\Σ) ⊆ E×] − 1
n ,0]
Supondo que E tem medida exterior finita, podemos concluir de (5) que
mN+1 (Σn\Σ) → 0, e segue-se então de (4) que mN+1(˜∆n) → mN+1(Σ), e
de (3) que mN+1(Ω) = mN+1(Σ).
Se suposermos além disso que g é somável, podemos ainda concluir que
mN+1(Γ) = mN+1(Σ) − mN+1(Ω) = 0. Estabelecemos assim em particular
(6) m ∗ N (E) < ∞ e g somável =⇒ mN+1(Σ) = mN+1(Ω) e mN+1(Γ) = 0.
Para eliminar as restrições que fizémos sobre E e g, consideramos rectângulos
limitados Rk ր RN , onde k ∈ N, e definimos
0, se x ∈ Rk
gk(x) =
min{k,g(x)}, se x ∈ Rk

3.1. O Integral de Lebesgue 159
A função gk é mensurável, porque Ω R N(gk) = Ω R N(g) ∩ (Rk×]0,k[). Como
gk é limitada (não excede k) e é nula fora de Rk, é óbvio que é somável.
Escrevendo para simplificar
˜Ωk = Ω R N(gk), ˜ Σk = Σ R N(gk) e ˜ Γk = Γ R N(gk), temos de (6) que
(7) mN+1( ˜ Γk) = mN+1( ˜ Σk) − mN+1( ˜ Ωk) = 0.
Notamos que ˜ Σk ր Σ, ˜ Ωk ր Ω e Γ ⊆ ∞
k=1 ˜ Γk, donde
mN+1(Σ) = mN+1(Ω) e mN+1(Γ) = 0.
O conjunto GE(f)\ΓE(f) é nulo em R N+1 , e por isso é L-mensurável. Seguese
que GE(f) é L-mensurável e tem medida nula. Observe-se também que
quando g muda de sinal basta aplicar os resultados já obtidos a g + e g − .
A noção de integral indefinido de Lebesgue pode também ser introduzida
por uma adaptação óbvia do que fizémos a propósito do integral de Riemann.
Supondo f : E → R, onde E ⊆ RN , seja Lf(E) a classe dada por:
Lf(E) = {A ⊆ E : f é L-mensurável em A e f existe }
O integral indefinido de Lebesgue de f é a função λ : Lf(E) → R,
onde:
λ(E) = fdmN.
Teorema 3.1.13. Seja f : E → R mensurável em E ⊆ R N , onde f ≥ 0 qtp
em E e/ou f é somável em E. Temos então que
a) L(E) ⊆ Lf(E) e Lf(E) é uma σ-álgebra em E,
b) λ é uma medida em Lf(E),
c) Para qualquer E ∈ L(E), mN(E) = 0 =⇒ λ(E) = 0.
Demonstração. Se f ≥ 0 qtp em E e/ou f é somável em E e A ⊆ E, deve
ser claro que
f existe se e só se f é mensurável em A, ou seja,
A
Lf(E) = {A ⊆ E : f é mensurável em A}
a) Se B,An ∈ Lf(E), os conjuntos ΩB(f) e ΩAn(f) são L-mensuráveis.
Para mostrar que Lf(E) é uma σ-álgebra em E, consideramos C = E\B e
A = ∞
n=1 An, e notamos que ΩC(f) e ΩA(f) são L-mensuráveis, porque
ΩC(f) = ΩE(f)\ΩB(f) e ΩA(f) =
E
A
∞
ΩAn(f).
n=1

160 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
A inclusão L(E) ⊆ Lf(E) foi estabelecida em 3.1.9.
b) Consideramos apenas o caso f ≥ 0 qtp em E. É evidente que λ ≥ 0 e
λ(∅) = 0, e supomos que os conjuntos An referidos em a) são disjuntos. Os
conjuntos ΩAn(f) são igualmente disjuntos, e temos
A
∞
f = mN+1(ΩA(f)) = mN+1( ΩAn(f)) =
λ(A) =
A
f =
n=1
∞
mN+1(ΩAn(f)) =
n=1
Concluímos que λ é uma medida positiva.
∞
n=1
∞
mN+1(ΩAn(f)), ou
n=1
An
f =
Deixamos a conclusão da demonstração para o exercício 10.
Exercícios.
∞
λ(An).
1. Seja f : R N → R contínua em R N , e E ⊆ R N B-mensurável. Prove que f é
Borel-mensurável em E.
2. Mostre que se E ⊆ R N , e mN(E) = 0, então qualquer função f : R N → R é
somável em E, e
E fdmN = 0.
3. Em cada um dos seguintes casos, diga
• Se f é B-mensurável em E, e
• Se o integral
f existe, como um integral impróprio de Riemann e/ou
E
como um integral de Lebesgue.
a) f(x) = 1
x 2, E = [1, +∞[.
b) f(x) = log(|x|), E = [−1, +1].
c) f(x) = 1,
E = [0, +∞[.
d) f(x) =
x
sen x
x
, E = [0, +∞[.
e) f(x) = (+∞)dir(x), E = R.
f) f(x, y) = log(x 2 + y 2 ), E = B1(0).
g) f(x) = g ′ (x), onde g(x) = x 2 sen( 1
x 2), para x = 0, e g(0) = 0, com
E = [−1, 1].
4. Prove que a função de Volterra (exemplo 1.6.19) satisfaz a regra de Barrow,
se o integral de F ′ for interpretado no sentido da definição 3.1.1.
5. Suponha que f : R N → R é Riemann-integrável em qualquer E ∈ J (R N ).
a) Mostre que f é contínua qtp em R N .
n=1

3.1. O Integral de Lebesgue 161
b) Prove que o integral impróprio de Riemann de f em R N existe e é finito
se e só se é absolutamente convergente.
c) Mostre que as funções f : R N → R com integral impróprio de Riemann
em R N absolutamente convergente formam um espaço vectorial, onde o
integral impróprio é uma transformação linear.
d) Prove que o integral impróprio de Riemann de f em R N existe e é finito se
e só se f é somável em R N , e neste caso o integral impróprio de Riemann
de f é o integral de Lebesgue de f.
e) Determine uma função f : R → R tal que o integral impróprio de Riemann
∞
−∞ f(x)dx (no sentido referido no exercício 1 da secção 1.5) existe
e é finito, mas f não é somável.
6. Demonstre a proposição 3.1.11. sugestão: Sendo Fα = {x ∈ E : f(x) ≥ α}
e α > 0, aplique a proposição 2.2.22 ao conjunto Fα × ]0, α[.
7. Mostre que E ⊆ R N é L-mensurável se e só se χE é L-mensurável, e nesse
caso,
R N
χEdmN = mN(E).
sugestão: Recorde a demonstração da proposição 2.2.22.
8. Seja f : R → R Lebesgue-mensurável.
a) Se f ≃ g e g é contínua em R, f é sempre contínua qtp?
b) Se f é contínua qtp, existe sempre g contínua em R tal que f ≃ g?
9. Demonstre a proposição 3.1.8. sugestão: Como referido no texto, adapte
a demonstração de 1.4.7.
10. Complete a demonstração do teorema 3.1.13.
11. Seja f : R → R somável, e F(x) = x
−∞ fdm. Mostre que F é uniformemente
contínua em R. Generalize este resultado para RN . sugestão: Mostre
que F é contínua em R e tem limites em ±∞.
12. Seja f ≥ 0 uma função L-mensurável em R N e λ : Lf(R N ) → [0, ∞] o
respectivo integral indefinido de Lebesgue.
a) Mostre que λ é uma medida completa.
b) λ é sempre regular em B(R N )? sugestão: Considere o integral indefinido
de f(x) = 1/x 2 em R, e o conjunto E = {0}.
c) Suponha que f é somável em qualquer compacto K ⊂ R N (dizemos
neste caso que f é localmente somável em R N ). Mostre que o integral
indefinido λ é regular em L(R N ).

162 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
3.2 Limites, Mensurabilidade e Integrais
As vantagens técnicas do integral de Lebesgue sobre o integral de Riemann
tornam-se evidentes quando reconhecemos a facilidade com que a teoria de
Lebesgue trata diversas operações de passagem de limite. Esta facilidade
advém, naturalmente, das propriedades da própria medida de Lebesgue e
da classe dos conjuntos Lebesgue-mensuráveis. A título de exemplo, vimos
na secção anterior que o integral indefinido de Lebesgue é uma medida,
simplesmente porque a medida de Lebesgue também o é (3.1.13). Veremos
nesta secção como os teoremas sobre sucessões monótonas de conjuntos mensuráveis
(2.1.13 e 2.1.14) têm como consequência directa três resultados
clássicos sobre integrais e limites:
• O teorema de Beppo Levi,
• O lema de Fatou, e
• O teorema da convergência dominada de Lebesgue.
R
f
g
Figura 3.2.1: ΩE(m) = ΩE(f) ∩ ΩE(g),ΩE(M) = ΩE(f) ∪ ΩE(g)
Os resultados referidos aplicam-se, essencialmente sem quaisquer alterações,
tanto a funções Lebesgue-mensuráveis, como a funções Borel-mensuráveis,
porque resultam de propriedades comuns a qualquer espaço de medida. Por
esta razão, e como veremos mais adiante, o seu domínio de aplicabilidade é
muito mais geral do que esta primeira exposição poderia fazer supor.
Notámos ainda no Capítulo 1 que, se f e g são funções não-negativas, as
regiões de ordenadas das funções
R N
m(x) = min{f(x),g(x)} e M(x) = max{f(x),g(x)}
são, respectivamente, a intersecção e a união das regiões de ordenadas de f e
de g. Convenientemente generalizada, esta observação é válida para qualquer
família numerável de funções e é a chave para mostrar que a mensurabilidade
de funções é sempre preservada em operações de passagem ao limite.

3.2. Limites, Mensurabilidade e Integrais 163
Lema 3.2.1. Dadas funções fn : E → R, onde E ⊆ R N , sejam
Temos então:
g(x) = sup{fn(x) : n ∈ N}, e h(x) = inf{fn(x) : n ∈ N}.
a) ΩE(g + ) =
b) ΣE(h + ) =
∞
n=1
∞
n=1
ΩE(f + n ), e ΣE(g − ) =
ΣE(f + n ), e ΩE(h − ) =
∞
n=1
∞
n=1
ΣE(f − n
ΩE(f − n ).
Demonstração. Supomos primeiro que fn ≥ 0 para qualquer n e escrevemos
para simplificar:
), e
Ωn = ΩE(fn),Ω = ΩE(g),Σn = ΣE(fn) e Σ = ΣE(h).
Notamos como óbvio que
Temos agora
(1) Ω ⊇
∞
Ωn e Σ ⊆
n=1
∞
Σn.
(2) Se (x,y) ∈ Ω então 0 < y < g(x), e existe n tal que 0 < y < fn(x) ≤
g(x), ou seja, (x,y) ∈ Ωn. Segue-se assim que Ω ⊆ ∞
n=1 Ωn.
(3) Se (x,y) ∈ ∞
n=1 Σn então 0 < y ≤ fn(x) para qualquer n, e portanto
0 < y ≤ h(x), ou seja, (x,y) ∈ Σ. Por outras palavras, ∞
n=1 Σn ⊆ Σ.
Concluímos de (1), (2) e (3) que
∞
Ω = Ωn e Σ =
n=1
n=1
∞
Σn.
Se as funções fn mudam de sinal, o lema resulta de aplicar as observações
que acabámos de provar, depois de observar (ver exercício 1) que
n=1
g + = supf + n , g− = inf f − n , h+ = inf f + n e h− = supf − n .
O próximo teorema é uma consequência directa deste lema.
Teorema 3.2.2. Se as funções fn : E → R são mensuráveis em E, então
as seguintes funções são mensuráveis em E:
a) g(x) = sup{fn(x) : n ∈ N},h(x) = inf{fn(x) : n ∈ N},
b) G(x) = lim supfn(x)
e H(x) = lim inf
n→∞
n→∞ fn(x).
Se f(x) = lim
n→∞ fn(x) para qualquer x ∈ E, então f é mensurável em E, e
se a convergência é apenas válida qtp, então f é L-mensurável em E.

164 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Demonstração. Para verificar a) no que diz respeito à função g, observamos
que, de acordo com o lema anterior,
ΩE(g + ) =
∞
n=1
ΩE(f + n ) e ΣE(g − ) =
∞
n=1
ΣE(f − n ).
• Como as funções fn são mensuráveis, os conjuntos ΩE(f + n ) e ΣE(f − n )
são mensuráveis.
) são mensuráveis, os conjuntos
• Como os conjuntos ΩE(f + n ) e ΣE(f − n
ΩE(g + ) e ΣE(g− ) são mensuráveis, porque as uniões e intersecções
numeráveis de conjuntos mensuráveis são conjuntos mensuráveis.
Concluímos que as funções g + e g − são mensuráveis, ou seja, g é mensurável.
O caso da função h é inteiramente análogo, e resulta de recordar que
ΣE(h + ) =
∞
n=1
ΣE(f + n ) e ΩE(h − ) =
∞
n=1
ΩE(f − n ).
A alínea b) deste teorema é uma consequência directa de a). Tomamos
gn(x) = sup{fk(x) : k ≥ n} e hn(x) = inf{fk(x) : k ≥ n},
e observamos de a) que gn e hn são mensuráveis.
mentar das sucessões numéricas que
É uma propriedade ele-
G(x) = lim sup fn(x) = lim
n→∞ n→∞ gn(x) = inf{gn(x) : n ∈ N}, e
H(x) = lim inf
n→∞ fn(x) = lim
n→∞ hn(x) = sup{hn(x) : n ∈ N}.
Concluímos que as funções G e H são mensuráveis, ainda em consequência
de a). A afirmação final é uma consequência óbvia deste facto, porque
f(x) = lim
n→∞ fn(x) em E =⇒ f(x) = G(x) = H(x) em E,
e se a convergência é válida apenas qtp então f ≃ G em E.
Vimos logo no início do capítulo 1 que a operação de integração não
pode ser sempre trocada com a de passagem ao limite. Existem no entanto
circunstâncias razoavelmente gerais onde essa troca é possível, e passamos
a enunciar e demonstrar um conjunto de resultados de grande importância
que formalizam e tornam precisa esta observação. Estes resultados são, em
larga medida, consequência directa do teorema da convergência monótona
de Lebesgue (2.1.13), ou seja, da propriedade “essencial” de σ-aditividade.

3.2. Limites, Mensurabilidade e Integrais 165
Teorema 3.2.3 (Teorema de Beppo Levi). ( 3 ) Se as funções fn : E →
[0,+∞] são mensuráveis em E ⊆ RN e formam uma sucessão crescente,
então fn(x) ր f(x), onde f é mensurável em E e
lim
n→∞ fndmN
= lim fndmN.
n→∞
E
Demonstração. Sabemos que f(x) = sup{fn(x) : n ∈ N} é mensurável, de
acordo com 3.2.2, precisamente porque
∞
ΩE(f) = ΩE(fn).
n=1
As funções fn ≥ 0 formam uma sucessão crescente, donde ΩE(fn) ր ΩE(f).
Segue-se do teorema da convergência monótona (2.1.13) que
mN+1(ΩE(fn)) → mN+1(ΩE(f)), ou seja, fndmN → fdmN.
Exemplo 3.2.4.
Seja f a função nula fora de ]0, 1[, e tal que f(x) = 1
√ x , quando 0 < x < 1.
Observámos no exemplo 3.1.2.2 que o integral 1
0 f(x)dx existe e é igual a 2.
Sendo Q ∩ ]0, 1[ = {q1, q2, · · · }, consideramos
n 1
gn(x) =
2k f(x − qk)
∞ 1
ր g(x) = f(x − qk).
2k k=1
É relativamente simples verificar (ver, por exemplo, o exercício 5 da secção
anterior) que as funções gn são B-mensuráveis, os integrais 2
0 gn(x)dx existem,
e podem ser calculados como integrais impróprios de Riemann:
2 2
n 1
gndm = gn(x)dx =
2k 2
n 1
f(x − qk)dx = ր 1.
2k−1 0
0
k=1
Concluímos do teorema de Beppo Levi que g é B-mensurável e 2
gdm = 1. 0
Em particular, g é finita qtp, um facto que à partida pode parecer difícil de
estabelecer. A função G(x) = x
gdm pode ser calculada integrando a série
−∞
termo-a-termo, e é dada por
∞ 1
G(x) =
2
n=1
nF(x − qn),
⎧
x ⎨ 0, se x ≤ 0
onde F(x) = fdm = 2
−∞ ⎩
√ x, se 0 ≤ x ≤ 1 .
2, se x ≥ 1
Note-se que g é ilimitada em qualquer subintervalo não trivial de [0, 1], e portanto
o seu integral de Lebesgue não é um integral impróprio de Riemann.
3 Beppo Levi, 1875-1961, matemático italiano de origem judaica, estudou em Turim,
onde teve como professores, entre outros, Vito Volterra e Giuseppe Vitali. Foi professor das
universidades de Cagliari, Parma e Bolonha, donde foi demitido em 1938 pelo regime de
Mussolini. Emigrou para a Argentina em 1939, e teve um papel central no desenvolvimento
da Matemática no seu país de adopção. Este teorema foi publicado em 1906.
0
E
E
k=1
k=1
E

166 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
O teorema de Beppo Levi é aplicável a sucessões decrescentes de funções,
desde que as funções em causa sejam somáveis a partir de certa ordem.
Teorema 3.2.5 (Teorema de Beppo Levi (II)). Se as funções fn : E →
[0,+∞] são mensuráveis em E ⊆ RN e formam uma sucessão decrescente,
então fn(x) ց f(x), onde f é mensurável em E. Se f1 é somável, então
lim
n→∞ fndmN
= lim fndmN.
n→∞
E
Demonstração. f(x) = inf{fn(x) : n ∈ N} é mensurável, de acordo com
3.2.2, porque
∞
ΣE(f) = ΣE(fn).
n=1
As funções fn ≥ 0 formam uma sucessão decrescente, donde ΣE(fn) ց
ΣE(f). Como f1 é somável temos mN+1(ΣE(f1)) < +∞ e concluímos de
2.1.14 e 3.1.12 que:
mN+1(ΣE(fn)) → mN+1(ΣE(f)), i.e., fndmN → fdmN.
O limite inferior de uma sucessão de funções é sempre o limite de uma
sucessão crescente, à qual podemos aplicar o teorema de Beppo Levi. Obtemos,
assim, a desigualdade conhecida como
Lema 3.2.6 (Lema de Fatou). ( 4 ) Se as funções fn : E → [0,+∞] são
mensuráveis em E ⊆ RN , então
lim inf
n→∞ fndmN
≤ lim inf fndmN.
n→∞
E
Demonstração. Conforme notámos na demonstração de 3.2.2,
se hn(x) = inf{fk(x) : k ≥ n} então hn(x) ր lim inf
n→∞ fn(x).
Como hn ≥ 0, segue-se do teorema de Beppo Levi que
(1) hndmN → lim inf
n→∞ fndmN.
E
Da monotonia do integral em relação à integranda segue-se que
hndmN ≤ fkdmN, para qualquer k ≥ n, ou
E
E
4 Pierre Joseph Louis Fatou, 1878-1929, matemático francês. Fatou referiu um lema
muito semelhante a este num artigo publicado em 1906.
E
E
E
E
E

3.2. Limites, Mensurabilidade e Integrais 167
(2) hndmN ≤ inf{ fkdmN : k ≥ n}.
E
E
Deve ser claro das observações feitas na demonstração de 3.2.2 que
inf{ fkdmN : k ≥ n} → lim inf
n→∞
fndmN.
E
Passando ao limite na desigualdade (2) e usando (1), obtemos
lim inf
n→∞ fndmN
≤ lim inf fndmN.
n→∞
E
Deixamos como exercício a seguinte versão do lema de Fatou para o
limite superior de uma sucessão de funções, que é consequência de 3.2.5.
Teorema 3.2.7 (Lema de Fatou (II)). Se as funções fn : E → [0,+∞] são
mensuráveis em E ⊆ RN , e existe uma função somável F : E → [0,+∞] tal
que fn(x) ≤ F(x), qtp em E, então
lim sup
n→∞
E
fndmN ≤
E
E
E
lim sup fndmN.
n→∞
Este resultado, e o lema de Fatou, permitem-nos obter uma versão preliminar
do que é, seguramente, um dos resultados mais centrais da teoria
da integração de Lebesgue.
Teorema 3.2.8 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). ( 5 )
Suponha-se que
a) As funções fn : E → R são L-mensuráveis em E,
b) Existe uma função somável F : E → [0,+∞] tal que |fn(x)| ≤ F(x),
qtp em E, e
c) f(x) = lim
n→∞ fn(x) qtp em E.
Neste caso, f é L-mensurável e somável em E, e
fdmN = lim fndmN.
n→∞
E
Demonstração. Supomos que as funções fn são não-negativas, deixando o
caso geral para os exercícios. Os limites superior e inferior da sucessão dos
integrais de fn existem sempre, e satisfazem
lim inf
n→∞
E
fndmN ≤ lim sup
n→∞
5 Publicado por Lebesgue, em 1908.
E
E
fndmN ≤
E
FdmN < ∞.

168 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Aplicamos os teoremas 3.2.6 e 3.2.7 à sucessão de funções fn, para obter
lim inf
E
n→∞ fndmN
≤lim inf
n→∞
fndmN ≤
E
≤lim sup
n→∞
fndmN ≤ lim sup fndmN.
n→∞
O resultado é agora imediato, porque, por hipótese,
Observações 3.2.9.
E
lim inf
n→∞ fn ≃ lim sup fn ≃ f em E.
n→∞
1. No enunciado do teorema de Beppo Levi podemos supor que as desigualdades
0 ≤ fn(x) ≤ fn+1(x) e a relação fn(x) ր f(x) são válidas apenas qtp em E.
Definindo os conjuntos An e A por
An = {x ∈ E : fn(x) < 0 ou fn+1(x) < fn(x)} e A =
é claro que mN(A) = 0. Definindo também
fn(x), se x ∈ A
gn(x) =
0, se x ∈ A
E
∞
An,
temos 0 ≤ gn(x) ≤ gn+1(x) e gn(x) ր g(x) para qualquer x ∈ E. É imediato
que gn ≃ fn em E, e portanto as funções gn e g são L-mensuráveis em E.
É também claro que se x ∈ A então fn(x) = gn(x) → g(x), e em particular
g ≃ f em E. Segue-se do teorema de Beppo Levi na forma 3.2.3 que
fndmN = gndmN → gdmN = fdmN.
E
E
2. É igualmente simples adaptar de forma análoga o enunciado do teorema de
Beppo Levi (II).
Deve também notar-se que estes resultados sobre limites e integrais são
com frequência indispensáveis ao estudo de funções definidas como integrais
paramétricos, ou seja, funções φ dadas por expressões do tipo:
φ(x) = f(x,y)dy.
E
Por exemplo, supondo que x ∈ A ⊆ R N , y ∈ E ⊆ R M e f é contínua em
A × E, a questão da continuidade de φ em x0 ∈ A reduz-se ao estudo da
identidade
lim
x→x0
E
f(x,y)dy =
E
E
E
n=1
lim f(x,y)dy = f(x0,y)dy.
x→x0
E

3.2. Limites, Mensurabilidade e Integrais 169
Para aplicar resultados que enunciámos e demonstrámos para sucessões de
funções a problemas deste tipo, deve recordar-se que a usual definição de
limite de funções pode formular-se em termos de limites de sucessões, e.g.,:
3.2.10. Se f : U → R, U ⊆ R N é aberto e a ∈ U, então limx→a f(x) = b se
e só se, para qualquer sucessão com termo geral xn ∈ U\{a},
xn → a =⇒ f(xn) → b.
A título de ilustração, seja I ⊆ R aberto, E ⊆ R e f : I ×E → R. Para cada
s ∈ I, definimos fs : I → R por fs(t) = f(s,t). Suponha-se que ψ : E → R
é somável em E e, para qualquer s ∈ I, fs é mensurável em E e |fs| ≤ ψ.
Se s0 ∈ I, temos então que
lim f(s,t) = g(t) =⇒ f(s,t)dt → g(t)dt.
s→s0
Para provar esta afirmação, basta considerar sucessões sn → s0, e aplicar o
teorema 3.2.8 às funções gn dadas por gn(t) = f(sn,t).
Exemplos 3.2.11.
1. continuidade de um integral paramétrico: Vimos já que a função
dada por ψ(t) = e−t2 é somável em R. Estudamos agora a continuidade do
integral paramétrico dado por( 6 )
F(s) = e −t2
cos(st)dt.
R
Com f(s, t) = e−t2 cos(st), temos |f(s, t)| = |e−t2 cos(st)| ≤ e−t2 = ψ(t) e, em
particular, F está definida em R. Temos igualmente para qualquer s0 ∈ R que
f(s, t) → f(s0, t) quando s → s0, porque f é contínua em R 2 . Podemos por
isso concluir que
lim F(s) =
s→s0
s→s0 R
E
lim e −t2
cos(st)dt =
R
E
e −t2
cos(s0t)dt = F(s0)
2. derivada de um integral paramétrico: Quando ω > 0, o integral
∞
G(ω) = e −ωt sen(t 2 )dt
0
é um integral impróprio de Riemann absolutamente convergente, porque
|e −ωt sen(t 2 )| ≤ e −ωt ∞
e e −ωt dt = 1
ω .
6 Este integral é, como veremos, a parte real da transformada de Fourier de ψ.
Note do exercício 9 que podemos facilmente estabelecer a sua continuidade uniforme em
R sem invocar o teorema 3.2.8.
0

170 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Para calcular a derivada de G, consideramos o quociente
∞
G(ω + s) − G(ω) e
=
s
−(ω+s)t − e−ωt sen(t
s
2 ∞
)dt =
0
0
e−st − 1
e
s
−ωt sen(t 2 )dt.
Repare-se que neste cálculo o limite em questão é calculado com ω > 0 fixo.
Um cálculo elementar mostra que
f(s, t) = e−st − 1
e
s
−ωt sen(t 2 ) → −te −ωt sen(t 2 ) quando s → 0 e,
supondo agora que |s| ≤ ω/2, temos igualmente
|f(s, t)| = | e−st − 1
e
s
−ωt sen(t 2 )| ≤ te −ωt/2 = ψ(t).
A função ψ é também somável em E = [0, ∞[ (porquê?), e podemos portanto
concluir de 3.2.8 que
G ′ ∞
e
(ω) = lim
s→0
−(ω+s)t − e−ωt sen(t
s
2 ∞
)dt = − te −ωt sen(t 2 )dt.
Exercícios.
0
1. Suponha que fn : E → R, g(x) = sup{fn(x) : n ∈ N} e h(x) = inf{fn(x) :
n ∈ N}. Mostre que
g + (x) = sup{f + n (x) : n ∈ N}, g− (x) = inf{f − n
h + (x) = inf{f + n (x) : n ∈ N}, h− (x) = sup{f − n
0
(x) : n ∈ N}, e
(x) : n ∈ N}.
2. Mostre que o teorema de Beppo Levi é válido para funções fn : E → R,
desde que
E f1dmN > −∞.
3. Mostre que a região de ordenadas da função g definida no exemplo 3.2.4 é
σ-elementar, e portanto g é Borel-mensurável.
4. Demonstre o teorema 3.2.7.
5. Mostre que a desigualdade estrita é possível no lema de Fatou e em 3.2.7.
6. O Lema de Fatou (II) tem como uma das hipóteses a condição
(i) fn(x) ≤ F(x), qtp em E, onde F é somável em E.
Verifique se esta condição pode ser substituída por
(ii)
E fndmN < K < ∞, para qualquer n ∈ N.
7. Demonstre o teorema da convergência dominada para fn : E → R.
8. Suponha que f : R → R é diferenciável em R, e mostre que f ′ é B-mensurável
em R.

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 171
9. Verifique os detalhes dos cálculos indicados na discussão dos exemplos 3.2.11.
Mostre igualmente que a função F é uniformemente contínua em R sem invocar
o teorema 3.2.8.
10. Calcule
n
lim
n→+∞
0
1 − x
n
n
e x
2 dx.
11. Calcule a derivada da função
∞
e
F(s) =
−t
sen(st)dt.
t
3.3 O Teorema de Fubini-Lebesgue
0
A teoria de integração de Lebesgue inclui uma solução particularmente elegante
para o problema do cálculo da medida de um conjunto por integração
da medida das suas secções. Trata-se do Teorema de Fubini-Lebesgue( 7 ),
que passamos a estudar.
As secções de um conjunto E ⊆ R N resultam de intersectar E com
“planos” de dimensão M < N de tipo especial. Antes de apresentarmos
uma definição mais precisa desta noção de secção, é conveniente analisarmos
alguns casos mais específicos.
Exemplos 3.3.1.
1. Se E ⊆ R 2 , as secções de E resultam fixar uma das duas coordenadas dos
pontos de E, ou seja, de intersectar E com rectas horizontais ou verticais (ver
figura 3.3.1). Designando por α e β, respectivamente, as rectas com equações
x = a e y = b, obtemos os conjuntos
E a 1 = E ∩ α = {(a, y) : (a, y) ∈ E} e E b 2
= E ∩ β = {(x, b) : (x, b) ∈ E}
É no entanto mais conveniente considerar as projecções destes conjuntos em R
como as verdadeiras “secções” de E, ou seja, tomar como secções os conjuntos
E a 1 = {y ∈ R : (a, y) ∈ E} e Eb 2
= {x ∈ R : (x, b) ∈ E}
Repare-se que neste caso Et i
coordenada i igual a t e Et i é a projecção (evidente) de Et i
é o conjunto formado pelos pontos de E com
em R.
2. Se E ⊆ R 3 , e escrevendo x ∈ R 3 na forma x = (x1, x2, x3), as secções de E
obtém-se agora de fixar uma ou duas das coordenadas dos pontos de E, ou seja,
7 De Guido Fubini, 1879-1943, matemático italiano de origem judaica, refugiado nos
EUA em 1939, depois de demitido da sua posição na Universidade de Turim. A versão
moderna deste teorema foi descoberta no período 1906-1907 por Fubini e Beppo Levi, mas
o princípio subjacente, dito “de Cavalieri”, do matemático italiano Bonaventura Francesco
Cavalieri, 1598 - 1647, já era conhecido por Arquimedes.

172 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
E a 1
E b 2
Figura 3.3.1: E a 1 e Eb 2
x = a
E
y = b
são secções do conjunto E.
de intersectar E com planos paralelos a um dos planos coordenados (equação
xi = a) ou com rectas paralelas a dois dos planos coordenados (sistema xi = a
e xj = b). Adaptando a notação introduzida no exemplo anterior, temos, e.g.,
E c 3 = {(x, y) ∈ R 2 : (x, y, c) ∈ E} e E (a,b)
(1,2) = {z ∈ R3 : (a, b, z) ∈ E}
a) Se E ⊂ R3 √
3
é a esfera centrada na origem de raio 4, então E3
é o círculo
unitário em R 2 , porque
E
√
3
3 = {(x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 + 3 ≤ 4} = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.
Analogamente, a secção E (0,√ 3)
(1,3) é o intervalo [−1, +1], porque
E (0,√ 3)
(1,3) = {y ∈ R : 0 + y2 + 3 ≤ 4} = {y ∈ R : y 2 ≤ 1} = [−1, +1].
b) Se E ⊂ R3 é a região de ordenadas de f : R2 → R dada por f(x, y) =
x2 + |y|, então E −1
2 é a região de ordenadas em R da função que podemos
designar g = f −1
2 : R → R, dada por f −1
1 (x) = f(x, −1) = g(x) = x2 + 1,
porque
E
√
3
1 = {(y, z) ∈ R2 : 0 < z < f( √ 3, y)} = {(y, z) ∈ R 2 : 0 < z < 3 + |y|}
Neste caso, as secções do tipo E λ 3 têm um significado muito particular,
porque, e.g.,
E 1 3 = {(x, y) ∈ R2 : 0 < 1 < f(x, y)} = f −1 (]1, ∞])
Por palavras, a secção Eλ 3
E (a,b)
(1,2)
é o conjunto onde f > λ. As secções do tipo
são especialmente simples, porque são sempre intervalos:
E (a,b)
(1,2) = {z ∈ R : 0 < λ < f(a, b)} =]0, f(a, b)[

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 173
3. Quando a dimensão do espaço em causa é superior a 3, a variedade de conjuntos
a que podemos chamar “secções” é ainda maior. Supondo E ⊆ R 5 ,
é razoável fixar, por exemplo, a 2 a e a 4 a coordenada, o que corresponde a
intersectar E com um “plano” de dimensão 3, para obter uma secção do tipo
E (a,b)
(2,4) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, a, y, b, z) ∈ E}.
As usuais funções “de projecção” πi : RN → R, onde 1 ≤ i ≤ N e
πi(x) = xi quando x = (x1,x2, · · · ,xN), são úteis para tornarmos estas
noções mais precisas. Na realidade, é fácil ver que se E ⊆ R2 então, quando
(i,j) = (1,2) e quando (i,j) = (2,1),
E a i
= π−1
i (a) ∩ E e E a i
= πj
E a i
= πj
π −1
i (a) ∩ E
O caso de secções de conjuntos em espaços de dimensão superior a 2 requer
no entanto a generalização das noções de índice i e de projecção πi
subjacentes à observação que acabámos de fazer para R 2 .
Definição 3.3.2 ( Índices e projecções). Um índice-K (em RN ) é um Ktuplo
de naturais I = (i1,i2, · · · ,iK), onde 1 ≤ i1 < i2 < · · · < iK ≤ N.
Dizemos neste caso que a função πI : R N → R K dada por
πI(x) = (πi1 (x), · · · ,πiK (x)).
é uma projecção. Sendo N = K + M, o índice complementar de I,
designado I c , é o índice-M formado pelos naturais j1 < · · · < jM ≤ N que
não estão em {i1,i2, · · · ,iK}.
Exemplo 3.3.3.
Se N = 5 e I = (2, 4), temos I c = (1, 3, 5). Repare-se que a secção de E ⊆ R 5
referida no exemplo 3.3.1.3 é
E (a,b) −1
(2,4) = πIc πI (E)
Qualquer elemento x ∈ RN fica unicamente determinado pelas suas projecções
t = πI(x) ∈ RK e y = πIc(x) ∈ RM , porque as componentes de x
resultam de uma simples permutação das componentes de u = (t,y). É por
isso conveniente introduzir
Definição 3.3.4. Seja I um índice-K em R N e N = K + M. As funções
ΠI : R N → R K × R M e ρI : R K × R M → R N ( 8 ) são dadas por
ΠI(x) = (πI(x),πI c(x)) e ρI = Π −1
I .
8 Os símbolos πI e ρI não incluem qualquer referência ao espaço R N subjacente, para
não sobrecarregar excessivamente a notação, mas note que esta opção causa ambiguidade.

174 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
x = ρI(t,y) ⇐⇒ (t,y) = ΠI(x) ⇐⇒ t = πI(x) e y = πI c(x).
Exemplos 3.3.5.
1. Se I = (2, 4), πI : R 5 → R 2 é dada por
πI(x) = (x2, x4), onde x = (x1, x2, x3, x4, x5).
Neste caso, I c = (1, 3, 5), πI c : R5 → R 3 e πI c(x) = (x1, x3, x5). A função
ρI : R 2 × R 3 → R 5 é dada por
ρI(t, y) = ρI((t1, t2), (y1, y2, y3)) = (y1, t1, y2, t2, y3).
2. As secções de um dado conjunto E podem ser facilmente expressas em termos
das funções de projecção que acabámos de referir. Se E ⊆ R 2 e x0, y0 ∈ R então
3. Se E ⊆ R 3 e y0 ∈ R, então
{x ∈ R : (x, y0) ∈ E} = π1(π −1
2 (y0) ∩ E), e
{y ∈ R : (x0, y) ∈ E} = π2(π −1
1 (x0) ∩ E).
{(x, z) ∈ R 2 : (x, y, z) ∈ E} = π (1,3)(π −1
2 (y0) ∩ E).
4. Se E ⊆ R 5 e (y0, u0) ∈ R 2 , e escrevendo α = (2, 4), α c = (1, 3, 5), então
{(x, z, v) ∈ R 3 : (x, y0, z, u0, v) ∈ E} = π (1,3,5)(π −1
(2,4) (u0, v0) ∩ E).
A definição seguinte formaliza estas ideias.
Definição 3.3.6 (Secções de E ⊆ R N ). Seja E ⊆ R N , I = (i1,i2, · · · ,iK)
um índice-K em R N , t ∈ R K , e M = N −K. Dizemos então que o conjunto
E t I
= πI c(π−1
I (t) ∩ E) = {y ∈ RM : ρI(t,y) ∈ E}.
é uma secção-M de E, ou mais simplesmente uma secção de E.
Exemplos 3.3.7.
1. Seja Ω ⊂ R 3 a região de ordenadas de f : R 2 → R. Escrevemos os pontos de
R 3 na forma v = (x, y, z) e observamos que se f ≥ 0 então:
• Ω x0
1 = π (2,3)({(x0, y, z) ∈ Ω}) = {(y, z) : 0 < z < f(x0, y)} é a região de
ordenadas da função gx0 : R → R, dada por gx0(y) = f(x0, y).
• Ω y0
2 = π (1,3)({(x, y0, z) ∈ Ω}) = {(x, z) : 0 < z < f(x, y0)} é a região de
ordenadas da função hy0 : R → R, dada por hy0(x) = f(x, y0).
• Ω z0
3 = π (1,2)({(x, y, z0) ∈ Ω}) = {(x, y) : 0 < z0 < f(x, y)} é o conjunto
de pontos onde f é maior do que z0.
• Ω (x0,y0)
(1,2) = π3({(x0, y0, z) ∈ Ω} = {z : 0 < z < f(x0, y0)}

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 175
x0
R
R
Figura 3.3.2: A secção Ω x0
1
z = f(x0,y) = fx0 (y)
R
é a região de ordenadas de fx0 .
• Ω (x0,z0)
(1,3) = π2({(x0, y, z0) ∈ Ω} = {y : 0 < z0 < f(x0, y) é o conjunto onde
a função fx0 dada por fx0(t) = f(x0, t) é maior do que z0.
• Ω (y0,z0)
(2,3) = π1({(x, y0, z0) ∈ Ω} = {x : 0 < z0 < f(x, y0) é o conjunto onde
a função f y0 dada por f y0 (t) = f(t, y0) é maior do que z0.
2. Considere-se a bola S = x ∈ R N : x ≤ R ⊂ R N e seja y ∈ R K , onde
K < N e y < R. Se I é um qualquer índice-K, é fácil reconhecer que a
é igualmente uma bola, dada por
secção S y
I
S y
I = z ∈ R N−K : z 2 + y 2 ≤ R 2 =
z ∈ R N−K : z 2 ≤ R2 − y2
.
Se as secções E t I ⊆ RM são mensuráveis, podemos determinar as respectivas
medidas AI(t) = mM(E t I ) e AI é uma função em R K . O teorema de
Fubini-Lebesgue que passamos a enunciar garante que, se o conjunto E é
L-mensurável, então o integral de AI existe e é a medida de E.
Teorema 3.3.8 (Teorema de Fubini-Lebesgue (I)). Seja E ∈ L(R N ), 1 ≤
K < N, t ∈ R K , M = N − K e seja ainda I = (i1,i2, · · · ,iK) um índice-K
em R N . Temos então que
a) Os conjuntos E t I ⊂ RM são L-mensuráveis, para quase todo o t ∈ R K ,
b) A função AI(t) = mM(E t I ) é L-mensurável em RK e
Exemplo 3.3.9.
R K
AIdmK = mN(E).

176 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Designamos por E a região de ordenadas da função f : R 2 → R dada por
f(x, y) = log(x2 + y2 ), no conjunto B1(0). Se z < 0, as secções Ez 3 são
círculos, de raio r = e z
2 , donde A3(z) = πez . Supondo provado o teorema
3.3.8, a medida do conjunto E é dada, portanto, por
0
m3(E) =
−∞
0
A3(z)dm =
−∞
πe z dm,
que pode ser calculado como um integral impróprio de Riemann. Temos, assim,
0
m3(E) = lim πe
z→−∞
t dm = lim
z→−∞ π et 0
= π. z
z
ACRESCENTAR AQUI O EXEMPLO DA LEI DE GAUSS A DUAS DI-
MENS ÕES: Considere-se a função f(x, y) = ex2.y2, e seja Bn = Bn(0) a bola
centrada na origem com raio n. A função f é Riemann-integrável em Bn, e
podemos calcular o respectivo integral usando, por exemplo, as secções obtidas
com z constante: Como Bn . R2, concluímos que o integral de Lebesgue de
f em R2 é igual a . Observe-se que o mesmo cálculo, mas executado agora
com os conjuntos An = [.n, n] ¡¿ [.n, n], conduz necessariamente ao mesmo
resultado, i.e., Obtemos assim a identidade clássica:
O teorema de Fubini-Lebesgue é imediato quando E é um rectângulo-N.
Suponha-se que E = R = I1 × · · · IN, onde os conjuntos Ik são intervalos
em R, e seja I um índice-K em RN , com I = (i1,i2, · · · ,iK), e Ic =
(j1,j2, · · · ,jM). É natural dizer que os conjuntos
RI = πI(R) = Ii1 × · · · IiK ⊆ RK e RIc = πIc(R) = Ij1 × · · · IjM ⊆ RM
são projecções de R, e é evidente que mN(R) = mK(RI)mM(RIc). O cálculo
das secções R t I e da função AI é muito simples, e conduz a
R t I =
RIc, quando t ∈ RI
∅, quando t ∈ RI
Concluímos que
AI(t)dmK =
R k
RI
donde A t I =
mM(RIc), quando t ∈ RI
0, quando t ∈ RI
mM(RI c)dmK = mM(RI c)mK(RI) = mN(R).
Note que podemos escrever AI(t) = mM(RI c)χRI (t), e portanto a
função AI é múltipla da função característica de RI. Obtivémos assim
o seguinte resultado preliminar:
Lema 3.3.10. Seja R um rectângulo-N, e I um índice-K em RN . Sejam
ainda RI e RIc as projecções acima referidas. Temos então que:
a) As secções R t I são rectângulos-M para qualquer t ∈ RK , sendo que
R t I = RI c quando t ∈ RI, e R t I = ∅ quando t ∈ RI. Portanto,

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 177
b) AI = mM(RIc)χRI é B-mensurável, e
Rk AI(t)dmK = mN(R).
Usaremos com frequência as seguintes observações elementares.
Lema 3.3.11. Suponha-se que I é um índice-K em R N e t ∈ R K . Se
Eα ⊆ R N para qualquer α ∈ J, temos:
a) Se A =
α∈J
b) Se B =
α∈J
Eα, então A t I =
Eα, então B t I
α∈J
=
α∈J
c) Se E ⊆ R N então (E c ) t
I = E t I
(Eα) t
I .
c.
(Eα) t
I .
Demonstração. Provamos apenas a), a título de exemplo. Seja ρI : RK ×
RM → RN a bijecção definida em 3.3.4. Notamos que
y ∈ A t I ⇔ ρI(t,y) ∈
Eα ⇔ Existe α ∈ J tal que ρI(t,y) ∈ Eα ⇔
α∈J
⇔ Existe α ∈ J tal que y ∈ (Eα) t
I ⇔ y ∈
α∈J
As restantes afirmações são também de verificação imediata.
(Eα) t
I .
Para demonstrar o teorema de Fubini-Lebesgue (I) na forma 3.3.8, provaremos
sucessivamente lemas auxiliares (3.3.12 a 3.3.15) aplicáveis a conjuntos
E de diversos tipos, começando pelo caso em que E ⊂ R N é elementar.
Em todos estes resultados, supomos que
E ⊆ R N , I é um índice-K em R N ,t ∈ R K e N = K + M.
Lema 3.3.12. Se E é elementar então:
a) Os conjuntos E t I ⊆ RM são elementares para qualquer t ∈ R K .
b) A função AI dada por AI(t) = mM(E t I ) é B-mensurável em RK , e
R K
AI(t)dmK = mN(E).
Demonstração. Como E é elementar, existe uma partição R de E em rectângulos
limitados disjuntos. Notamos do lema anterior que
E =
=
Notamos agora que
R∈R
R =⇒ E t I
R∈R
R t I .

178 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
• Como as secções Rt I
secções Et I
• Os rectângulos R t I
são rectângulos (lema 3.3.10), é claro que as
são elementares, o que prova a).
são disjuntos (com t e I fixos), e portanto
AI(t) = mM(E t
I ) = mM(R
R∈R
t I ).
Tal como no lema 3.3.10, se RI = πI(R) e RIc = πIc(R), então
AI(t) =
mM(R t I) =
R∈R
R∈R
mM(RIc)χRI (t).
A função AI é assim uma combinação linear de funções características
de rectângulos limitados, a sua região de ordenadas é elementar, e AI
é B-mensurável. O cálculo do seu integral (que existe no sentido de
Riemann e se reduz a uma soma de Darboux)( 9 ) é imediato:
AI(t)dmK =
mM(RIc)χRI (t)dmK =
R K
=
R∈R
R∈R
R K
mK(RI)mM(RIc) = mN(R) = mN(E).
R∈R
Passamos a considerar o caso dos conjuntos σ-elementares:
Lema 3.3.13. Se E é σ-elementar então:
a) Os conjuntos E t I ⊂ RM são σ-elementares para qualquer t ∈ R K .
b) A função AI dada por AI(t) = mM(E t I ) é B-mensurável em RK , e
R K
AIdmK = mN(E).
Demonstração. E é uma união numerável de rectângulos limitados Rj, e
Os conjuntos (Rj) t
E =
∞
j=1
Rj =⇒ E t I =
∞
j=1
(Rj) t
I .
é também σ-
I são rectângulos limitados, portanto Et I
elementar e a função AI(t) = mM(Et I ) está definida em RK . Consideramos
os conjuntos elementares auxiliares Un = n j=1 Rj, e observamos que:
(1) Un ր E, donde mN(Un) → mN(E), e
(2) (Un) t
I ր Et t
I , donde mM((Un) I ) → mM(Et I ), para qualquer t ∈ RK .
9 Recorde que ainda não estabelecemos a aditividade do integral de Lebesgue em relação
à integranda!

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 179
Definimos An,I(t) = mM (Un) t
I e AI(t) = mM Et I . Como Un é elementar,
segue-se de 3.3.12 que An,I
é B-mensurável, e é claro de (2) que
An,I(t) ր AI(t) = mM Et I e AI é B-mensurável. Concluímos:
(3) Do teorema de Beppo Levi:
RK
An,IdmK →
RK
AIdmK.
(4) De 3.3.12 e (1): An,IdmK = mN(Un) → mN(E).
Temos de (3) e (4) que
R K
R K
Consideramos em seguida o caso:
AdmK = mN(E).
Lema 3.3.14. Se E é de tipo Gδ e mN(E) < ∞ então:
a) Os conjuntos E t I ⊆ RM são de tipo Gδ para qualquer t ∈ R K .
b) A função AI dada por AI(t) = mM(E t I ) é L-mensurável em RK , e
R K
AIdmK = mN(E).
Demonstração. Existem conjuntos abertos Un de medida finita tais que
Definimos An,I(t) = mM((Un) t
I
(i) Un ց E, donde mN(Un) → mN(E).
(ii)
R K
), e observamos do lema 3.3.13, e (i), que
An,IdmK = mN(Un) → mN(E).
As funções An,I são evidentemente somáveis, e em particular a função A1,I
é finita qtp. É também claro que
E =
∞
n=1
Un =⇒ E t I =
∞
n=1
(Un) t
t
I , i.e., (Un) I ց Et I , e Et I
é um Gδ.
A função AI(t) = mM(Et I ) está, portanto, definida para qualquer t ∈ RK .
Como A1,I(t) < ∞ é finita qtp, temos An,I(t) ց AI(t) qtp, e segue-se do
teorema de Beppo Levi (II) que AI é L-mensurável, e
(iii) An,IdmK → AIdmK.
R K
O resultado segue-se de comparar (ii) e (iii).
O caso dos conjuntos de medida nula é um corolário directo do anterior.
R K

180 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Lema 3.3.15. Se E ⊆ R N e mN(E) = 0 então:
a) Os conjuntos E t I são nulos para quase todo o t ∈ RK .
b) A função AI dada por AI(t) = mM(E t I ) é nula qtp em RK , donde AI
é L-mensurável, e
R K
AIdmK = mN(E) = 0.
Demonstração. É claro que existe um conjunto B de tipo Gδ tal que mK(B) =
0 e E ⊆ B. Sendo ÃI(t) = mM(Bt I ), temos do lema anterior que
R K
Como Et I ⊆ Bt I , é evidente que
ÃIdmK = mN(B) = 0, donde ÃI ≃ 0 em R K .
ÃI(t) = 0 ⇐⇒ mM(B t I) = 0 =⇒ mM(E t I) = 0 ⇐⇒ AI(t) = 0.
Concluímos que AI ≃ 0 em R K , o que termina a demonstração.
Provamos finalmente o teorema de Fubini-Lebesgue (I) para conjuntos
com medida finita.
Demonstração. Recordamos que existe um conjunto B ⊇ E, de tipo Gδ, tal
que mN(B − E) = 0. Com Z = B − E, temos
B = E ∪ Z, e B t I = E t I ∪ Z t I.
Os conjuntos B t I são de tipo Gδ, como observámos em 3.3.14, e vimos, em
3.3.15, que Z t I é um conjunto nulo, qtp em RK . Concluímos assim que E t I
é L-mensurável qtp em R K , e
AI(t) = mM(E t I) ≃ mM(B t I) = ÃI(t), em R K .
Supondo que mN(E) < ∞, temos também que mN(B) < ∞, e segue-se do
lema 3.3.14 que a função ÃI, e portanto AI, são L-mensuráveis, e
AIdmk = ÃIdmk = mN(B) = mN(E).
R K
R K
Deixamos a generalização para conjuntos de medida infinita para o exercício
2.
O teorema de Fubini refere-se usualmente ao cálculo de integrais múltiplos
por iteração de integrais de mais baixa dimensão. Dada uma função

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 181
f definida em R N+M , e supondo x ∈ R N e y ∈ R M , o teorema de Fubini
esclarece condições em que são válidas as identidades:
R N+M
f(x,y)dxdy =
R M
(
RN
f(x,y)dx)dy =
RN
(
RM f(x,y)dy)dx.
Claro que esta é apenas um caso especial entre muitas identidades análogas,
e por exemplo se N = 1 e M = 2 temos igualmente
R 3
f(x,y,x)dxdydz =
R 2
( f(x,y,z)dy)dxdz = (
R
R R2 f(x,y,z)dxdz)dy.
Adaptamos a notação já introduzida para secções de conjuntos ao problema
de designar funções quando fixamos alguns dos seus argumentos.
Exemplos 3.3.16.
1. Dados x, z ∈ R, seja g(y) = f(x, y, z).
É natural escrever g = f(x,z)
(1,3) .
2. Dado y ∈ R, se h(x, z) = f(x, y, z) então escrevemos h = f y
2 .
Mais geralmente, se f : R N → R, I é um índice-K em R N , N = K + M
e t ∈ R K , então f t I : RM → R é a função dada por
f t I (y) = f(x) onde πI(x) = t e πIc(x) = y, i.e., ft I (y) = f(ρI(t,y)),
onde ρI : RK × RM → RN é a bijecção referida na definição 3.3.4. É fácil
mostrar que a região de ordenadas da função ft I é uma secção da região de
ordenadas de f (figura 3.3.2), e na realidade
Se E = Ω R N(f) então Ω R M(f t I) = E t I.
As formas mais clássicas do teorema de Fubini são por isso corolários directos
do teorema 3.3.8, e podemos desde já demonstrar um resultado aplicável a
funções mensuráveis não negativas.
Teorema 3.3.17 (Teorema de Fubini-Lebesgue (II)). Se f : R N → [0,+∞]
é L-mensurável, I é um índice-K em R N e N = K + M então
a) As funções f t I são L-mensuráveis em RM , para quase todo o t ∈ R K .
b) Sendo A(t) =
R M f t I dmM, então A é L-mensurável em R K , e
R K
A(t)dmK =
R N
f(x)dmN.

182 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Demonstração. Consideramos a região de ordenadas de f, i.e.,
E = Ω R N(f) = (x,z) ∈ R N+1 : x ∈ R N e 0 < z < f(x) .
E é L-mensurável, porque f é L-mensurável. Conforme já observámos, I é
também um índice-K em R N+1 , e se t ∈ R K temos
E t I = Ω R M(f t I).
Como a secção E t I é L-mensurável para quase todo o t ∈ RK , é evidente
que f t I é igualmente L-mensurável para quase todo o t ∈ RK , e a função AI
dada por
AI(t) = mM+1(E t I) = mM+1(Ω R M(f t I)) =
R M
f t IdmM,
que está definida qtp em RK , é também L-mensurável. Sempre de acordo
com o teorema de Fubini-Lebesgue na forma 3.3.8, temos finalmente que
fdmN = mN+1(E) = AIdmK = f t
IdmM dmK.
R N
Exemplo 3.3.18.
R K
A aplicação mais simples deste resultado corresponde ao caso em que escrevemos
os elementos de R N na forma (x, y) com x ∈ R K e y ∈ R M e tomamos
I = (1, 2, · · · , K), ou seja,
f x I (y) = f(x, y), AI(x) =
R N
f(x, y)dmN =
R K
R K
RM f x I dmM =
AIdmK =
R K
R M
R M
R M
f(x, y)dy
f(x, y)dy dx.
Tomando Π = (K + 1, K + 2, · · · , N), que é um índice-M, temos então
f(x, y)dx
f y
Π (x) = f(x, y), AΠ(y) =
R N
f(x, y)dmN =
R M
R K
AΠdmM =
f y
Π dmK =
R M
R K
R K
f(x, y)dx dy.
O teorema de Fubini-Lebesgue para funções somáveis é, igualmente, um
corolário simples deste último resultado. No entanto, requer para a sua
demonstração a aditividade do integral de Lebesgue, que ainda não estabelecemos.
Será por isso enunciado e demonstrado apenas na secção 3.5. A
demonstração desse resultado utilizará o seguinte corolário de 3.3.17.

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 183
Corolário 3.3.19. Se f : RN → R é L-mensurável, então f é somável
se e só se existe um índice-K em RN , aqui designado I, tal que a função
AI : RM → R, onde M = N − K, dada por
AI(t) = |f| t IdmM é somável.
R M
Neste caso, se Π é um qualquer índice-P em R N , e N = P + Q, temos que
a) As funções f t Π são somáveis em RQ , para quase todo o t ∈ R P , e
b)
R P
R Q
|f| t ΠdmQ
dmP =
Demonstração. Se I é um índice-K em RN tal que
AI(t) =
R N
|f(x)|dmN.
RM |f| t IdmM é somável em R K ,
segue-se do teorema 3.3.17 que f é somável em RN .
Se f é somável, Π é um qualquer índice-P em RN , N = P +Q, e t ∈ RP ,
temos de acordo com o teorema 3.3.17 que
AΠ(t) = |f| t
IdmQ =⇒ AI(t)dmP = |f|dmN < ∞.
R Q
R P
Segue-se imediatamente que AΠ é finita qtp em R P , ou seja, as funções f t Π
são somáveis em R Q , para quase todo o t ∈ R P .
A seguinte consequência do teorema de Fubini-Lebesgue é menos óbvia,
mas muito útil, como veremos na próxima secção. A propriedade em causa
não tem paralelo na teoria de Riemann, como já sabemos.
Teorema 3.3.20. Seja E ⊆ R N , e f : E → R uma função L-mensurável
em E. Então os conjuntos F(λ) = {x ∈ E : f(x) > λ} e G(λ) = {x ∈ E :
f(x) < −λ} são L-mensuráveis para quaisquer λ ≥ 0.
Demonstração. Quando λ > 0 é claro que
• F(λ) é uma secção de Ω + E (f) = (x,y) ∈ R N+1 : x ∈ E e 0 < y < f(x) .
• G(λ) é uma secção de Ω −
E (f) = (x,y) ∈ R N+1 : x ∈ E e 0 > y > f(x) .
Concluímos de 3.3.8 que F(λ) e G(λ) são L-mensuráveis, para quase
todo o λ > 0, e existe por isso uma sucessão λn ց λ ≥ 0 tais que F(λn) e
G(λn) são L-mensuráveis. É simples constatar que, se λn ց λ, então
∞
∞
F(λ) = F(λn), e G(λ) = G(λn).
n=1
Concluímos que F(λ) e G(λ) são L-mensuráveis, para qualquer λ ≥ 0.
n=1
R N

184 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
R
λ
F(λ)
Figura 3.3.3: F(λ) = {x ∈ R N : f(x) > λ} é uma secção da região de
ordenadas de f.
O teorema de Fubini-Lebesgue tem um enunciado mais simples para conjuntos
e funções Borel-mensuráveis. Apresentaremos e demonstraremos mais
adiante uma versão abstracta deste teorema esclarecendo esta observação,
mas introduzimos desde já o seguinte resultado, que é relativamente fácil de
provar (exercício 3).
Teorema 3.3.21. Se E é B-mensurável, os conjuntos Et i são B-mensuráveis,
para todo o t ∈ RK . Se f : E → R é B-mensurável, então os conjuntos
F(λ) = {x ∈ E : f(x) > λ} e G(λ) = {x ∈ E : f(x) < −λ} são B-mensuráveis
para qualquer λ ≥ 0.
Observe-se de passagem que os conjuntos F(λ) e G(λ) são imagens inversas
de intervalos de tipo especial, ou seja,
R N
F(λ) = f −1 (]λ,+∞]) e G(λ) = f −1 ([−∞, −λ[).
Estudaremos na próxima secção a classe de conjuntos cuja imagem inversa
por uma função mensurável é mensurável. O exercício 6 desta secção indica
para já outros tipos de intervalos que pertencem a essa classe.
Exercícios.
1. Send f somável em E, prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
a) f ≃ 0 em E.
b)
F fdmN = 0, para qualquer conjunto L-mensurável F ⊆ E.
2. Conclua a demonstração do teorema de Fubini-Lebesgue, generalizando o
resultado para conjuntos de medida infinita.
3. Demonstre o teorema 3.3.21. sugestão: Mostre que a classe dos conjuntos
E ⊆ RN tais que as secções Et I são Borel-mensuráveis é uma σ-álgebra que
contém os abertos.
4. Mostre que χE é B-mensurável se e só se E é B-mensurável. Aproveite para
mostrar que existem funções Riemann-integráveis que não são Borel-mensuráveis
e funções f ≃ 0 em R que não são Borel-mensuráveis.

3.3. O Teorema de Fubini-Lebesgue 185
5. Sendo f : R N → [0, +∞] L-mensurável, e F(λ) = {x ∈ R N : f(x) > λ},
definimos φ(λ) = mN(F(λ)) para λ ≥ 0. Mostre que φ é L-mensurável, e
∞
φdm = fdmN.
Prove que se f é somável então λφ(λ) ≤ A < ∞.
0
6. Sendo f : E → R mensurável, mostre que os seguintes conjuntos são mensuráveis.
R N
a) f −1 ([λ, +∞]) e f −1 ([−∞, −λ]), se λ > 0.
b) f −1 ({λ}) (que é um conjunto de nível de f), se λ = 0.
c) A imagem inversa f −1 (I) de qualquer intervalo I ⊆ R, desde que 0 ∈ I.
sugestão: No caso em que f é B-mensurável, deve usar o teorema 3.3.21.
7. Seja f : E → R uma função mensurável em E, e S = {x ∈ E : f(x) = 0}.
a) Prove que S é mensurável.
b) Prove que f é mensurável em F ⊆ E se e só se F = A ∪ N, onde A ⊆ S
é mensurável, e N ∩ S = ∅.
c) Suponha que f ≥ 0 em E, e mostre que o integral indefinido de f é uma
medida regular em Lf(E) = {A ⊆ E : f é L-mensurável em A}.falso!
8. Considere a função f : RN → [0, +∞[ dada por f(x) = e−|x|2
. Calcule
RN fdmN. sugestão: Considere primeiro o caso N = 2.
9. Calcule o integral
RN |x| 2e−|x|2dmN. 10. Suponha que f : R N → R é somável, seja λ o respectivo integral indefinido,
e En = {x ∈ R N : f(x) > n}.
a) Prove que mN(En) → 0, e λ(En) → 0, quando n → ∞.
b) Mostre que para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que
mN(E) < δ =⇒
fdmN
≤
|f|dmN < ε.
c) Suponha que N = 1, e F(x) = x
E
−∞
ε > 0 existe δ > 0 tal que, se os intervalos Ik =]xk, yk[ são disjuntos,
1 ≤ k ≤ n,( 10 )
n
(yk − xk) < δ =⇒
k=1
E
fdm. Mostre que para qualquer
n
|F(yk) − F(xk)| < ε.
10 Esta propriedade é mais forte do que a continuidade uniforme, como os exemplos em
d) e e) mostram, e foi primeiro observada por Harnack, ainda no século XIX, a propósito
de integrais impróprios absolutamente convergentes. Diz-se continuidade absoluta,
conforme proposto por Vitali em 1905.
k=1

186 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
d) Verifique que a função dada por f(x) = xsen(1/x) para x = 0 não verifica
a propriedade descrita na alínea anterior no intervalo ]0, 1].
e) Verifique que a “escada do diabo”, que é uniformemente contínua em R,
não verifica a propriedade referida no intervalo [0, 1].
3.4 Funções Mensuráveis
y4
y3
y2
y1
E4
f
E2
Figura 3.4.1: Aproximação do integral de f por uma soma finita.
Os integrais de Lebesgue podem ser aproximados por somas finitas, que
generalizam as somas inferiores de Darboux referidas no Capítulo 1. Curiosamente,
a técnica utilizada, descoberta por Lebesgue e ilustrada na figura
3.4.1, utiliza, tal como na teoria de Riemann, partições em intervalos, mas
agora no contradomínio da função f. Sendo f : E → [0,+∞] uma função
mensurável, onde E ⊆ RN , consideramos uma partição finita 0 < y1 ≤
y2 ≤ · · · ≤ yn < +∞ do intervalo [0,+∞]. Recordamos que os conjuntos
F(λ) = {x ∈ E : f(x) > λ} são mensuráveis quando λ ≥ 0, e definimos os
conjuntos (ver figura 3.4.1):
⎧
⎨ F(yk)\F(yk+1) = {x ∈ E : yk < f(x) ≤ yk+1}, se 1 ≤ k < n
Ek =
⎩
E3
s
E1
F(yn) = {x ∈ E : yn < f(x)}, se k = n.
Os conjuntos Ek ⊆ R N são claramente mensuráveis e disjuntos. Consideramos
igualmente os correspondentes conjuntos Rk = Ek×]0,yk[⊆ R N+1 , que
estão contidos na região de ordenadas Ω de f. Como a medida de Rk é dada
por mN+1(Rk) = ykmN(Ek) e estes conjuntos são também disjuntos, deve

3.4. Funções Mensuráveis 187
ser evidente que
n
≤ mN+1(Ω), i.e.,
mN+1
k=1
Rk
n
k=1
mN+1(Rk) =
n
ykmN(Ek) ≤
A soma n k=1 ykmN(Ek)( 11 ) é na verdade um integral de Lebesgue de
uma função de tipo muito especial. Definindo s : E → R por
⎧
yk, se x ∈ Ek
⎪⎨
s(x) =
n ,
⎪⎩ 0, se x ∈ Ek
é claro que s é mensurável em E, porque n k=1 Rk é a região de ordenadas
de s em E, e temos por isso
n
s = mN+1
n
n
= mN+1(Rk) = ykmN(Ek).
E
k=1
Rk
k=1
k=1
k=1
k=1
A função s aproxima f por defeito, e é o que chamamos uma
Definição 3.4.1 (Função simples). Se E ⊆ S ⊆ R N , e s : S → R, então
dizemos que s é uma função simples em E se e só se s assume um número
finito de valores em E, i.e., se e só se o conjunto s(E) é finito.
Quando s é uma função simples em E então s assume nesse conjunto n
valores distintos α1 < α2 < · · · < αn e os conjuntos Ak = {x ∈ E : s(x) =
αk} são disjuntos. Mais geralmente, diremos que os conjuntos disjuntos
E1,E2, · · · ,Em formam uma partição apropriada à função simples s se
e só se s é constante em cada um dos conjuntos Ek, e é nula fora da sua
união. Neste caso, s é uma combinação linear das funções características
dos conjuntos Ek (restritas a E), porque se s(x) = βk quando x ∈ Bk então
s =
m
k=1
βkχEk .
As funções simples mensuráveis podem caracterizar-se da seguinte forma:
Lema 3.4.2. Se s é simples em E, então s é mensurável em E se e só
existe uma partição apropriada a s formada por conjuntos mensuráveis.
Demonstração. Seja s simples e mensurável. Se s é nula nada temos a
provar, e supomos assim que s assume n valores não nulos α1 < α2 < · · · <
αn, além de poder eventualmente assumir também o valor zero. Sendo
11 As somas de Darboux mencionadas anteriormente são também somas da forma
n
k=1 ykmN(Ek), mas nesse caso os conjuntos Ek são rectângulos limitados.
E
f.

188 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Ak = {x ∈ E : s(x) = αk}, os conjuntos A1,A2, · · · ,An formam uma
partição apropriada a s, porque são disjuntos e s é nula fora desses conjuntos.
Sabemos do teorema de Fubini-Lebesgue que as secções da região de
ordenadas de s são mensuráveis, e é fácil verificar que neste caso os conjuntos
Ak são mensuráveis.
Supomos agora que existe uma partição apropriada a s formada pelos conjuntos
mensuráveis disjuntos E1,E2, · · · ,Em tais que s(x) = βk quando
x ∈ Ek. A região de ordenadas de s em E é dada por
ΩE(s) =
⎧
m
⎨ ]0,βk[, se βk > 0
Rk, onde Rk = Ek × Ik e Ik = ∅, se βk = 0, e
⎩
k=1
]βk,0[, se βk < 0.
Concluímos que ΩE(s) é uma união finita de conjuntos mensuráveis Rk, e é
mensurável, assim como a função s.
Quando s é uma função simples mensurável, passamos a dizer que P =
{A1,A2, · · · ,An} é uma partição apropriada à função s apenas quando
P é formada por conjuntos mensuráveis. Para evitar a introdução de índices
supérfluos, designaremos o valor da função s no conjunto c ∈ P por sc.
Exemplos 3.4.3.
1. A função de Dirichlet é uma função simples mensurável, porque é a função
característica do conjunto mensurável Q.
2. Mais geralmente, as funções simples mensuráveis são combinações lineares
finitas de funções características de conjuntos mensuráveis.
Os integrais de Lebesgue de funções simples mensuráveis são efectivamente
somas finitas semelhantes a somas de Darboux.
Proposição 3.4.4. Seja s : E → R simples e mensurável em E ⊆ RN . Se
P é uma partição apropriada a s então:
a) s é somável em E se e só se
|sc|mN(c) < +∞.
c∈P
b) Se o integral de s em E existe, em particular se s ≥ 0 qtp em E, ou
se s é somável em E, então
sdmN =
scmN(c).
E
Demonstração. Se s é uma função simples não-negativa, o conjunto Ω − E (s)
é vazio, e o conjunto Ω + E (s) é a união (finita) dos produtos cartesianos disjuntos
Rc = c×]0,sc[, onde supomos sem perda de generalidade que sc > 0
para c ∈ P. Temos neste caso
c∈P
mN+1(Rc) = mN+1 (c×]0,sc[) = mN(c)m1(]0,sc[) = scmN(c).

3.4. Funções Mensuráveis 189
sc
sc ′
sc ′′
mN(c)
Rc
c c ′
Rc ′
c ′′
Rc ′′
Figura 3.4.2: mN+1(Rc) = |sc|mN(c)
Concluímos que
sdmN = mN+1(
Rc) =
mN+1(Rc) =
scmN(c).
E
c∈P
c∈P
Deixamos as restantes afirmações para o exercício 1.
Exemplo 3.4.5.
Num caso como o da figura 3.4.1, existe uma partição P apropriada à função
s ≤ f formada por rectângulos limitados r, e o integral de s é uma soma
(inferior) de Darboux de f, já que
αrmN(r) =
αrcN(r), onde αr = inf{f(x) : x ∈ r}.
r∈P
r∈P
As seguintes propriedades elementares das funções simples mensuráveis,
e do respectivo integral de Lebesgue, são muito fáceis de estabelecer e serão
depois generalizadas a outras funções mensuráveis.
Proposição 3.4.6. Seja E ⊆ R N , c ∈ R, e s,t : S → R funções simples
mensuráveis em E. Temos então:
c∈P
a) cs, s + , s − , |s|, s + t, e st são simples, e mensuráveis em E.
Se s e t são não-negativas em E, ou se s e t são somáveis em E, temos
ainda
b) Aditividade: (s + t)dmN = sdmN + tdmN.
E
E
E

190 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
c) Homogeneidade:
(cs)dmN = c(
E
E
sdmN).
Demonstração. Sejam P e Q partições apropriadas, respectivamente, a s e
a t. A partição P é apropriada a qualquer uma das funções cs, s + , s − , e |s|,
que são, por isso, simples e mensuráveis. Sendo
A =
r ⊇ {x ∈ E : s(x) = 0},B =
r ⊇ {x ∈ E : t(x) = 0},
r∈P
juntamos o conjunto B\A (onde s = 0) a P para formar P ′ e juntamos A\B
(onde t = 0) a Q para formar Q ′ . O refinamento comum R = {p ∩ q : p ∈
P ′ ,q ∈ Q ′ } é uma partição apropriada às funções s + t e st, que são, por
isso, simples e mensuráveis.
Se s e t são não-negativas, e c ≥ 0, então s + t e cs são, também, nãonegativas.
Segue-se de 3.4.4 b) que:
(i)
E
r∈Q
(s + t)dmN =
(s + t)rmN(r) =
(sr + tr)mN(r) =
r∈R
srmN(r) +
trmN(r) =
r∈R
r∈R
E
r∈R
sdmN +
E
tdmN.
Se s e t são somáveis então |s + t| é somável, porque |s + t| ≤ |s| + |t|, e
E
|s + t|dmN ≤
E
(|s| + |t|)dmN =
E
|s|dmN + |t|dmN,
E
de acordo com (i). Concluímos, novamente de 3.4.4 b), que (i) também é
válida para funções simples somáveis.
O próximo teorema introduz uma outra caracterização das funções mensuráveis,
e permite com frequência estabelecer propriedades destas funções por
generalização das correspondentes propriedades das funções simples mensuráveis.
De acordo com este resultado,
as funções mensuráveis são limites pontuais de sucessões de funções
simples mensuráveis.
Teorema 3.4.7. Se f : E → R, onde E ⊆ RN , então f é mensurável
em E se e só existe uma sucessão de funções simples mensuráveis em E,
sn : E → R tais que sn(x) → f(x), e |sn(x)| ր |f(x)|, para qualquer x ∈ E.
Neste caso, se f ≥ 0 ou se f é somável temos ainda que
sndmN → fdmN.
E
E

3.4. Funções Mensuráveis 191
Demonstração. Se existe uma sucessão de funções simples mensuráveis sn,
tais que sn(x) → f(x), para qualquer x ∈ E, então f é mensurável, de
acordo com o teorema 3.2.2. Como |sn(x)| ր |f(x)|, aplicamos o Teorema
de Beppo Levi (se f ≥ 0) ou o Teorema da Convergência Dominada de
Lebesgue (se f é somável) para obter
sndmN → fdmN.
E
Supomos, portanto, que f é mensurável em E, e passamos a definir a sucessão
de funções simples mensuráveis sn em causa. Consideramos primeiro
o caso f ≥ 0, e recordamos do início desta secção que, dados pontos
0 < y1 < · · · < ym < +∞, é fácil determinar uma função simples mensurável
s ≤ f tomando
s =
m
k=1
E
ykχEk , onde Ek = f −1 (]yk,yk+1]) se k < m e Em = f −1 (]ym,+∞]).
Escrevendo P = {y1,y2, · · · ,ym}, designamos por ∆(P) o máximo comprimento
dos intervalos [yk,yk+1], ou seja, ∆(P) = max{yk+1−yk : 1 ≤ k < m}.
Definimos aqui a sucessão de funções sn a partir de uma sucessão apropriada
de partições Pn = {yn,k : 1 ≤ k ≤ mn}, onde 0 < yn,k < yn,k+1. Os detalhes
da definição de Pn são em larga medida irrelevantes, e para efeitos desta
demonstração é apenas necessário garantir que:
(1) As partições Pn resultam de sucessivos refinamentos, i.e., Pn ⊂ Pn+1,
(2) max Pn ր +∞ e min Pn ց 0, e
(3) ∆(Pn) → 0.
Estas condições são satisfeitas tomando, por exemplo,
min Pn = 1
2 n,max Pn = n e yn,k = k
2 n,1 ≤ k ≤ n2n , donde mn = n2 n .
Por outras palavras, dividimos o intervalo ]0,n] em n2n subintervalos de
comprimento 1
2n, do tipo ] k k+1
2n, 2n ], onde 0 ≤ k < n2n . A correspondente
função sn : E → [0,+∞[ é dada por
n2n ⎧
⎨
sn =
k=1
k
2 nχEn,k , com En,k =
⎩
{x ∈ E : k
2 n < f(x) ≤ k+1
2 n }, se k < n2 n
{x ∈ E : f(x) > n}, se k = n2 n
As funções sn são simples e mensuráveis, e é quase evidente que
(4) Como Pn ⊂ Pn+1, temos sn(x) ≤ sn+1(x) para qualquer x ∈ E.
Para mostrar que sn(x) → f(x), consideramos os seguintes casos:

192 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
(5) Se f(x) = 0, então sn(x) = 0 → 0 = f(x).
(6) Se f(x) = +∞, então sn(x) = n → +∞ = f(x).
(7) Se 0 < f(x) < +∞ e n > f(x) existe k < n2 n tal que
k k + 1
< f(x) ≤
2n 2n , donde sn(x) ≤ f(x) < sn(x)+ 1
2n e sn(x) → f(x).
Concluímos de (4) a (7) que sn(x) ր f(x) para qualquer x ∈ E.
Se f : E → R é mensurável, existem funções simples mensuráveis
un(x) ր f + (x) e vn(x) ր f − (x), donde sn(x) = un(x) − vn(x) → f(x)
para qualquer x ∈ E. É claro que
|sn(x)| = |un(x) − vn(x)| = un(x) + vn(x) ր f + (x) + f − (x) = |f(x)|.
Sublinhe-se que a demonstração do teorema anterior não usa directamente a
mensurabilidade da função f, mas apenas a mensurabilidade dos conjuntos
f −1 (]λ,+∞]) e f −1 ([−∞, −λ[) para λ > 0. Podemos por isso provar
Lema 3.4.8. Se f : E → R, onde E ⊆ R N , então as seguintes afirmações
são equivalentes:
a) f é mensurável em E,
b) f −1 (]λ,+∞]) e f −1 ([−∞, −λ[) são mensuráveis para qualquer λ > 0,
c) Existem funções simples mensuráveis sn : E → R tais que sn(x) →
f(x) para qualquer x ∈ E.
Demonstração. Notamos apenas que
• a) ⇒ b), de acordo com 3.3.20 e 3.3.21.
• b) ⇒ c), de acordo com a demonstração do teorema 3.4.7.
• c) ⇒ a), de acordo com 3.2.2.
Passamos a estabelecer diversas propriedades básicas da classe das funções
mensuráveis e do integral de Lebesgue. Baseamo-nos aqui em larga medida
na aproximação de integrais de Lebesgue por integrais de funções simples,
que como já dissémos substitui a aproximação de integrais de Riemann por
somas de Darboux.
Teorema 3.4.9. Se f,g : E → R são mensuráveis em E e c ∈ R, então

3.4. Funções Mensuráveis 193
a) As funções fg e cf são mensuráveis em E.
b) As funções f + g e f − g são mensuráveis nos conjuntos onde estão
definidas. Em particular,
c) Se f,g ≥ 0 em E, então f + g é mensurável em E.
d) Se f e g são finitas em E, então f +g e f −g são mensuráveis em E.
Demonstração. Existem funções simples mensuráveis sn,tn tais que
sn(x) → f(x),tn(x) → g(x), |sn(x)| ր |f(x)|, e |tn(x)| ր |g(x)|.
Temos sn(x)tn(x) → f(x)g(x), para qualquer x ∈ E, já que a indeterminação
0 × ∞ pode ser trivialmente levantada( 12 ). Concluímos que fg
é uma função mensurável em E. Temos também csn(x) → cf(x), para
qualquer x ∈ E, o que termina a verificação de a).
Os casos da soma e da diferença são semelhantes, e ilustramos o tipo de
argumento necessário com a soma, que está definida em E\F, onde
F = {x ∈ E : |f(x)| = ∞, e g(x) = −f(x)} .
Deixamos para o exercício 7 verificar que o conjunto F é mensurável. Supomos
as funções sn e tn definidas como na demonstração de 3.4.7, e observamos
que
• Quando x ∈ E\F, é óbvio que sn(x) + tn(x) → f(x) + g(x).
• Quando x ∈ F, temos f(x) = +∞ e g(x) = −∞, ou f(x) = −∞
e g(x) = +∞. No primeiro caso, sn(x) = n e tn(x) = −n, e no
segundo caso sn(x) = −n e tn(x) = n. Em ambos os casos, temos
sn(x) + tn(x) = 0 → 0.
Concluímos que sn(x) + tn(x) → h(x) para qualquer x ∈ E, onde h é
mensurável em E e a função f + g é a restrição de h a E\F. Como h é nula
fora de E\F, temos ainda que h = f + g é mensurável em E\F.
As afirmações c) e d) são consequências evidentes de b).
A aditividade e homogeneidade do integral, estabelecidas em 3.4.6 para
as funções simples, podem ser generalizadas como se segue.
Teorema 3.4.10. Sejam f,g : E → R mensuráveis em E, e c ∈ R. Se
f,g ≥ 0 em E, ou se f e g são finitas e somáveis em E, então
a) Aditividade: (f + g)dmN = fdmN + gdmN.
E
12 Recorde que fg está definido em E, e convencionámos que 0 × (±∞) = 0.
E
E

194 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
b) Homogeneidade:
(cf)dmN = c
E
E
fdmN
Demonstração. De acordo com o teorema 3.4.7, existem funções simples
mensuráveis sn e tn tais que sn(x) → f(x),tn(x) → g(x), |sn(x)| ր |f(x)|
e |tn(x)| ր |g(x)|. Por outro lado, a aditividade do integral de funções
simples (estabelecida na proposição 3.4.6) permite-nos concluir que
(1) (sn + tn)dmN = sndmN + tndmN → fdmN + gdmN.
E
E
E
E E
Para terminar a verificação de a), basta-nos mostrar que
(2) (sn + tn)dmN → (f + g)dmN.
E
E
Notamos que sn + tn → f + g para qualquer x ∈ E, e dividimos a demonstração
de (2) em dois casos:
(i) Se f e g são não-negativas, então sn +tn ր f +g, e (2) é consequência
da propriedade de Beppo Levi.
(ii) Se as funções f e g são somáveis, então |sn+tn| ≤ |sn|+|tn| ≤ |f|+|g|,
e a função |f| + |g| é somável, porque, de acordo com (i),
(|f| + |g|)dmN = |f|dmN + |g|dmN < ∞.
E
E
A afirmação (2) resulta agora do teorema da convergência dominada
de Lebesgue.
A propriedade de homogeneidade pode provar-se para qualquer função
f para a qual exista o respectivo integral de Lebesgue (exercício 5).
Provámos a aditividade do integral para funções somáveis apenas quando
estas são finitas na região de integração, mas esta restrição é em certo sentido
supérflua. Qualquer função somável é finita qtp, e portanto a soma f + g
está definida, e é mensurável e finita em F ⊆ E, onde mN(E\F) = 0. Se h
é mensurável em E e h ≃ f + g em F, é evidente que
hdmN = hdmN = (f + g)dmN =
=
F
E
fdmN +
F
F
gdmN =
E
F
.
E
fdmN +
E
gdmN.
Veremos na próxima secção como tornear estas dificuldades usando classes
de equivalência determinadas pela relação “≃”.
Registe-se ainda o seguinte corolário do teorema 3.4.7:

3.4. Funções Mensuráveis 195
Corolário 3.4.11. Se f é somável em E ⊆ RN e ε > 0 existe uma função
s, simples e somável em E, tal que |f − s|dmN < ε.
E
Demonstração. Como vimos em 3.4.7, existem funções simples mensuráveis
sn tais que sn → f, e |sn| ≤ |f|. A função |f − sn| está definida e é
mensurável em E, e é também somável, porque
|f − sn| ≤ |f| + |sn| ≤ 2|f|.
Como |f − sn| → 0, segue-se do teorema da convergência dominada que
E |f − sn|dmN → 0, o que conclui a demonstração.
Os dois resultados seguintes são ainda consequências do teorema 3.4.7.
O primeiro é um complemento interessante do teorema 3.2.2, e a sua demonstração
é referida nos exercícios 8 e 9. A demonstração do segundo está
esboçada no exercício 10.
Teorema 3.4.12. Se as funções fn : E → R são mensuráveis em E ⊆ RN ,
F ⊆ E é o conjunto onde existe lim
n→∞ fn(x) e f(x) = lim
n→∞ fn(x) para x ∈ F,
então f é mensurável em F.
Teorema 3.4.13. f : E → R é L-mensurável em E se e só se existe uma
função g : E → R, B-mensurável em E, tal que g ≃ f em E.
A definição de “função mensurável” que usámos até aqui é a definição
original de Lebesgue, mas não é a única possível, e é útil conhecer e explorar
outras alternativas. Recorde-se do lema 3.4.8 que f : E → R é mensurável
se e só se, para qualquer λ > 0,
f −1 (A) é mensurável quando A =]λ, ∞] e quando A = [−∞, −λ[.
Propomo-nos agora estudar a classe dos conjuntos A ⊆ R com imagem
inversa f −1 (A) mensurável, e começamos com um lema abstracto.
Lema 3.4.14. Seja (X, M) um espaço mensurável, E ∈ M um conjunto
M-mensurável, Y um conjunto qualquer, e f : E → Y uma função. Se
então A é uma σ-álgebra em Y .
A = A ⊆ Y : f −1 (A) ∈ M ,
Demonstração. Basta-nos observar que:
• Como f −1 (Y ) = E ∈ M, temos Y ∈ A.
• f −1 (A c ) = E\f −1 (A), donde A ∈ A ⇒ A c ∈ A.

196 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
• f −1
∞
n=1
An
=
∞
f −1 (An) e, por isso,
n=1
An ∈ A ⇒ f −1 (An) ∈ M ⇒
∞
f −1 (An) ∈ M ⇒
n=1
∞
An ∈ A.
Este lema pode ser aplicado a funções f : E → R, supondo que E ⊆ R N
é mensurável, e conduz facilmente a
Teorema 3.4.15. Seja E ⊆ R N um conjunto mensurável. Se f : E → R,
então as seguintes condições são equivalentes:
a) {x ∈ E : f(x) > λ} é mensurável, para qualquer λ ∈ R.
b) f −1 (I) é mensurável, para qualquer intervalo I ⊆ R.
c) f é mensurável em E.
Demonstração. A classe A = {A ⊆ R : f −1 (A) é mensurável } é uma σálgebra
em R, pelo lema 3.4.14.
a) ⇒ b): A σ-álgebra A contém os intervalos ]λ, ∞], para qualquer λ ∈ R.
Portanto contém igualmente:
n=1
• Os intervalos ]α,β] =]α, ∞]\[β, ∞], para quaisquer α,β ∈ R.
• Os conjuntos {β} =
∞
]β − 1
,β], para qualquer β ∈ R.
n
n=1
Deixamos como exercício mostrar que A contém todos os intervalos I ⊆ R.
b) ⇒ c): A σ-álgebra A contém evidentemente os intervalos [−∞, −λ[ e
]λ, ∞], para qualquer λ. Concluímos do lema 3.4.8 que f é mensurável em
E.
c) ⇒ a): Sabemos de 3.4.8 que a σ-álgebra A contém os intervalos
[−∞, −λ[ e ]λ, ∞], para qualquer λ > 0. Deixamos como exercício mostrar
que A contém os intervalos da forma ]λ, ∞], para qualquer λ ∈ R.
O resultado anterior pode também ser adaptado como se segue.
Teorema 3.4.16. Se E ⊆ R N é mensurável e f : E → R M , então f é
mensurável se e só se f −1 (B) é mensurável, para qualquer B ∈ B(R M ).
Demonstração. Consideramos novamente a classe
A = B ⊆ R M : f −1 (B) é mensurável .

3.4. Funções Mensuráveis 197
Supomos primeiro que f = (f1,f2, · · · ,fM) é mensurável: Seja B = I1 ×
I2 × · · · × IM um rectângulo aberto, onde os conjuntos Ik são intervalos
abertos. Como cada função fk é mensurável, temos
f −1 (B) = {x ∈ E : fk(x) ∈ Ik,1 ≤ k ≤ n} =
M
k=1
f −1
k (Ik) é mensurável.
Concluímos que a σ-álgebra A contém todos os rectângulos abertos, e consequentemente,
todos os conjuntos Borel-mensuráveis.
Supomos agora que f −1 (B) é mensurável, para qualquer B ∈ B(R M ): Sendo
B = I1 × I2 × · · · × IM , onde Ik = R, para k = j, e Ij = I é um intervalo
arbitrário, o conjunto B é B-mensurável, e portanto f −1 (B) é mensurável.
Como
f −1 (B) = {x ∈ E : fk(x) ∈ Ik} =
M
k=1
f −1
k (Ik) = f −1
j (I),
concluímos que fj é mensurável, para qualquer j, donde f é mensurável.
Podemos ainda mostrar que a composição de uma função B-mensurável
com qualquer função mensurável é mensurável:
Corolário 3.4.17. Seja E ⊆ R N mensurável e f = (f1,f2, · · · ,fM) : E →
R M mensurável em E. Se g : R M → R é B-mensurável em R M , então a
composta h = g ◦ f é mensurável em E.
Demonstração. Se A ⊆ R é B-mensurável, então B = g −1 (A) é B-mensurável,
e portanto h −1 (A) = f −1 (g −1 (A)) = f −1 (B) é mensurável, e a função
h é mensurável.
É muito comum usar a afirmação a) no teorema 3.4.15 como a definição
de “função mensurável”, supondo que a função em causa está definida num
conjunto mensurável. Esta alternativa tem as seguintes vantagens:
• Torna evidente que as funções contínuas são Borel-mensuráveis,
• É directamente aplicável a funções f : E → RM , mesmo quando E ⊆
X, onde (X, M) é um espaço mensurável “arbitrário”.
O seu principal inconveniente, e uma das razões pela qual não foi aqui adoptada,
é a de obscurecer as relações muito directas que existem entre as noções
de mensurabilidade para conjuntos, e para funções, e entre as noções de medida
para conjuntos, e integral para funções. Veremos no Capítulo 5 como a
definição 3.1.1, que adoptámos neste texto, pode ser generalizada para um
qualquer espaço de medida (X, M,µ).

198 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Aproveitamos para estabelecer uma versão da desigualdade de Jensen( 13 ).
Recordamos para isso alguns factos elementares relacionados com as noções
de convexidade, e concavidade, tais como se aplicam a funções reais de
variável real.
f(x)
f(y)
αf(x) + (1 − α)f(y)
f(αx + (1 − α)y)
f
g(y)
g(x)
g(αx + (1 − α)y)
αg(x) + (1 − α)g(y)
x αx + (1 − α)y y x αx + (1 − α)y y
Figura 3.4.3: f (à esquerda) é convexa, g (à direita) é côncava.
Definição 3.4.18 (Funções Convexas, Côncavas). Se f : I → R está
definida num intervalo I ⊆ R, então f é convexa em I se e só se
s,t ∈ I,α,β ≥ 0, e α + β = 1 =⇒ f(αs + βt) ≤ αf(s) + βf(t).
A função f diz-se côncava se e só se −f é convexa.( 14 )
O significado geométrico destas definições é ilustrado na figura 3.4.3: f
é convexa se e só se o seu gráfico está sob qualquer uma das suas cordas, e
côncava se o seu gráfico está sobre as respectivas cordas.
Deixamos para o exercício 14 a demonstração do seguinte resultado auxiliar:
Lema 3.4.19. Se f é convexa no intervalo aberto I então f é contínua em
I e
f(y) − f(x) f(z) − f(y)
Se x < y < z ∈ I, então ≤ .
y − x z − y
Teorema 3.4.20 (Desigualdade de Jensen). Seja I ⊆ R um intervalo aberto
e φ uma função real convexa em I. Se E ⊆ RN , mN(E) < ∞, f : E → R é
somável em E e f(E) ⊆ I, então
φ
1
mN(E)
E
fdmN ≤
1
φ(f)dmN.
mN(E) E
13 De Johan Jensen, 1859-1925, matemático dinamarquês.
14 z = αs+βt diz-se uma combinação convexa de s e t. Note-se que se f tem segunda
derivada f ′′ então é côncava se e só se f ′′ ≤ 0.
g

3.4. Funções Mensuráveis 199
Demonstração. Definimos
1
α =
mN(E)
E
f(x)dmN e K = inf
y>α
φ(y) − φ(α)
.
y − α
Supondo que x < α < y, segue-se facilmente do lema 3.4.19 que
φ(α) − φ(x)
α − x
≤ K ≤
φ(y) − φ(α)
.
y − α
Temos assim que φ(y) − φ(α) ≥ K(y − α), para qualquer y ∈ R. Tomando
agora y = f(x), concluímos que
φ(f(x)) ≥ φ(α) + K(f(x) − α), para qualquer x ∈ R.
A função φ ◦ f é mensurável, pelo corolário 3.4.17, e é fácil verificar que o
seu integral em E está definido. Temos portanto:
φ(f(x))dmN ≥ φ(α)mN(E) + K (f(x) − α)dmN = φ(α)mN(E).
E
Exercícios.
1. Complete a demonstração de 3.4.4.
2. Mostre que as funções simples mensuráveis em R N formam o menor espaço
vectorial que contém as funções características dos conjuntos mensuráveis.
3. Suponha que f : E → R é mensurável, e finita qtp. Mostre que existe uma
função mensurável g : E → R tal que f ≃ g.
4. Seja s : R N → R uma função simples mensurável não-negativa, ou somável,
em R N . Supondo que s assume os valores α1, α2, · · · , αn, respectivamente, nos
conjuntos mensuráveis A1, A2, · · · , An, e E ∈ L(R N ), mostre que
E
sdmN =
E
n
αkmN(Ak ∩ E).
k=1
5. Mostre que se o integral de Lebesgue
E fdmN existe e c ∈ R então o integral
(cf)dmN também existe, e (cf)dmN = c fdmN .
E
E
6. Sendo f : R → R L-mensurável e diferenciável qtp, mostre que a derivada f ′
é L-mensurável.
7. Mostre que o conjunto F referido na demonstração de 3.4.9 é mensurável.
E

200 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
8. Sendo f, g : E → R mensuráveis, mostre que D = {x ∈ E : f(x) = g(x)} é
mensurável, e que se E é mensurável então {x ∈ E : f(x) = g(x)} é também
mensurável. sugestão: Mostre que existe uma função mensurável h : E → R
tal que D = {x ∈ E : h(x) = 0}.
9. Demonstre o teorema 3.4.12. Mostre que o conjunto onde o limite existe é
mensurável, desde que o conjunto E seja mensurável. sugestão: Aplique o
exercício anterior às funções limsup fn e liminf
n→∞ n→∞ fn.
10. Mostre que f é L-mensurável em E se e só se existe uma função g, Bmensurável
em E, tal que f ≃ g em E. sugestão: Existem funções simples
L-mensuráveis sn tais que sn(x) → f(x) para qualquer x ∈ E. Observe
que existem funções simples B-mensuráveis tn tais que sn ≃ tn em E, donde
tn(x) → f(x) qtp em E.
11. Conclua a demonstração de 3.4.15.
12. Sendo f : R N → R M mensurável, e g(x) = |f(x)|, prove que g é mensurável.
Supondo que o integral à esquerda existe, demonstre ainda a desigualdade
triangular, na forma:
E
fdmN
≤
E
|f| dmN.
13. Prove que se E ⊆ RN , e f : E → [0, +∞] é mensurável em E, então
fdmN = sup sdmN : s simples e mensurável, com s ≤ f .
E
E
14. Demonstre o lema 3.4.19. sugestão: Sendo m(u, v) o declive da corda que
passa pelos pontos do gráfico de f com abcissas u e v, observe que m(x, y) ≤
m(x, z) ≤ m(y, z).
15. A função φ◦f referida na demonstração do teorema 3.4.20 é necessariamente
somável em E? O seu integral está sempre definido?
3.5 Funções Somáveis
O estudo das funções finitas qtp é simplificado identificando (i.e., tratando
como um único objecto) funções mensuráveis que diferem entre si num conjunto
de medida nula. Esta identificação resume-se a considerar, no lugar do
espaço de todas as funções mensuráveis e finitas qtp f : E → R, o respectivo
conjunto quociente pela relação “≃”, que designaremos aqui F(E). Por
outras palavras, se F(E) é o conjunto de todas as funções mensuráveis e
finitas qtp f : E → R, e se para f ∈ F(E) temos [f] = {g ∈ F(E) : g ≃ f}
então
F(E) = F(E)
= { [f] : f ∈ F(E) }.
≃

3.5. Funções Somáveis 201
Dadas classes de equivalência [f],[g] ∈ F(E), existem representantes ˜ f ∈ [f]
e ˜g ∈ [g], i.e., funções ˜ f ≃ f e ˜g ≃ g, tais que ˜ f, ˜g : E → R, e podemos
por isso definir [f] + [g] = [ ˜ f + ˜g]. Se c ∈ R, podemos definir directamente
c[f] = [cf]. É muito simples verificar que, com estas operações algébricas,
Teorema 3.5.1. F(E) é um espaço vectorial.
Repare-se que se f : F → R é mensurável e finita qtp em F ⊆ E, onde
mN(E\F) = 0, então f determina uma única classe em F(E), de acordo
com a proposição 3.1.5. Podemos por isso usar o símbolo “[f]”, mesmo
quando f não está definida em todo o conjunto E. Em geral, escreveremos
mesmo apenas f, no lugar de [f]. Bem entendido, devemos sempre verificar
que as noções que associamos a uma qualquer classe [f] são efectivamente
independentes do representante f escolhido.
Exemplos 3.5.2.
1. A soma [f]+[g] = [f +g] está bem definida, porque se f ≃ f ∗ e g ≃ g ∗ então
f + g ≃ f ∗ + g ∗ . Repare-se que a soma [f] + [g] está bem definida, mesmo que
a soma usual f + g esteja apenas definida qtp em E, o que resolve a questão
da soma de funções somáveis que mencionámos na secção anterior.
2. É razoável referirmo-nos a classes de equivalência “somáveis”, e ao respectivo
integral, porque se uma dada classe tem um representante somável f, então
qualquer outro representante da mesma classe é igualmente somável, e tem o
mesmo integral. Em particular, o integral está bem definido no conjunto das
classes somáveis.
3. A convergência pontual qtp está também bem definida em F(E). Por outras
palavras,
f(x) = lim
n→∞ fn(x) qtp em E e ˜ fn ≃ fn =⇒ f(x) = lim ˜fn(x), qtp em E.
n→∞
Se as classes [f] e [g] são somáveis, e c ∈ R, é claro que [f + g] e [cf] são
somáveis, i.e., as classes de funções somáveis formam um subespaço vectorial
de F(E).
Definição 3.5.3 (Espaço L1 ). L1 (E) é formado pelas classes de funções
f : E → R somáveis, i.e.,
L 1
(E) = [f] ∈ F(E) : f1 = |f|dmN < ∞ .
A função [f]1 = f1 =
E |f|dmN é uma norma em L1 (E), e L1 (E)
é um espaço vectorial normado, porque
• Se f,g ∈ L 1 (E), a desigualdade f+g1 ≤ f1+g1 é a desigualdade
triangular.
E

202 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
• Se f ∈ L 1 (E) e c ∈ R, é óbvio que cf1 = |c|f1.
• f1 = 0 ⇐⇒ f ≃ 0 ⇐⇒ [f] = [0].
Como em qualquer espaço vectorial normado, uma sucessão de termo
geral fn ∈ L 1 (E) diz-se
• convergente (em L 1 ) se e só se existe f ∈ L 1 (E) tal que fn − f 1 →
0, quando n → ∞, e
• fundamental ou de Cauchy (em L1 ) se e só se fn − fm1 → 0,
quando n,m → ∞.
De acordo com o teorema 3.4.10, podemos dizer que φ(f) =
E fdmN
é um funcional linear em L1 (E). É óbvio da desigualdade triangular
usual que
|φ(f) − φ(g)| = |φ(f − g)| =
(f − g) dmN
≤
|f − g| dmN = f − g1 ,
E
e portanto φ é também um funcional linear contínuo( 15 ). O teorema
da convergência dominada de Lebesgue (3.2.8) pode ser reforçado como se
segue, e o exercício 6 revela que esta observação não é trivial.
Teorema 3.5.4 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Sendo
fn ∈ L 1 (E), suponha-se que
• Existe uma função somável F : E → [0,+∞] tal que |fn(x)| ≤ F(x),
qtp em E, e
• f(x) = lim
n→∞ fn(x), qtp em E.
Temos então:
a) f ∈ L 1 (E),
b) fn → f em L1 , e em particular,
c) fndmN → fdmN, quando n → ∞.
E
E
Demonstração. Podemos supor, sem perda de generalidade (porquê?), que
• As funções fn e F são finitas em E,
• f(x) = lim
n→∞ fn(x), para qualquer x ∈ E, e
• |fn(x)| ≤ F(x), também para qualquer x ∈ E.
15 L 1 (E) é em geral um espaço vectorial de dimensão infinita, e como tal existem transformações
lineares em L 1 (E) que não são contínuas.
E

3.5. Funções Somáveis 203
f é L-mensurável em E, e é somável e finita em E porque |f(x)| ≤ F(x).
Como as funções gn = |fn − f| satisfazem gn ≤ 2F, e lim
n→∞ gn(x) = 0,
segue-se de 3.2.8 que
Exemplo 3.5.5.
lim
n→∞
E
gndmN = lim |fn − f|dmN = 0.
n→∞
E
a transformada de fourier: Se f : R → R é somável, a sua transformada
de Fourier é a função T(f) : R → C dada por:
∞
T(f)(ω) = f(x)e −iωx ∞
dm =
−∞
−∞
∞
f(x)cos(ωx)dm−i f(x)sen(ωx)dm.
−∞
A função T(f) está bem definida, porque a integranda acima é mensurável, por
ser um produto de funções mensuráveis, e somável, dado que f(x)e −iωx ≤
|f(x)|. Por outro lado, se ωn → ω, segue-se da continuidade da exponencial
complexa que f(x)e −iωnx → f(x)e −iωx .
Concluímos do teorema da convergência dominada de Lebesgue que T(f)(ωn) →
T(f)(ω). Por outras palavras, a transformada de Fourier de uma função
somável é uma função contínua. O exercício 3 refere mais algumas propriedades
da transformada de Fourier.
A aditividade do integral para somas finitas de funções mensuráveis nãonegativas,
ou para somas finitas em L 1 (E), estabelece-se facilmente por
indução. A sua generalização a séries de funções não-negativas é surpreendentemente
simples, e livre dos problemas técnicos existentes na teoria
de Riemann:
Qualquer série de funções mensuráveis não-negativas pode ser integrada
termo-a-termo.
A demonstração deste facto é uma ligeira adaptação do argumento que utilizámos
a propósito do exemplo 3.2.4.
Teorema 3.5.6. Se as funções fn : E → [0,+∞] são mensuráveis em E,
∞
então a função fn é mensurável em E, e
n=1
E
∞
n=1
fn
dmN =
∞
n=1
E
fndmN
.

204 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Demonstração. Observamos que
m
gm(x) = fn(x) ր f(x), onde f(x) =
n=1
∞
fn(x).
n=1
Como gm ≥ 0, segue-se, do teorema de Beppo Levi, que
gmdmN ր fdmN.
E
Pela aditividade do integral para somas finitas,
m
m
gmdmN = ( fn)dmN = ( fndmN) ր
E
Exemplos 3.5.7.
E
n=1
n=1
E
E
∞
(
n=1
1. Se as funções fn ≥ 0 são somáveis em R N , tomamos an =
E
fndmN).
R N fndmN, e
supomos sem perda de generalidade que an > 0. Escolhemos uma qualquer
série convergente ∞
n=1 bn com bn > 0. De acordo com o resultado anterior,
f(x) =
∞
bn
an
n=1
fn(x) =⇒
R N
fdmN =
∞
bn
an
n=1
R N
fn(x) =
∞
bn < ∞.
É muito fácil obter por este processo muitos exemplos semelhantes a 3.2.4.
2. O teorema anterior pode também ser usado para analisar a convergência
pontual de uma série de funções fn ≥ 0. Como
∞
∞
fn(x) dmN = fn(x)dmN, então
∞
n=1
R N
R N
n=1
fn(x)dmN < ∞ =⇒ f(x) =
n=1
R N
n=1
R N
n=1
∞
fn(x) é somável e por isso é finita qtp.
n=1
Temos em particular que
∞
∞
fn(x)dmN < ∞ =⇒ fn(x) converge qtp.
3. A ideia acima é aplicável a funções somáveis fn : RN → R, desde que
∞
∞
|fn(x)| dmN = fn1 < ∞.
n=1
R N
Observamos que
∞
g(x) = |fn(x)| =⇒
A série f(x) =
n=1
R N
n=1
n=1
g(x)dmN =
∞
n=1
R N
|fn(x)| dmN < ∞.
∞
fn(x) converge absolutamente qtp, porque g é finita qtp.
n=1

3.5. Funções Somáveis 205
As séries de funções somáveis não são automaticamente integráveis
termo-a-termo, como as de funções mensuráveis não-negativas, mas temos,
mesmo assim, o seguinte resultado:
Teorema 3.5.8. Dadas funções L-mensuráveis fn : E → R, se
então:
a) A série
∞
n=1
E
|fn|dmN =
∞
fn1 < +∞,
n=1
∞
fn(x) converge absolutamente qtp em E,
n=1
b) A função f(x) =
∞
fn(x) é L-mensurável e somável em E,
n=1
m
m
c) fn − f
= | fn − f|dmN → 0, e em particular,
n=1
E
1 n=1
∞
∞
d) fn dmN = fndmN .
E
n=1
n=1
E
Demonstração. Observámos no exemplo 3.5.7.3 que a função g, dada por
g(x) = ∞
n=1 |fn(x)|, é somável, e finita qtp, porque
E
gdmN =
∞
n=1
E
|fn|dmN < ∞.
Por outras palavras, a série ∞
n=1 fn(x) converge absolutamente qtp em E.
Definindo gm(x) = m
n=1 fn(x), temos:
• gm(x) → ∞
n=1 fn(x), qtp em E.
• |gm(x)| ≤ g(x).
Podemos assim aplicar o teorema da convergência monótona de Lebesgue,
na forma 3.5.4, à sucessão de funções gm. Usando ainda a aditividade do
integral para somas finitas, temos:
∞
E n=1
fndmN = lim gmdmN = lim
m→∞
E
m
m→∞
n=1
E
fndmN =
∞
n=1
O teorema 3.5.8 pode ser parcialmente reformulado com se segue:
E
fndmN.

206 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Corolário 3.5.9. Se fn ∈ L1 (E) então
∞
fn1 < +∞ =⇒ existe f ∈ L
n=1
1
m
(E) tal que fn − f
→ 0.
n=1 1
Se an ∈ R, a série de termos reais ∞
n=1 an diz-se absolutamente conver-
gente se e só se ∞ n=1 |an| < ∞. Sabemos que neste caso a série ∞ n=1 an
é igualmente convergente, o que é aliás um dos mais comuns critérios de
convergência de séries reais. Por analogia com as séries reais, e quando
fn ∈ L1 (E), dizemos que a série
∞
fn é absolutamente convergente em L 1 quando
n=1
O corolário 3.5.9 pode resumir-se dizendo que
∞
fn1 < +∞.
As séries absolutamente convergentes em L 1 são convergentes em L 1 .
Podemos usar este facto para mostrar que L 1 (E) é um espaço de banach,
i.e., é um espaço vectorial normado em que as sucessões de Cauchy, ou
fundamentais, são convergentes.
Teorema 3.5.10 (de Riesz-Fischer). L 1 (E) é um espaço de Banach.( 16 )
Demonstração. Se a sucessão de termo geral fn ∈ L 1 (E) é de Cauchy, i.e.,
fn − fm 1 → 0, quando n,m → ∞, então existem (porquê?) naturais
n=1
nk ր ∞ tais que n,m ≥ nk ⇒ fn − fm1 ≤ 1
.
2k Temos fnk − fk1 → 0, e tomamos gk = fnk+1 − fnk , donde
gk 1 = fnk+1
− fnk
≤
1 1
, e
2k ∞
gk1 ≤ 1.
A série ∞ k=1 gk é telescópica, e portanto m k=1 gk = fnm+1 − fn1 . Concluímos
de 3.5.9 que existe g ∈ L1 (E) tal que
m
gk − g
→ 0, ou seja,
k=1 1
fnm+1 − fn1 − g . 1
Definindo f = fn1 + g, temos fnk − f1 → 0. Observamos finalmente que
k=1
fk − f1 ≤ fk − fnk1 + fnk − f1 → 0.
16 Este resultado é uma versão preliminar do Teorema de Riesz-Fischer.

3.5. Funções Somáveis 207
Concluímos aqui a apresentação do teorema de Fubini-Lebesgue, com
um enunciado aplicável a funções somáveis.
Teorema 3.5.11 (Teorema de Fubini-Lebesgue (III)). Seja f : R N → R
uma função somável, I um índice-K em R N , N = K + M e t ∈ R K .
Temos, então,
a) As funções ft I : RM → R são somáveis para quase todos os t ∈ RK .
b) Sendo AI(t) = f t IdmM então AI é somável em RK e
R K
R M
AIdmK =
R K
R M
f t
IdmM dmK =
Deixamos a demonstração para o exercício 7.
Exemplos 3.5.12.
R N
fdmN.
1. Supondo que f é somável e I = (1, 2, · · · , K), ou I = (K +1, K +2, · · · , N),
escrevemos os elementos x ∈ R N na forma x = (t, y) com t ∈ R K e y ∈ R M ,
para concluir que
fdmN =
R N
R K
R M
f(t, y)dy dt =
RM
RK
f(t, y)dt dy.
2. produto de convolução: Se f, g : RN → R, é por vezes útil formar o
respectivo produto de convolução, que é a função f ∗ g dada por:
(f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dmN.
R N
Se f e g são L-mensuráveis, e x está fixo, a função h(y) = f(x − y) é Lmensurável,
e o produto hg é, igualmente, L-mensurável. Por outro lado,
existe uma função B-mensurável ˜ f ≃ f em R N e, para efeitos do cálculo do
integral indicado acima, podemos substituir a função f por ˜ f, sem modificar o
resultado final, i.e., sem alterar a função f ∗ g. Supomos, assim, e sem perda
de generalidade, que f é B-mensurável. A função G : R 2N → R, dada por
˜F(x, y) = f(x − y) é B-mensurável em R 2N (porquê?). Concluímos, assim,
que a função F : R 2N → R, dada por F(x, y) = f(x − y)g(y), é L-mensurável
em R 2N . Em particular, o teorema de Fubini, na forma 3.5.11, é aplicável à
função F.
Deixamos para o exercício 9 explorar esta ideia, para verificar que, se f e g
são somáveis, então a função f ∗ g está bem definida qtp em R N , é somável, e
satisfaz:
f ∗ g 1 ≤ f 1 g 1 .
Sendo T a transformada de Fourier que definimos no exemplo 3.5.5, podemos
ainda mostrar que T(f ∗ g) = T(f)T(g).

208 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Exercícios.
1. Mostre que se f(x) = limn→∞ fn(x), qtp em E, e ˜ fn ≃ fn, então temos
também f(x) = limn→∞ ˜ fn(x), qtp em E.
2. Suponha que B 1 (E) é o quociente do espaço das funções f : E → R Bmensuráveis
pela relação “≃”, e L 1 (E) é o quociente do espaço das funções
f : E → R, finitas qtp e L-mensuráveis, pela relação análoga. Qual é a relação
entre B 1 (E) e L 1 (E)?
3. Supondo que f : R → R é somável, designamos aqui por T(f) a transformada
de Fourier da função f. Demonstre os seguintes resultados:
a) Se ˜ f(x) = f(x − x0), então T( ˜ f)(ω) = T(f)(ω)e −iωx0 .
b) Se a função h dada por h(x) = xf(x) é somável, então T(f) é diferenciável,
e T(f) ′ = −iT(h).
1 − 4. Seja f(x) = x 3, para x = 0. Dada uma enumeração dos racionais, Q =
{q1, · · · , qn, · · · }, mostre que a série ∞ n=1 1
n2f(x−qn) converge absolutamente
qtp em R. Mostre que f(x) = ∞ n=1 1
n2f(x − qn) é Borel-mensurável no conjunto
onde a série converge simplesmente.
5. Considere o espaço L 1 (R). Mostre que
a) Qualquer classe em L 1 (R) tem representantes B-mensuráveis f : R → R.
b) Existem classes em L 1 (R) cujos representantes são descontínuos em toda
a parte.
c) Existem classes em L 1 (R) cujos representantes são ilimitados em qualquer
intervalo aberto não-vazio em R.
6. Consideramos aqui uma sucessão de funções fn tais que
fndm → fdm para qualquer E ⊆ X mensurável,
E
mas onde não é verdade que
E
X
|fn − f|dm → 0.
Tomamos E ⊆ X = [0, 2π], fn(x) = sen nx, e f = 0. Prove o seguinte:
a) Se E é um intervalo ou um conjunto elementar, então
E fndm → 0.
b) Se E é um conjunto mensurável, então
E fndm → 0.
c) Suponha que g é somável, e prove que
d) Calcule lim |fn|dm.
n→+∞
X
X gfndm → 0. ( 17 )
17 Este resultado, que é importante na teoria das séries de Fourier, diz-se o Lema de
Riemann-Lebesgue.

3.6. Continuidade e Mensurabilidade 209
e) Calcule lim
n→+∞
também as funções cos 2 nx.
E
f 2 ndm, quando E é mensurável. Sugestão: Considere
f) Prove que se nk ր ∞ então sen nkx diverge qtp.
7. Demonstre o teorema de Fubini-Lebesgue na forma 3.5.11.
8. Calcule os dois integrais iterados para as funções indicadas. O que pode
concluir?
x − y
a) f(x, y) = 3 , em [0, 1] × [0, 1].
(x + y)
xy
b) g(x, y) = 2 , em [−1, 1] × [−1, 1].
(x 2 + y 2 )
9. Suponha que as funções f, g, e h são somáveis em R N . Mostre que
a) O produto de convolução (Exemplo 3.5.12.2)
(f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dmN,
R N
está bem definido (qtp em R N ) e f ∗ g é uma função somável em R N ,
porque
f ∗ g 1 ≤ f 1 g 1 .
sugestão: Considere a função F(x, y) = f(x − y)g(y), e aplique o
teorema de Fubini.
b) O produto de convolução é comutativo e associativo.
c) Sendo T a transformada de Fourier, temos T(f ∗ g) = T(f)T(g).
sugestão: Use o teorema de Fubini.
3.6 Continuidade e Mensurabilidade
Vimos como as funções mensuráveis podem ser aproximadas por funções
simples mensuráveis. Mostramos nesta secção que as funções mensuráveis
podem ser também aproximadas por funções contínuas. Veremos que este
facto é consequência essencialmente dos seguintes três resultados:
• A já referida aproximação de funções mensuráveis por funções simples,
• A regularidade da medida de Lebesgue, sobretudo na forma do teorema
2.3.10 b), e
• Um resultado de natureza topológica, aqui a proposição 3.6.1, que é
um corolário do chamado Lema de Urysohn.

210 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Designamos o conjunto das funções contínuas de suporte compacto
f : R N → R por Cc(R N )( 18 ). Designaremos por C0(R N ) o conjunto das
funções contínuas f : R N → R com limite nulo quando |x| → ∞, e por
C k c (RN ), onde k ∈ N, a classe das funções de suporte compacto, que são
continuamente diferenciáveis até à ordem k ∈ N. C ∞ c (RN ) é a classe das
funções contínuas de suporte compacto que têm derivadas contínuas de qualquer
ordem. Usaremos a mesma notação para qualquer conjunto U ⊆ R N ,
e.g., C k c (U) é a classe das funções de suporte compacto em U, que são continuamente
diferenciáveis até à ordem k ∈ N.
O corolário do “Lema de Urysohn” aqui utilizado é o seguinte:
Proposição 3.6.1. Se K ⊆ U ⊆ R N , onde K é compacto e U é aberto,
então existe f ∈ Cc(R N ) tal que χK ≤ f ≤ χU.( 19 )
Demonstração. Dado x ∈ K, existem rectângulos abertos limitados Rx e
Sx tais que
x ∈ Rx ⊂ Rx ⊂ Sx ⊂ Sx ⊂ U.
Existe portanto uma subcobertura finita de K por rectângulos Rxi , onde
1 ≤ i ≤ m. É simples mostrar que (exercício 2)
(i) Existem funções gi ∈ Cc(R N ) tais que χRx i ≤ gi ≤ χSx i ≤ χU.
Seja g : R N → R dada por
g(x) =
m
gi(x), donde g ≥ χK, e g tem suporte compacto em U.
i=1
Sendo agora h : R → [0,1] uma qualquer função contínua e crescente, com
h(0) = 0 e h(1) = 1, tomamos f(x) = h(g(x)).
Esta proposição, combinada com a regularidade da medida de Lebesgue,
permite mostrar que as funções características de conjuntos de medida finita
podem ser aproximadas por funções contínuas de suporte compacto.
Proposição 3.6.2. Se E ⊆ R N é um conjunto mensurável de medida finita,
e ε > 0, existe f ∈ Cc(R N ) tal que
0 ≤ f ≤ 1, e mN({x ∈ R N : f(x) = χE(x)}) < ε.
18 O suporte da função f é o fecho do conjunto onde a função não é nula.
19 O “Lema de Urysohn” da Topologia Geral é um exemplo de uma propriedade de
separação. Dados conjuntos fechados A e B disjuntos num espaço topológico normal
X, o Lema garante a existência de uma função contínua f : X → [0, 1] tal que A ⊆
f −1 (1) e B ⊆ f −1 (0). O resultado deve-se a Pavel Urysohn, 1898 - 1924, matemático
ucraniano, que apesar da sua morte trágica ainda muito jovem deu importantes contributos
à então nascente Topologia. Deve notar-se no exercício 3 que no caso da proposição aqui
apresentada podemos na verdade seleccionar f ∈ C ∞ c (R N ).

3.6. Continuidade e Mensurabilidade 211
Demonstração. De acordo com o teorema 2.3.10 b), existem conjuntos
K ⊆ E ⊆ U,K compacto, U aberto, e mN(U\K) < ε.
Pela proposição anterior, existe f ∈ Cc(R N ) tal que χK ≤ f ≤ χU, e deve
ser evidente que:
x ∈ R N : f(x) = χE(x) ⊆ U\K.
Exploramos aqui diversas consequências desta proposição, que são em
cada caso resultados sobre a aproximação de funções mensuráveis por funções
contínuas. É conveniente para já mostrar que as funções mensuráveis limitadas,
que são como sabemos limites de sucessões de funções simples mensuráveis,
podem ser também expressas como séries uniformemente convergentes
de funções simples mensuráveis.
Teorema 3.6.3. Se f : E → [0,M] é mensurável e M < ∞, existem
conjuntos mensuráveis Tn ⊆ E tais que, se tn = M
2 nχTn, então
f(x) =
∞
tn(x).
n=1
Em particular, a série indicada converge uniformemente para f.
Demonstração. Sendo g = f/M, existem funções simples sn : E → R + ,
n ∈ N, definidas como na demonstração de 3.4.7, e tais que sn(x) ր g(x).
Definimos s0 = 0 e, para n ∈ N, tn = sn − sn−1 ≥ 0. É evidente que
∞
n=1
tn(x) = lim
n→∞ sn(x) = g(x) = f(x)/M, para qualquer x ∈ E.
Como 0 ≤ g(x) < 1, para qualquer x ∈ E, é fácil mostrar (exercício 1) que
tn = sn − sn−1 só toma os valores 0 e 1/2 n , ou seja,
tn = 1
2n χTn,
2
onde Tn =
n−1−1 k=1
En,2k+1, e f(x) =
∞
n=1
M
χTn(x).
2n O próximo resultado é um teorema clássico sobre a aproximação de
funções mensuráveis por funções contínuas.

212 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
Teorema 3.6.4 (Teorema de Vitali-Luzin). ( 20 ) Seja f : RN → R uma
função mensurável limitada, que é nula fora de um conjunto de medida
finita. Se ε > 0 e |f(x)| ≤ M para qualquer x ∈ RN , então existe g ∈
Cc(RN ) tal que
N
0 ≤ |g(x)| ≤ M, e mN x ∈ R : f(x) = g(x) < ε.
Demonstração. Supomos primeiro que 0 ≤ f(x) ≤ 1, e f(x) = 0 quando
x ∈ U, onde mN(U) < ∞. Supomos sem perda de generalidade que U ⊂ R N
é um aberto. Observamos de 3.6.3 que existem funções simples mensuráveis
tn : R N → [0,1], tais que
f(x) =
∞
n=1
tn(x), onde tn = 1
2 nχTn.
Os conjuntos Tn são mensuráveis e de medida finita, e estão contidos em
U. Pela proposição 3.6.2, existem funções hn : R N → [0,1], contínuas e de
suporte compacto em U , tais que
É claro que
mN (En) < ε
2 n+1, onde En = x ∈ R N : hn(x) = χTn(x) .
∞
n=1
1
2 nhn(x) ≤
∞
n=1
1
= 1,
2n e portanto a série à esquerda converge uniformemente. Concluímos que a
função h dada por h(x) = ∞ n=1 1
2nhn(x) é contínua, e 0 ≤ h ≤ 1. Deve
ser também claro que h(x) = 0 quando x ∈ U. Por outro lado, e tomando
E = ∞ n=1 En, temos mN(E) < ε/2 e
x ∈ E ⇒ hn(x) = χTn(x), para qualquer n ∈ N ⇒ f(x) = h(x).
Temos por outras palavras que
N
x ∈ R : f(x) = ˜g(x) ≤ mN(E) < ε/2.
mN
Como mN(U) < ∞, existe um compacto K ⊂ U tal que mN(U\K) < ε/2, e
existe igualmente uma função h0 ∈ Cc(R N ) tal que χK ≤ h0 ≤ χU. Tomamos
finalmente g = hh0, que é contínua e de suporte compacto em U. Dado que
g(x) = h(x) apenas quando x ∈ U\K, temos
x ∈ R N : f(x) = g(x) ⊆ E ∪ (U\K)
Temos assim que mN({x ∈ R N : g(x) = f(x)}) < ε. Deixamos para o
exercício 4 generalizar a demonstração para o caso |f(x)| ≤ M.
20 De Nikolai Luzin, 1883-1950, matemático russo, professor da Universidade de
Moscovo, onde aliás teve Urysohn como aluno.

3.6. Continuidade e Mensurabilidade 213
O resultado anterior pode ser adaptado a casos em que f é ilimitada
e/ou não é nula no complementar de um conjunto de medida finita, mas
naturalmente perdendo alguns aspectos da sua conclusão. Por exemplo,
Corolário 3.6.5. Seja f : RN → R mensurável, finita qtp, e nula no complementar
de um conjunto de medida finita. Então para qualquer ε > 0
existe g ∈ Cc(RN ) tal que
N
x ∈ R : f(x) = g(x) < ε.
mN
Demonstração. Seja Fn = {x ∈ R N : |f(x)| ≥ n}, donde Fn ց A, onde
A = {x ∈ R N : |f(x)| = ∞} é nulo. Como os conjuntos Fn têm medida
finita, temos mN(Fn) → 0, e existe k tal que mN(Fk) < ε/2.
Com h = fχF c k , e pelo teorema de Vitali-Luzin, existe g ∈ Cc(R N ) tal
que
mN
x ∈ R N : h(x) = g(x) < ε/2.
É claro que mN x ∈ RN : f(x) = g(x) < ε.
Eliminando a hipótese sobre o conjunto onde f = 0, podemos ainda obter
o seguinte resultado, cuja demonstração deixamos para o exercício (5).
Corolário 3.6.6. Seja f : RN → R uma função mensurável e finita qtp.
Então para qualquer ε > 0 existe uma função contínua g : RN → R tal que
N
x ∈ R : f(x) = g(x) < ε.
mN
Este corolário pode agora ser usado para mostrar que as funções mensuráveis
e finitas qtp são limites de sucessões de funções contínuas.
Corolário 3.6.7. Se f : R N → R é finita qtp, então f é L-mensurável se
e só se existem funções contínuas fn : R N → R tais que fn(x) → f(x) qtp
em R N .
Demonstração. Pelo corolário 3.6.6, existem funções contínuas fn tais que
mN (En) < 1
2 n, onde En = x ∈ R N : fn(x) = f(x) .
Considerem-se os conjuntos
E =
∞
∞
k=1 n=k
En =
∞
Fk, onde Fk =
k=1
∞
En.
Note-se que mN(Fk) → 0 e Fk ց E, donde mN(E) = 0( 21 ). Para finalizar
este argumento, resta-nos observar que:
n=k
x ∈ E ⇔ ∃k∈N tal que x ∈ Fk ⇔ ∃k∈N tal que n ≥ k ⇒ x ∈ En ⇔
21 Esta é mais uma aplicação do lema de Borel-Cantelli que referimos no exercício 7 da
secção 2.1.

214 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue
⇔ ∃k∈N tal que n ≥ k ⇒ fn(x) = f(x).
Dito doutra forma, quando x ∈ E então fn(x) → f(x). Como vimos
que mN(E) = 0, podemos concluir que fn(x) → f(x) qtp em R.
Sabemos já que que as funções somáveis podem ser aproximadas por
funções simples, e aproveitamos agora este facto para mostrar que podem
também ser aproximadas por funções contínuas de suporte compacto:
Corolário 3.6.8. Se f : R N → R é somável e ε > 0, então existe g ∈
Cc(R N ) tal que f − g 1 < ε.
Demonstração. De acordo com 3.4.11, existe uma função simples s ∈ L1 (RN )
tal que f − s1 < ε/2. É claro que s é nula no complementar de um conjunto
de medida finita, e existe M < ∞ tal que |s(x)| ≤ M para qualquer
x ∈ RN .
Pelo teorema 3.6.4, existe g ∈ Cc(RN ) com |g(x)| ≤ M para x ∈ RN , e
mN( x ∈ R N : s(x) = g(x) ) < ε/4M.
Escrevemos E = x ∈ RN : s(x) = g(x) , e notamos como óbvio que
|s(x) − g(x)| ≤ 2M para x ∈ E, donde
s − g1 = |s − g| ≤ 2Mε/4M = ε/2.
Concluímos que f − g 1 ≤ f − s 1 + s − g 1 < ε.
Exemplo 3.6.9.
E
Designamos também por Cc(R N ) o subespaço de L 1 (R N ) formado pelas classes
de equivalência de funções contínuas de suporte compacto. O resultado anterior
pode exprimir-se dizendo que
Cc(R N ) é denso em L 1 (R N ).
Se designarmos por R 1 (R N ) o subespaço formado pelas classes de equivalência
de funções f : R N → R tais que o integral impróprio de Riemann
R N f(x)dx
é absolutamente convergente, é evidente que R 1 (R N ) ⊇ Cc(R N ), e portanto
R 1 (R N ) é igualmente denso em L 1 (R N ).
Já vimos que L 1 (R N ) é completo, i.e., é um espaço de Banach. Como
R 1 (R N ) é denso em L 1 (R N ), concluímos que L 1 (R N ) é o espaço completo
determinado por R 1 (R N ). Por outras palavras, o espaço L 1 (R N ) está para o
espaço R 1 (R N ) exactamente como o conjunto R está para o conjunto Q.
Exercícios.

3.6. Continuidade e Mensurabilidade 215
1. Complete o cálculo da função tn = sn − sn−1 referido na demonstração de
3.6.3. sugestão: Observe que En−1,k = En,2k ∪ En,2k+1.
2. Para completar a demonstração de 3.6.1, mostre que dados rectângulos abertos
limitados R e S, tais que R ⊂ R ⊂ S, existe uma função contínua f,
0 ≤ f ≤ 1, tal que f(x) = 1 para x ∈ R, e f(x) = 0 para x ∈ S, donde f tem
suporte compacto. sugestão: Comece por provar a afirmação em R.
1 −
3. Verifique que a função f : R → R dada por f(x) = e x2 para x > 0,
e por f(x) = 0 para x ≤ 0 é de classe C∞. Conclua que g ∈ C ∞ c
(R), se
g(x) = f(x)f(1 − x). Aproveite para mostrar que podemos supor no exercício
anterior que f é de classe C ∞ .
4. Conclua a demonstração do teorema de Vitali-Luzin (3.6.4) tomando agora
como hipótese que |f| ≤ M. Verifique também que, se E ⊆ U, onde U é um
aberto, então a função g pode ser suposta ter suporte compacto em U.
5. Demonstre o corolário 3.6.6. sugestão: Recorde que R N é σ-compacto.
6. Seja f : RN → R uma função L-mensurável e somável. Prove que
lim |f(x + y) − f(x)| dmN = 0.
y→0
R N
sugestão: Suponha primeiro que f é contínua de suporte compacto.
7. Mostre que C0(R N ) é um espaço de Banach, com a norma “de L ∞ ”, dada
por f ∞ = sup |f(x)| : x ∈ R N . Prove que Cc(R N ) é denso em C0(R N ),
com esta norma.
8. continuidade da transformada de Fourier: Prove que se f ∈ L 1 (R) e
T(f) é a sua transformada de Fourier, então T(f) ∈ C0(R), onde aqui C0(R N )
designa a classe das funções contínuas com valores complexos, tais que |f(x)| →
0, quando x → ∞. Aproveite para mostrar que T : L 1 (R) → C0(R) é um
operador (uniformemente) contínuo, porque
T(f) − T(g) ∞ ≤ f − g 1 .
sugestão: Sabemos que T(f) é contínua. Comece por mostrar que T(f) ∞ ≤
f1 . Considere a função fα(x) = f(x − π
α ), e a respectiva transformada de
Fourier Fα. Aplique o exercício 6 à diferença fα − f.

216 Capítulo 3. Integrais de Lebesgue

Capítulo 4
Outras Medidas
A teoria da medida não se esgota com o estudo da medida de Lebesgue, nem
a teoria da integração se esgota com o estudo dos integrais “em ordem à
medida de Lebesgue”. Estudamos neste Capítulo outros espaços de medida,
deixando para mais tarde a questão da definição de “integrais de Lebesgue”
em ordem a qualquer medida.
Começamos por complementar as ideias e resultados gerais sobre medi-
das que referimos no capítulo 2.
É indispensável aqui esclarecer a estrutura
das medidas reais, i.e., provar o Teorema da Decomposição de Hahn-Jordan,
que mostra que as medidas reais são diferenças de medidas positivas finitas,
e leva ao conceito de variação total de uma medida.
Vimos que qualquer integral indefinido de Lebesgue é uma medida. Estas
medidas gozam de uma propriedade especial, dita continuidade absoluta, que
estudaremos no que se segue. Esta ideia, primeiro referida por Harnack( 1 )
nos finais do século XIX, a propósito dos integrais impróprios de Riemann
de 1 a espécie que ele próprio estudou, e formalmente definida por Vitali
em 1905, quando lhe atribuiu o nome que hoje utilizamos, é aplicável a
medidas e a funções, e é a chave para o entendimento actual dos Teoremas
Fundamentais do Cálculo.
Muitos dos exemplos relevantes nas aplicações envolvem medidas definidas
pelo menos na classe B(R N ), que chamaremos aqui “medidas de
Lebesgue-Stieltjes”. A questão da sua regularidade é frequentemente muito
importante, e provaremos diversos resultados sobre este assunto. Veremos
em particular que qualquer medida definida em B(R N ) e finita nos conjuntos
compactos tem uma única extensão regular completa, um facto que usaremos
repetidamente no que se segue. Mostraremos também que as medidas de
Lebesgue-Stieltjes regulares e σ-finitas têm propriedades muito semelhantes
às da medida de Lebesgue, tal como as estudámos no Capítulo 2.
As medidas de Lebesgue-Stieltjes localmente finitas na recta real são
especialmente fáceis de caracterizar e estudar, e estão associadas a funções
1 Carl Gustav Axel Harnack, 1851-1888.
217

218 Capítulo 4. Outras Medidas
reais de variável real, que chamaremos as suas funções de distribuição. Esta
dualidade entre medidas e funções enriquece simultaneamente a teoria da
medida e a teoria das funções. Introduzimos e estudamos aqui as classes
das funções de variação limitada e das funções absolutamente contínuas, e
provamos um resultado clássico sobre funções absolutamente contínuas: o
Teorema de Banach-Zaretsky.
Terminamos o Capítulo provando o grande Teorema de Diferenciação
de Lebesgue, a partir do “Lema do Sol Nascente” de F.Riesz, e obtemos
finalmente versões modernas dos Teoremas Fundamentais do Cálculo em R,
relacionando estes resultados com uma das questões mais centrais da Teoria
da Medida: a de caracterizar as medidas que são integrais indefinidos.
4.1 A Decomposição de Hahn-Jordan
Qualquer função real f : X → R pode ser decomposta na forma f = f + −f − ,
onde f + e f − são as funções f + = fχP e f − = −fχN e P e N são os
conjuntos P = {x ∈ X : f(x) > 0} e N = {x ∈ X : f(x) < 0}. É claro
que f + e f − são positivas e distintas de zero em conjuntos disjuntos. Antes
de apresentarmos uma decomposição análoga a esta para medidas reais, é
necessário introduzir uma noção auxiliar:
Definição 4.1.1 (Medida Concentrada em S). Se µ é uma medida definida
em M e S ∈ M, dizemos que µ está concentrada em S se e só se µ(E) =
µ(E ∩ S) para qualquer E ∈ M.
E\S
E ∩ S
Figura 4.1.1: µ concentrada em S ⇐⇒ µ(E) = µ(E ∩ S) para E ∈ M.
Provamos nesta secção que qualquer medida real µ é a diferença de duas
medidas positivas finitas, µ = µ + −µ − , que estão concentradas em conjuntos
disjuntos. Esta é a chamada decomposição de Jordan, que simplifica o
estudo de medidas reais e complexas, porque o reduz em larga medida ao
estudo de medidas positivas finitas. A decomposição de Hahn de µ,
que é, como veremos, essencialmente equivalente à de Jordan, é formada
por conjuntos disjuntos P e N = P c tais que µ + e µ − estão concentradas
respectivamente em P e em N.
S
X

4.1. A Decomposição de Hahn-Jordan 219
Exemplos 4.1.2.
1. A medida de Dirac em R está concentrada em A = {0}. Está igualmente
concentrada em B = [0, 1], ou mais geralmente em qualquer conjunto C tal
que A ⊆ C.
2. A medida de Lebesgue em R está concentrada no conjunto dos irracionais.
Podemos também dizer que m está concentrada em R\Z, em R\ {0}, etc.
3. Se f é mensurável e não-negativa, ou somável, o respectivo integral indefinido
está concentrado no conjunto x ∈ R N : f(x) = 0 (ver o exercício 7).
No que se segue nesta secção, salvo menção em contrário, supomos que
todas as medidas referidas estão definidas num dado espaço mensurável
(X, M). Observamos desde já que, como os exemplos acima tornam evidente,
o conjunto onde uma dada medida está concentrada não é único. A
determinação dos conjuntos onde µ está concentrada é aliás equivalente à
identificação dos:
Definição 4.1.3 (Conjuntos µ-Nulos). E ∈ M é µ-nulo se e só se, para
qualquer F ∈ M, temos F ⊆ E ⇒ µ(F) = 0.
Temos, portanto, que E é µ-nulo se e só se é mensurável e todos os
seus subconjuntos mensuráveis têm medida nula. Quando µ é uma medida
positiva, esta condição reduz-se, por razões óbvias, à condição µ(E) = 0.
Exemplos 4.1.4.
1. Seja A = ]−1, 0[, B = ]0, 1[, e µ(E) = m(E ∩ A) − m(E ∩ B). Então
µ([−1, 1]) = 0, mas [−1, 1] não é µ-nulo, porque, por exemplo, A ⊂ [−1, 1], e
µ(A) = 0.
2. A função f(x) = e −|x| sen(x) é somável em R. Se µ é o seu integral indefinido,
então µ([−π, π]) = 0, mas [−π, π] não é µ-nulo, porque µ([0, π]) > 0.
Usamos expressões como “µ-quase em toda a parte”, abreviada “µ-qtp”,
para significar “excepto num conjunto µ-nulo”. Quando a medida µ é óbvia
do contexto, em especial quando µ é a medida de Lebesgue, eliminamos o
prefixo “µ” destas expressões.
Exemplos 4.1.5.
1. A função f(x) = x é nula, δ-qtp.
2. Sendo µ o integral indefinido de uma função f : R → R somável, o conjunto
dos racionais é µ-nulo. Mais geralmente, qualquer conjunto nulo é µ-nulo.
Deixamos para o exercício 1 mostrar que

220 Capítulo 4. Outras Medidas
Proposição 4.1.6. µ está concentrada em S se e só se S c é µ-nulo.
No caso de uma medida µ definida pelo menos em B(R N ), e apesar do
que dissémos acima, é possível identificar o menor conjunto fechado onde µ
está concentrada, e é este conjunto que se diz o suporte da medida µ( 2 ).
Teorema 4.1.7. Se µ é uma medida definida pelo menos em B(R N ), V =
U ⊆ R N : U é aberto e µ-nulo , V =
U∈V U e F = V c , temos que
a) V é o maior conjunto aberto µ-nulo,
b) µ está concentrada no conjunto fechado F = V c e
c) Se G ⊂ F é fechado e G = F, então µ não está concentrada em G.
Em particular, se µ ≥ 0 é finita então µ(G) < µ(F).
A demonstração deste resultado é o exercício 13.
Exemplos 4.1.8.
1. No caso da medida de Lebesgue, qualquer aberto U ⊆ R N não-vazio satisfaz
mN(U) > 0. Portanto, V = U ⊆ R N : U é aberto e nulo = {∅} e V = ∅,
donde F = R N . Por outras palavras, o suporte de mN é R N .
2. Se δ é a medida de Dirac na origem, então V = R\{0} é evidentemente o
maior aberto δ-nulo, e portanto F = {0}, ou seja, o suporte de δ é {0}.
3. No caso do exemplo 4.1.4.1, é fácil ver que F = [−1, +1].
4. Se µ é o exemplo 4.1.4.2, então F = R.
Podemos agora introduzir a
Definição 4.1.9 (Decomposição de Jordan). Uma decomposição de jordan
da medida real µ é um par (π,ν) de medidas positivas finitas tais que
• µ(E) = π(E) − ν(E), para qualquer E ∈ M, e
• π e ν estão concentradas em conjuntos disjuntos.
Exemplos 4.1.10.
1. Se A e B são quaisquer conjuntos disjuntos em L(R) com medida finita e
µ(E) = m(E ∩ A) − m(E ∩ B), é fácil ver que as medidas dadas por π(E) =
m(E ∩ A) e ν(E) = m(E ∩ B) são uma decomposição de Jordan para µ.
2. Se f : RN → R é somável em RN e µ, π e ν são, respectivamente, os integrais
indefinidos de f, f + e de f − , então π e ν são medidas positivas finitas e
Observamos que
µ(E) =
E
f =
E
f +
−
E
f − = π(E) − ν(E).
2 Referiremos na secção 4.4 a generalização desta ideia a contextos mais gerais.

4.1. A Decomposição de Hahn-Jordan 221
• π e ν estão concentradas, respectivamente, em P = x ∈ R N : f(x) > 0
e N = x ∈ R N : f(x) < 0 ,
• P e N são, evidentemente, conjuntos disjuntos.
Concluímos que (π, ν) é uma decomposição de Jordan de µ. Em particular,
a decomposição de Jordan do integral indefinido de f corresponde à usual
decomposição f = f + − f − .
As medidas π e ν que formam uma qualquer decomposição de Jordan
estão concentradas em conjuntos disjuntos P e N. É claro que N é πnulo,
porque está contido no complementar de P, e P é ν-nulo, porque está
contido no complementar de N. Introduzimos a este respeito a seguinte
terminologia:
Definição 4.1.11 (Medidas Singulares). Se π está concentrada num conjunto
ν-nulo, π diz-se singular (em relação a ν), e escrevemos π⊥ν.
No caso de medidas em R N , dizemos simplesmente que π é singular, sem
mais qualificativos, quando π é singular em relação à medida de Lebesgue.
A demonstração do seguinte resultado não apresenta quaisquer dificuldades:
Proposição 4.1.12. π⊥ν se e só se π e ν estão concentradas em conjuntos
disjuntos. Em particular, π⊥ν se e só se ν⊥π.
Exemplos 4.1.13.
1. A medida de Dirac δ em R é singular (em relação à medida de Lebesgue),
porque tem suporte em S = {0}, e S é um conjunto m-nulo.
2. A medida de Lebesgue é singular em relação à medida de Dirac, porque a
medida de Lebesgue está concentrada em B = R\ {0} = A c e δ(B) = 0.
3. Note-se que as medidas de Lebesgue e de Dirac estão concentradas em conjuntos
disjuntos mas não têm suportes disjuntos.
Supondo que (π,ν) é uma decomposição de Jordan da medida µ onde π
está concentrada num conjunto ν-nulo P, é claro que ν está concentrada no
conjunto π-nulo N = P c . Notamos que:
• Se E ⊆ P então µ(E) ≥ 0, porque µ(E) = π(E) − ν(E) = π(E) ≥ 0, e
• Se E ⊆ N então µ(E) ≤ 0, porque µ(E) = π(E) −ν(E) = −ν(E) ≤ 0.
Por outras palavras, todos os subconjuntos de P têm medida não-negativa,
e todos os subconjuntos de N têm medida não-positiva. Os conjuntos com
estas propriedades designam-se:

222 Capítulo 4. Outras Medidas
Definição 4.1.14 (Conjuntos µ-Positivos, µ-Negativos). Sendo µ uma medida
real, dizemos que E ∈ M é µ-positivo (respectivamente, µ-negativo)
se e só se para qualquer F ∈ M temos F ⊆ E ⇒ µ(F) ≥ 0 (respectivamente,
µ(F) ≤ 0).
Exemplos 4.1.15.
1. O conjunto ∅ é simultaneamente µ-positivo, µ-negativo e µ-nulo.
2. Se µ é o exemplo 4.1.4.1, é fácil ver que A = [−1, 0] é µ-positivo e B = [0, +1]
é µ-negativo.
3. Se µ é o integral indefinido da função somável f e E é mensurável, então E é
µ-positivo (respectivamente, µ-negativo) se e só se f(x) ≥ 0 (respectivamente,
f(x) ≤ 0) qtp em E.
A demonstração das seguintes propriedades é o exercício 4.
Proposição 4.1.16. Seja µ uma medida real e P,Q,Pn ∈ M.
a) P é µ-positivo e Q ⊆ P =⇒ Q é µ-positivo e µ(Q) ≤ µ(P),
b) P é µ-negativo e Q ⊆ P =⇒ Q é µ-negativo e µ(Q) ≥ µ(P),
c) Pn µ-positivo para qualquer n ∈ N =⇒
P =
∞
Pn é µ-positivo e µ(P) ≥ µ(Pn), para qualquer n ∈ N.
n=1
Sempre supondo que (π,ν) é uma decomposição de Jordan da medida µ,
π está concentrada no conjunto ν-nulo P e N = P c , os conjuntos P e N
formam uma partição de X onde P é µ-positivo e N é µ-negativo, o que nos
conduz à seguinte
Definição 4.1.17 (Decomposição de Hahn). Se µ é uma medida real e
P,N ∈ M, o par (P,N) é uma decomposição de Hahn para µ se e só se
P é µ-positivo, N é µ-negativo, X = P ∪ N e P ∩ N = ∅.
Podemos portanto dizer que se µ tem uma decomposição de Jordan então
tem igualmente uma decomposição de Hahn. É também muito fácil mostrar
que se µ tem uma decomposição de Hahn então tem necessariamente uma
decomposição de Jordan. Para isso, e supondo que (P,N) é uma decomposição
de Hahn, definimos
π(E) = µ(E ∩ P) e ν(E) = −µ(E ∩ N).
As medidas π e ν são positivas e finitas, π⊥ν e temos (figura 4.1.2)
µ(E) = µ(E ∩ P) + µ(E ∩ N) = π(E) − ν(E), i.e., µ = π − ν.

4.1. A Decomposição de Hahn-Jordan 223
E ∩ N
E ∩ P
P
N X
Figura 4.1.2: µ(E) = µ(E ∩ P) + µ(E ∩ N) = π(E) − ν(E).
Se µ tem uma decomposição de Hahn (P,N), é ainda muito simples mostrar
que µ tem mínimo e máximo finitos, que são exactamente os valores µ(N) e
µ(P). Basta notar que, como P é µ-positivo e N é µ-negativo, segue-se da
proposição 4.1.16 que, para qualquer E ∈ M,
Concluímos que
0 ≤ µ(E ∩ P) ≤ µ(P) e µ(N) ≤ µ(E ∩ N) ≤ 0.
µ(N) ≤ µ(E ∩ N) ≤ µ(E ∩ P) + µ(E ∩ N) ≤ µ(E ∩ P) ≤ µ(P),
ou seja, µ(N) ≤ µ(E) ≤ µ(P), e µ tem máximo em P e mínimo em N.
A técnica que vamos utilizar para estabelecer a existência de decomposições
de Hahn e de Jordan é sugerida por esta observação elementar. Tem os
seguintes passos essenciais:
(I) Mostrar que qualquer medida real µ tem máximo na classe dos conjuntos
µ-positivos,
(II) Provar que se o máximo referido em (1) é atingido no conjunto P então
N = P c é µ-negativo, i.e., (P,N) é uma decomposição de Hahn de µ.
A próxima proposição corresponde ao passo (I) acima indicado:
Proposição 4.1.18. Se µ é uma medida real então existe um conjunto µpositivo
P tal que µ(P) = max {µ(Q) : Q ∈ M,Q µ-positivo }.
Demonstração. O conjunto ∅ é µ-positivo, e portanto a classe dos conjuntos
µ-positivos não é vazia. Temos em particular que
0 ≤ α = sup {µ(Q) : Q ∈ M,Q µ-positivo } ≤ ∞.

224 Capítulo 4. Outras Medidas
Existem naturalmente conjuntos µ-positivos Qn tais que µ(Qn) → α, e temos
de 4.1.16 c) que
P =
∞
Qn é µ-positivo e µ(P) ≥ µ(Qn), para qualquer n.
n=1
Como µ(Qn) ≤ µ(P) ≤ α e µ(Qn) → α é evidente que µ(P) = α.
Antes de mostrar que N = P c é µ-negativo, que é o passo (II) que
referimos, precisamos de estabelecer um resultado auxiliar, aliás com um
argumento muito interessante, onde provamos que qualquer conjunto com
medida estritamente positiva contém um subconjunto µ-positivo, também
com medida estritamente positiva.
Lema 4.1.19. Se µ(E) > 0, existe um conjunto µ-positivo P ⊆ E com
µ(P) ≥ µ(E) > 0.
Demonstração. Dado A ∈ M, seja ν(A) = inf {µ(F) : F ∈ M,F ⊆ A}( 3 ).
Notamos que ν(A) ≤ 0, porque podemos sempre tomar F = ∅. Observamos
igualmente que
(1) A é µ-positivo se e só se ν(A) = 0.
(2) Se B ⊆ A e B ∈ M então ν(B) ≥ ν(A).
Notamos também que se ν(A) > −∞ então
Basta-nos considerar dois casos:
(3) Existe B ⊆ A tal que ν(B) ≤ 1
2 ν(A).
• Se ν(A) = 0 então podemos tomar B = ∅, e
• se ν(A) < 0 então ν(A)/2 > ν(A) = inf {µ(F) : F ∈ M,F ⊆ A}.
Se ν(A) = −∞ a observação (3) é obviamente falsa, porque µ(B) = −∞,
mas neste caso existe B ⊆ A tal que µ(B) ≤ −1. Concluímos que
(4) Se A ∈ M, então existe B ⊆ A tal que B ∈ M e
µ(B) ≤ max −1, 1
2 ν(Pn)
.
Definimos duas sucessões de conjuntos Pn e Fn por indução como se
segue (ver figura 4.1.3):
3 Veremos imediatamente a seguir que −ν é na realidade uma das medidas que formam
a decomposição de Jordan de µ.

4.1. A Decomposição de Hahn-Jordan 225
P1 = E P2 P3 P4
(a) P1 = E e,
Figura 4.1.3: F =
para qualquer n ∈ N,
∞
Fn,P =
n=1
∞
Pn e E = P ∪ F.
(b) Para a sucessão dos Fn, e de acordo com (4), seleccionamos um conjunto
Fn ∈ M tal que
(5) Fn ⊆ Pn e µ(Fn) ≤ max −1, 1
2 ν(Pn)
≤ 0.
n=1
(c) Para a sucessão dos Pn, tomamos Pn+1 = Pn\Fn.
Deve ser evidente que os conjuntos Fn são disjuntos e os conjuntos Pn formam
uma sucessão decrescente, onde
Pn ց P =
∞
Pn e E = P ∪ F com F =
n=1
Como µ(Fn) ≤ 0 e os conjuntos Fn são disjuntos, temos
(6) − ∞ < µ(F) =
∞
Fn.
n=1
∞
µ(Fn) ≤ 0 e µ(Fn) → 0.
n=1
Para n suficientemente grande temos de (6) que µ(Fn) > −1 e de (5) que
(7) 0 ≥ ν(Pn)
2 ≥ µ(Fn) → 0, ou seja, ν(Pn) → 0.
Como P ⊆ Pn, obtemos de (2) e de (7) que 0 ≥ ν(P) ≥ ν(Pn) → 0. Temos
assim que ν(P) = 0, i.e., P é µ-positivo. Para concluir a demonstração,
notamos que µ(P) = µ(E) − µ(F) ≥ µ(E) > 0, porque E = P ∪ F.
F1
F2
F3
F4

226 Capítulo 4. Outras Medidas
Passamos a demonstrar o principal resultado desta secção:
Teorema 4.1.20 (da Decomposição de Hahn-Jordan). Qualquer medida
real tem decomposições de Hahn e de Jordan.
E P ∗
N = X\P X
Figura 4.1.4: Demonstração de 4.1.20.
Demonstração. De acordo com 4.1.18, existe um conjunto µ-positivo P tal
que
µ(P) = α = max {µ(E) : E ∈ M, E µ-positivo } < +∞.
A demonstração resume-se a mostrar que N = X\P é µ-negativo, conforme
dissémos na observação (II) acima, e argumentamos por contradição.
Se N não é µ-negativo, existe E ⊆ N com µ(E) > 0. De acordo com
4.1.19, existe neste caso um conjunto µ-positivo P ∗ ⊆ E com µ(P ∗ ) > 0. O
conjunto P ∪ P ∗ é portanto µ-positivo e µ(P ∪ P ∗ ) = µ(P) + µ(P ∗ ) > α, o
que contradiz a definição de α.
Concluímos assim que N é µ-negativo e (P,N) é uma decomposição de
Hahn para µ. Por esta razão, e como já observámos, existe também uma
decomposição de Jordan (π,ν) para µ, onde as medidas em causa são dadas
por π(E) = µ(E ∩ P) e ν(E) = −µ(E ∩ N).
A questão da unicidade destas decomposições é bastante mais simples
de analisar, e por isso a sua verificação fica para os exercícios 5 e 6.
Teorema 4.1.21. Seja µ uma medida real, e suponha-se que (π,ν) e (P,N)
são, respectivamente, decomposições de Jordan e de Hahn para µ. Então,
a) Se π ∗ e ν ∗ são medidas positivas finitas tais que µ = π ∗ − ν ∗ , então
π ≤ π ∗ e ν ≤ ν ∗ .
b) Em particular, se (π ∗ ,ν ∗ ) é uma decomposição de Jordan de µ, então
π ∗ = π, e ν = ν ∗ .
P

4.1. A Decomposição de Hahn-Jordan 227
c) Se (P ∗ ,N ∗ ) é uma decomposição de Hahn para µ, então P ∩ N ∗ e
P ∗ ∩ N são µ-nulos.
Sendo µ uma medida real, a respectiva decomposição de Jordan (π,ν)
existe, de acordo com o resultado acima, e é única, de acordo com 4.1.21.
Passamos a escrever µ + , em lugar de π, e µ − , em lugar de ν.
Exercícios.
1. Prove que µ está concentrada em S se e só se S c é µ-nulo (proposição 4.1.6).
2. Demonstre a proposição 4.1.12.
3. Sendo I = [0, 2] e J = [1, 3], determine decomposições de Jordan e de Hahn
para a medida µ dada por µ(E) = m(E ∩ I) − m(E ∩ J).
4. Seja µ uma medida real no espaço mensurável (X, M). Demonstre 4.1.16,
ou seja:
a) Se P é µ-positivo, Q ∈ M, e Q ⊆ P, então Q é µ-positivo, e µ(Q) ≤ µ(P).
b) Se P é µ-negativo, Q ∈ M, e Q ⊆ P, então Q é µ-negativo, e µ(Q) ≥
µ(P).
c) Se Pn é µ-positivo para qualquer n ∈ N, então ∪ ∞ n=1 Pn é µ-positivo, e
µ(∪ ∞ n=1Pn) ≥ µ(Pn).
5. Mostre que, se µ : M → R é uma medida real, (π, ν) é uma decomposição
de Jordan para µ, e π ∗ , ν ∗ : M → [0, +∞[ são medidas positivas finitas tais
que µ = π ∗ − ν ∗ , então π ≤ π ∗ e ν ≤ ν ∗ . Em particular, a decomposição de
Jordan de (X, M, µ) é única (teorema 4.1.21, a), e b)).
6. Prove que se (P, N) e (P ′ , N ′ ) são decomposições de Hahn de (X, M, µ),
então P ∩ N ′ e P ′ ∩ N são µ-nulos (teorema 4.1.21, b)).
7. Seja f : R N → R localmente somável, e µ o respectivo integral indefinido.
a) Mostre que µ está concentrada em P = x ∈ R N : f(x) > 0 quando
f ≥ 0.
b) Suponha agora que f = f + − f − muda de sinal em R N , e é somável em
R N . Sejam π e ν os integrais indefinidos de f + e f − . Mostre que (π, ν)
é a decomposição de Jordan de µ = π − ν.
c) Continuando a alínea anterior, as medidas π, ν e µ estão definidas respectivamente
nas σ-álgebras L f +, L f −, e Lf. Mostre que Lf = L |f| =
L f + ∩ L f −.
8. Sendo n ∈ N, suponha que δn é a medida de Dirac com suporte em {n}, e
µ =
∞ (−1) n
δn.
2n n=1
Determine decomposições de Jordan e de Hahn para a medida µ.

228 Capítulo 4. Outras Medidas
9. Seja λ o integral indefinido de f(x) = e−x2 sen(πx), e µ a medida referida no
exercício anterior. Determine decomposições de Jordan e de Hahn para λ + µ.
10. Seja µ uma medida real no espaço (X, M) e E ∈ M. Mostre que
a) µ + (E) = sup {µ(F) : F ∈ M, F ⊆ E}, e
b) µ − (E) = − inf {µ(F) : F ∈ M, F ⊆ E}.
b
11. Existe alguma medida real µ tal que µ([a, b]) =
a
sen(x)
dx?
x
12. Suponha que µ é uma medida real em B(R), e f(x) = µ(] − ∞, x]). Prove
que f(x) = g(x) − h(x), onde g e h são funções crescentes e limitadas em R.
13. Demonstre o teorema 4.1.7. sugestão: Verifique que pode substituir
a classe V referida no teorema 4.1.7 pela classe (numerável) formada pelos
rectângulos abertos com vértices de coordenadas racionais que são µ-nulos.
14. Suponha que Q = {q1, · · · , qn, · · · } e
µ =
∞ (−1) n
δqn.
2n n=1
Determine decomposições de Jordan e de Hahn para a medida µ. Mostre que
(dependendo da enumeração dos racionais em causa) os suportes de µ + e de
µ − podem ser iguais.
15. Suponha que µ é o integral indefinido de uma função somável f. As medidas
µ + e µ − podem ter o mesmo suporte?
4.2 A Variação Total de uma Medida
A noção de variação total de uma medida real ou positiva µ é análoga à
de oscilação de uma função real, num dado conjunto. Se µ está definida na
σ-álgebra M, temos
Definição 4.2.1 (Variação Total). A variação total de µ é a função |µ|
definida em M por:( 4 )
|µ|(E) = sup {µ(F) : F ⊆ E,F ∈ M} − inf {µ(F) : F ⊆ E,F ∈ M} .
4 A utilização do símbolo |µ| para designar a variação total de µ é tradicional, mas é
ambígua, porque se presta a confusões com o simples valor absoluto da função µ. Convencionamos
a este respeito que o valor absoluto de µ(E) será sempre designado por |µ(E)|.

4.2. A Variação Total de uma Medida 229
Conforme sugerido no exercício 10 da secção anterior, a variação total de
uma medida real µ calcula-se facilmente das suas decomposições de Jordan
e de Hahn. Sempre supondo que F ⊆ E e F ∈ M, temos
e analogamente
µ(F) = µ + (F) − µ − (F) ≤ µ + (F) ≤ µ + (E) = µ(E ∩ P),
µ(F) = µ + (F) − µ − (F) ≥ −µ − (F) ≥ −µ − (E) = µ(E ∩ N).
Podemos assim concluir que
max {µ(F) : F ⊆ E,F ∈ M} = µ(E ∩ P) = µ + (E), e
min {µ(F) : F ⊆ E,F ∈ M} = µ(E ∩ N) = −µ − (E).
A variação total de µ em E é portanto dada por |µ|(E) = µ + (E) + µ − (E),
ou seja, |µ| = µ + + µ − . Passamos também a dizer que µ + e µ − são, respectivamente,
a variação positiva e a variação negativa de µ. Note-se que |µ|,
µ + e µ − são medidas positivas, que são finitas quando µ é uma medida
real. Quando µ é positiva, é claro que a variação total de µ pode ser definida
como em 4.2.1, mas nesse caso temos obviamente µ = |µ|, e esta medida não
é necessariamente finita.
Exemplos 4.2.2.
1. Se f : R N → R é somável e µ é o respectivo integral indefinido, então µ + e
µ − são os integrais indefinidos de f + e f − . A variação total de µ é portanto
dada por
|µ|(E) = µ + (E) + µ − (E) =
E
f +
+ f
E
−
= (f
E
+ + f −
) = |f|.
E
Por outras palavras, a variação total |µ| é o integral indefinido de |f|.
2. Se µ = δ1 − δ−1, então a decomposição de Jordan de µ é (δ1, δ−1), donde
|µ| = δ1 + δ−1.
3. Observe-se ainda que
µ =
∞ (−1) n
n=1
2 n δn ⇒ µ + =
∞
n=1
1
2 2n δ2n, µ − =
∞
n=1
1
2 2n−1 δ2n−1 e |µ| =
∞
n=1
1
δn.
2n A variação total de uma medida real pode ser também calculada pela:
Proposição 4.2.3. Se µ é uma medida real, ou positiva, então
∞
∞
|µ| (E) = sup |µ(En)| : En ∈ M,E = En,En’s disjuntos .
n=1
n=1

230 Capítulo 4. Outras Medidas
Demonstração. O resultado é evidente quando µ é uma medida positiva. Se
µ é uma medida real então temos para qualquer partição {En} que
∞
∞
|µ(En)| = |µ + (En) − µ − (En)| ≤
n=1
n=1
n=1
∞
n=1
µ + (En) + µ − (En) =
= µ + (E) + µ − (E) = |µ|(E), i.e.,
∞
∞
sup |µ(En)| : En ∈ M,E = En,En’s disjuntos ≤ |µ|(E).
n=1
Por outro lado, e supondo que (P,N) é uma decomposição de Hahn para µ,
tomamos E1 = E ∩ P,E2 = E ∩ N e En = ∅, para n > 2, donde
∞
|µ(En)| = |µ(E1)| + |µ(E2)| = µ(E ∩ P) + µ(E ∩ N) =
n=1
= µ + (E) + µ − (E) = |µ|(E), e
∞
∞
|µ| (E) ≤ sup |µ(En)| : En ∈ M,E = En,En’s disjuntos .
n=1
De acordo com este resultado, podemos substituir a definição 4.2.1 pela
seguinte, agora aplicável a qualquer medida real, positiva ou complexa:
Definição 4.2.4 (Variação Total). Se µ é uma medida (positiva, real ou
complexa) definida em M, a variação total de µ é a função |µ| : M →
[0, ∞], dada por:
∞
∞
|µ| (E) = sup |µ(En)| : En ∈ M,E = En,En’s disjuntos .
Exemplo 4.2.5.
n=1
Podemos definir “pentes de Dirac” em qualquer conjunto X, e na σ-álgebra
P(X). Dado um conjunto numerável S = {x1, x2, · · · , xn, · · · } ⊆ X e uma
sucessão de reais ou complexos c1, c2, · · ·, se existe uma medida π concentrada
em S e tal que π({xn}) = cn, escrevemos
π =
∞
cnδxn e temos π(E) =
cn, onde IE = {n ∈ N : xn ∈ E} e E ⊆ X.
n=1
n∈IE
Deixamos para o exercício 1 verificar que a medida π existe se e só se se verifica
um dos seguintes casos:
n=1
n=1
• cn ≥ 0 para qualquer n ∈ N, ou
• a série ∞
n=1 cn é absolutamente convergente.

4.2. A Variação Total de uma Medida 231
Dizemos então que π é um “pente de Dirac”, ou uma medida discreta. A
variação total de π é dada por:
|π| (E) =
|cn|.
n∈IE
O próximo teorema agrupa algumas observações elementares, todas de
muito simples verificação. Note-se que mesmo quando µ é uma medida
complexa é ainda verdade que |µ| é uma medida positiva finita.
Teorema 4.2.6. Se µ é uma medida real ou complexa, então:
a) |µ(E)| ≤ |µ|(E) ≤ |µ| (F), para quaisquer E,F ∈ M com E ⊆ F.
b) E é µ-nulo ⇐⇒ |µ|(E) = 0.
c) |µ| é uma medida positiva finita, donde µ é de variação limitada.
d) µ está concentrada em S ⇐⇒ |µ| está concentrada em S.
e) Se µ e λ são medidas reais (resp., complexas) e c ∈ R (resp., c ∈ C),
então µ + λ e cµ são medidas reais (resp., complexas). Em particular,
o conjunto das medidas reais (resp., complexas) definidas em (X, M)
é um espaço vectorial real (resp., complexo).( 5 )
Demonstração. Para provar a), tomamos na definição (4.2.4) E1 = E e
En = ∅ para n > 1, para concluir que |µ(E)| ≤ |µ|(E). É igualmente fácil
verificar que se E ⊆ F então |µ|(E) ≤ |µ|(F).
Se |µ| (E) = 0, F ∈ M e F ⊆ E segue-se de a) que µ(F) = 0, e portanto E
é µ-nulo. Por outro lado, se E é µ-nulo então é óbvio da definição (4.2.4)
que |µ|(E) = 0.
Deixamos para o exercício 2 a demonstração de c). Supondo verificad esta
afirmação, é evidente que d) é equivalente a b).
A afirmação e) resume propriedades elementares de séries convergentes.
A medida µ diz-se de variação limitada se e só se |µ| (X) < +∞, sendo
claro que apenas as medidas positivas, que aliás coincidem com a sua variação
total, podem não ter variação limitada. Passamos a designar por M(M,Y )
o espaço das medidas µ : M → Y , onde Y = R ou Y = C, que por vezes
simplificamos para M(M) quando Y é evidente do contexto, e deixamos
para os exercícios 4 e 5 a verificação do seguinte resultado:
5 As medidas reais (resp., complexas) em (X, M) são funções µ : M → R (resp.,
µ : M → C) de tipo especial, e formam assim um subespaço do espaço de todas as funções
f reais (resp., complexas) definidas em M. Este último designa-se usualmente por R M
(resp., C M ).

232 Capítulo 4. Outras Medidas
Proposição 4.2.7. A aplicação definida em M(M, C) por µ = |µ|(X) é
uma norma, e com esta norma M(M, C) é um espaço de Banach complexo.
Analogamente, M(M, R) é um espaço de Banach real.
Observações 4.2.8.
1. Se µ é o integral indefinido de uma função somável f : RN → R, então
µ = |µ|(R N
) = |f|dmN = f1 .
2. Seja M(B(R N )) o espaço de Banach formado por todas as medidas reais
definidas em B(R N ), que se diz o espaço das medidas de Borel( 6 ). O
operador Ψ : L 1 (R N ) → M(B(R N )) que associa a cada classe [f] o integral
indefinido de f é linear e preserva normas, de acordo com a observação acima.
O espaço de Banach M(B(R N )) contém por isso um subespaço de Banach
isomorfo a L 1 (R N ). Dizemos portanto que o espaço de Banach M(B(R N ))
é uma extensão do espaço de Banach L 1 (R N ), se bem que esta afirmação
pressuponha que “identificamos”, ou seja, tratamos como se fossem o mesmo
objecto, tanto a classe [f] como o seu integral indefinido( 7 ).
Aproveitamos para generalizar a medidas reais e complexas a noção de
medida completa que introduzimos em 2.3.15:
R N
Definição 4.2.9 (Medida Completa). A medida µ é completa se e só se
todos os subconjuntos de conjuntos µ-nulos são mensuráveis, i.e., se e só se
o espaço (X, M, |µ|) é completo, no sentido de 2.3.15.
Exemplos 4.2.10.
1. O integral indefinido de f é completo, se tomarmos M = Lf.
2. Se µ é uma medida complexa definida em M, a sua menor extensão completa
está definida da forma óbvia na σ-álgebra Mµ = M |µ|, dada por:
Exercícios.
Mµ = {E ⊆ X : Existem A, B ∈ M, A ⊆ E ⊆ B, |µ|(B\A) = 0}.
6 Mais geralmente, se X é um espaço topológico, as medidas definidas em B(X) dizem-se
de Borel em X.
7 Os elementos de M(B(R N )) são também distribuições, que por vezes se chamam
funções generalizadas. Esta terminologia reflecte exactamente a identificação entre
funções e os respectivos integrais indefinidos, no sentido que certas medidas são (i.e., correspondem
a) funções “normais”, e outras são apenas “funções generalizadas”. O espaço
M(B(R N )) é igualmente referido num dos célebres Teoremas de Representação de Riesz,
neste texto o teorema 5.5.11, que aliás identifica os elementos de M(B(R N )) com um tipo
especial de distribuições.

4.2. A Variação Total de uma Medida 233
1. Recorde o exemplo 4.2.5. Verifique que existe uma medida π concentrada em
S e tal que π({xn}) = cn se e só se cn ≥ 0, ou a série ∞
n=1 cn é absolutamente
convergente, e calcule a variação total de π.
2. Conclua a demonstração do teorema 4.2.6. Sugestão: Para provar c),
comece por mostrar que |µ| é σ-subaditiva.
3. Seja µ uma medida definida no espaço mensurável (X, M). Prove que
a) |µ| = 0 se e só se µ = 0,
b) Se λ é uma medida definida em M, então µ⊥λ ⇔ |µ| ⊥ |µ|.
4. Seja V = M(M, C) o espaço vectorial das medidas complexas definidas em
(X, M), com as operações óbvias de soma e produto por escalares. Sendo
µ, λ ∈ V, e α ∈ C, mostre que
a) |µ + λ| ≤ |µ| + |λ|, e |αµ| = |α| |µ|.
b) µ = |µ| (X) é uma norma em V, i.e., V é um espaço vectorial normado.
c) Suponha que µ = α + iβ, onde α e β são medidas reais. Mostre que
max{α, β} ≤ µ ≤ α + β.
Sendo µn = αn + iβn, onde αn e βn são medidas reais, conclua que
µn − µ → 0 ⇐⇒ αn − α → 0 e βn − β → 0.
d) Podemos também adoptar no espaço( 8 ) V a norma da convergência uniforme,
dada por µ∞ = sup{|µ(E)| : E ∈ M}. Mostre que neste caso
estas normas são equivalentes, i.e., existem números reais positivos nãonulos
a, b tais que
aµ∞ ≤ µ ≤ bµ∞, para qualquer µ ∈ V.
sugestão: Suponha que µ é real, e use a sua decomposição de Hahn.
e) Mostre que podemos ter µn(E) → µ(E) para qualquer E ∈ M sem
que µn − µ → 0, ou seja, existem sucessões em V que convergem pontualmente,
mas não convergem no sentido de qualquer das normas que
referimos. sugestão: Recorde o exercício 6 da secção 3.5.
5. Continuando o exercício anterior, mostre que V é um espaço de Banach.
sugestão: Pode ser conveniente proceder da seguinte forma:
a) Mostre que se µn − µm → 0 então µn converge uniformemente para
uma função limitada µ : M → C.
b) Prove que µ é uma função aditiva, e use o facto de µn − µ∞ → 0 para
concluir que µ é σ-aditiva, ou seja, é uma medida.
c) Conclua que µn − µ → 0, e portanto V é um espaço de Banach.
8 V é um subespaço do espaço das funções limitadas f : M → C.

234 Capítulo 4. Outras Medidas
6. Seja ainda V o espaço vectorial das medidas complexas definidas em (X, M),
com as operações já referidas.
a) Sendo λ ∈ V, mostre que U = {µ ∈ V : µ⊥λ} é um subespaço vectorial
normado de V. U é um espaço de Banach?
b) Verifique que o conjunto W formado pelas medidas discretas é igualmente
um espaço vectorial normado de V. W é um espaço de Banach?
4.3 Medidas Absolutamente Contínuas
Sabemos que se a medida µ é o integral indefinido de Lebesgue da função
f, então:
mN(E) = 0 =⇒ µ(E) = 0.
Introduzimos a noção de continuidade absoluta para exprimir esta relação
entre medidas. O exemplo que acabámos de mencionar é especialmente
simples, porque mN é uma medida positiva, mas é fácil frasear a definição
correspondente de modo a ser aplicável a qualquer tipo de medidas.
Definição 4.3.1 (Continuidade Absoluta). Se µ e λ são medidas em M,
dizemos que µ é absolutamente contínua (em relação a λ) e escrevemos
µ ≪ λ se e só se qualquer conjunto λ-nulo é igualmente µ-nulo. Quando λ
é a medida de Lebesgue, é usual omitir a referência “em relação a λ”.
Exemplos 4.3.2.
1. Como dissemos acima, se a medida µ é o integral indefinido da função f em
R N , então µ ≪ mN.
2. A medida de Dirac não é absolutamente contínua. Por exemplo, o conjunto
A = {0} é m-nulo, mas não é δ-nulo.
3. Se µ é uma medida real em (X, M), temos µ ≪ |µ|, µ + ≪ |µ| e µ − ≪ |µ|.
Em particular, |µ| = 0 se e só se µ = 0, ou seja,
|µ|(X) = 0 ⇐⇒ µ(E) = 0 para qualquer E ∈ M.
A continuidade absoluta de µ em relação a λ pode ser expressa de diversas
formas equivalentes, e analisaremos algumas delas nos exercícios. Observamos
desde já que
Teorema 4.3.3. Se µ e λ são medidas em M, então:
µ ≪ λ ⇔ |µ| ≪ |λ| ⇔ Para qualquer E ∈ M, |λ|(E) = 0 ⇒ |µ|(E) = 0.
O resultado seguinte generaliza o exercício 10 da secção 3.3 a qualquer
medida complexa.

4.3. Medidas Absolutamente Contínuas 235
Teorema 4.3.4. Se µ e λ são medidas em M e µ é de variação limitada,
então µ ≪ λ se e só se
(1) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀E∈M |λ|(E) < δ =⇒ |µ(E)| < ε.
Demonstração. Supomos primeiro que a condição (1) é falsa, i.e.,
∃ε>0 ∀δ>0 ∃E∈M tal que |λ|(E) < δ e |µ(E)| ≥ ε.
Passamos a provar que µ não é absolutamente contínua em relação a λ.
Para isso, notamos que existem conjuntos En tais que
|λ|(En) < 1
2 n e |µ(En)| ≥ ε, donde |µ|(En) ≥ ε.
Consideramos os conjuntos
Fn =
∞
Ek e F =
k=n
∞
Fn onde Fn ց F.
n=1
Recordamos do lema de Borel-Cantelli que
∞
|λ|(En) < ∞ =⇒ |λ|(F) = 0, ou seja, F é λ-nulo.
n=1
Por outro lado, como Fn ց F e, por hipótese, |µ| é uma medida finita,
temos que |µ|(Fn) → |µ|(F)|. É claro que En ⊆ Fn, e por isso
|µ|(Fn) ≥ |µ|(En) ≥ |µ(En)| ≥ ε =⇒ |µ|(F)| ≥ ε > 0.
É portanto evidente que F é λ-nulo mas não é µ-nulo, ou seja, µ não é absolutamente
contínua em relação a λ. Deixamos a conclusão desta demonstração,
que envolve verificar que (1) ⇒ µ ≪ λ, para o exercício 4.
Exercícios.
1. Sendo µ e λ medidas definidas em M, quais destas afirmações são equivalentes
a µ ≪ λ?
a) Para qualquer E ∈ M, λ(E) = 0 ⇒ µ(E) = 0.
b) Para qualquer E ∈ M, |λ| (E) = 0 ⇒ µ(E) = 0.
c) Para qualquer E ∈ M, |λ| (E) = 0 ⇒ |µ| (E) = 0.
d) Para qualquer P ∈ M, se λ está concentrada em P então µ está concentrada
em P.
2. Considere as medidas dadas em M = P(R) por µ1(E) = δ(E), µ2(E) =
#(E ∩ Z) e µ3(E) = #(E ∩ Q). Mostre que µ1 ≪ µ2 ≪ µ3.

236 Capítulo 4. Outras Medidas
3. Sejam µ e λ medidas definidas em M. Dizemos que (µa, µs) é a decomposição
de lebesgue de µ em ordem a λ se e só se µa e µs são medidas definidas em
M tais que
µ = µa + µs, com µa ≪ λ e µs⊥λ.
Prove que esta decomposição, a existir, é única( 9 ). Conclua em particular que
µ ≪ λ e µ⊥λ =⇒ µ = 0.
4. Sejam µ e λ medidas definidas em M, onde µ é de variação limitada.
a) Prove que se µ e λ satisfazem a condição (1) referida no teorema 4.3.4
então µ ≪ λ, o que conclui a demonstração do referido teorema.
b) Prove que se µ é absolutamente contínua em relação a λ e |λ|(En) → 0
então µ(En) → 0.
c) Verifique que a afirmação b) é falsa se µ não é de variação limitada.
5. Sendo µ o integral indefinido da função somável (ou não-negativa) f : R N →
R, mostre que mN ≪ µ se e só se f(x) = 0 qtp.
6. Seja V o espaço vectorial normado das medidas complexas definidas em
(X, M) referido no exercício 4 da secção anterior. Dado λ ∈ V, mostre que
U = {µ ∈ V : µ ≪ λ} é um subespaço de Banach de V.
4.4 Medidas Regulares
Passamos a dizer que µ é uma medida de Lebesgue-Stieltjes se e só se µ
está definida numa σ-álgebra M ⊇ B(R N ). Recorde-se que se M = B(R N )
dizemos também que µ é uma medida de Borel( 10 ). A noção de regularidade
(exterior) foi definida em 2.3.13 para medidas de Lebesgue-Stieltjes
positivas, onde indicámos exemplos destas medidas, regulares ou não.
Exemplos 4.4.1.
1. Se f ≥ 0 é localmente somável, o respectivo integral indefinido é uma medida
de Lebesgue-Stieltjes σ-finita e regular.
2. Se f(x) = x −2 em R, e µ é o integral indefinido de f, então µ é σ-finita, mas
não é regular em B(R), porque
µ({0}) = 0 = inf{µ(U) : 0 ∈ U ⊆ R, U aberto } = ∞.
3. Conforme já observámos, o cardinal em R N é uma medida de Lebesgue-
Stieltjes que não é regular nos conjuntos finitos não-vazios.
9
A existência deste tipo de decomposições será estabelecida, mais adiante, no Teorema
de Radon-Nikodym-Lebesgue.
10
É também comum dizer que a restrição da medida de Lebesgue à σ-álgebra de Borel
é A medida de Borel.

4.4. Medidas Regulares 237
Para estudar a possível regularidade de uma medida de Borel µ ≥ 0, é
conveniente introduzir a função µ ∗ : P(R N ) → [0, ∞] dada por
µ ∗ (E) = inf {µ(U) : E ⊆ U,U aberto } ,
que é uma medida exterior, como vimos no exemplo 2.5.5.5.
É claro que µ
é regular em N ⊆ M se e só se µ(E) = µ ∗ (E) para qualquer E ∈ N, mas
exibimos já múltiplos exemplos em que µ = µ ∗ . Deixamos para o exercício
1 a demonstração das seguintes relações entre µ e µ ∗ :
Lema 4.4.2. Se µ é uma medida de Lebesgue-Stieltjes positiva definida na
σ-álgebra M então
a) µ(E) ≤ µ ∗ (E) para qualquer E ∈ M.
b) µ(U) = µ ∗ (U), para qualquer aberto U ⊆ R N .
A teoria desenvolvida no Capítulo II mostra que µ ∗ determina a σ-álgebra
dos conjuntos µ ∗ -mensuráveis, que designaremos Lµ(R N ), e sabemos que
E ⊆ R N é µ ∗ -mensurável se e só se
µ ∗ (F) = µ ∗ (F ∩ E) + µ ∗ (F \E), para qualquer F ⊆ R N .
A restrição de µ ∗ a Lµ(R N ) é, como sabemos, uma medida, que neste caso
é evidentemente regular, e que designaremos por µr. Temos naturalmente
que, em geral, M = Lµ(R N ) e µ = µr.
Muitos dos argumentos que utilizámos no Capítulo II no estudo da medida
de Lebesgue são facilmente adaptados a este contexto mais abstracto.
Por exemplo, na demonstração de a) na proposição seguinte basicamente
repetimos ideias utilizadas na proposição 2.2.10.
Lema 4.4.3. Se µ é uma medida de Lebesgue-Stieltjes positiva então:
a) E ∈ Lµ(R N ) se e só se
(1) µ(U) = µ ∗ (U ∩ E) + µ ∗ (U\E), para qualquer aberto U ⊆ R N .
b) B(R N ) ⊆ Lµ(R N ), ou seja, µr é uma medida de Lebesgue-Stieltjes.
Demonstração. a) Qualquer conjunto µ ∗ -mensurável satisfaz a condição (1),
tendo em conta a definição de Lµ(R N ) e 4.4.2 b). Suponha-se portanto que
E satisfaz a condição referida e F ⊆ R N . Dado qualquer aberto U tal que
F ⊆ U ⊆ R N , é claro que:
µ ∗ (F ∩ E) + µ ∗ (F \E) ≤ µ ∗ (U ∩ E) + µ ∗ (U\E) = µ(U).
Segue-se que µ ∗ (F ∩ E) + µ ∗ (F \E) ≤ µ ∗ (F) e portanto E é µ ∗ -mensurável.

238 Capítulo 4. Outras Medidas
b) Para provar que B(R N ) ⊆ Lµ(R N ), é suficiente estabelecer que qualquer
aberto V ⊆ R N é µ ∗ -mensurável. De acordo com a) e com 4.4.2 b),
basta-nos verificar que, se U e V são abertos, donde U ∩V é também aberto,
temos:
(2) µ(U) ≥ µ ∗ (U ∩ V ) + µ ∗ (U\V ) = µ(U ∩ V ) + µ ∗ (U\V ).
Recordamos de 1.6.18 que existem conjuntos compactos Kn ր V , e observamos
que
U\Kn é aberto e U\Kn ⊇ U\V =⇒ µ(U\Kn) ≥ µ ∗ (U\V )
Como µ é uma medida, temos
µ(U) = µ(U ∩ Kn) + µ(U\Kn) ≥ µ(U ∩ Kn) + µ ∗ (U\V ).
É claro que µ(U ∩ Kn) ր µ(U ∩ V ), donde obtemos (2).
Exactamente como concluímos no Capítulo II que a medida de Lebesgue
é a maior solução regular do Problema de Borel, podemos estabelecer que
Corolário 4.4.4. Se µ está definida e é regular na σ-álgebra A então A ⊆
Lµ(R N ) e µ é uma restrição de µr.
Demonstração. Se E ∈ A e U é aberto, e dado que µ = µ ∗ em A, temos
µ(U) = µ(U ∩ E) + µ(U\E), i.e., µ(U) = µ ∗ (U ∩ E) + µ ∗ (U\E),
ou seja, E ∈ Lµ(R N ).
O próximo lema identifica conjuntos E ∈ M∩L(R N ) para os quais temos
µ(E) = µr(E) = µ ∗ (E), ou seja, conjuntos onde a medida µ é necessariamente
regular.
Lema 4.4.5. Seja µ uma medida de Lebesgue-Stieltjes positiva. Se µ ∗ (E) <
+∞ e E ∈ M ∩ Lµ(R N ) então µ(E) = µr(E) = µ ∗ (E).
Demonstração. Existem conjuntos abertos Un ⊆ R N tais que
E ⊆ Un e µ(Un) = µr(Un) → µ ∗ (E) = µr(E).
Podemos supor sem perda de generalidade que
µ(Un) = µr(Un) < +∞ e Un ց B =
∞
Un, onde é óbvio que B ⊇ E.
Aplicamos o teorema da convergência monótona de Lebesgue às medidas µ
e µr para concluir que
n=1

4.4. Medidas Regulares 239
• Como Un ց B, temos µ(Un) → µ(B) e µr(Un) → µr(B). Como
µ(Un) → µr(E) e µ(Un) = µr(Un), segue-se que
µr(E) = µ(B) = µr(B) < +∞ e µr(B\E) = 0 = µ ∗ (B\E).
• Como 0 ≤ µ(B\E) ≤ µ ∗ (B\E) = 0, é claro que µ(B\E) = 0 e portanto
µ(E) = µ(B) = µr(E).
É evidente do lema anterior que se µ é uma medida de Borel positiva
finita, por exemplo se µ é uma medida de probabilidade, então µ é regular.
Veremos imediatamente a seguir que o mesmo resultado é válido se µ é finita
em conjuntos compactos( 11 ), caso em que µ se diz localmente finita.
Exemplos 4.4.6.
1. A medida de Lebesgue é localmente finita.
2. O integral indefinido de uma função localmente somável e não negativa é
uma medida positiva localmente finita.
3. O pente de Dirac em R dado por π(E) = #(E ∩ Z) é uma medida positiva
localmente finita.
4. O integral indefinido de f(x) = x −2 é uma medida σ-finita que não é localmente
finita e não é regular em B(R).
Teorema 4.4.7. Qualquer medida de Lebesgue-Stieltjes positiva, localmente
finita e definida em M é regular em M ∩ Lµ(R N ) ⊇ B(R N ). Em particular,
qualquer medida de Borel positiva e localmente finita é regular.
Demonstração. Seja E ∈ M ∩ Lµ(RN ) e Bn a bola aberta de raio n e centro
na origem. É claro que
E ∩ Bn ∈ M ∩ Lµ(R N ) e µ ∗ (E ∩ Bn) ≤ µ(Bn+1) ≤ µ(Bn+1) < +∞.
Segue-se do lema 4.4.5 que µ(E ∩ Bn) = µr(E ∩ Bn). Como E ∩ Bn ր
E, concluímos que µ(E) = µr(E) quando E ∈ M ∩ Lµ(R N ). Por outras
palavras, µ é regular em M ∩ Lµ(R N ) ⊇ B(R N ).
A questão da aproximação de conjuntos mensuráveis por conjuntos abertos
é, como sabemos, muito relevante no estudo da medida de Lebesgue, e
é natural procurar resultados análogos para outras medidas de Lebesgue-
Stieltjes. A próxima proposição deve ser comparada com o teorema 2.2.16.
11 No contexto de R N , os conjuntos compactos podem ser substituídos nesta definição
por conjuntos elementares, ou limitados. A referência a compactos reflecte a adaptação
da definição a outros espaços topológicos.

240 Capítulo 4. Outras Medidas
Proposição 4.4.8. Se µ é uma medida de Lebesgue-Stieltjes positiva, σfinita
e regular em M, então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) E ∈ Lµ(R N ),
b) Para qualquer ε > 0 existe um aberto U ⊇ E tal que µ ∗ (U\E) < ε,
c) E = B\N, onde B é de tipo Gδ e µ ∗ (N) = 0.
Demonstração. Como µ é σ-finita, existem conjuntos Xn ∈ M tais que
Xn ր R N e µ(Xn) < +∞. Como µ é regular, existem abertos Vn ⊇ Xn tais
que µ(Vn) < +∞ e Vn ր R N .
a) ⇒ b): Dado ε > 0, existem abertos Un ⊇ E ∩ Vn tais que
µ(Un) < µ ∗ (E ∩ Vn) + ε
2 n, já que µ∗ (E ∩ Vn) ≤ µ(Vn) < +∞.
Como µ(Un) = µ ∗ (Un) e Un,E ∩ Vn ∈ Lµ(R N ), concluímos que
µ ∗ (Un\(E ∩ Vn)) = µ(Un) − µ ∗ (E ∩ Vn) < ε
.
2n Se U = ∞
n=1 Un então E ⊆ U, U é aberto e
µ ∗ (U\E) ≤
∞
µ ∗ (Un\E ∩ Vn) < ε
n=1
b) ⇒ c): Existem abertos Un tais que E ⊆ Un e µ ∗ (Un\E) < 1
n
B = ∞
n=1 Un e notamos que
E ⊆ B, B é de tipo Gδ e µ ∗ (B\E) = 0.
. Tomamos
c) ⇒ a): Se E = B\N onde B ∈ B(R N ) ⊆ Lµ(R N ) e µ ∗ (N) = 0, então
N,E ∈ Lµ(R N ).
Podemos adaptar o teorema 2.3.18 a este contexto mais geral:
Corolário 4.4.9. Se µ é uma medida de Borel positiva, σ-finita e regular
(e.g., se µ é localmente finita) então µr é a maior extensão regular de µ, a
menor extensão completa de µ, e a única extensão completa e regular de
µ.
Demonstração. Vimos em 4.4.3 c) que µr é a maior extensão regular de µ.
Por outro lado, é fácil concluir de 4.4.8 c) que qualquer extensão completa
de µ está definida pelo menos em Lµ(R N ), e coincide com µ nessa classe de
conjuntos.

4.4. Medidas Regulares 241
É por vezes útil aplicar estas ideias na seguinte forma:
Corolário 4.4.10. Sejam µ e λ medidas de Lebesgue-Stieltjes positivas e
localmente finitas, definidas respectivamente em M e N. Se µ e λ coincidem
nos conjuntos abertos, então coincidem igualmente em qualquer conjunto
E ∈ M ∩ N ∩ Lµ(R N ).
Exemplo 4.4.11.
Sejam f e g funções não-negativas, e localmente somáveis em R. Suponhase
que b
a fdm = b
gdm, para quaisquer a, b ∈ R. Designando por φ e γ
a
respectivamente os integrais indefinidos de f e de g na σ-álgebra L(R), é claro
que φ(U) = γ(U), para qualquer aberto U, e tanto φ como γ são localmente
finitas. De acordo com o resultado anterior, φ e γ coincidem na σ-álgebra
L(R), i.e.,
E fdm = E gdm, para qualquer E ∈ L(R). Temos por isso que
f ≃ g.
O próximo resultado é uma generalização de 2.3.9 e 2.3.10.
Teorema 4.4.12. Se µ é uma medida de Lebesgue-Stieltjes positiva, σ-finita
e regular em M então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) E ∈ Lµ(R N ).
b) Para qualquer ε > 0 existem F (fechado), e U (aberto), tais que F ⊆
E ⊆ U, e µ(U\F) < ε.( 12 )
c) Existem A,B ∈ B(R N ) tais que A ⊆ E ⊆ B e µ(B\A) = 0.
Demonstração.
É uma adaptação directa das ideias em 2.3.9 e 2.3.10:
a) ⇒ b): De acordo com a proposição 4.4.8, existem abertos U ⊇ E e
V ⊇ E c tais que
µ ∗ (U\E) < ε
2 e µ∗ (V \E c ) < ε
2 .
Tomamos F = V c , e notamos que F ⊆ E ⊆ U e µ(U\F) < ε.
b) ⇒ c): Existem conjuntos fechados Fn e abertos Un tais que
Fn ⊆ E ⊆ Un e µ(Un\Fn) < 1
n .
Tomamos A = ∞
n=1 Fn e B = ∞
n=1 Un, donde
A,B ∈ B(R N ),A ⊆ E ⊆ B, e µ(B\A) = 0.
12 A regularidade interior de µ é a condição µ(E) = sup{µ(K) : K ⊆ E, K compacto }.
Como R N é σ-compacto, este resultado mostra que em R N a regularidade exterior implica
a regularidade interior para medidas σ-finitas.

242 Capítulo 4. Outras Medidas
c) ⇒ a): Temos E = B\N, onde N ⊆ B\A, e recordamos a proposição
4.4.8.
Tal como no caso da medida de Lebesgue, podemos complementar este
teorema 4.4.12 com as seguintes observações:
Teorema 4.4.13. Se µ é uma medida de Lebesgue-Stieltjes positiva, σ-finita
e regular, e µ ∗ (E) < +∞, então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) E ∈ Lµ(R N ).
b) Para qualquer ε > 0, existem K (compacto) e U (aberto) tais que
K ⊆ E ⊆ U e µ(U\K) < ε.
c) Para qualquer ε > 0, existe J ∈ E(R N ) tal que µ ∗ (E∆J) < ε.
É útil adaptar as ideias expostas nesta secção a medidas de Lebesgue-
Stieltjes reais ou complexas. A regularidade destas medidas pode ser definida
como se segue:
Definição 4.4.14. Seja µ uma medida de Lebesgue-Stieltjes, definida pelo
menos em A. Dizemos que µ é regular em A se e só se |µ| é regular em
A, no sentido da definição 2.3.13.
Como as medidas complexas são limitadas, é muito fácil verificar as
seguintes observações, que deixamos como exercício:
Lema 4.4.15. Seja µ uma medida de Lebesgue-Stieltjes complexa, definida
pelo menos em A. Então µ é regular em A se e só se, para qualquer E ∈ A,
existem conjuntos abertos Un ⊇ E tais que |µ|(Un\E) → 0. Em particular,
a) Se µ é real, então µ é regular se e só se µ + e µ − são regulares, e
b) Se µ = α + iβ é complexa, onde α e β são medidas reais, então µ é
regular se e só se α e β são regulares.
De acordo com 4.4.9, quando µ é uma medida de Borel complexa então |µ|
tem uma única extensão regular e completa, que está definida na σ-álgebra
L |µ|(R N ). Para simplificar a notação, escrevemos:
Lµ(R N ) = L |µ|(R N ) =
E ⊆ R N
: ∃A,B∈B(RN ) A ⊆ E ⊆ B, |µ|(B\A) = 0 .
O próximo lema relaciona as extensões regulares de uma medida real µ
com as extensões regulares da sua variação total |µ|.

4.4. Medidas Regulares 243
Lema 4.4.16. Seja µ uma medida de Borel real e ρ uma extensão regular
de µ. Então |ρ|, ρ + e ρ − são extensões regulares, respectivamente, de |µ|,
µ + e µ − .
Demonstração. Designamos por A o domínio de definição de ρ, e por λ a
restrição de |ρ| a B(RN ). É claro que |ρ| é uma extensão finita e regular de
λ, e segue-se de 4.4.10 que A ⊆ Lλ(RN ), onde
Lλ(R N
) = E ⊆ R N
: ∃A,B∈B(RN )A ⊆ E ⊆ B,λ(B\A) = 0 .
A medida ρ tem uma decomposição de Hahn na σ-álgebra A ⊆ Lλ(R N ).
Por outras palavras, as medidas ρ + e ρ − estão concentradas em conjuntos
disjuntos P,N ∈ Lλ(R N ). Existem, por isso, conjuntos A + , B + , A − , B − ∈
B(R N ) tais que
A + ⊆ P ⊆ B + ,A − ⊆ N ⊆ B − , e λ(B + \A + ) = λ(B − \A − ) = 0.
Sendo (ρ + ,ρ − ) a decomposição de Jordan de ρ, concluímos que ρ + e ρ −
estão concentradas, respectivamente, em A + e A − , que são disjuntos e Borelmensuráveis.
Como µ = ρ = ρ + − ρ − em B(R N ), as restrições de ρ + e ρ −
a B(R N ) formam a única decomposição de Jordan de µ em B(R N ), i.e.,
coincidem com µ + e µ − em B(R N ). Portanto ρ + , ρ − e |ρ| são extensões de
µ + , µ − e |µ|. A regularidade de ρ + e ρ − resulta do lema 4.4.15.
O próximo teorema adapta para medidas complexas em B(R N ) ideias
já referidas para medidas positivas. Mais uma vez, estas medidas são unicamente
determinadas em B(R N ) pelos seus valores nos conjuntos abertos,
mas notem-se a este respeito as observações feitas no exercício 4.
Teorema 4.4.17. Se µ é uma medida complexa de Borel então:
a) µ é regular em B(R N ).
b) µ tem uma única extensão completa e regular µr, definida em Lµ(R N ).
As extensões não regulares de medidas complexas podem ter propriedades
surpreendentes, e indicamos um exemplo interessante no exercício 11. Esse
exercício mostra em particular que λ pode ser extensão de uma medida
complexa µ sem que |λ| seja extensão de |µ|.
Como já referimos, a noção de regularidade é aplicável a medidas definidas
em qualquer espaço topológico. Os teoremas demonstrados nesta secção
foram-no sempre no contexto de R N , mas não é difícil generalizá-los. Na
verdade, só invocámos propriedades específicas de R N nas demonstrações de
• 4.4.3, quando referimos que os abertos (em particular R N ) são σcompactos
(Teorema de Cantor 1.6.18), e

244 Capítulo 4. Outras Medidas
• 4.4.7, porque utilizámos a compacidade de Bn.
É na verdade fácil mostrar que os teoremas desta secção são aplicáveis pelo
menos em qualquer espaço topológico localmente compacto onde os abertos
sejam σ-compactos.
Recorde ainda que a noção de suporte de uma medida de Lebesgue-
Stieltjes foi referida a propósito do teorema 4.1.7. O exercício 9 adapta esta
noção a medidas regulares definidas em espaços topológicos mais gerais.
Exercícios.
1. Seja µ ≥ 0 uma medida de Lebesgue-Stieltjes em R N , e µ ∗ : P(R N ) → [0, ∞]
dada por µ ∗ (E) = inf {µ(U) : E ⊆ U, U aberto }. Prove as afirmações a), b) e
c) da proposição 4.4.2.
2. Suponha que µ é regular, mas não é σ-finita, e mostre que µr não é necessariamente
a menor extensão completa de µ.
3. Mostre que existem medidas σ-finitas distintas em B(R), que coincidem nos
conjuntos abertos.
4. Suponha que µ e λ são medidas de Borel, e considere as afirmações:
a) µ(U) = λ(U), para qualquer aberto U.
b) µ(U) = λ(U), para qualquer rectângulo compacto U.
c) µ(U) = λ(U), para qualquer rectângulo aberto limitado U.
Mostre que se µ e λ são medidas complexas então todas as afirmações acima
são equivalentes. E se µ e λ são medidas positivas? A resposta depende de µ
e λ serem σ-finitas?
5. Demonstre o corolário 4.4.10.
6. Seja f ≥ 0 uma função Riemann-integrável em qualquer rectângulo limitado
de R N , e λ : J (R N ) → R o seu integral indefinido de Riemann. Mostre que o
integral indefinido de Lebesgue em Lf é a única extensão regular e completa
de λ.
7. Demonstre o teorema 4.4.13.
8. Demonstre o lema 4.4.15.
9. Suponha que µ é uma medida positiva num qualquer espaço topológico X,
definida numa σ-álgebra M ⊇ B(X). Seja U a união de todos os abertos
µ-nulos, e F = U c . Mostre que se µ é regular, no sentido em que
µ(E) = sup{µ(K) : K ⊆ E, K compacto } para qualquer E ∈ B(X),
então F é o menor conjunto fechado onde µ está concentrada. É este conjunto
que se diz neste caso o suporte de µ.

4.5. Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R 245
10. Recorde o teorema 2.3.17, sobre a menor extensão completa de um dado
espaço de medida. Mostre que quando µ é uma medida de Borel regular e
σ-finita temos, usando a notação de 2.3.17,
Bµ(R N ) = Lµ(R N ) e µ = µr.
11. Recorde o teorema 2.4.18 e o exercício 5 da mesma secção. Na notação do
exercício referido, considere a medida real µ(U) = ρ(U ∩A)−ρ(U ∩B). Mostre
que µ é uma extensão não regular da medida de Borel nula. Porque razão este
exemplo não contradiz o teorema 4.4.17?
4.5 Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R
As medidas de Lebesgue-Stieltjes localmente finitas são fáceis de descrever
em termos das respectivas funções de distribuição. No caso mais simples,
que é o de uma medida µ finita em R, consideramos a função dada por
f(x) = µ(] − ∞,x]), e observamos que
(4.5.1) µ(]a,b]) = f(b) − f(a), para quaisquer a ≤ b ∈ R.
Dizemos que f é função de distribuição da medida µ se e só se satisfaz
4.5.1, e é fácil verificar que
• Se µ é localmente finita em R, existe uma função f : R → R que
satisfaz 4.5.1.
• As funções de distribuição de µ são da forma g(x) = f(x) + C, onde
C ∈ R é arbitrário.
• A função f determina a medida µ unicamente em B(R). Dizemos que
µ é a medida de Lebesgue-Stieltjes determinada por f, ou a derivada
generalizada de f( 13 ).
A expressão “derivada generalizada”, análoga à de “função generalizada”,
tem origem na Teoria das Distribuições. Repare-se que se a função f é
diferenciável qtp e satisfaz a regra de Barrow, então
b
µ(]a,b]) = f(b) − f(a) = f ′ dm, para quaisquer a ≤ b ∈ R.
a
Neste caso, é claro que a medida µ é o integral indefinido da derivada usual
de f( 14 ). Mais uma vez identificando a função f ′ com o respectivo integral
indefinido, podemos dizer que a derivada de f no sentido usual coincide
13 Diz-se também “derivada no sentido das distribuições”.
14 Como µ e o integral indefinido de f ′ coincidem nos intervalos, coincidem igualmente
em B(R N ), e em qualquer σ-álgebra onde ambas sejam regulares.

246 Capítulo 4. Outras Medidas
com a derivada generalizada de f se e só se a função f satisfaz a regra de
Barrow. Dito doutra forma, o objectivo do 2o Teorema Fundamental do
Cálculo pode resumir-se como se segue:
Esclarecer as condições em que µ(E) = f ′ dm.
Exemplos 4.5.1.
1. A função f(x) = x é função de distribuição da medida de Lebesgue em R,
i.e., a medida m é a derivada generalizada de f. Note-se que m é o integral
indefinido da derivada usual de f, e é absolutamente contínua.
2. Se µ é o integral indefinido de g(x) = ex2, que é localmente somável em R,
podemos tomar para f, por exemplo, a função dada por
x
b
f(x) = gdm, donde f(b) − f(a) = gdm.
0
µ é o integral indefinido de g, que é a derivada usual de f, e é mais uma vez
absolutamente contínua.
3. A função de Heaviside é função de distribuição da medida de Dirac δ, i.e., δ é
a derivada generalizada da função de Heaviside. A medida de Dirac não é um
integral indefinido, porque a função de Heaviside não é contínua. A derivada
usual da função de Heaviside é nula qtp, e δ é uma medida singular.
Como dissemos, é fácil mostrar que se µ é uma medida localmente finita
em R então existem funções f que satisfazem a identidade 4.5.1. No entanto,
se encararmos esta identidade como um problema em que f é um dado e µ
é a incógnita, já não é tão simples caracterizar as funções f para as quais o
problema tem solução. Enunciamos este problema, para posterior referência,
como o
4.5.2 (Problema de Stieltjes). Dada uma função f : R → R, determinar uma
σ-álgebra Sf contendo os intervalos do tipo ]a,b] e uma medida µ definida
em Sf tal que µ e f satisfazem 4.5.1.
A resolução do problema de Stieltjes pode ser muito útil, em particular
no contexto da Teoria das Probabilidades. Recorde-se que se X é uma
variável aleatória real, então a sua função distribuição de probabilidade é
a função f : R → R, tal que f(x) é a probabilidade do acontecimento
{X ∈ R : X ≤ x}. A figura 4.5.1 exibe o exemplo clássico do dado ideal,
onde a função f é uma função em escada. A probabilidade do acontecimento
{X ∈ R : a < X ≤ b} é dada por f(b) − f(a), mas a teoria deve esclarecer:
• Quais são os subconjuntos de R aos quais podemos associar uma probabilidade,
i.e., quais são os acontecimentos, e
a
E

4.5. Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R 247
1
1 2 3 4 5 6
Figura 4.5.1: Distribuição de probabilidade do dado ideal.
• Como calcular a probabilidade do acontecimento A, quando A não é
um intervalo do tipo ]a,b].
Qualquer medida µ que coincida com a probabilidade nos intervalos
]a,b] é solução de um problema de Stieltjes, e pode ser usada para resolver
questões da Teoria das Probabilidades com técnicas e resultados da Teoria
da Medida.
m(f(E))
m(E)
y = f(x)
Figura 4.5.2: µ(E) = m(f(E)), quando f é contínua e crescente.
Começamos por mostrar que o problema de Stieltjes tem sempre solução
quando f é crescente e contínua, revisitando e expandindo ideias que introduzimos
a propósito do exemplo 2.4.13 (ver figura 4.5.2). Este resultado
é interessante, em especial porque revela, como veremos, a existência algo
inesperada de medidas que não são integrais indefinidos, e também não são
“pentes de Dirac”. Dada uma qualquer função f : R → R, consideramos a

248 Capítulo 4. Outras Medidas
classe dos conjuntos cuja imagem é mensurável, i.e.,
Sf = {E ⊆ R : f(E) ∈ L(R)} .
Podemos definir µf : Sf → [0, ∞] por µf(E) = m(f(E)), e notamos que se
f é contínua e crescente e E =]a,b] é um intervalo de extremos a ≤ b então
• f(E) é um intervalo de extremos f(a) e f(b), pelo que E ∈ Sf, e
• µf(E) = m(f(E)) = f(b) − f(a).
Por outras palavras, a função µf satisfaz a identidade 4.5.1, e é solução do
problema de Stieltjes para a função f se e só se (R, Sf,µf) é um espaço de
medida, o que passamos a verificar no próximo teorema.
Teorema 4.5.3. Se f : R → R é contínua e crescente então:
a) Sf é uma σ-álgebra e B(R) ⊆ Sf.
b) µf é uma medida positiva.
c) m ∗ (f(E)) = inf {µf(U) : E ⊆ U,U aberto } para qualquer E ⊆ R.
d) (R, Sf,µf) é a única solução completa e regular do problema 4.5.2.
Demonstração. a) é uma consequência directa do lema 2.4.11. Para provar
b), notamos como óbvio que µf(∅) = 0 e µf é monótona. A função µf é
também σ-subaditiva, porque
∞
∞
∞
µfF = m(f ) = m f(En) ≤
n=1
En
≤
n=1
En
∞
m(f(En)) =
n=1
Recordamos da demonstração de 2.4.11 que
n=1
∞
µf(En)
• Se f é crescente, então o conjunto N, formado pelos y ∈ R para os quais
a equação f(x) = y tem múltiplas soluções, é numerável e portanto
nulo.
Se A e B são disjuntos, então F(A) ∩F(B) está contido em N, e é portanto
nulo. Supondo que A,B ∈ Sf, temos então
n=1
µf(A ∪ B) = m(f(A ∪ B)) = m(f(A) ∪ f(B)) =
= m(f(A)) + m(f(B)) − m(f(A) ∩ f(B)) = µf(A) + µf(B).
Dito doutra forma, µf é aditiva, além de monótona e σ-subaditiva, e é por
isso σ-aditiva (a) do exercício 3).

4.5. Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R 249
Para verificar c), seja E ⊆ R e considerem-se conjuntos abertos Vn tais
que
Vn ⊇ F(E) e m(Vn) → m ∗ (f(E)).
Os conjuntos Un = f −1 (Vn) ⊇ E são abertos (porquê?) e f(E) ⊆ f(Un) ⊆
Vn. Concluímos que
m ∗ (f(E)) ≤ m(f(Un)) = µf(Un) ≤ m(Vn) → m ∗ (f(E)),
donde µf(Un) → m ∗ (f(E)).
É claro em qualquer caso que
m ∗ (f(E)) ≤ inf {µf(U) : E ⊆ U,U aberto } ,
pelo que a igualdade em c) está estabelecida. Finalmente, se E ∈ Sf é
também imediato que
µf(E) = m(f(E)) = m ∗ (f(E)) = inf {µf(U) : E ⊆ U,U aberto } .
A verificação de d) é a b) do exercício 3.
Exemplo 4.5.4.
Considere-se a função
⎧
1
1
⎨ π arcsen(x) + 2 , para − 1 ≤ x ≤ +1,
f(x) = 0, para x < −1, e
⎩
1, para x > 1.
f é uma função contínua e crescente, e a respectiva medida de Lebesgue-
Stieltjes µf é uma medida de probabilidade. Na verdade, sabendo que um
“oscilador harmónico linear” qualquer( 15 ), por exemplo, um pêndulo simples,
se desloca em unidades normalizadas de acordo com x = sen(t), podemos
concluir que µf(E) é a probabilidade do acontecimento “x ∈ E”, quando o
oscilador é observado num instante de tempo t escolhido ao acaso.
A “escada do Diabo” é uma função contínua e crescente na recta real, à
qual podemos naturalmente aplicar o teorema 4.5.3.
Exemplo 4.5.5.
a medida de cantor, designada aqui ξ, é a medida de Lebesgue-Stieltjes
determinada pela “escada do Diabo”, e é uma medida de probabilidade.
A seguinte propriedade de ξ é particularmente relevante no que se segue:
Proposição 4.5.6. ξ é uma medida singular, porque tem suporte no conjunto
de Cantor C.
15 “Clássico”, por oposição a “quântico”. No caso quântico, a determinação da função
f requer a solução prévia da equação de Schrödinger apropriada.

250 Capítulo 4. Outras Medidas
Demonstração.
É claro que ξ(R) = ξ(]0,1]) = f(1) − f(0) = 1, e portanto
ξ está concentrada em I = [0,1]. Por outro lado, sendo U = I\C, sabemos
que U = ∪ ∞ n=1 ]an,bn[ é um conjunto aberto, e a “escada do Diabo” f é
constante em cada um dos intervalos [an,bn]. Notamos como evidente que
0 = f(bn) − f(an) = ξ(]an,bn]) ≥ ξ(]an,bn[) ≥ 0. Segue-se assim que:
ξ(U) =
∞
ξ(]an,bn[) = 0, e ξ(C) = ξ(C) + ξ(U) = ξ(C ∪ U) = ξ(I) = 1
n=1
Concluímos que ξ está concentrada em C, e é por isso singular.
Registe-se deste exemplo que a derivada generalizada de uma função
contínua pode ser uma medida singular não-nula, que por esta razão não é
um integral indefinido.
O próximo lema indica condições necessárias para a existência de soluções
do problema de Stieltjes aplicáveis a qualquer função F.
Lema 4.5.7. Se o problema de Stieltjes para f tem solução µ, então:
a) A função f é contínua à direita em R,
b) O limite de f à esquerda de x é f(x) − µ({x}), e, em particular
c) f é contínua em x se e só se µ({x}) = 0.
Demonstração. Deixamos para o exercício 2 as afirmações b) e c). Para
provar a), supomos que In =]a,xn], onde os xn decrescem para a. Como
os conjuntos In ց ∅, e µ(In) = ∞, temos µ(In) = f(xn) − f(a) → 0, i.e.,
f(xn) → f(a).
Repare-se que se µ é um “pente de Dirac” e f é uma sua função de
distribuição, então existem pontos x1,x2, · · · , tais que µ({xn}) = 0, e f
não é contínua em qualquer um destes pontos. Em particular, a medida de
Cantor ξ, que como vimos não é um integral indefinido, também não é um
“pente de Dirac”, porque é a derivada generalizada de uma função contínua.
Mostraremos a seguir, ainda nesta secção, que na realidade todas as medidas
positivas localmente finitas em R são da forma µ = µc + µd, onde qualquer
uma destas medidas pode ser nula, e:
• µc, dita a parte contínua de µ, é a derivada generalizada de uma
função contínua crescente, que dizemos ser uma medida contínua, e
• µd, dita a parte discreta de µ, é uma série ou soma finita de medidas
de Dirac (um pente de Dirac), i.e., é uma medida discreta.
Exemplo 4.5.8.

4.5. Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R 251
Seja f(x) = x + int(x), onde int(x) é a usual “parte inteira” do real x. A
derivada generalizada de f é dada por:
µ(E) = m(E) +
δn(E),
onde δn é a medida de Dirac em x = n, com δn({n}) = 1. A medida ρ =
n∈Z δn é o pente de Dirac propriamente dito. A medida de Lebesgue é a
parte contínua de µ, e ρ é a sua parte discreta.
Estabeleceremos a existência da decomposição µ = µc+µd provando uma
correspondente decomposição para funções: qualquer função monótona f é
da forma f = g + s, onde g e s são monótonas, g é contínua, e s é o que
dizemos ser uma função discreta( 16 ), i.e., é uma soma, ou série, de funções
do tipo da função de Heaviside. Mais exactamente,
Definição 4.5.9 (Função Discreta). s : R → R é uma função discreta
se e só se existem sucessões de reais xn,an,yn,bn, tais que
⎧
∞
⎨ an, para x < xn,
s(x) = hn(x) para x ∈ R, onde hn(x) = yn, para x = xn,
⎩
n=1
bn, para x > xn.
As funções g e s dizem-se, respectivamente, a parte contínua e a
parte discreta, de f. Os pontos xn referidos em 4.5.9 são, como veremos,
os pontos de descontinuidade de f.
d1
f = g + s Parte contínua g Parte discreta s
x1
d2
x2
x1
x2
n∈Z
Figura 4.5.3: Parte contínua e parte discreta de F.
Qualquer função monótona f : R → R tem, por razões elementares,
limites laterais em qualquer ponto a ∈ R e limites em ±∞. Supondo por
exemplo que f é crescente e a ∈ R, temos na verdade
f(a + ) = lim
xցa f(x) = inf{f(x) : x > a} e analogamente
f(a − ) = lim
xրa f(x) = sup{f(x) : x < a}.
16 Estas funções dizem-se também de saltos, por vezes na forma latina “saltus”.
d1
x1
d2
x2

252 Capítulo 4. Outras Medidas
Temos igualmente, com S = sup{f(x) : x ∈ R} e I = inf{f(x) : x ∈ R}, que
f(+∞) = lim f(x) = S e f(−∞) = lim f(x) = I.
x→+∞ x→−∞
Caso f seja decrescente devemos apenas trocar as referências a sup e a inf
nas identidades acima. Note-se também que os limites em a ∈ R são finitos,
por razões óbvias, mas é claro que f(+∞) e/ou f(−∞) podem ser infinitos.
Sendo x ∈ R, escrevemos também
Provamos agora que:
∆f(x) = f(x + ) − f(x − ).
Proposição 4.5.10. Qualquer função monótona é contínua excepto num
conjunto numerável.
Demonstração. Supomos sem perda de generalidade que f : R → R é crescente.
Designamos por D o conjunto onde f é descontínua. Sendo x ∈ R,
definimos Ix =]f(x − ),f(x + )[, donde D = {x ∈ R : Ix = ∅}. Temos, então:
• Se x = y então Ix e Iy são disjuntos (supondo x < y, é óbvio que
F(x + ) ≤ F(y−)).
Para cada x ∈ D escolhemos um racional qx no intervalo Ix, definindo desta
forma uma função injectiva f : D → Q, dada por f(x) = qx. Concluímos
que D é numerável.
Teorema 4.5.11. Se F : R → R é monótona em R, existem funções
monótonas g,s : R → R, tais que g é contínua, s é discreta e F = g + s. As
funções g e s são únicas, a menos de uma constante aditiva.
Demonstração. Supomos F : R → R crescente em R, e contínua excepto
em D = {x1,x2, · · · ,xn, · · · }. Para simplificar o argumento, supomos F
limitada, e contínua à direita, em R. (Deixamos o caso geral para o exercício
6). Definimos bn = F(xn) − F(x− n ). Sendo D∩]x,y] = {xnk : k ∈ N}, é fácil
verificar que
(i)
∞
k=1
bnk
≤ F(y) − F(x), e
∞
n=1
bn ≤ lim F(y) − lim F(x) < ∞.
y→∞ x→−∞
Seja agora δxn a medida de Dirac no ponto xn, com δxn({xn}) = bn > 0. É
claro que ρ = ∞ n=1 δxn é também uma medida positiva, que é igualmente
finita, de acordo com (i). A função de distribuição s de ρ é dada por
s(x) = ρ(]−∞,x]) =
∞
δxn(]−∞,x]) =
n=1
∞
hn(x), com hn(x) = δxn(]−∞,x]).
n=1

4.5. Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R 253
Em particular, s é uma função discreta crescente. De acordo com 4.5.7 a) e
b), s é contínua à direita em R, e
(ii) s(xn) − s(x − n ) = ρ({xn}) = δxn({xn}) = bn = F(xn) − F(x − n ).
Definimos g(x) = F(x) − s(x), donde g é, igualmente, contínua à direita em
R. Concluímos de (ii) que
g(xn) − g(x − n ) = [F(xn) − F(x − n )] − [s(xn) − s(x − n )] = 0.
Concluímos que g é também contínua à esquerda em R, logo contínua em
R. Note-se ainda que g é crescente, porque, sendo D∩]x,y] = {xnk : k ∈ N},
segue-se de (i) que
s(y) − s(x) =
∞
k=1
bnk
≤ F(y) − F(x) =⇒ g(x) ≤ g(y).
Se g1 + s1 = g2 + s2, onde as funções gi são contínuas, e as funções si
discretas, então h = g1 − g2 = s2 − s1 é uma função contínua e discreta, e
portanto h é, evidentemente, constante.
O próximo corolário usa a decomposição em parte contínua e parte discreta
para mostrar que o problema de Stieltjes tem solução para F crescente
quando F é contínua à direita.
Corolário 4.5.12. Seja F : R → R crescente, e contínua à direita em R.
Suponha-se, ainda, que
• F é contínua excepto em D = {x1, · · · ,xn, · · · },
• δxn é a medida de Dirac com δxn ({xn}) = F(xn) − F(x − n ),
• F = g + s é a decomposição de F referida em 4.5.11,
• Sg = {E ⊆ R : g(E) ∈ L(R)}, e µF : Sg → [0, ∞] é dada por
∞
∞
µF(E) = m(g(E)) + δxn(E) = µg(E) + δxn(E).
n=1
Então (R, Sg,µF) é a única solução completa e regular do problema 4.5.2.
Demonstração. (R, Sg,µF) é uma solução do problema de Stieltjes 4.5.2,
porque é um espaço de medida, de acordo com 4.5.3, e
n=1
µF(]a,b]) = g(b) − g(a) + s(b) − s(a) = F(b) − F(a).
É muito simples verificar que (R, Sg,µF) é completo e regular.

254 Capítulo 4. Outras Medidas
Combinado com o lema 4.5.7, este resultado encerra a análise do problema
de Stieltjes quando F é crescente: é agora claro que neste caso o
problema de Stieltjes tem solução se e só se F é contínua à direita em R.
Veremos na próxima secção as condições em que o problema de Stieltjes tem
solução quando F não é crescente.
Exercícios.
1. Mostre que qualquer medida positiva em R localmente finita é derivada generalizada
de F : R → R. Mostre igualmente que:
a) Se as funções F e G têm a mesma derivada generalizada µ então G(x) =
F(x) + C, para qualquer x ∈ R.
b) Se F : R → R é crescente e tem uma derivada generalizada µ, então µ é
única em B(R), e regular em B(R).
2. Suponha que o problema 4.5.2 tem uma solução µ para a função F.
a) Prove que se an → b pela esquerda então F(an) → F(b)−µ({b}). Conclua
que F é contínua em b se e só se µ({b}) = 0. (Lema 4.5.7).
b) Suponha que µ é uma medida real, e prove que existem os limites
lim F(x), e lim
x→−∞ x→+∞ F(x).
c) Em que condições temos µ(]a, b[) = µ(]a, b]) = µ([a, b[) = µ([a, b])?
3. Conclua a demonstração de 4.5.3. sugestão:
a) Verifique que µF é σ-aditiva, adaptando o argumento usado em 2.2.14.
b) Mostre que (R, SF , µF) é completo.
4. Seja F : R → R a “escada do Diabo”, e ξ a respectiva medida de Lebesgue-
Stieltjes. Mostre que o conjunto de Cantor é o suporte de ξ.
5. Suponha que F : R → R é crescente e contínua. Mostre que L(R) ⊆ SF se e
só se F transforma conjuntos nulos em conjuntos nulos, i.e., se e só se
m(E) = 0 =⇒ m ∗ (F(E)) = 0.
6. Conclua a demonstração de 4.5.11. Em particular, prove a afirmação (i) da
demonstração referida, e mostre que o resultado é igualmente válido quando f
não é limitada nem contínua à direita.
7. Determine as partes contínua e discreta da função F definida abaixo, e da
respectiva medida de Lebesgue-Stieltjes.
⎧
⎨ 0, para x < 0,
F(x) = 2x + 1, para 0 ≤ x < 3, e
⎩
x2 , para x ≥ 3.
8. Determine uma função crescente, contínua à direita na recta real, e descontínua
nos racionais. Determine igualmente uma função contínua, diferenciável
em x se e só se x é irracional.

4.6. Funções de Variação Limitada 255
4.6 Funções de Variação Limitada
A análise do problema de Stieltjes quando F não é crescente é facilitada pela
introdução da classe das funções de variação limitada. Suponha-se para isso
que µ é uma medida real, e F uma sua função de distribuição. Sabemos
que µ tem variação total limitada, e este facto restringe de forma muito
significativa a função F, como passamos a mostrar.
Se I é um intervalo, qualquer conjunto finito P = {x0, · · · ,xn} ⊂ I, onde
supomos xk ր, determina uma partição finita de J =]x0,xn] em subintervalos
Ik =]xk−1,xk], com 1 ≤ k ≤ n. Como µ é de variação limitada, temos
n
|F(xk) − F(xk−1)| =
k=1
n
|µ(Ik)| ≤ |µ| (J) ≤ |µ|(R) < +∞.
k=1
Podemos assim concluir que
n
sup |F(xk) − F(xk−1)| : x0 < x1 < x2 < · · · < xn,xk ∈ R < +∞.
k=1
Definição 4.6.1 (Funções de Variação Limitada). Se F : S → R e I ⊆ S ⊆
R é um intervalo, a variação total de F em I, designada VF(I), é dada
por
n
VF(I) = sup |F(xk) − F(xk−1)| : x0 < x1 < x2 < · · · < xn,xk ∈ I .
k=1
F diz-se de variação limitada em I se e só se VF(I) < +∞. BV (I) é a
classe das funções F : I → R de variação limitada em I, e NBV (R) ( 17 ) é a
subclasse de BV (R) formada pelas funções que satisfazem ainda a condição
F(x) → 0 quando x → −∞.
Exemplos 4.6.2.
1. Se F : R → R é a função de Heaviside, então n
k=1 |F(xk) − F(xk−1)| é 1,
se x0 < 0 e xn ≥ 0, ou 0, caso contrário. Portanto, VF(R) = 1.
2. Se F(x) = x
a fdm, onde f é somável, então F é de variação limitada, porque
se P = {x0, · · · , xn} ⊂ I, então
n
|F(xk) − F(xk−1)| =
k=1
n
k=1
xk
|
xk−1
fdm| ≤
n
xk
|f|dm ≤ |f|dm.
3. A função f(x) = xsen(1/x) (com f(0) = 0) é contínua, e portanto uniformemente
contínua, em [0, 2π]. Apesar disso, f não é de variação limitada em
[0, 2π] (exercício 10).
17 BV e NBV são iniciais para as expressões inglesas “Bounded Variation” e “Normalized
Bounded Variation”.
k=1
xk−1
I

256 Capítulo 4. Outras Medidas
4. Sendo f : [a, b] → R, é relativamente simples verificar que f é de variação
limitada em I se e só se o gráfico de f é rectificável (exercício 8).
Para simplificar a notação, e supondo que P = {x0,x1, · · · ,xn}, onde
x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn, escrevemos
SV (f, P) =
n
|f(xk) − f(xk−1)|, e Vf(x) = Vf (]−∞,x]) .
k=1
Registamos como evidente que
• P ⊆ P ′ =⇒ SV (f, P) ≤ SV (f, P ′ ).
• Vf é sempre uma função crescente.
• Se I = [x,y] então Vf(I) ≥ |f(y) − f(x)|.
• f é de variação limitada se e só se Vf é limitada. Neste caso, f é
limitada.
Passamos a demonstrar
Lema 4.6.3. Sendo f : R → R então:
a) Se y ≥ x, então Vf(y) = Vf(x) + Vf ([x,y]) ≥ Vf(x) + |f(y) − f(x)|.
b) Lema de Jordan: f ∈ BV (R) se e só se existem funções crescentes e
limitadas g,h : R → R tais que f = g − h.
c) Se f ∈ BV (R) então f é contínua à direita em x se e só se Vf é
contínua à direita em x.
Demonstração. a) Dados conjuntos finitos P1 ⊂ ]−∞,x] e P2 ⊂ [x,y] é claro
que P = P1 ∪ P2 ∪ {x} é um subconjunto finito de ] − ∞,y], e
SV (f, P1) + SV (f, P2) = SV (f, P) ≤ Vf(y).
Como P1 e P2 são arbitrários, concluímos que
(i) Vf(x) + Vf([x,y]) ≤ Vf(y).
Por outro lado, se P é um subconjunto finito de ]−∞,y], tomamos P ′ =
P ∪ {x}, P1 = P ′ ∩ ]−∞,x] e P2 = P ′ ∩ [x,y]. Temos então que
SV (f, P) ≤ SV (f, P ′ ) = SV (f, P1) + SV (f, P2) ≤ Vf(x) + Vf ([x,y]) .
Como P é arbitrário, concluímos desta vez que
(ii) Vf(y) ≤ Vf(x) + Vf ([x,y]),

4.6. Funções de Variação Limitada 257
As desigualdades em (i) e (ii) e a observação já referida que |f(y) − f(x)| ≤
Vf ([x,y]) estabelecem a afirmação em a).
Para demonstrar b), suponha-se primeiro que f ∈ BV (R). As funções f
e Vf são limitadas, e definimos
g = 1
2 (Vf + f) e h = 1
2 (Vf − f) donde f = g − h e Vf = g + h.
Tanto g como h são limitadas, e a desigualdade Vf(y)−Vf(x) ≥ |f(y) − f(x)|
mostra que g e h são ambas crescentes.
Suponha-se agora que f = g − h onde g e h são funções limitadas e
crescentes, e note-se que SV (f, P) ≤ SV (g, P) + SV (h, P), para qualquer
conjunto finito P ⊂ R. Temos portanto Vf(R) ≤ Vg(R) + Vh(R) < ∞.
A demonstração de c) é o exercício 3.
Podemos finalmente estabelecer a existência de soluções do problema de
Stieltjes 4.5.2, quando a função em causa não é crescente.
Teorema 4.6.4. Se f : R → R, então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) f é de variação limitada e contínua à direita em R, e
b) Existe uma medida real µ tal que µ(]a,b]) = f(b)−f(a), para quaisquer
a ≤ b ∈ R.
Neste caso, as medidas |µ|, µ + e µ − são as derivadas generalizadas de Vf,
g = 1
2 (Vf + f) e h = 1
2 (Vf − f).( 18 )
Demonstração. Começamos por provar que a) ⇒ b): Recorde-se da demonstração
do lema anterior que as funções g e h são crescentes e limitadas.
Como f é contínua à direita, notamos também de c) no mesmo lema que Vf
é contínua à direita, e segue-se que g e h são igualmente contínuas à direita.
O problema de Stieltjes tem solução para as funções g e h, conforme
verificámos em 4.5.12. Sendo π e ν as derivadas generalizadas de g e h, e
dado que f = g − h e Vf = g + h, é então claro que
• π e ν são medidas finitas,
• µ = π − ν é a derivada generalizada de f, e
• τ = π + ν é a derivada generalizada de Vf.
Se µ = µ + − µ − é a decomposição de Jordan de µ, temos do teorema
4.1.21 que µ + ≤ π e µ − ≤ ν. Notamos que
18 A igualdade entre medidas aqui referida pressupõe a selecção prévia de um domínio de
definição apropriado e comum. Recorde que a igualdade é válida em qualquer σ-álgebra
onde as medidas em causa sejam regulares, por exemplo, em Lµ(R).

258 Capítulo 4. Outras Medidas
• |µ|(]x,y]) ≤ τ(]x,y]) = Vf(y) − Vf(x), porque µ + ≤ π e µ − ≤ ν, e
• Vf(y) − Vf(x) = Vf ([x,y]) e Vf ([x,y]) ≤ |µ|(]x,y]), como notámos no
início desta secção.
Concluímos que τ(I) = |µ|(I) para qualquer intervalo I =]x,y], donde se
segue que τ = |µ|. Segue-se igualmente que π = µ + e ν = µ − .
Para mostrar que b) ⇒ a), observe-se que f é contínua à direita pelo lema
4.5.7, e é de variação limitada porque, como notámos, Vf (R) ≤ µ.
Passamos a analisar em mais detalhe as funções de variação limitada que
são contínuas. Começamos por provar que a variação total de uma função
contínua pode ser calculada como se segue:
Lema 4.6.5. Se f é contínua em R, I ⊆ R é um intervalo, e P(I) é a
família de todas as partições finitas de I em intervalos, então
(1) Vf(I) = sup m(f(i)) : R ∈ P(I) .
i∈R
Temos além disso que, se I é um intervalo compacto,
(2) diam(R) → 0 =⇒
m(f(i)) → Vf(I).
i∈R
Demonstração. Supomos I = [a,b], e escrevemos
Φ(I) = sup m(f(i)) : R ∈ P(I) .
i∈R
Para evitar sobrecarregar a notação, usaremos aqui o mesmo símbolo para
designar uma partição R de I em subintervalos, e para designar o conjunto
dos extremos dos subintervalos em R (a continuidade de f torna irrelevante
saber a que subintervalo pertence cada extremo). Notamos que
• Sendo R uma partição de I, então
(i) SV (f, R) ≤
m(f(i)) ≤ Φ(I), donde se segue que Vf(I) ≤ Φ(I).
i∈R
• Dado um subintervalo i ∈ R, sejam xi e yi pontos onde f atinge o
seu máximo e mínimo no fecho i. Seja R ′ o refinamento de R com os
pontos xi e yi. Um momento de reflexão mostra que
Vf(I) ≥ SV (f, R ′ ) ≥
|f(yi) − f(xi)| =
m(f(i)),
i∈R
i∈R
donde Vf(I) ≥ Φ(I), e concluímos de (i) que Vf(I) = Φ(I).

4.6. Funções de Variação Limitada 259
Para provar (2), suponha-se Vf(I) < ∞ e ε > 0. Sendo R0 ⊂ I uma
qualquer partição fixa tal que
(ii) SV (f, R0) > Vf(I) − ε/2,
definimos n como o número de pontos em R0. Como I é compacto, f é
uniformemente contínua em I, e existe δ > 0 tal que
|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε/4n.
Provamos em seguida que se adicionarmos um ponto a qualquer partição
com diâmetro inferior a δ, a soma SV aumenta menos de ε
2n , ou seja,
(iii) Se R é uma partição de I, diam(R) < δ, z ∈ I e R ′ = R ∪ {z}, então
SV (R,f) ≤ SV (R ′ ,f) ≤ SV (R,f) + ε
2n
Para verificar esta afirmação, supomos sem perda de generalidade que
z ∈ R e x,y ∈ R são pontos consecutivos de R tais que x < z < y. Temos
neste caso que
SV (f, R ′ ) = SV (f, R) − |f(x) − f(y)| + |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)|.
Como |x − y| < δ, é óbvio que |x − z| < δ e |z − y| < δ, donde
SV (f, R ′ ) − SV (f, R) = −|f(x) − f(y)| + |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)| ≤
≤ |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)| < ε/2n.
Seja finalmente R ′′ = R ∪ R0, que resulta de adicionar n pontos a R, e
observe-se de (ii) e (iii) que
Vf(I) − ε/2 < SV (f, R0) ≤ SV (f, R ′′ ) < SV (f, R) + ε
2 .
Dito doutra forma, temos para qualquer partição R com diam(R) < δ que
Vf(I) − ε < SV (f, R) ≤
m(f(i)) ≤ Vf(I).
Dada uma função f : X → R, a respectiva indicatriz de Banach é
a função B : R → [0,+∞] que conta, para cada y, as soluções da equação
f(x) = y. Por outras palavras, B é dada por
i∈R
B(y) = # ({x ∈ X : f(x) = y}) .
Aproveitamos o anterior lema 4.6.5 para demonstrar o seguinte resultado
clássico, que é mais um processo de cálculo da variação total de funções contínuas.

260 Capítulo 4. Outras Medidas
Teorema 4.6.6 (de Banach-Vitali). Se f é contínua em I = [a,b] e B : R →
[0,+∞] é a sua indicatriz de Banach, então B é B-mensurável e
R Bdm =
Vf(I). Em particular, f ∈ BV (I) ⇐⇒ B ∈ L1 (R).
Demonstração. Seja P uma partição de I em intervalos, i ∈ P e Ai a função
característica da imagem de i, que é o intervalo f(i). Observe-se que
y = f(x) tem soluções x ∈ i ⇐⇒ y ∈ f(i) ⇐⇒ Ai(y) = 1.
Sendo B a indicatriz de Banach, note-se em particular que
B(y) ≥
Ai(y).
i∈P
A desigualdade acima é uma igualdade exactamente quando nenhum intervalo
i contém mais do que uma solução da equação y = f(x). A soma à direita
é uma função que passamos a designar BP, envolve apenas funções características
de intervalos, que são Borel-mensuráveis, e é óbvio que
R Ai =
m(f(i)). Temos assim que
(i) BP =
Ai é Borel-mensurável, e BP =
m(f(i)).
i∈P
A seguinte observação é totalmente elementar:
R
i∈P
(ii) Se R é um refinamento de P então BP ≤ BR ≤ B.
Se B(y) ≥ N, i.e., se a equação y = f(x) tem pelo menos N soluções
x1, · · · ,xN, tomamos δ = min{|xk − xm| : k = m}. Se o diâmetro da
partição R é inferior a δ, então cada intervalo i ∈ R contém no máximo
uma das N soluções, e portanto BR(y) ≥ N. Por outras palavras,
(iii) Se B(y) ≥ N então existe δ > 0 tal que diam(R) < δ ⇒ BR(y) ≥ N.
Dado n ∈ N, seja Pn a partição do intervalo I em 2 n subintervalos In,k de
igual comprimento (b−a)
2 n . Observamos que
(iv) Pn+1 é um refinamento de Pn e diam(Pn) → 0.
De acordo com (i) e (iv), segue-se de 4.6.5 que
(v)
BPn → Vf(I).
R
De acordo com (ii), (iii) e (iv) as funções BPn ≤ B formam uma sucessão
crescente, e BPn ր B. Pelo teorema de Beppo Levi, B é Borel-mensurável,
e concluímos usando (v) que
BPn →
R
R
B = Vf(I).

4.6. Funções de Variação Limitada 261
Existem outras identidades semelhantes a (1) no lema 4.6.5, e estabelecemos
aqui o seguinte resultado:
Teorema 4.6.7. Se f ∈ BV (R) ∩ C(R), µ é a sua derivada generalizada e
E ∈ B(R), então
∞
|µ|(E) = sup m ∗ (f(En)) : E =
Lema 4.6.8.
n=1
∞
En,En’s ∈ B(R) disjuntos .
n=1
Demonstração. Começamos por mostrar que
(i) m ∗ (f(E)) ≤ |µ|(E), para qualquer E ∈ B(R).
• Se E é um conjunto elementar, então existe uma família finita P formada
por intervalos disjuntos e tal que E =
i. É claro que
i∈P
m(f(E)) ≤
m(f(i)) ≤ |µ|(E).
i∈P
• Se E é um conjunto aberto existem conjuntos elementares En ր E,
donde f(En) ր f(E), m(f(En)) → m(f(E)) e |µ(En) → |µ|(E).
Temos então
m(f(En)) ≤ |µ|(En) =⇒ m(f(E)) ≤ |µ|(E).
• Se E ∈ B(R) existem abertos Un ⊇ E tais que |µ|(Un) → |µ|(E), e é
óbvio que
m ∗ (f(E)) ≤ m(f(Un)) ≤ |µ|(Un) → |µ|(E).
Estabelecemos assim (i) e definimos agora Ψ : B(R) → [0, ∞] por:
∞
Ψ(E) = sup m ∗ (f(En)) : E =
n=1
∞
En,En’s ∈ B(R) disjuntos .
n=1
Como os conjuntos En’s são disjuntos, concluímos de (i) que
∞
m ∗ (f(En)) ≤
n=1
∞
|µ|(En) = |µ|(E), donde
n=1
(ii) Ψ(E) ≤ |µ|(E) para qualquer E ∈ B(R).

262 Capítulo 4. Outras Medidas
Quando E = I é um intervalo, é evidente de 4.6.5 que |µ|(I) ≤ Ψ(I), e
segue-se de (ii) que
(iii) Ψ(I) = |µ|(I) para qualquer intervalo I ⊆ R.
Suponha-se que A,B ∈ B(R) são disjuntos. Dadas partições A = ∞ n=1 An,
e B = ∞ n=1 Bn, a família dos conjuntos An e Bn é uma partição de A ∪ B,
pelo que
∞
Ψ(A ∪ B) ≥ m ∗ ∞
(f(An)) + m ∗ (f(Bn)).
n=1
n=1
Como as partições referidas são arbitrárias, temos ainda
(iv) A,B ∈ B(R) e A ∩ B = ∅ =⇒ Ψ(A ∪ B) ≥ Ψ(A) + Ψ(B).
Considerem-se partições de E = ∞
k=1 Ak = ∞
n=1 En, e note-se que
En =
f(Ak) =
∞
Ak ∩ En =⇒
k=1
∞
m ∗ (f(Ak ∩ En)) ≤ Ψ(En), e
k=1
∞
f(Ak ∩ En) ⇒ m ∗ (f(Ak)) ≤
n=1
Obtemos imediatamente:
∞
m ∗ (f(Ak)) ≤
k=1
∞
n=1 k=1
∞
m ∗ (f(Ak ∩ En)).
n=1
∞
m ∗ (f(Ak ∩ En)) ≤
∞
Ψ(En).
n=1
Como a partição formada pelos Ak’s é arbitrária, estabelecemos:
(v) Ψ(E) ≤
∞
Ψ(En),
n=1
Para concluir a demonstração, registamos que
• (iv) e (v) =⇒ Ψ é uma medida positiva em B(R).
• (ii) =⇒ Ψ é finita, e portanto regular, em B(R).
• (iii) =⇒ Ψ = |µ| nos intervalos compactos.
Segue-se que Ψ e |µ| coincidem nos abertos, e em B(R).

4.6. Funções de Variação Limitada 263
4.6.1 Funções Absolutamente Contínuas
Tal como observámos a propósito da noção de variação total, é fácil adaptar a
definição de continuidade absoluta para ser directamente aplicável a funções.
Suponha-se que f é função distribuição de uma medida real µ absolutamente
contínua em R. De acordo com 4.3.4,
para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que m(E) < δ ⇒ |µ|(E) < ε.
Se E = ∪ n k=1 Ik, onde I1, · · · ,In são intervalos disjuntos, e Ik tem extremos
xk ≤ yk, temos m(E) = n
k=1 (yk − xk), e por isso:
n
(yk − xk) < δ ⇒
k=1
n
|f(yk) − f(xk)| =
k=1
A definição seguinte regista estas observações:
n
|µ(Ik)| ≤ |µ|(E) < ε.
Definição 4.6.9 (Funções Absolutamente Contínuas). Se f : I → R onde
I ⊆ R é um intervalo, dizemos que f é absolutamente contínua em I se
e só se para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que, para quaisquer intervalos
disjuntos I1, · · · ,In em I, onde Ik tem extremos xk ≤ yk, temos
n
(yk − xk) < δ ⇒
k=1
Exemplos 4.6.10.
k=1
n
|f(yk) − f(xk)| < ε.
k=1
1. Se a função g : R → R é somável, então a função f(x) = x
gdm é função
−∞
distribuição de uma medida absolutamente contínua em R, e portanto f é uma
função absolutamente contínua em R, como aliás verificámos directamente no
exercício 10 da secção 3.3.
2. Se f satisfaz uma condição de Lipschitz( 19 ) em I, i.e., se existe uma constante
K tal que |f(x) −f(y)| ≤ K|x −y|, é evidente que f é absolutamente contínua
em I.
3. A função f(x) = sen(x) satisfaz uma condição de Lipschitz em R com K = 1,
e portanto é absolutamente contínua em R.
4. É fácil verificar que a “escada do diabo” é uniformemente contínua em R,
mas não é absolutamente contínua.
5. Qualquer função absolutamente contínua é uniformemente contínua (é o caso
n = 1, na definição 4.6.9.)
As ideias que referimos no lema 4.6.5 podem ser também utilizadas para
reformular a definição acima.
19 Rudolf Lipschitz, 1832-1903, matemático alemão, professor na Universidade de Bona.

264 Capítulo 4. Outras Medidas
Lema 4.6.11. Se f : I → R onde I ⊆ R é um intervalo, então f é absolutamente
contínua em I se e só se para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que,
para qualquer família finita P de intervalos disjuntos i ⊆ I, temos
m(i) < δ ⇒
m(f(i)) < ε.
i∈P
i∈P
Demonstração. Se f satisfaz a condição referida neste lema é claro que f é
absolutamente contínua nos termos da definição 4.6.9. Basta observar que
se o intervalo i tem extremos xk e yk então |f(yk) − f(xk)| ≤ m(f(i)).
Suponha-se por outro lado que f é absolutamente contínua. Dada uma
família P de intervalos disjuntos e sendo xi e yi os extremos de i, temos:
m(i) < δ ⇒
|f(yi) − f(xi)| < ε.
i∈P
i
A função f tem máximo e mínimo no intervalo [xi,yi], e designamos por ui
e vi pontos do intervalo [xi,yi] onde ocorrem estes extremos, com ui ≤ vi.
Definimos ji =]ui,vi[ e observamos que os intervalos ji formam igualmente
uma família de intervalos disjuntos em I. Notamos como evidente que
m(ji) ≤ m(i) e |f(vi) − f(ui)| = m(f(i)), e concluímos que:
m(i) < δ ⇒
m(ji) < δ ⇒
m(f(i)) =
|f(ui) − f(vi)| < ε.
i
i∈P
i∈P
Podemos agora mostrar que as funções absolutamente contínuas são de
variação limitada em intervalos compactos:
Teorema 4.6.12. Se f é absolutamente contínua no intervalo I ⊆ R então
f é de variação limitada em qualquer subintervalo compacto J ⊆ I.
Demonstração. Seja J = [a,b] ⊆ I ⊆ R. Como f é absolutamente contínua
em I, existe δ1 > 0 tal que, para qualquer família P de intervalos disjuntos
em I, temos:
(1)
m(i) < δ ⇒
m(f(i)) < 1.
i∈P
Como J é limitado, é evidente que existe uma partição finita de J em intervalos
disjuntos j, cada um dos quais com comprimento inferior a δ1.
Designamos esta partição por Q, e supomos que é constituída por N subintervalos.
Supomos ainda que R é uma qualquer partição de J, e definimos
P = Q ∪ R e, para qualquer j ∈ Q, Pj = j ∩ P. Pj é uma partição do
subintervalo j, e é imediato de (1) que
m(i) = m(j) < δ1 ⇒
m(f(i)) < 1.
i∈Pj
i∈P
i∈Pj
i∈P

4.6. Funções de Variação Limitada 265
Resta-nos notar que
m(f(i)) ≤
m(f(i)) =
m(f(i)) < N.
i∈R
i∈P
j∈Q i∈Pj
É assim evidente que Vf(J) ≤ N, i.e., f é de variação limitada em J.
Exemplos 4.6.13.
1. A função f(x) = xsen(1/x) (com f(0) = 0) é uniformemente contínua em
[0, 1], mas não é de variação limitada em [0, 1]. Portanto, f não é absolutamente
contínua em [0, 1].
2. A função f(x) = senx é absolutamente contínua em R, e portanto é de
variação limitada em qualquer intervalo limitado. Não é no entanto de variação
limitada em R.
Completamos agora o teorema 4.6.4 para o caso em que a medida µ é
absolutamente contínua. O próximo teorema será usado na próxima secção
para mostrar que as funções absolutamente contínuas são precisamente as
funções que são integrais indefinidos de funções somáveis.
Teorema 4.6.14. Se f ∈ BV (R)∩C(R), então f é absolutamente contínua
em R se e só se a sua derivada generalizada µ ≪ m.
Demonstração. Temos apenas a provar que, se f : R → R é de variação
limitada e absolutamente contínua em R, então µ ≪ m.
De acordo com o lema 4.6.11, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que, para
qualquer família finita de intervalos disjuntos i ⊆ I, temos
m(i) < δ ⇒
m(f(i)) < ε.
i∈P
i∈P
Seja E ⊂ R um conjunto elementar com m(E) < δ, da forma E =
∪ n k=1 Ik, onde I1, · · · ,In em R são intervalos disjuntos. Supondo que Pk é
uma qualquer partição de Ik em intervalos, é óbvio que P = ∪ n k=1 Pk é uma
partição de E em intervalos, e
n
m(i) = m(E) < δ ⇒
k=1 i∈Pk
n
m(f(i)) < ε.
k=1 i∈Pk
A anterior desigualdade é válida para quaisquer partições Pk dos intervalos
Ik, e portanto é claro de 4.6.5 que
m(E) < δ =⇒
n
Vf(Ik) ≤ ε =⇒ |µ|(E) =
k=1
n
|µ|(Ik) =
k=1
n
Vf(Ik) ≤ ε.
k=1

266 Capítulo 4. Outras Medidas
Se U ⊆ R é aberto, existem conjuntos elementares En ր U, donde m(En) ≤
m(U) e |µ|(En) ր |µ|(U), e concluímos que
m(U) < δ =⇒ m(En) < δ =⇒ |µ|(En) ≤ ε =⇒ |µ|(U) ≤ ε.
Finalmente, se E ∈ B(R) e m(E) < δ existem abertos U ⊇ E tais que
δ > m(U), e portanto ε ≥ |µ|(U) ≥ |µ|(E), i.e., µ ≪ |µ| ≪ m.
Concluímos esta secção com uma caracterização clássica das funções
absolutamente contínuas, o teorema de Banach-Zaretski.
Podemos finalmente provar o
Teorema 4.6.15 (de Banach-Zaretsky). ( 20 ) Se f ∈ BV (R) ∩C(R), então
f é absolutamente contínua em R se e só se m(E) = 0 =⇒ m(f(E)) = 0.
Demonstração. Supomos sem perda de generalidade que E ∈ B(R N ). Se f
é absolutamente contínua, temos de 4.6.14 que µ ≪ |µ| ≪ m, e usamos o
teorema 4.6.7 para concluir que
m(E) = 0 =⇒ |µ|(E) = 0 e m ∗ (f(E)) ≤ |µ|(E) = 0 =⇒ m ∗ (f(E)) = 0.
Suponha-se agora que m(E) = 0 =⇒ m(f(E)) = 0. Temos de 4.6.7 que
∞
|µ|(E) = sup m ∗ ∞
(f(En)) : E = En,En’s ∈ B(R) disjuntos .
n=1
É claro que m(E) = 0 ⇒ m ∗ (f(En)) = 0 ⇒ |µ| (E) = 0, i.e., µ ≪ m.
n=1
Deixamos para o exercício 16 a demonstração de
Corolário 4.6.16. Se f ∈ BV (R)∩C(R), então f é absolutamente contínua
em R se e só se E ∈ L(R) =⇒ f(E) ∈ L(R).
Exercícios.
1. Sendo f : R → R, mostre que
a) P ⊆ P ′ =⇒ SV (f, P) ≤ SV (f, P ′ ).
b) Vf é uma função crescente.
c) f é de variação limitada (e limitada) se e só se Vf é limitada.
2. Prove que as funções de variação limitada têm limites laterais em todos os
pontos.
3. Demonstre a alínea b) do lema 4.6.3. sugestão: Suponha que f ∈ BV (R)
é contínua à direita em x ∈ R. Note que
20 De Banach e M.A.Zaretsky (ou Zarecki), 1903-1930, matemático russo.

4.6. Funções de Variação Limitada 267
• Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que:
x < y < x + δ =⇒ |f(y) − f(x)| < ε
2 .
• Sendo I = [x, y0] onde x < y0 < x + δ, existe um conjunto P =
{x0, x1, · · · , xn} ⊆ I com x = x0 < x1 < · · · < xn e tal que
Vf(I) ≥ SV (f, P) > Vf(I) − ε
2
Mostre que se R é um subconjunto finito de [x, x1] então SV (f, R) < ε.
4. Prove que qualquer função contínuamente diferenciável é de variação limitada
em qualquer intervalo limitado.
5. Se f é Riemann-integrável f é necessariamente de variação limitada? E se f
é de variação limitada f é necessariamente Riemann-integrável?
6. Generalize as afirmações 4.5.11 e 4.5.12 para funções de variação limitada.
7. Sendo f a “escada do Diabo”, determine decomposições de Jordan e de Hahn
para a derivada generalizada µ de F, onde
2 x − f(x), para 0 ≤ x ≤ 1,
F(x) =
0, para x < 0, e para x > 1.
Determine igualmente composições de Jordan e de Hahn para a derivada generalizada
λ de G(x) = F(x)+H(x)−H(x−1), onde H é a função de Heaviside.
Calcule µ, e λ.
8. Suponha que f ∈ BV (R), e mostre que o gráfico de f tem comprimento finito
em qualquer intervalo limitado.
9. Demonstre o lema 4.6.11. sugestão: Adapte o argumento utilizado na
demonstração do lema 4.6.5.
10. Mostre que a função f(x) = xsen(1/x) não é de variação limitada em ]0, 2π].
11. Para que valores de a > 0 é que f(x) = x a sen(1/x) é de variação limitada
em ]0, 2π]?
12. Mostre que a função de van der Waerden (exemplo 1.5.14) não é de variação
limitada.
13. Seja I = [0, 1]. Determine funções contínuas f, g, h : I → R, f, g, h ∈ BV (I),
tais que:
a) f é diferenciável em I.
b) g ′ ≃ 0 em I.

268 Capítulo 4. Outras Medidas
c) m(E) = 0 =⇒ m(h(E)) = 0.( 21 )
14. Prove que se f é absolutamente contínua e g satisfaz uma condição de
Lipschitz então a composta g ◦ f é absolutamente contínua.
15. Mostre que as funções absolutamente contínuas no intervalo I formam um
espaço vectorial. O produto de funções absolutamente contínuas é sempre
absolutamente contínuo?
16. Demonstre o teorema 4.6.16. Sugestão: Prove que se E é fechado (respectivamente,
de tipo Fσ) então f(E) é fechado (respectivamente, de tipo Fσ).
Conclua em particular que se f é absolutamente contínua em I e E ∈ L(I)
então f(E) ∈ L(R).
17. Prove que a composição de funções absolutamente contínuas é absolutamente
contínua, se for de variação limitada (Teorema de Fichtenholz).
18. Seja AC(R) a classe das funções absolutamente contínuas em R.
a) Mostre que AC(R), BV (R), e NBV (R) são espaços vectoriais, e que
NBV (R) é um espaço vectorial normado, com norma f = Vf(R).
b) Prove que NBV (R) e AC(R) ∩ NBV (R) são espaços de Banach, com
esta norma.
c) Mostre que se fn − f → 0 então fn − f ∞ → 0, mas que a implicação
inversa é em geral falsa.
4.7 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R
Provámos no Capítulo 1 que os integrais indefinidos de Riemann são diferenciáveis
qtp, porque as respectivas integrandas, que são Riemann-integráveis,
são necessariamente contínuas qtp. Este argumento é evidentemente inaplicável
quando a integranda é apenas Lebesgue-somável, porque estas funções
podem ser descontínuas em toda a parte.
A generalização dos Teoremas Fundamentais do Cálculo ao contexto da
teoria de Lebesgue exige por isso um resultado completamente novo para
estabelecer a diferenciabilidade dos integrais indefinidos: o grande Teorema
de Diferenciação de Lebesgue, de 1904, certamente um dos resultados mais
importantes e originais da Análise Real, e que passamos a estudar.
4.7.1 O Teorema de Diferenciação de Lebesgue
Em 1932, F.Riesz descobriu um resultado auxiliar relativamente elementar,
de natureza geométrica, que simplifica muito a demonstração do teorema de
diferenciação de Lebesgue.
21 Note que o Teorema de Banach-Zaretsky não é válido sem a hipótese f ∈ BV (R).

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 269
a b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 b
Figura 4.7.1: Lema do Sol Nascente.
Para entender o resultado de Riesz, supomos que g : R → R é uma
função, I = ]a,b[ é um intervalo aberto limitado, e consideramos o conjunto
D = {x ∈ I : Existe y ∈ I tal que y > x e g(y) > g(x)} .
O lema de Riesz diz-se “do Sol Nascente” porque o conjunto acima definido
sugere a região à sombra numa cadeia de montanhas ao nascer do Sol. O seu
enunciado é surpreendentemente simples, e registe-se que a única hipótese
sobre a função g é, por enquanto, a sua continuidade:
Lema 4.7.1 (de Riesz, “do Sol Nascente”). Se g ∈ C(R), I =]a,b[ é um
intervalo limitado e D = {x ∈ I : Existe y ∈ I tal que y > x e g(y) > g(x)}
então D = ∞ n=1 ]an,bn[, onde os intervalos In =]an,bn[ são disjuntos, e
g(bn) ≥ g(an).
Demonstração. O conjunto D é aberto, por razões óbvias, e portanto é uma
união de intervalos abertos disjuntos In =]an,bn[. Fixado x ∈]an,bn[⊆ D,
seja M o máximo da função g no intervalo [x,b]. Notamos que:
• g(x) < M, porque existe y ∈]x,b[ tal que g(y) > g(x).
• Se c = inf{y ∈ [x,b] : g(y) = M}, então g(c) = M.
• c ∈ D, porque não pode existir y ∈]c,b] com g(y) > M.
• Temos [x,c[⊂ D, mesmo que c = b, porque se x ′ < c então g(x ′ ) < g(c).
Concluímos que c = bn e g(bn) > g(x) e, por continuidade, g(bn) ≥ g(an).( 22 )

270 Capítulo 4. Outras Medidas
a
a1
a
b1
a1
a2
b1
b2
a2
a3
b2
b3
a3
D α s +(f,I)
a4
b4
D α s −(f,I)
b
b
b3 a4 b4
Figura 4.7.2: α é o declive dos “raios de Sol”.
a
a
a1
a1
b1
b1
a2
a2
b2
b2
a3
a3
b3
D α i +(f,I)
b3
a4
a4
b4
b4
D α i −(f,I)
É fácil adaptar o Lema de Riesz para o caso em que os “raios de Sol”
não são horizontais. A figura 4.7.2 sugere os seguintes conjuntos ( 23 ):
(1) Dα s +(f,I)
= x ∈ I : ∃y∈I tal que y > x, e f(y)−f(x)
y−x > α
(2) Dα i +(f,I)
= x ∈ I : ∃y∈I tal que y > x, e f(y)−f(x)
y−x < α
(3) Dα s−(f,I)
= x ∈ I : ∃y∈I tal que y < x, e f(y)−f(x)
y−x > α
(4) Dα i−(f,I)
= x ∈ I : ∃y∈I tal que y < x, e f(y)−f(x)
y−x < α
Estes conjuntos estão associados a qualquer função f definida pelo menos no
intervalo I. Com estas convenções, o conjunto que referimos no lema de Riesz
é D = D 0 s +(g,I). A adaptação de 4.7.1 a qualquer um dos conjuntos agora
indicados é imediata, e resulta de uma mudança de variável apropriada.
Interessam-nos para já os casos (1) e (4), e provamos para isso:
Lema 4.7.2 (de Riesz (II)). Se f ∈ C(R), I = ]a,b[ é limitado e α ∈ R,
então
a) D α s +(f,I) =
∞
]an,bn[, os In =]an,bn[ são disjuntos e f(bn)−f(an)
n=1
bn−an
b
b
≥ α.
22 Apesar de tal não ser necessário para os nossos fins, podemos mostrar que g(an) =
g(bn), excepto possivelmente se an = a, como é referido no exercício 2.
23 Usamos os índices s + , s − , i + e i − para indicar se o declive da recta que passa pelos
pontos de abcissas x e y é superior ou inferior a α, e indicar o sinal algébrico de y − x.

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 271
b) D α i−(f,I) =
∞
n=1
]cn,dn[, os In =]cn,dn[ são disjuntos e f(dn)−f(cn)
dn−cn
≤ α.
Demonstração. Para estabelecer a), definimos g(x) = f(x) − αx, e observamos
que, quando y > x,
f(y) − f(x)
y − x
Temos assim que
> α ⇐⇒ g(y) > g(x), ou seja, D α s +(f,I) = D 0 s +(g,I).
D α s +(f,I) = D 0 s +(g,I) =
Notamos finalmente que
∞
]an,bn[, onde g(bn) ≥ g(an).
n=1
g(bn) ≥ g(an) ⇐⇒ f(bn) − f(an)
≥ α.
bn − an
Para provar b), definimos agora ˜g(x) = f(−x)+αx. Com y < x, e portanto
−y > −x, temos então
f(x) − f(y)
x − y
< α ⇐⇒ ˜g(−y) > ˜g(−x), ou seja, − D 0 s +(˜g, −I) = D α i −(f,I).
Mais uma vez pelo Lema 4.7.1, concluímos que
D 0 s +(˜g, −I) =
∞
] − dn, −cn[, onde ˜g(−cn) ≥ ˜g(dn).
n=1
Dito de forma equivalente, temos
D α i −(f,I) =
∞
]cn,dn[, onde f(dn) − f(cn)
≤ α.
n=1
dn − cn
Quando f é uma função contínua e crescente, a respectiva derivada generalizada
µ e o lema de Riesz na forma de 4.7.2 providenciam estimativas
muito úteis para a medida dos conjuntos D α s +(f,I) e D α i −(f,I)).
Proposição 4.7.3. Se f ∈ C(R) é crescente, µ é a respectiva derivada
generalizada, I ⊆ R é um intervalo aberto limitado e α ≥ 0 então
a) α m(D α s +(f,I)) ≤ µ(I).
b) µ(D α i −(f,I)) ≤ α m (I).

272 Capítulo 4. Outras Medidas
a b
a1 b1 a2 b2 a3 b3
Figura 4.7.3: A medida da região “à sombra”, que é m(D α s +(f,I)), é limitada
pela “altura da montanha”, que é µ(I), a dividir por α.
Demonstração. a) De acordo com 4.7.2, temos
D α s +(f,I) =
∞
]an,bn[, e f(bn) − f(an) ≥ α(bn − an).
n=1
Sendo In =]an,bn[, a desigualdade f(bn) −f(an) ≥ α(bn −an) é obviamente
equivalente a µ(In) ≥ αm(In). Como os intervalos In são disjuntos, temos
µ(D α s +(f,I)) =
∞
µ(In) ≥
n=1
∞
αm(In) = αm(D α s +(f,I))),
n=1
e portanto µ(I) ≥ µ(D α s +(f,I)) ≥ αm(D α s +(f,I)).
b) Recordamos que
D α i −(f,I) =
∞
]cn,dn[, e f(dn)−f(cn) ≤ α(dn−cn), i.e., µ(Jn) ≤ αm(Jn).
n=1
Os intervalos Jn =]cn,dn[ são novamente disjuntos, e portanto
µ(D α i −(f,I)) =
∞
µ(Jn) ≤
n=1
∞
αm(Jn) = αm(D α i−(f,I)) ≤ αm(I).
n=1
Para estudar a diferenciabilidade de f introduzimos as chamadas derivadas
de Dini, que são quatro limites (à esquerda, à direita, superior e
inferior) associados ao cálculo da derivada de f em cada ponto x:

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 273
Definição 4.7.4 (Derivadas de Dini). Dada f : R → R, as derivadas de
Dini de f são as funções f ′ s +,f ′ i +,f ′ s −,f ′ i − : R → R dadas por:
f ′ s +(x) = lim sup
h→0 +
f ′ s −(x) = lim sup
h→0 −
Exemplos 4.7.5.
f(x + h) − f(x)
,f
h
′ i +(x) = lim inf
h→0 +
f(x + h) − f(x)
h
f(x + h) − f(x)
,f
h
′ i−(x) = lim inf
h→0− f(x + h) − f(x)
h
1. Seja f : R → R a função dada por
⎧
⎨ k + x(a + b sen(1/x), se x > 0
f(x) = k + x(c + d sen(1/x), se x < 0
⎩
k, se x = 0
Supondo que a, b, c, d ∈ R + , temos (ver figura 4.7.4):
f ′ s +(0) = a + b, f ′ i +(x) = a − b, f ′ s−(x) = c + d e f ′ i−(0) = c − d.
f ′ i −(0) = c − d
f ′ s −(0) = c + d
f ′ s +(0) = a + b
f ′ i +(0) = a − b
Figura 4.7.4: Derivadas de Dini do exemplo 4.7.5.1 em x = 0.
2. Se f é a função de Dirichlet dir, temos
3. f ′ (x) existe se e só se
f ′ s + = −f ′ i− = (∞)(1 − f), f ′ s− = −f ′ i + = (∞)f.
f ′ s +(x) = f ′ i +(x) = f ′ s −(x) = f ′ i −(x).
f é diferenciável em x se e só se f ′ (x) existe e |f ′ (x)| = +∞.
4. É evidente que f ′ s +(x) ≥ f ′ i +(x)(x) e f ′ s −(x) ≥ f ′ i −(x), para qualquer x ∈ R.

274 Capítulo 4. Outras Medidas
É muito fácil verificar o seguinte
Lema 4.7.6. Se f : R → R, I é um intervalo aberto e x ∈ I então
f ′ s +(x) > α =⇒ x ∈ D α s +(f,I) e f ′ i −(x) < α =⇒ x ∈ D α i −(f,I).
Se a função f é diferenciável no intervalo I = [a,b], sabemos do teorema
de Lagrange que existe c ∈ I tal que
f(b) − f(a)
b − a
= f ′ (c).
Neste caso, se α ≤ f ′ (x) ≤ β para x ∈ I e f tem uma derivada generalizada
µ, é óbvio que
α ≤ µ(I) f(b) − f(a)
= ≤ β, i.e., αm(I) ≤ µ(I) ≤ βm(I).
m(I) b − a
O próximo teorema é uma generalização profunda e muito interessante desta
observação elementar. É independente de qualquer hipótese sobre a diferenciabilidade
da função f ou sobre a natureza do conjunto E em causa.
Teorema 4.7.7. Se f ∈ C(R) é crescente, α ≥ 0 e E ⊂ R então( 24 )
a) f ′ s +(x) ≥ α para qualquer x ∈ E =⇒ α m ∗ (E) ≤ µ ∗ (E).
b) f ′ i −(x) ≤ α para qualquer x ∈ E =⇒ α m ∗ (E) ≥ µ ∗ (E).
Demonstração. a) Supomos sem perda de generalidade que α > 0 e consideramos
primeiro o caso m ∗ (E) < ∞. Seja U = ∪ ∞ n=1 In ⊇ E um aberto
com medida finita, onde os conjuntos In são intervalos abertos disjuntos
limitados. É claro que
(1) E ⊆ U =⇒ E =
∞
n=1
E ∩ In =⇒ m ∗ (E) ≤
∞
m ∗ (E ∩ In).
n=1
Se α > β > 0 temos f ′ s +(x) > β em E. Segue-se de 4.7.6 que
E ∩ In ⊆ D β
s +(f,In), donde β m ∗ (E ∩ In) ≤ β m(D β
s +(f,In)).
Temos de 4.7.3 a) que β m(D β
s +(f,In)) ≤ µ(In) e usamos (1) para obter
β m ∗ (E) ≤
∞
β m ∗ (E ∩ In) ≤
n=1
∞
µ(In) = µ(U).
Concluímos que β m ∗ (E) ≤ µ ∗ (E) para β < α, donde α m ∗ (E) ≤ µ ∗ (E).
Finalmente, se m ∗ (E) = ∞ basta aplicar o resultado já obtido aos conjuntos
En = E ∩ [−n,n], porque m ∗ (En) ր m ∗ (E).
24 Recorde que a medida exterior µ ∗ é dada por µ ∗ (E) = inf{µ(U) : E ⊆ U, U aberto }.
n=1

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 275
b) Ainda com U = ∪ ∞ n=1 In ⊇ E e m(U) < ∞, observamos agora que
(2) E =
∞
n=1
E ∩ In =⇒ µ ∗ (E) ≤
∞
µ ∗ (E ∩ In).
Se β > α ≥ 0 temos f ′ i −(x) < β em E, e portanto E ∩ In ⊆ D β
i −(f,In), mais
uma vez de 4.7.6. Concluímos de 4.7.3 b) e de (2) que
µ ∗ (E) ≤
∞
µ ∗ (E ∩ In) ≤
n=1
∞
n=1
n=1
µ(D β
i −(f,In)) ≤
∞
βm(In) = βm(U).
Segue-se que µ ∗ (E) ≤ βm ∗ (E) para β > α, donde µ ∗ (E) ≤ αm ∗ (E). Se
m ∗ (E) = ∞ o resultado só não é óbvio para α = 0, mas se En = E ∩[−n,n]
temos µ ∗ (En) = 0 para qualquer n, e portanto µ ∗ (E) = 0.
Apesar da sua simplicidade algo enganadora, o teorema 4.7.7 conduz
quase directamente ao grande Teorema de Diferenciação de Lebesgue.
Corolário 4.7.8. Se f ∈ C(R) é crescente então
a) Se S = {x ∈ R : f ′ s +(x) = ∞} então m(S) = 0.
b) Se E = {x ∈ R : f ′ s +(x) ≥ α > β ≥ f ′ i −(x)} então m(E) = µ(E) = 0.
n=1
c) Se A = {x ∈ R : f ′ s +(x) > f ′ i −(x)} então m(A) = µ(A) = 0.
d) Se B = {x ∈ R : f ′ s −(x) > f ′ i +(x)} então m(B) = µ(B) = 0.
Demonstração. a) Dado n ∈ N, temos f ′ s +(x) > n para qualquer x ∈ S. Se
I é um intervalo aberto limitado de extremos a < b, segue-se de 4.7.7 a) que
Temos assim que
m ∗ (S ∩ I) ≤
n m ∗ (S ∩ I) ≤ µ ∗ (S ∩ I) ≤ µ(I) = f(b) − f(a).
f(b) − f(a)
n
→ 0 =⇒ m(S ∩ I) = 0 =⇒ m(S) = 0.
b) Seja En = {x ∈ E : |x| ≤ n}, e observe-se de 4.7.7 que
αm ∗ (En) ≤ µ ∗ (En) ≤ βm ∗ (En), donde (β − α)m ∗ (En) ≥ 0.
Como β−α < 0 é óbvio que m ∗ (En) = 0 e portanto µ ∗ (En) = 0. Concluímos
que m(En) = µ(En) = 0 para qualquer n ∈ N, donde m(E) = µ(E) = 0.
c) Dada uma enumeração q1,q2, · · · ,qn, · · · dos racionais q ≥ 0, seja
An,k = x ∈ R : f ′ s +(x) ≥ qn + 1
k > qn ≥ f ′ i−(x)
.

276 Capítulo 4. Outras Medidas
Segue-se de b) que m(An,k) = µ(An,k) = 0 e basta-nos reconhecer que
A =
∞
n=1 k=1
∞
An,k donde m(A) = µ(A) = 0.
d) Seja h a função contínua e crescente dada por h(x) = −f(−x), e λ a
respectiva derivada generalizada. Deixamos para o exercício 4 verificar que
(ver figura 4.7.5)
h ′ i −(−x) = f ′ i +(x), h ′ s +(−x) = f ′ s −(x) e µ ∗ (E) = λ ∗ (−E).
Em particular, B = −C, onde C = {x ∈ R : h ′ s +(x) > h ′ i −(x)}, m(C) =
λ(C) = 0 de acordo com c), e m(B) = m(C) = µ(B) = λ(C) = 0.
f ′ i −(x0)
f ′ s −(x0)
h ′ i −(−x0)
h ′ s −(−x0)
f ′ s +(x0)
f ′ i +(x0)
h ′ s +(−x0)
h ′ i +(−x0)
Figura 4.7.5: h(x) = −f(−x) =⇒ f ′ s −(x) = h ′ s +(−x) e f ′ i +(x) = h ′ i −(−x)
Podemos finalmente provar
Teorema 4.7.9 (da Diferenciação de Lebesgue). Se f ∈ C(R) é crescente
em R então f é diferenciável qtp em R.
Demonstração. Considerem-se os conjuntos já referidos no corolário 4.7.8:
A = x ∈ R : f ′ s +(x) > f ′ i −(x) ,B = {x ∈ R : f ′ s −(x) > f ′ i +(x)},
e S = x ∈ R : f ′ s +(x) = ∞ .
Provámos em 4.7.8 que m(A ∪ B ∪ S) = 0. Se x ∈ A ∪ B ∪ S, temos:
f ′ s +(x) ≤ f ′ i −(x), f ′ s −(x) ≤ f ′ i +(x) e f ′ s +(x) < ∞.

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 277
É evidente que f ′ i −(x) ≤ f ′ s −(x) e f ′ i +(x) ≤ f ′ s +(x) para qualquer x ∈ R.
Temos assim que
x ∈ A ∪ B ∪ S =⇒ f ′ s +(x) ≤ f ′ i−(x) ≤ f ′ s−(x) ≤ f ′ i +(x) ≤ f ′ s +(x) < ∞.
Concluímos que as funções f ′ s +, f ′ i −, f ′ s − e f ′ i + são iguais e finitas fora do
conjunto A ∪ B ∪ S. Por outras palavras, f é diferenciável qtp em R.
Exemplos 4.7.10.
1. Se f é uma função contínua de variação limitada então é, como sabemos,
uma diferença de funções contínuas crescentes, e é por isso diferenciável qtp.
Em particular,
• as funções absolutamente contínuas são diferenciáveis qtp em R,
• os integrais indefinidos são diferenciáveis qtp, mesmo que a função integranda
seja descontínua em toda a parte.
2. Se f : R → R satisfaz uma condição de Lipschitz, então f é absolutamente
contínua em R, pelo que é igualmente diferenciável qtp em R. Esta observação é
um caso particular do Teorema de Rademacher( 25 ): Se f satisfaz uma condição
de Lipschitz num aberto U ⊆ R N então f é diferenciável qtp em U.
4.7.2 A Decomposição de Lebesgue
Continuamos a supor que f é contínua e crescente em R e µ é a respectiva
derivada generalizada. Passamos a estabelecer algumas propriedades
auxiliares de µ e do seu domínio de definição “natural”, que é a classe( 26 )
Sf = {E ⊆ R : f(E) ∈ L(R)}.
Lema 4.7.11. Seja f ∈ C(R) crescente e µ a respectiva derivada generalizada.
Se D = {x ∈ R : f ′ (x) existe e 0 < f ′ (x) < ∞} e D∞ é o conjunto
onde f ′ (x) = ∞, então
a) µ está concentrada em S = D ∪ D∞.
b) Se m(E) = 0 e E ∩ D∞ = ∅ então µ(E) = 0.
c) Se E ∈ L(R) e E ∩ D∞ = ∅ então E ∈ Sf.
d) D∞ ∈ Sf ∩ L(R).
25 De Hans Rademacher, 1892-1969, um dos grandes matemáticos do século XX. De
origem alemã, foi professor nas Universidades de Hamburgo e Breslau, mas foi forçado pelo
regime nazi a abandonar a Alemanha em 1934, em resultado da sua actividade política a
favor da paz e dos direitos humanos. Emigrou para os Estados Unidos, onde foi professor
da Universidade da Pensilvânia.
26 Recorde de 4.5.3 que (R, Sf, µ) é a única solução completa e regular do Problema de
Stieltjes para f.

278 Capítulo 4. Outras Medidas
Demonstração. a) Tal como no corolário 4.7.8, tomamos
A = {x ∈ R : f ′ s +(x) > f ′ i −(x)} e B = {x ∈ R : f ′ s −(x) > f ′ i +(x)}.
Recordamos de 4.7.8 que m(A) = µ(A) = m(B) = µ(B) = 0. Sendo
C = {x ∈ R : f ′ (x) = 0}, concluímos de 4.7.7 b) que µ(C) = 0. É assim
evidente que A ∪ B ∪ C é µ-nulo, ou seja, µ está concentrada no seu complementar,
que é o conjunto S = D ∪ D∞.
b) Tomamos F = E ∩ D e observamos de a) que
µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ (D ∪ D∞) = µ ∗ (E ∩ D) = µ ∗ (F).
Como Fk = {x ∈ F : f ′ (x) < k} ⊆ E, é óbvio que m(Fk) = 0. Segue-se de
4.7.7 b) que µ ∗ (Fk) ≤ k m(Fk) = 0, ou seja, µ ∗ (Fk) = 0 = µ(Fk). Dado que
Fk ր F, podemos concluir que µ(F) = 0 = µ(E). Em particular, E ∈ Sf.
c) Temos E = A ∪ N, onde A ∈ B(R) e m(N) = 0. É claro que A ∈ Sf,
porque B(R) ⊆ Sf, e vimos em a) que N ∈ Sf. Segue-se que E ∈ Sf.
d) D∞ é L-mensurável, porque m(D∞) = 0. Portanto D c ∞ é L-mensurável,
e segue-se de b) que D c ∞ ∈ Sf, donde D∞ ∈ Sf.
f ′
não existe
f ′ = ∞
D∞
f ′ = 0
0 < f ′ < ∞
Figura 4.7.6: µ está concentrada onde f ′ existe e não é nula.
É muito interessante reconhecer que o teorema anterior contém implícita
a decomposição de Lebesgue de µ em ordem à medida de Lebesgue.
Definindo λ(E) = µ(E\D∞) e ν(E) = µ(E ∩ D∞), temos
µ(E) = µ(E\D∞) + µ(E ∩ D∞) = λ(E) + ν(E), para E ∈ Sf.
Basta-nos notar que
• λ ≪ m: de acordo com 4.7.11 b), m(E) = 0 ⇒ λ(E) = 0, e
• ν⊥m: ν está concentrada em D∞ e m(D∞) = 0.
D

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 279
Esta observação torna-se especialmente relevante com o próximo teorema,
que revela que λ é o integral indefinido de f ′ .
Teorema 4.7.12. Se f ∈ C(R) é crescente então f ′ é localmente somável e
f
E
′ dm = µ(E ∩ D), onde E ∈ L(R) e D = {x ∈ R : 0 < f ′ (x) < ∞}.
Temos em particular
E
f ′ dm ≤ µ(E), para qualquer E ∈ Sf.
Demonstração. Seja Dk = {x ∈ D : |x| ≤ k e f ′ (x) ≤ k} para k ∈ N.
Existem funções simples mensuráveis sn ≥ 0 tais que sn(x) ր f ′ (x) para
qualquer x ∈ Dk, e sabemos que
(1) sndm →
E∩Dk
E∩Dk
f ′ dm, quando E ∈ L(R).
Supomos como usualmente que temos, para 1 ≤ i ≤ k2 n ,
sn(x) =
i − 1
2n quando x ∈ An,i
i − 1
= {x ∈ E ∩ Dk :
Notamos que E ∩ Dk =
k2 n
i=1
2n < f ′ (x) ≤ i
}.
2n An,i e segue-se do teorema 4.7.7 que
i − 1
2n m(An,i) ≤ µ(An,i) ≤ i
2nm(An,i) i − 1
=
2n m(An,i) + 1
2nm(An,i). Somando as anteriores desigualdades em i, obtemos imediatamente
sndm ≤ µ(E ∩ Dk) ≤ sndm +
E∩Dk
E∩Dk
1
m(E ∩ Dk).
2n Como m(Dk) < ∞ temos
E∩Dk sndm → µ(E ∩ Dk), e segue-se de (1) que
µ(E ∩ Dk) = f ′ dm.
E∩Dk
O teorema resulta agora de notar que E ∩ Dk ր E ∩ D.
O próximo resultado está assim verificado.
Teorema 4.7.13 (da Decomposição de Lebesgue). Se f ∈ C(R) é crescente,
a decomposição de Lebesgue da sua derivada generalizada µ é
µ(E) = f ′ dm + µ(E ∩ D∞), para qualquer E ∈ Sf.
E

280 Capítulo 4. Outras Medidas
É simples adaptar o resultado anterior às funções contínuas de variação
limitada, que são como sabemos diferenças de funções crescentes contínuas.
Deixamos a demonstração do seguinte resultado para o exercício 7:
Teorema 4.7.14. Se f ∈ C(R) ∩ BV (R) e µ é a respectiva derivada generalizada,
f é diferenciável qtp, f ′ é somável, f ′ 1 ≤ µ e a decomposição
de Lebesgue de µ é
µ(E) =
E
f ′ dm + µ(E ∩ D), para qualquer E ∈ Sf,
onde m(D) = 0 e Sf é o domínio de definição de µ.
O teorema da decomposição de Lebesgue permite-nos identificar múltiplas
circunstâncias de interesse prático onde podemos aplicar a regra de
Barrow.
Exemplos 4.7.15.
1. A função de Volterra f é diferenciável em toda a parte e a sua derivada
é limitada, pelo que f satisfaz uma condição de Lipschitz. Portanto f é de
variação limitada e D∞ = ∅. Segue-se do teorema anterior que f satisfaz a
regra de Barrow.
2. Se f é diferenciável em toda a parte, não se segue do teorema da decomposição
de Lebesgue que a regra de Barrow seja aplicável, porque f pode não
ser de variação limitada (como vimos no exercício 13 da secção 4.6).
3. Se f é de variação limitada, não é necessário que seja diferenciável em toda a
parte para que possamos usar a regra de Barrow. Por exemplo, se o conjunto
D∞ é finito ou numerável então µ(D∞) = 0, porque µ é uma medida contínua,
e portanto µ({xn}) = 0 para qualquer xn ∈ D∞. Segue-se mais uma vez que
µ é o integral indefinido de f ′ .
Bem entendido, o resultado mais tradicional sobre a aplicação da regra
de Barrow é o 2 o Teorema Fundamental do Cálculo, que é também
um corolário directo do teorema da decomposição de Lebesgue. Começamos
por apresentar uma sua versão algo abstracta, que é essencialmente um caso
particular do chamado Teorema de Radon-Nikodym, discutido no próximo
Capítulo. Note-se que se reduz a uma consequência trivial do teorema da
Decomposição de Lebesgue.
Teorema 4.7.16 (2 o Teorema Fundamental). Seja µ a derivada generalizada
de uma função f : R → R. Se µ ≪ m, ou seja, se f é absolutamente
contínua, então µ é o integral indefinido de f ′ .
Demonstração. Sabemos que
µ(E) = f ′ (x)dx + µ(E ∩ T) onde m(T) = 0.
E
É claro que T é µ-nulo porque µ ≪ m, e temos Sf = Lf(R) (porquê?).

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 281
Passamos a enunciar e demonstrar uma versão mais “clássica”:
Teorema 4.7.17 (Regra de Barrow). Se f : I → R é absolutamente contínua
no intervalo compacto I então f é diferenciável qtp em I, f ′ é somável
em I, e
b
f(b) − f(a) = f ′ (x)dx, para quaisquer a ≤ b ∈ I.
a
Demonstração. Definimos f em toda a recta real tomando f(x) = f(a) para
x < a e f(x) = f(b), para x > b. É claro que f é de variação limitada e absolutamente
contínua em R, e sabemos de 4.7.16 que µ é o integral indefinido
de f ′ . Em particular,
b
f(b) − f(a) = µ(]a,b]) = f ′ dm.
O 1 o Teorema Fundamental pode ser enunciado como o converso exacto
desta afirmação.
Teorema 4.7.18 (1o Teorema Fundamental). Seja I um intervalo compacto
e f : I → R somável em I. Dado a ∈ I, seja F(x) = x
a fdm, para x ∈ I.
Então F é absolutamente contínua em I e F ′ (x) = f(x) qtp em I.
Demonstração. Tomamos f(x) = 0 quando x ∈ I, para definir F em R. É
evidente que F é então absolutamente contínua e de variação limitada em
R, e consideramos a respectiva derivada generalizada µ. Notamos que:
• µ é o integral indefinido de f, por razões óbvias, e
• µ é o integral indefinido de F ′ , pelo 2 o Teorema Fundamental.
Segue-se naturalmente que F ′ ≃ f.
Veremos adiante como resultados deste tipo se podem generalizar a contextos
mais abstractos. Observe-se desde já que, quando µ é a derivada
generalizada de uma função real f e f ′ (x) existe, então temos, por exemplo,
f ′ f(x + h) − f(x − h) µ(Bh(x))
(x) = lim
= lim
h→0 2h
h→0 m(Bh(x)) .
Esta observação sugere considerar razões da forma µ(Eh)/λ(Eh) quando µ e
λ são medidas num mesmo espaço mensurável e estudar o respectivo limite
supondo que Eh ց {x} quando h → 0. Esse é efectivamente o caminho
que conduz a versões mais gerais do 1 o Teorema Fundamental do Cálculo
e à noção de derivada de Radon-Nikodym, que encontraremos no próximo
Capítulo.
Os teoremas fundamentais adaptam-se e/ou generalizam-se facilmente a
outros casos, e ilustramos este facto com alguns exemplos.
a

282 Capítulo 4. Outras Medidas
Funções
absolutamente
contínuas
Diferenciação (q.t.p.)
Integração (de Lebesgue)
Funções
localmente
somáveis
Figura 4.7.7: Os Teoremas Fundamentais do Cálculo segundo Lebesgue.
Exemplos 4.7.19.
1. Se f é absolutamente contínua em R, então f ′ pode ser apenas localmente
somável em R. Mesmo neste caso, é claro que a regra de Barrow se aplica em
qualquer intervalo compacto.
2. Se µ é uma medida absolutamente contínua e localmente finita em R então
µ é a derivada generalizada de uma função contínua f e
µ(E) = f ′ dm, para qualquer E ∈ L(R).
E
Em particular, as medidas absolutamente contínuas e localmente finitas são os
integrais indefinidos de funções localmente somáveis.
Referimos a seguir outras aplicações dos Teoremas Fundamentais:
Exemplos 4.7.20.
1. Comprimento do gráfico de f: As observações que fizémos no Capítulo
I (definição 1.5.11 e teorema 1.5.12) são aplicáveis neste contexto mais geral,
e deixamos como exercício mostrar que se f tem derivada generalizada µ, e a
sua variação total tem parte singular νs, então o comprimento do gráfico de f
no intervalo I é dado por
I
1 + f ′ (x) 2 dx + νs(I).
Em particular, a fórmula do teorema 1.5.12 é válida se e só se f é uma função
absolutamente contínua, i.e., se e só se f satisfaz a regra de Barrow.
2. diferenciação de integrais paramétricos: Os Teoremas Fundamentais
do Cálculo podem ser combinados com o teorema de Fubini para derivar integrais
paramétricos. A título de exemplo, suponha-se que o integral paramétrico
em causa é da forma
F(s) = f(s, t)dt, para s ∈ I = [s0, s0 + ε].
E

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 283
Suponha-se ainda que as funções f t 2 satisfazem a regra de Barrow, ou seja,
Se a função ∂f
∂s
F(s) = F(s0) +
s
∂f
f(s, t) = f(s0, t) + (u, t)du
∂s
é somável em E × I, temos então
E
s
s0
s0
∂f
(u, t)du dt =
∂s
s
s0
E
∂f
(u, t)dt du.
∂s
A diferenciação de F é portanto a diferenciação de um integral indefinido, e é
imediata pelo 1 o Teorema Fundamental do Cálculo.
Aproveitamos para introduzir mais um exemplo interessante, uma função
contínua e crescente com derivada nula qtp, como a escada do Diabo, mas
que é além disso estritamente crescente.
Exemplo 4.7.21.
a função de Hellinger( 27 ) : Fixamos 0 < α < 1, α = 1
2 , e definimos
uma sucessão de funções fn : [0, 1] → [0, 1], cada uma estritamente crescente
e contínua. Consideramos os pontos Pn = { k
2n : 0 ≤ k ≤ 2n }, e notamos que
Pn ⊆ Pn+1. O gráfico da função fn é um segmento de recta entre cada dois
pontos consecutivos de Pn (ver figura 4.7.8). Passamos a definir os valores
fn( k
2n ), para 0 ≤ k ≤ 2n :
• f0(0) = 0, e f0(1) = 1, ou seja, f0(x) = x, para qualquer 0 ≤ x ≤ 1,
• fn+1( k
2 n ) = fn( k
2 n), ou seja, se x ∈ Pn, então fn+1(x) = fn(x), e
• fn+1( 2k+1
2 n+1 ) = αfn( k
2 n) + (1 − α)fn( k+1
2 n ), ou seja, se x é o ponto médio
de [ k
2n , k+1
2n ], fn+1(x) é uma combinação convexa dos valores de fn, nos
extremos desse mesmo intervalo.
A figura 4.7.8 exibe as funções f1, f2, f3 e f10. A função de Hellinger hα
k
é definida por hα(x) = limn→∞ fn(x). É evidente que hα( 2n ) = fn( k
2n), ou
seja, os vértices do gráfico de fn são pontos do gráfico de hα.
É muito simples provar as seguintes afirmações (exercício 5):
(1) Cada função fn é estritamente crescente, e
(2) Se n ≤ m e k−1
2 n < x < k
2 n , onde 0 < k ≤ 2 n , então
k − 1
fn(
2n ) < fn(x) < fm(x) < fn( k
), ou
2n 0 < fm(x) − fn(x) < fn( k k − 1
2n) − fn( ).
2n (3) fn(x) → hα(x) para qualquer 0 ≤ x ≤ 1, onde 0 ≤ hα(x) ≤ 1, e hα é
estritamente crescente.

284 Capítulo 4. Outras Medidas
15
16
3
4
9
16
1
4
1
2
3
4
1
Figura 4.7.8: Exemplo de Hellinger, α = 1
4 : as funções f1,f2,f3 e f10.
Figura 4.7.9: Os gráfico de fm, m ≥ 3, e de hα estão na zona sombreada.
A figura 4.7.9 ilustra a afirmação (2) para n = 3.
Se um dado segmento no gráfico de fn tem declive δ, então um cálculo simples
mostra que os dois segmentos correspondentes no gráfico de fn+1 têm declives
2(1 − α)δ (o segmento à esquerda) e 2αδ (o segmento à direita). A observação
seguinte resulta de observar que o gráfico de f0 tem evidentemente declive 1.
(4) f ′ n só toma os valores δ = 2n α i (1 − α) n−i , onde 0 ≤ i ≤ n.
Repare-se também que, supondo α < 1/2, o segmento mais à esquerda no
gráfico de fn tem o declive máximo δ = 2 n (1 − α) n , e é portanto no intervalo
0 < x < 1
2 n que a estimativa apresentada em (2) é maior, e igual a (1 − α) n .
Podemos por isso adaptar (2) para
27 Ernst David Hellinger, 1883-1950, matemático alemão, nascido na actual Polónia. De
ascendência judaica, chegou a estar preso no campo de Dachau, mas emigrou para os
EUA em 1938. Ensinou em Göttingen, Marburg e Frankfurt, e nos EUA na Northwestern
University e no Instituto de Tecnologia do Illinois.

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 285
(5) Se n ≤ m, então 0 ≤ fm(x) − fn(x) < (1 − α) n . Em particular, fn(x) →
hα(x) uniformemente, e a função hα é contínua.
hα é diferenciável qtp, porque é contínua e crescente, mas temos ainda
(6) Se hα é diferenciável em x então h ′ α (x) = 0.
Demonstração. Seja x ∈]0, 1[ um ponto de diferenciabilidade de hα. Tomamos
kn = int(x2 n ), donde kn
2n ≤ x < kn + 1
2n , an = kn
2n ր x e bn = kn + 1
2
As funções hα e fn coincidem em an e bn, e temos de acordo com (4):
δn = hα(bn) − hα(an)
bn − an
= fn(bn) − fn(an)
bn − an
n ց x.
= 2 n a in (1 − a) n−in → h ′ α(x).
Se h ′ α(x) = 0, é evidente que δn+1
→ 1. Por outro lado, temos
δn+1
δn
δn
= 2α = 1 ou δn+1
= 2(1 − α) = 1.
É assim impossível que h ′ α(x) = 0, ou seja, só podemos ter h ′ α(x) = 0.
A derivada generalizada de hα diz-se a medida de Hellinger, e designa-se
aqui por ηα.
Dizemos que a função f é singular se e só se f ′ ≃ 0. Notamos que a
função de Hellinger, aliás como a de Cantor, são funções contínuas singulares
que não são constantes. O teorema da decomposição de Lebesge permite
relacionar as funções e as medidas singulares:
Teorema 4.7.22. Se f ∈ BV (R) ∩ C(R) então a respectiva derivada generalizada
µ é singular se e só se f é singular.
4.7.3 Diferenciação de Funções de Variação Limitada
Os resultados sobre diferenciabilidade que acabámos de apresentar são na
verdade válidos para quaisquer funções de variação limitada, independentemente
de hipóteses sobre a sua continuidade, e foi aliás com esta generalidade
que Riesz demonstrou o seu “Lema do Sol Nascente”.
A noção de semi-continuidade é útil neste contexto. Dizemos que f é
semi-contínua superior em A ⊆ R N se e só se, para qualquer α ∈ R,
{x ∈ A : f(x) < α} = A ∩ U, onde U ⊆ R N é aberto.
Observações 4.7.23.
δn

286 Capítulo 4. Outras Medidas
1. Deixamos como exercício verificar que f : A → R é semi-contínua superior
em A se e só se( 28 )
limsup f(x) = f(x0), para qualquer x ∈ A.
x→x0
2. Se f : A → R é semi-contínua superior em A, xn ∈ A, f(xn) → α e xn → x0
então f(x0) ≥ α, porque
f(xn) → α ≤ limsup f(x) = f(x0).
x→x0
3. Se f : R → R e existem sempre os limites laterais f(x + ) e f(x − ) (por
exemplo, se f ∈ BV (R)), então é claro que
limsup f(x) = max{f(x0), f(x
x→x0
+ 0 ), f(x−0 )}
e portanto f é semi-contínua superior em R se e só se f(x) ≥ max{f(x + ), f(x − )}
para qualquer x ∈ R.
4. Se f : R → R é crescente então existem os limites laterais f(x + ) e f(x − ) e
temos f(x − ) ≤ f(x) ≤ f(x + ). Segue-se da observação anterior que f é semicontínua
superior em R se e só se f(x) = f(x + ), ou seja, se e só se f é contínua
à direita em R.
O próximo lema é uma variante do clássico Teorema de Weierstrass sobre
extremos de funções contínuas:
Lema 4.7.24. Se f : R N → R é semi-contínua superior em R N e K ⊆ R N
é compacto então f tem máximo em K.
Demonstração. Os conjuntos Un = {x ∈ R N : f(x) < n} formam uma
cobertura aberta de K. Esta cobertura inclui uma subcobertura finita de
K, donde se segue que f é majorada em K.
Sendo k = sup{f(x) : x ∈ K}, existe uma sucessão xn ∈ K tal que
f(xn) → k. Pelo teorema de Bolzano-Weiertrass, podemos supor que xn →
x0 ∈ K. Temos f(x0) ≤ k porque x0 ∈ K, e também f(x0) ≥ k, conforme
a observação 4.7.23.2.
O Lema de Riesz na forma de 4.7.1 pode ser generalizado como se segue:
Lema 4.7.25. Se g ∈ BV (R) é semi-contínua superior e I =]a,b[ é um
intervalo limitado então
∞
]an,bn[,
D 0 s +(g,I) =
n=1
onde os intervalos ]an,bn[ são disjuntos e g(bn) ≥ g(a + n ).
28 Nos termos da definição 1.4.23, o valor de f no ponto x0 afecta o cálculo de
lim supx→x0 f(x). Caso esse valor seja excluído do cálculo, a identidade acima deve ser
substituída pela desigualdade lim supx→x0 f(x) ≤ f(x0).

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 287
Demonstração. Repetimos o argumento usado em 4.7.1 com ligeiras modificações.
É fácil verificar que D0 s +(g,I) é aberto, e portanto é uma união de
intervalos abertos disjuntos In =]an,bn[. Pode por exemplo observar-se que,
para cada y ∈ I, o conjunto {x ∈ I : x < y e g(x) < g(y)} é obviamente
aberto, porque g é semi-contínua superior.
A semi-continuidade de g em I e o conjunto D 0 s +(g,I) não dependem do
valor g(b), e supomos para simplificar que g(b) = g(b − ). Fixado x ∈]an,bn[,
e sendo M o máximo da função g no intervalo [x,b], que existe de acordo
com o lema anterior, resta-nos notar mais uma vez que:
(1) g(x) < M, porque existe y ∈]x,b[ tal que g(y) > g(x): Evidente.
(2) Se c = inf{y ∈ [x,b] : g(y) = M}, então g(c) = M: De 4.7.23.2.
(3) c ∈ D 0 s +(g,I), porque não existe y ∈]c,b] com g(y) > M: Evidente.
(4) [x,c[⊂ D 0 s +(g,I): De acordo com (2), temos g(t) < g(c) para qualquer
x < t < c. A afirmação é assim imediata quando c ∈ I. Se c ∈ I então
é claro que c = b, e temos para qualquer x < t < b que g(t) < g(b − ),
donde se segue facilmente que existe t < t ′ < b tal que g(t) < g(t ′ ), ou
seja, t ∈ D 0 s +(g,I).
(5) c = bn e g(a + n ) ≤ g(bn): os intervalos [x,c[ e [x,bn[ estão ambos
contidos em D 0 s +(g,I), e é claro que c,bn ∈ D 0 s +(g,I). Temos portanto
que c = bn. Como g(x) < g(bn), temos ainda que g(a + n ) ≤ g(bn). Esta
desigualdade é verdadeira mesmo quando bn = b e para a função g
original, porque para essa função temos g(b − ) ≤ g(b).
No que se segue, quando f ∈ BV (R) designamos por f a função dada por
f(x) = max{f(x),f(x + ),f(x − )}. Passamos também a designar por C(f,I)
o conjunto de pontos de continuidade da função f no intervalo I. O seguinte
lema é inteiramente elementar:
Lema 4.7.26. Se f ∈ BV (R) então
a) f(x + ) = f(x + ) e f(x − ) = f(x − ) para qualquer x ∈ R.
b) C(f,I) ⊆ C( f,I) para qualquer intervalo I ⊆ R.
c) f é de variação limitada e semi-contínua superior em R.
Demonstração. Deixamos a verificação de a) como exercício. Para provar
b), usamos a) para concluir que
f(x) = f(x + ) = f(x − ) =⇒ f(x) = f(x + ) = f(x − ).
A semicontinuidade superior de f resulta de a) e da observação 4.7.23.3.

288 Capítulo 4. Outras Medidas
Como f ∈ BV (R), existem funções crescentes limitadas g e h tais que
f = g−h. Deixamos como exercício verificar que g e h podem ser redefinidas
nos pontos de descontinuidade de f para obter funções crescentes limitadas
˜g e ˜ h tais que f = ˜g − ˜ h, donde concluímos que f ∈ BV (R).
Podemos agora estabelecer uma versão do Lema de Riesz para funções
de variação limitada, onde escrevemos para simplificar ˜ S = S ∩ C(f,I):
Lema 4.7.27 (de Riesz (III)). Se g ∈ BV (R) e I = ]a,b[ é limitado, existe
um conjunto (numerável) N ⊆ I\C(g,I) tal que
˜D 0 s +(g,I) ∪ N = D 0 s +(g,I) =
∞
]an,bn[.
n=1
Os intervalos ]an,bn[ são disjuntos e g(bn) ≥ g(a + n ) = g(a+ n ).
Demonstração. Se x ∈ D 0 s +(g,I) ∩ C(f,I) então existe y ∈ I tal que
y > x e g(y) > g(x) donde g(y) ≥ g(y) > g(x) = g(x).
Concluímos assim que ˜ D 0 s +(g,I) = C(g,I) ∩ D 0 s +(g,I) ⊆ D 0 s +(g,I).
Suponha-se agora que x ∈ D 0 s +(g,I), i.e., existe y ∈ I tal que
y > x e g(y) > g(x) ≥ g(x).
Temos portanto g(y) > g(x) ou g(y + ) > g(x) ou g(y − ) > g(x) e, em qualquer
um destes casos, é claro que x ∈ D 0 s +(g,I). Como
D 0 s +(g,I) = N ∪ C(g,I) ∩ D 0 s +(g,I) e D 0 s +(g,I) ⊆ D 0 s +(g,I),
o conjunto N é numerável, porque só contém pontos de descontinuidade de
g. As restantes observações resultam de aplicar 4.7.25 à função g.
Passamos a adaptar o Lema de Riesz na versão 4.7.2 a funções de variação
limitada como se segue:
Lema 4.7.28 (de Riesz (IV)). Se f ∈ BV (R) e I = ]a,b[ é limitado então
existem conjuntos (numeráveis) N,N ′ ⊆ I\C(f,I) tais que
a) ˜ D α s +(f,I)∪N = Dα s +( f,I) =
b) ˜ D α i −(f,I)∪N ′ = D α i −( f,I) =
∞
]an,bn[ e f(bn)− f(a + n ) ≥ α (bn − an) ,
n=1
∞
]cn,dn[ e f(d − n )− f(cn) ≤ α(dn − cn) .
n=1
Os intervalos ]an,bn[ e ]cn,dn[ formam famílias disjuntas.

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 289
˜D 0 s +(g,I)
C(g,I)
D 0 s +(g,I)
D 0 s +(g,I)
Figura 4.7.10: Os conjuntos D 0 s +(g,I), D 0 s +(g,I) e C(g,I).
Demonstração. Para estabelecer a), definimos g(x) = f(x)−αx. É claro que
g(x) = f(x) − αx, C(f,I) = C(g,I), Dα s +(f,I) = D0 s +(g,I) e Dα s +( f,I) =
D0 s +(g,I). Temos de 4.7.27 que
˜D 0 s +(g,I) ∪ N = D0 s +(g,I) =
˜D α s +(f,I) ∪ N = D α s +( f,I) =
∞
]an,bn[, com g(bn) ≥ g(a + n ) e portanto
n=1
∞
]an,bn[, com f(bn) − f(a + n ) ≥ α(bn − an).
n=1
Para provar b), utilizamos h(x) = f(−x) + αx. Temos neste caso h(x) =
f(−x) + αx, C(f,I) = −C(h, −I), D α i −(f,I) = −D 0 s +(h, −I) e D α i −( f,I) =
−D 0 s +(g, −I). De acordo com 4.7.27,
˜D 0 s +(h, −I)∪(−N ′ ) = D 0 s +(g, −I) =
Como h(−x + ) = f(x − ) − αx,
˜D α i −(f,I) ∪ N ′ = D α i −( f,I) =
∞
n=1
∞
]−dn, −cn[, com h(−cn) ≥ h(−d + n ).
n=1
]cn,dn[, com f(cn) − αcn ≥ f(d − n ) − αdn
Quando f é crescente e limitada, f é crescente e contínua à direita, e tem
derivada generalizada µ. A proposição 4.7.3 sofre apenas alterações subtis:
Proposição 4.7.29. Se f : R → R é crescente, I ⊆ R é um intervalo aberto
limitado, µ é a derivada generalizada de f e α ≥ 0 então

290 Capítulo 4. Outras Medidas
a) α m( ˜ D α s +(f,I)) ≤ µ(I).
b) µ( ˜ D α i −(f,I)) ≤ α m (I).
Demonstração. Podemos supor que f(x) = f(b − ) para x ≥ b e f(x) = f(a + )
para x ≤ a. Os seguintes cálculos são imediatos do lema 4.7.28:
αm( ˜ D α s +(f,I)) = αm(D α s +( f,I)) = α
≤
∞
n=1
∞
(bn − an) ≤
n=1
f(bn) − f(a +
∞
n ) = µ ]an,bn]
n=1
≤ µ(I).
Temos analogamente (onde observamos que µ(]c,d[) = f(d − ) − f(c)),
µ( ˜ D α i −(f,I)) ≤ µ(D α i −( f,I)) =
≤
∞
n=1
f(d −
n ) −
f(cn) ≤
∞
α(dn − cn) = αm(D α i−( f,I))) ≤ αm(I).
n=1
O lema 4.7.6 pode tomar a seguinte forma, de demonstração imediata:
Lema 4.7.30. Se f ∈ BV (R), I é um intervalo aberto e x ∈ C(f,I) então
f ′ s +(x) > α =⇒ x ∈ D α s +( f,I) e f ′ i −(x) < α =⇒ x ∈ D α i −( f,I).
O teorema 4.7.7 pode ser facilmente adaptado a quaisquer funções crescentes.
Teorema 4.7.31. Se f : R → R é crescente, µ é a derivada generalizada
de f, α ≥ 0 e E ⊆ C(f, R) então
a) f ′ s +(x) ≥ α para qualquer x ∈ E =⇒ α m ∗ (E) ≤ µ ∗ (E).
b) f ′ i −(x) ≤ α para qualquer x ∈ E =⇒ α m ∗ (E) ≥ µ ∗ (E).
Demonstração. O argumento é uma adaptação evidente do utilizado para
4.7.7, invocando naturalmente 4.7.29 e 4.7.30 em lugar de 4.7.3 e 4.7.6.
A seguinte adaptação do corolário 4.7.8 é também simples.
Corolário 4.7.32. Se f : R → R é crescente e µ é a derivada generalizada
de f então
a) Se S = {x ∈ R : f ′ s +(x) = ∞} então m(S) = 0.
b) Se E = {x ∈ R : f ′ s +(x) ≥ α > β ≥ f ′ i −(x)} então m(E) = µ( ˜ E) = 0.

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 291
c) Se A = {x ∈ R : f ′ s +(x) > f ′ i−(x)} então m(A) = µ( Ã) = 0.
d) Se B = {x ∈ R : f ′ s −(x) > f ′ i +(x)} então m(B) = µ( ˜ B) = 0.
Demonstração. a): Tomando ˜ S = S ∩C(f, R), o argumento original de 4.7.8
mostra que m( ˜ S) = 0. Como o conjunto R\C(f,I) é numerável, é claro que
m(S) = 0.
b) e c): O argumento original é aplicável substituindo R por C(f,I).
d): Tomamos mais uma vez h(x) = −f(−x), mas neste caso λ é a
derivada generalizada de h. O argumento original continua aplicável, porque
é ainda verdade que µ ∗ (E) = λ ∗ (−E).
Os teoremas de diferenciação e de decomposição de Lebesgue podem
ser reformulados para eliminar as hipóteses de continuidade com que foram
inicialmente obtidos. A título de exemplo, temos
Teorema 4.7.33 (de Decomposição de Lebesgue (II)). Seja f : R → R uma
função crescente e µ a derivada generalizada de f. Seja ainda T = {x ∈
C(f, R) : f ′ (x) = +∞} e D = {x ∈ R : f(x + ) = f(x − )}. Existem então
uma medida contínua singular λ e uma medida discreta σ tais que
µ(E) = f ′ (x)dx + λ(E) + σ(E),
E
onde λ(E) = µ(E ∩ T) e σ(E) = µ(E ∩ D). Em particular, existem funções
crescentes g, s e d tais que f = g + s + d, g é absolutamente contínua, s é
contínua e singular e d é discreta.( 29 )
Deve ser claro que f = (g + s) + d é a decomposição em parte contínua
e parte discreta mencionada em 4.5.11, e se ρ é o integral indefinido de f ′
então µ = ρ + (λ + σ) é a decomposição de Lebesgue de µ. É interessante
verificar que as funções em causa são todas diferenciáveis qtp e s ′ ≃ d ′ ≃ 0.
Exercícios.
1. Prove que (i) ⇔ (ii) ⇒ (iii), onde as afirmações (i), (ii) e (iii) são as seguintes:
(i) Existe α ′ > α e uma sucessão xn ց x tal que f(xn)−f(x)
xn−x
f(x+h)−f(x)
(ii) limsuphց0 h > α.
(iii) x ∈ D α s +(I), sempre que x ∈ I.
→ α′ > α.
2. Mantendo as hipóteses e notação do lema 4.7.2, mostre que se an < x < bn,
então f(x) < f(bn), e se an > a, então f(an) = f(bn). Como se pode adaptar
o lema 4.7.2 para o caso em que I não é limitado?
3. Demonstre o corolário 4.7.2.
29 As funções f ∈ BV (R) para as quais s = 0 formam o espaço SBV (R), de Simple
Bounded Variation, na terminologia introduzida por E. De Giorgi e L.Ambrosio em 1988.

292 Capítulo 4. Outras Medidas
4. Supondo h(x) = −f(−x), mostre que f ′ i +(x) = h ′ i −(−x), e f ′ s −(x) = h ′ s +(−x).
5. Demonstre as afirmações (2) e (3), relativas ao exemplo de Hellinger.
6. Existem funções contínuas que não são monótonas em nenhum intervalo nãotrivial?
7. Demonstre o teorema 4.7.14.
8. Como descreve as medidas absolutamente contínuas e σ-finitas em R?
9. Mostre que se f ∈ BV (R) ∩C(R) e {x ∈ R : |f ′ (x)| = ∞} é numerável então
f satisfaz a regra de Barrow.
10. Mostre que ηα⊥ηβ quando α = β.
11. Seja f : R → R a função dada por f(x) = 1 + x, para x ≥ 0, com f(x) = 0
para x ≤ 0. Determine a decomposição de Lebesgue da derivada generalizada
de f.
12. Seja F a escada do Diabo, e
⎧
⎨ 0, se x < 0,
f(x) = cos(πx) + F(x), se 0 ≤ x < 1,
⎩
0, se x ≥ 1.
Qual é a decomposição de Lebesgue da derivada generalizada de f?
13. A “escada do diabo” foi definida usando o conjunto de Cantor. Substituindo
nesta definição o conjunto de Cantor pelo exemplo de Volterra Cε(I), com ε >
0, seja Fε a correspondente “escada”, e ξε a respectiva derivada generalizada.
Qual é a decomposição de Lebesgue de ξε?
14. Suponha que as funções fn
: R → R são crescentes, e a série f(x) =
∞
n=1 fn(x) converge em R. Prove que f ′ ≃ ∞
n=1 f ′ n. sugestão: Use a
unicidade da decomposição de Lebesgue. Este resultado diz-se o Teorema de
diferenciação de Fubini ou, mais coloquialmente, o “pequeno” teorema de
Fubini.
15. Mostre que qualquer função discreta de variação limitada é singular.
16. Suponha que f : [0, 1] → [0, 1] é uma função contínua, estritamente crescente,
e singular. Mostre que a medida de Lebesgue-Stieltjes determinada pela
inversa f −1 : [0, 1] → [0, 1] é singular.
17. Mostre que f : R → R é semi-contínua superior em A ⊆ R se e só se
f(a) = limsup x→a f(x), para qualquer a ∈ A.

4.7. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo em R 293
18. Suponha que a medida real µ é a derivada generalizada de f, e sejam g e
h funções distribuição de µ + e µ − . Sendo F = g + h, prove que F ′ ≃ |f ′ | e
g ′ h ′ ≃ 0.
19. Mostre que se f e g são L-mensuráveis então h = f ◦g não é necessariamente
mensurável. sugestão: Determine uma função g contínua e estritamente
crescente tal que g(A) = B, onde A não é mensurável, e m(B) = 0.
20. Complete a demonstração do lema 4.7.26, estabelecendo as identidades
f(x + ) = f(x + ) e f(x − ) = f(x − ). Mostre ainda que f ∈ BV (R).
21. Complete a demonstração do lema 4.7.32, verificando que µ ∗ (E) = λ ∗ (−E).
22. Suponha que f ∈ BV (R) ∩ C(R), seja µ a respectiva derivada generalizada
e λ(I) o comprimento do gráfico de f no intervalo I. Prove que
max{m(I), |µ|(I)} ≤ λ(I) ≤ m(I) + |µ|(I).
Aproveite para generalizar o resultado que provámos sobre o comprimento do
gráfico da escada do diabo, ou seja, mostre que se f é singular então
λ(I) = m(I) + |µ|(I).
23. Suponha que a medida real µ é a derivada generalizada de f, e mostre que
existe uma medida positiva λ tal que λ(I) é o comprimento do gráfico de f no
intervalo I. Calcule a decomposição de Lebesgue de λ, tal como indicada no
exemplo 4.7.20.1, e verifique em particular que a clássica fórmula
λ(I) = 1 + f ′2dx é válida se e só se f é absolutamente contínua.
I

294 Capítulo 4. Outras Medidas

Capítulo 5
Outros Integrais de Lebesgue
Passamos neste Capítulo ao estudo de integrais de Lebesgue de funções
definidas num espaço de medida arbitrário (X, M,µ), de que a aplicação
mais evidente é a Teoria das Probabilidades. Na realidade, quando (X, M,µ)
é um espaço de probabilidades, as funções mensuráveis dizem-se, normalmente,
variáveis aleatórias, e o integral de uma variável aleatória em ordem
à medida de probabilidade µ é o seu valor médio, ou expectável.
A região de ordenadas de uma função definida num conjunto “arbitrário”
X é um subconjunto de X × R. Para atribuir um integral a uma função
deste tipo, é necessário atribuir uma medida apropriada a subconjuntos de
X × R. Veremos que a teoria desenvolvida nos Capítulo anteriores permite
a definição de um espaço de medida com suporte em X × R, obtido, por um
procedimento muito natural, a partir dos espaços (X, M,µ) e (R, L(R),m).
Mostraremos em seguida que as propriedades mais significativas dos integrais
de Lebesgue “em ordem à medida de Lebesgue” são válidas, essencialmente
sem modificação, neste contexto muito geral, reduzindo a teoria
desenvolvida no Capítulo anterior a um caso particular. Demonstramos
uma versão abstracta do teorema de Fubini-Lebesgue, aplicável a funções
definidas em X × Y , onde (X, M,µ) e (Y, N,λ) são espaços de medida
quaisquer, e estudamos o clássico Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue,
que generaliza o 2 o Teorema Fundamental do Cálculo e o Teorema da Decomposição
de Lebesgue.
Terminamos o capítulo com o que é, sobretudo, uma ligeira introdução
ao vastíssimo domínio da Análise Funcional. Introduzimos aqui diversos
exemplos de espaços de (classes de) funções mensuráveis, fundamentais em
múltiplas aplicações da Análise Real a outros ramos da Matemática, e a
outras áreas científicas, e discutimos questões técnicas sofisticadas, suscitadas
pelo estudo destes espaços. Consideramos, em particular, a generalização
de noções topológicas que conhecemos de R N , incluindo a definição
de critérios de convergência de sucessões nestes espaços, e o estudo dos
respectivos espaços duais, que são constituídos pelas suas transformações
295

296 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
lineares contínuas. Estes espaços duais são indispensáveis à adaptação das
ideias e métodos do Cálculo Diferencial em RN para o contexto de espaços
de funções, que é o Cálculo de Variações. É difícil subestimar a importância
desta área, tendo em conta que as mais importantes teorias da Física moderna
se baseiam em princípios variacionais. Os resultados aqui apresentados
são, sem qualquer dúvida, dos mais significativos e relevantes da Análise
Real, e são uma magnífica ilustração da superioridade técnica da teoria da
integração de Lebesgue.
5.1 A Medida µ ⊗ m
R
Ω +
D∞
f
Figura 5.1.1:
E
X × R
Ω −
fdµ =?
Dado um qualquer espaço de medida (X, M,µ), propomo-nos agora identificar
as funções f : X → R, ditas “M−mensuráveis”, e definir integrais
de Lebesgue “em ordem à medida µ”, para uma subclasse apropriada das
funções M-mensuráveis. O principal obstáculo técnico a vencer é, naturalmente,
a indispensável generalização da identidade
E
fdmN = mN+1(Ω +
−
E (f)) − mN+1(ΩE (f)).
No caso de f : X → R, os conjuntos Ω +
E (f) e Ω−
E (f) são dados por
Ω +
E (f) = {(x,y) ∈ X × R : x ∈ E, e 0 < y < f(x)}, e
Ω − E (f) = {(x,y) ∈ X × R : x ∈ E, e 0 > y > f(x)}.
Os conjuntos Ω +
E (f) e Ω−
E (f) são evidentemente subconjuntos de X × R
e, por isso, a definição de
E fdµ exige uma resposta prévia às seguintes
questões:
5.1.1. Dado o espaço de medida (X, M,µ),
(1) Que subconjuntos de X × R são “mensuráveis” em algum sentido razoável
do termo?
X

5.1. A Medida µ ⊗ m 297
(2) Qual a “medida” desses subconjuntos “mensuráveis” de X × R?
Exemplos 5.1.2.
1. Na teoria das probabilidades, e dado um espaço de probabilidades (X, M, µ),
as funções M-mensuráveis dizem-se variáveis aleatórias. Tipicamente, temos
X = R N , M = B(R N ), e as variáveis aleatórias são, como veremos imediatamente
a seguir, as funções borel-mensuráveis. O integral de f em ordem
a µ é o chamado valor médio, ou expectável, de f.
2. Quando X = N, as funções f : X → R são simplesmente as sucessões reais.
Consideramos a σ-álgebra M = P(N), com a medida de contagem (cardinal)
µ = #. Veremos que as funções M-mensuráveis são aqui todas as sucessões
reais. Veremos também que o integral de f : N → R “em ordem a #” é
f(n), sempre que esta série é absolutamente convergente.
∞
n=1
3. Os “integrais de Stieltjes” são, como veremos, integrais em ordem a
medidas de Lebesgue-Stieltjes. Por exemplo, se f ≥ 0 é Borel-mensurável em
R, e ξ é a medida de Cantor, o integral
fdξ
R
é um integral de Stieltjes. A medida de Cantor é de probabilidade, e neste
sentido o integral acima é o valor expectável de f.
Para entender a referência ao nome de Stieltjes neste contexto, recorde-se que
g(x)dx são limites de somas “de Riemann”, do tipo
os integrais de Riemann b
a
n
k=1
g(x ∗ k)(xk − xk−1).
Stieltjes substituiu os factores ∆xk = (xk −xk−1) por F(xk)−F(xk−1), onde F
é uma função arbitrária, e considerou o limite correspondente, quando existe,
como o integral que hoje dizemos de “Riemann-Stieltjes”:
b
g(x)dF = lim
a
diam(P)→0
k=1
n
g(x ∗ k)(F(xk) − F(xk−1)).
A definição de Stieltjes generaliza a de Riemann, porque esta última corresponde
à escolha F(x) = x. Na terminologia actual, Stieltjes substituiu a medida
de Lebesgue m(Ik) do intervalo Ik =]xk−1, xk] pela medida µ(Ik), onde µ é
a derivada generalizada de F. Foi assim o primeiro matemático a estudar
integrais que hoje reconhecemos como sendo em ordem a uma medida µ = m.
A resposta às questões colocadas em 5.1.1 é surpreendentemente simples,
e resulta de adaptar a afirmação feita em 2.2.21 a), ou seja,
A ∈ L(R N ) e B ∈ L(R M ) =⇒ A × B ∈ L(R N+M ), e
mN+M(A × B) = mN(A)mM(B).

298 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Abstraímos daqui o princípio de que o produto cartesiano de conjuntos mensuráveis
deve ser mensurável, e a sua medida deve ser o produto das medidas
dos conjuntos em causa. Mais precisamente, se A ⊆ X é M-mensurável e
se B ⊆ R é, pelo menos, Borel-mensurável, então
5.1.3. A × B deve ser “mensurável” em X × R, com “medida” dada por
ρ(A × B) = µ(A)m(B).
A medida ρ, a existir, está definida pelo menos na σ-álgebra gerada em
X × R pelos conjuntos da forma A × B, onde A ∈ M e B ∈ B(R).
É conveniente introduzir esta σ-álgebra num contexto um pouco mais
geral, que nos será útil mais adiante, quando definirmos o produto de quaisquer
dois espaços de medida (X, M,µ) e (Y, N,ν).
Definição 5.1.4 (Produto de σ-álgebras). Se (X, M) e (Y, N) são espaços
mensuráveis, designamos por M ⊗ N a σ-álgebra gerada em X × Y pelos
conjuntos da forma A × B, onde A ∈ M e B ∈ N.
Exemplo 5.1.5.
Para calcular o produto de σ-álgebras de Borel, recordamos que
A ∈ B(R N ) e B ∈ B(R M ) =⇒ A × B ∈ B(R N+M ).
A σ-álgebra B(R N+M ) é assim uma das σ-álgebras que contêm os conjuntos
da forma A × B, com A ∈ B(R N ) e B ∈ B(R M ), e portanto
B(R N ) ⊗ B(R M ) ⊆ B(R N+M ).
Por outro lado, se U ⊆ RN e V ⊆ RM são abertos, é evidente que U ×
V ∈ B(RN ) ⊗ B(RM ), por definição. É fácil concluir daqui que a σ-álgebra
B(RN ) ⊗ B(RM ) contém todos os abertos de RN+M . Como B(RN+M ) é, por
definição, a menor σ-álgebra que contém todos os abertos de RN+M , temos
B(R N+M ) ⊆ B(R N ) ⊗ B(R M ), donde B(R N ) ⊗ B(R M ) = B(R N+M ).
Dado um espaço de medida (X, M,µ), podemos utilizar a σ-álgebra
M ⊗ B(R) para identificar os conjuntos “mensuráveis” em X × R. É um
problema um pouco mais difícil mostrar que existe, além disso, uma medida
ρ, definida em M ⊗ B(R), e satisfazendo a identidade em 5.1.3, i.e., tal que
ρ(A × B) = µ(A)m(B), quando A ∈ M, e B ∈ B(R).
Exemplo 5.1.6.
Seja (X, M, µ) = (R N , L(R N ), mN) o espaço de Lebesgue. Neste caso, temos,
certamente,
M ⊗ B(R) = L(R N ) ⊗ B(R) ⊆ L(R N ) ⊗ L(R) ⊆ L(R N+1 ).
Podemos, por razões evidentes, tomar para ρ a restrição da medida de Lebesgue
mN+1 à σ-álgebra L(R N ) ⊗ B(R).

5.1. A Medida µ ⊗ m 299
Demonstraremos, nesta secção, o seguinte resultado:
Teorema 5.1.7 (Espaço com suporte em X ×R). Se (X, M,µ) é um espaço
de medida, então existe uma medida µ ⊗ m definida em M ⊗ B(R), tal que
(µ ⊗ m)(A × B) = µ(A)m(B), ∀A∈M∀ B∈B(R).
Antes de demonstrar este teorema, mostramos como este resultado nos
permite definir integrais de Lebesgue “em ordem à medida µ”, para funções
f : X → R, ditas, neste caso, “M-mensuráveis”.
Definição 5.1.8 (Integrais em ordem à medida µ). Seja E ⊆ S ⊆ X, e
f : S → R.
a) f é M-mensurável em E se e só se ΩE(f) ∈ M ⊗ B(R).
b) Se f é M-mensurável em E, e pelo menos um dos conjuntos Ω +
E (f)
e Ω −
E (f) tem medida (µ ⊗ m) finita, o integral de Lebesgue de f
(em ordem a µ) em E é dado por
fdµ = (µ ⊗ m)(Ω +
E (f)) − (µ ⊗ m)(Ω− E (f)).
E
c) Se f é M-mensurável em E, então f é µ-somável em E se e só se
(µ ⊗ m)(ΩE(f)) < ∞.
Exemplos 5.1.9.
1. o espaço de borel: Se (X, M, µ) = (R N , B(R N ), mN) é o espaço de Borel,
já vimos que
M ⊗ B(R) = B(R N+1 ).
Por esta razão, as funções B(R N )-mensuráveis, de acordo com a definição
acima, são as funções Borel-mensuráveis, que introduzimos em 3.1.1.
A medida mN ⊗ m coincide com a medida mN+1, pelo menos na classe dos
conjuntos elementares, e sabemos do Capítulo 2 que neste caso mN ⊗ m =
mN+1, em toda a σ-álgebra B(R N+1 ).
Concluímos que a definição acima inclui, como caso particular, a definição
3.1.1, quando esta última é aplicada a funções borel-mensuráveis.
2. o espaço das sucessões reais: Trata-se, como vimos no exemplo 5.1.2.2,
do espaço (N, P(N), #), onde # é a medida de contagem. É simples verificar
que qualquer sucessão f : N → R é M-mensurável. Suponha-se, para isso, que
f(n) = an, An = {n}, e os intervalos In são dados por:
⎧
⎨ ]0, an[, se an > 0,
In = ∅, se an = 0,
⎩
]an, 0[, se an < 0.
A região de ordenadas de f é ΩN(f) = ∞
n=1 An × In, e notamos que:

300 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
• Os conjuntos An × In são P(N) ⊗ B(R)-mensuráveis, porque An ∈ P(N),
In é um intervalo, e P(N)⊗B(R) contém, por definição, todos os conjuntos
deste tipo, e
• ΩN(f) é uma união numerável de conjuntos P(N) ⊗ B(R)-mensuráveis, e
portanto é P(N) ⊗ B(R)-mensurável.
Se f é não-negativa, podemos calcular imediatamente o seu integral. Como
(# ⊗ m) é uma medida,
N
∞
fd# =(# ⊗ m)(ΩN(s)) = (# ⊗ m)( An × In) =
n=1
n=1
∞
∞
∞
= (# ⊗ m)(An × In) == #(An) × m(]0, an[) = an.
Por outras palavras, a soma de uma série de termos não-negativos é também
um integral de Lebesgue (em ordem à medida de contagem). Se f muda de
sinal, temos então
∞
|f|d# = |an|,
X
e as funções #-somáveis correspondem às séries absolutamente convergentes.
É simples mostrar que, para as funções #-somáveis, temos igualmente
X
fd# =
n=1
n=1
∞
an.
A questão da mensurabilidade das secções de conjuntos mensuráveis é
de importância fundamental, conforme vimos no Capítulo anterior, quando
estudámos o teorema de Fubini-Lebesgue e as suas múltiplas consequências.
No que se segue, se E ⊆ X × Y , x ∈ X, e y ∈ Y , consideramos apenas
secções dos tipos Ex = {y ∈ Y : (x,y) ∈ E}, e E y = {x ∈ X : (x,y) ∈ E}.
Demonstraremos mais adiante uma versão (5.7.6) muito geral do teorema de
Fubini-Lebesgue, mas podemos provar imediatamente o seguinte resultado.
Teorema 5.1.10. Sejam (X, M) e (Y, N) espaços mensuráveis quaisquer.
Se E ∈ M ⊗ N, i.e., se E é M ⊗ N-mensurável, então
n=1
a) Para qualquer x ∈ X, a secção Ex ⊆ Y é N-mensurável, e
b) Para qualquer y ∈ Y , a secção E y ⊆ X é M-mensurável.
c) Se E ⊆ X, f : E → R é M-mensurável, e λ ≥ 0, então os conjuntos
n=1
F(λ) = {x ∈ E : f(x) > λ}, e G(λ) = {x ∈ E : f(x) < −λ}
são M-mensuráveis para qualquer λ.

5.1. A Medida µ ⊗ m 301
Demonstração. Seja A a classe formada por todos os conjuntos E ⊆ X ×Y ,
cujas secções Ex e E y são mensuráveis, nos espaços apropriados.
Observamos que:
A = {E ⊆ X × Y : Ex ∈ N,∀x∈X, e E y ∈ M, ∀y∈Y } .
(i) A classe A contém todos os conjuntos do tipo A × B, com A ∈ M e
B ∈ N: Basta notar que:
(A × B)x =
B, se x ∈ A
∅, se x ∈ A,
, e (A × B) y =
(ii) A classe A é uma σ-álgebra: Observamos que:
Se E =
(E c ) x = (Ex) c ,(E c ) y = (E y ) c , e,
∞
En, então Ex =
n=1
∞
(En)x, e E y =
n=1
Como M e N são σ-álgebras, deve ser claro que
E ∈ M ⊗ N ⇒ E c ∈ M ⊗ N, e En ∈ M ⊗ N ⇒
A, se y ∈ B
∅, se y ∈ B,
∞
(En) y .
n=1
∞
En ∈ M ⊗ N.
Como a classe M ⊗ N é, por definição, a menor σ-álgebra que contém
todos os conjuntos do tipo A × B, com A ∈ M e B ∈ N, e A é, também,
uma σ-álgebra que contém estes conjuntos, concluímos que M ⊗ N ⊆ A, o
que demonstra a) e b).
A demonstração de c) fica para o exercício 8.
Exemplo 5.1.11.
o espaço de Lebesgue: O produto de σ-álgebras de Lebesgue não é uma
σ-álgebra de Lebesgue. Sabemos que
n=1
A ∈ L(R N ) e B ∈ L(R M ) =⇒ A × B ∈ L(R N+M ),
e, por esta razão, continua a ser válida a conclusão:
L(R N ) ⊗ L(R M ) ⊆ L(R N+M ).
No entanto, existem conjuntos E ∈ L(R N+M ) cujas secções não são, todas,
Lebesgue-mensuráveis. Por exemplo, se A tem medida nula, então A × B é
Lebesgue-mensurável, mesmo que B o não seja. Concluímos, deste facto, e do
teorema anterior, que
(i) L(R N ) ⊗ L(R M ) = L(R N+M ).

302 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Aplicando a definição 5.1.8 ao espaço de Lebesgue (R N , L(R N ), mN), então
(ii) f : R N → R é L(R N )-mensurável ⇔ Ω R N(f) ∈ L(R N ) ⊗ L(R), e
Aplicando a definição “original” 3.1.1, temos
(iii) f : R N → R é L-mensurável ⇔ Ω R N(f) ∈ L(R N+1 ).
Apesar de L(R N ) ⊗ L(R) = L(R N+1 ), a discrepância entre (ii) e (iii) é apenas
aparente, e deixamos como exercício (12) verificar que
Ω R N(f) ∈ L(R N+1 ) =⇒ Ω R N(f) ∈ L(R N ) ⊗ L(R).
Por outras palavras, a classe das funções L-mensuráveis, no sentido de 3.1.1, é
a classe das funções L(R N )-mensuráveis, no sentido de 5.1.8.
As ideias sobre funções simples generalizam-se, sem qualquer dificuldade,
ao contexto mais geral de um espaço (X, M,µ). Tal como nos espaços de
Borel e de Lebesgue, temos
Lema 5.1.12. Se s : S → R é simples em E ⊆ S ⊆ X, então s é M-mensurável
em S se e só se existe uma partição finita P do conjunto A =
{x ∈ E : s(x) = 0}, em conjuntos M-mensuráveis, P = {A1,A2, · · · ,An},
tais que s é constante em cada conjunto Ai.
Continuamos a dizer que a partição P é apropriada à função s, no
conjunto E, se é formada por conjuntos mensuráveis, s é constante em cada
conjunto em P, e P é uma cobertura do conjunto A. As fórmulas para
o cálculo de integrais de funções simples que vimos em 3.4.4 mantêm-se
inalteradas:
Proposição 5.1.13 (Integrais de funções simples). Seja s : S → R simples
M-mensurável em S, e P = {A1,A2, · · · ,An} uma partição apropriada a
s. Se s(x) = αi quando x ∈ Ai, então:
a) s é somável em S se e só se n i=1 |αi|µ(Ai) < +∞.
b) Se o integral de s em ordem a µ existe,
S sdµ = n i=1 αiµ(Ai).
Demonstração. Demonstramos apenas b), e para o caso s ≥ 0. Como Ai ∈
M, os conjuntos Ri = Ai×]0,αi[ são M ⊗ B(R)-mensuráveis. temos
E
ΩE(s) = Ω +
E (s) =
sdµ = (µ ⊗ m)(ΩE(s)) =
n
Ai×]0,αi[, donde
i=1
n
(µ ⊗ m)(Ai×]0,αi[) =
i=1
n
αiµ(Ai).
i=1

5.1. A Medida µ ⊗ m 303
Exemplo 5.1.14.
espaços de probabilidade: Seja (X, M, µ) um espaço de probabilidades, e
s : X → R uma variável aleatória simples. Suponha-se que s assume os valores
a1, a2, · · · , an, respectivamente, nos conjuntos A1, A2, · · · , An. Na terminologia
usual da teoria das probabilidades, temos:
• O conjunto Ai é o acontecimento “s(x) = ai”,
• µ(Ai) é a probabilidade de Ai, i.e., a probabilidade de “s(x) = ai”.
O integral de s em ordem a µ é
X
sdµ =
n
αiµ(Ai),
e é claramente o valor médio (ou expectável) da variável aleatória s.
i=1
O teorema 5.1.7 não contém nenhuma afirmação sobre a unicidade da
medida µ ⊗ m. Portanto, não é por enquanto claro se a definição 5.1.8 é
ambígua, no que diz respeito ao valor do integral de uma função em ordem
à medida µ. No entanto, é óbvio do lema 5.1.13 que essa ambiguidade não
existe para funções simples M-mensuráveis. Veremos no teorema 5.2.11 que
as funções M-mensuráveis podem ser aproximadas por funções simples Mmensuráveis,
o que nos permitirá mostrar que o integral tal como definido
em 5.1.8 é único.
Antes de passarmos à demonstração do teorema 5.1.7, notamos que este
é mais um “problema de extensão”, análogo aos problemas de Borel, de
Lebesgue, e de Stieltjes. Num problema deste tipo, dada uma classe C de
subconjuntos de um conjunto fixo S, e uma função λ : C → [0,+∞] definida
apenas para os conjuntos em C, pretende-se determinar um espaço de medida
(S, A,ρ) que seja extensão de (S, C,λ), i.e., tal que
A ⊇ C e ρ(E) = λ(E), para qualquer E ∈ C.
As ideias que usámos para resolver o problema “fácil” de Lebesgue podem
ser adaptadas para resolver problemas mais gerais, desde que certas
hipóteses auxiliares apropriadas sejam satisfeitas. A técnica base não sofre
qualquer modificação, e consiste em
• Usar a função “original” λ para definir uma medida exterior λ ∗ ,
• Considerar a σ-álgebra Mλ ∗, formada pelos conjuntos λ∗ -mensuráveis,
• Tomar ρ igual à restrição da medida exterior λ ∗ à σ-álgebra A = Mλ ∗.

304 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
P(S)
Mλ ∗
C
Figura 5.1.2: As funções λ : C → [0,+∞], ρ : Mλ ∗ → [0,+∞], e λ∗ :
P(S) → [0,+∞].
Teorema 5.1.15. Seja C ⊆ P(S), e λ : C → [0,+∞] uma função não
identicamente +∞, e σ-aditiva em C. Supomos que C é uma semi-álgebra
em S, e uma cobertura sequencial de S. Definimos λ∗ : P(S) → [0, ∞] por
λ ∗
∞
∞
(E) = inf λ(En) : E ⊆ En, com En ∈ C .
Temos então que
n=1
a) λ ∗ é uma medida exterior em S, e portanto a restrição de λ ∗ à classe
Mλ ∗, formada pelos conjuntos λ∗ -mensuráveis, é uma medida ρ.
b) ρ é uma extensão de λ, i.e., C ⊆ Mλ∗, e ρ(E) = λ(E), para qualquer
E ∈ C.
Demonstração. a) é imediato de 2.5.4 e 2.5.15. Para verificar b), mostramos
primeiro que
(i) λ ∗ (E) = λ(E), para qualquer E ∈ C:
Demonstração. Se E ∈ C, podemos tomar, na definição de λ ∗ (E),
E1 = E, e, para n > 1, En = ∅. Obtemos imediatamente que
λ ∗ (E) ≤ λ(E). Por outro lado, como λ é σ-aditiva na semi-álgebra C,
é igualmente σ-subaditiva em C, e, portanto, se E,En ∈ E, temos
E ⊆
∞
En =⇒ λ(E) ≤
n=1
n=1
λ ∗
∞
λ(En) =⇒ λ(E) ≤ λ ∗ (E).
n=1
Concluímos que λ ∗ (E) = λ(E), quando E ∈ C.
Deixamos como exercício a seguinte afirmação, análoga a 2.2.10:
ρ
λ

5.1. A Medida µ ⊗ m 305
(ii) E ∈ Mλ ∗ ⇔ λ(C) = λ∗ (C ∩ E) + λ ∗ (C ∩ E c ), para qualquer C ∈ C.
(iii) C ⊆ Mλ ∗.
Demonstração. Se E,C ∈ C, então C ∩ E,C ∩ E c ∈ C, porque C é
uma semi-álgebra. Como λ ∗ (C) = λ(C) para C ∈ C, e λ é aditiva em
C, temos λ∗ (C ∩ E) + λ∗ (C ∩ Ec ) = λ(C ∩ E) + λ(C ∩ Ec ) = λ(C).
Concluímos de (ii) que C ⊆ Mλ∗, o que termina a verificação de b).
Se C é uma álgebra em S, o teorema (5.1.15) pode enunciar-se como o:
Corolário 5.1.16 (Teorema de Extensão de Hahn ( 1 )). Se C é uma álgebra
em S, λ : C → [0, ∞], e λ(∅) = 0, então existe um espaço de medida (S, A,ρ)
que é extensão de (S, C,λ) se e só se λ é σ-aditiva em C.
Demonstração. Basta observar que se C é uma álgebra em S, então é uma
cobertura sequencial de S.
Exemplo 5.1.17.
A definição que demos da medida de Lebesgue é uma aplicação directa do
teorema 5.1.15. Neste caso, temos S = R N , podemos tomar C = E(R N ), ou
C = J (R N ), e é claro que λ = cN é o conteúdo de Jordan.
Designamos por R a classe dos conjuntos da forma A×B, onde A ∈ M e
B ∈ B(R), que chamaremos aqui “rectângulos”, e definimos λ : R → [0,+∞]
por λ(A × B) = µ(A)m(B). Para demonstrar o teorema 5.1.7, seguiremos
os seguintes passos:
• Provamos que λ é σ-aditiva em R. Usaremos aqui o teorema de Beppo
Levi, tal como se aplica no espaço de Lebesgue usual.
• Introduzimos a classe C = E, dos conjuntos que são uniões finitas de
“rectângulos” em R, que diremos serem conjuntos “elementares”.
• Definimos λ em toda a classe E, usando a aditividade de λ em R.
• Mostramos que E é uma álgebra em S = X × R, e usamos o teorema
de extensão de Hahn.
Proposição 5.1.18. λ é σ-aditiva, e portanto aditiva, na classe R.
1 Hans Hahn, austríaco, 1879-1934, mais conhecido pelo “Teorema de Hahn-Banach”
da Análise Funcional.

306 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Demonstração. Supomos que An ∈ M, Bn ∈ B(R), e os “rectângulos”
An × Bn são disjuntos. Temos a provar que, se A ∈ M, B ∈ B(R), e
A × B =
∞
An × Bn, então µ(A)m(B) =
n=1
∞
µ(An)m(Bn).
As secções destes conjuntos, para y ∈ R fixo, são muito fáceis de determinar.
(An × Bn) y =
An, se y ∈ Bn,
∅, se y ∈ Bn,
n=1
, e (A × B) y =
A, se y ∈ B,
∅, se y ∈ B.
As seguintes identidades são trivialmente válidas para qualquer y ∈ R:
µ((A × B) y ) = µ(A)χB(y), e µ((An × Bn) y ) = µ(An)χBn(y).
As secções (An × Bn) y são, também, conjuntos disjuntos, e
µ((A × B) y ) =
(A × B) y =
∞
(An × Bn) y , donde
n=1
∞
µ((An × Bn) y ), i.e., µ(A)χB(y) =
n=1
∞
µ(An)χBn(y).
Esta última identidade pode ser integrada termo-a-termo, de acordo com o
teorema de Beppo Levi, porque é uma série de funções Borel-mensuráveis,
não-negativas. Temos, por isso:
µ(A)m(B) =
∞
µ(An)m(Bn), ou λ(A × B) =
n=1
n=1
∞
λ(An × Bn).
Sendo E a classe dos conjuntos que são uniões finitas de conjuntos em R,
e que dizemos conjuntos “elementares”, notamos agora que, analogamente
ao que observámos em 1.1.9, e em 1.1.10, temos:
n=1
Proposição 5.1.19. Se E é “elementar”, i.e., se E ∈ E então
a) E é uma união finita de “rectângulos” em R disjuntos, e
b) Se P = {A1 × B1,A2 × B2, · · · ,Am × Bm} e Q = {C1 × D1,C2 ×
D2, · · · ,Cn × Dn} são partições de E em “rectângulos” em R, então
m
λ(Aj × Bj) =
j=1
n
λ(Ck × Dk).
k=1

5.1. A Medida µ ⊗ m 307
Demonstração. Basta-nos observar que a classe R é fechada em relação a
intersecções, e a diferença de dois conjuntos em R é uma união disjunta
finita de conjuntos em R. A demonstração pode, portanto, ser concluída
como no caso de 1.1.9.
Tal como no Capítulo 1, alargamos a definição de λ aos conjuntos “elementares”:
Definição 5.1.20. Se E ∈ E e P = {A1 ×B1,A2 ×B2, · · · ,An ×Bn} é uma
partição de E em conjuntos de R, definimos
λ(E) =
n
λ(Aj × Bj) =
j=1
n
µ(Aj)m(Bj).
O seguinte resultado é uma consequência quase trivial de 5.1.18:
Proposição 5.1.21. λ é σ-aditiva, e portanto aditiva, na álgebra E.
j=1
Segue-se do teorema de extensão de Hahn (5.1.16) que
Teorema 5.1.22. Existe um espaço de medida (X × R, N,ρ) tal que
R ⊆ E ⊆ N, e ρ(E) = λ(E), para qualquer E ∈ E.
Como a σ-álgebra N referida acima contém a classe R, é claro que
M ⊗ B(R) ⊆ N.
A medida ρ está assim definida, em particular, em M ⊗ B(R), e designamos
por µ ⊗ m a sua restrição a M ⊗ B(R). Esta observação termina a demonstração
do teorema 5.1.7. Note-se para posterior referência que
5.1.23. Se E ∈ M ⊗ B(R) então
∞
µ ⊗ m(E) = inf{ µ(An)m(Bn) : E ⊆
n=1
∞
An × Bn,An ∈ M,Bn ∈ B(R)}.
Algumas propriedades elementares do integral de Lebesgue resultam da
invariância da medida de Lebesgue, em relação a translacções, e reflexões.
As propriedades de invariância da medida µ ⊗ m são mais limitadas, e
resumem-se em geral ao que chamaremos aqui de invariância em relação
a “translacções verticais”, e a “reflexões em X”. Para definir este tipo de
“translacções” e “reflexões”, seja A ⊆ X ×R (ver a figura 5.1.3). Escrevemos
os pontos de X × R na forma (x,y), onde x ∈ X, e y ∈ R. Se z ∈ R, então
• B = {(x,y + z) ∈ X × R : (x,y) ∈ A} é uma translação vertical
de A, e
n=1

308 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
R
B
A
C
Figura 5.1.3: translação e reflexão de A.
• C = {(x, −y) ∈ X × R : (x,y) ∈ A} é a reflexão de A em X.
Proposição 5.1.24. Seja A ⊆ X × R, e B e C como descrito acima.
a) Invariância sob translacções verticais: B é M ⊗ B(R)-mensurável se
e só se A é M⊗B(R)-mensurável, e neste caso µ⊗m(A) = µ⊗m(B).
b) Invariância sob reflexões em X: C é M⊗B(R)-mensurável se e só se
A é M ⊗ B(R)-mensurável, e neste caso µ ⊗ m(A) = µ ⊗ m(C).
Demonstração. A invariância da classe M ⊗ B(R) em relação às operações
indicadas é o exercício 11. A invariância da medida ρ em relação às mesmas
operações é uma consequência directa da evidente invariância da medida
exterior λ ∗ em relação a essas operações.
Exercícios.
1. Complete a demonstração de 5.1.15. sugestão: Tem apenas que provar a
afirmação (ii) referida na demonstração.
2. Seja S = {1, 2, 3}, C = {∅, {1},{2, 3}, S}, e λ : C → [0, +∞[ dada por
λ(E) = #(E). Definimos λ∗ : P(X) → [0, +∞[ por:
λ ∗
∞
∞
(E) = inf λ(En) : E ⊆ En, com En ∈ C, para qualquer n ∈ N .
n=1
n=1
a) Determine a classe Mλ ∗ dos conjuntos λ∗ -mensuráveis.
b) Prove que Mλ∗ não é a maior álgebra onde existe uma extensão de λ.
z
X

5.2. Funções Mensuráveis e Integrais 309
3. Mantendo a notação de 5.1.15, mostre que
a) Mλ ∗ é a maior σ-álgebra que contém C, e onde λ∗ é uma medida.
Se o espaço (S, Mλ∗, ρ) é σ-finito, temos ainda
b) ρ é a única extensão de λ a σ-álgebras A ⊆ Mλ∗, e
c) (S, Mλ∗, ρ) é a menor extensão completa de λ.
4. Sendo f : R → R, calcule o integral de f em R, em ordem à medida de Dirac.
5. Calcule o integral da função de Dirichlet em R, em ordem à medida de Cantor.
6. Considere o espaço (N, P(N), #), e sejam f, g : N → [0, ∞] sucessões não
negativas. Seja ainda λ o integral indefinido de g. Mostre que
fdλ = fgd#.
N
7. Se E ⊆ X, e µ(E) = 0, é necessariamente verdade que qualquer função
f : E → R é µ-somável em E, e
fdµ = 0?
E
8. Mostre que, se f : E → [0, ∞] é M-mensurável e λ ≥ 0, então os conjuntos
F(λ) = {x ∈ E : f(x) > λ} e G(λ) = {x ∈ E : f(x) < −λ} são M-mensuráveis
(5.1.10 c)).
9. Mostre que se s : X → R é simples, e f(X) = {a1, · · · , an}, então f é Mmensurável
se e só se os conjuntos Ak = f −1 (ak) são M-mensuráveis (Lema
5.1.12).
10. Mostre que se s : X → R é simples e assume os valores a1, a2, · · · , an
respectivamente nos conjuntos mensuráveis A1, A2, · · · , An, e E ∈ M, então
temos
N
E sdµ = n
k=1 akµ(Ak ∩E), desde que s seja não-negativa, ou somável.
11. Mostre que M ⊗ B(R) é sempre fechada em relação a translacções verticais
e reflexões em X.
12. Mostre que Ω R N(f) ∈ L(R N+1 ) =⇒ Ω R N(f) ∈ L(R N ) ⊗ L(R). (5.1.11).
13. Se o espaço (X, M, µ) é completo, o espaço (X × R, M ⊗ B(R), µ ⊗ m) é
sempre completo?
5.2 Funções Mensuráveis e Integrais
As propriedades elementares do integral de Lebesgue, tal como demonstradas
na secção 3.1, mantêm-se essencialmente inalteradas. Para generalizar os
respectivos enunciados para o contexto de um espaço de medida arbitrário
(X, M,µ), basta em geral supor que as funções em causa estão definidas

310 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
em subconjuntos de X, substituir as referências à medida de Lebesgue mN
por referências a µ, e ler as expressões “mensurável” e “somável”, respectivamente,
como “M-mensurável” e “µ-somável”. Esta observação é igualmente
válida para definições, e usamos como exemplo 3.1.3:
Definição 5.2.1 (Funções Vectoriais: Mensurabilidade e Integral). Se E ⊆
S ⊆ X, e f : S → R M , donde f = (f1,f2, · · · ,fM), com fk : S → R, então
a) f é M-mensurável em E se e só se as funções fk são M-mensuráveis
em E, para 1 ≤ k ≤ M, no sentido de 5.1.8.
b) f é µ-somável em E se e só as funções fk são µ-somáveis em E.
c) Se f é M-mensurável em E, o integral de lebesgue de f (em
ordem a µ) em E é dado por
E
fdµ =
E
f1dµ, f2dµ, · · · , fMdµ ,
E
E
sempre que todos os integrais de Lebesgue à direita estão definidos.
Exemplo 5.2.2.
funções mensuráveis complexas: Seja f : X → C uma função complexa,
donde f(x) = u(x) + iv(x), com u, v : X → R. A função f é M-mensurável
se e só se as funções u, e v são M-mensuráveis, e o integral de f é dado por
fdµ = udµ + i vdµ,
E
sempre que existem os integrais de u e de v no conjunto E.
E
Em particular, os enunciados e demonstrações dos resultados 3.1.7 a
3.1.13 não requerem qualquer alteração substancial. Ilustramos este facto
com a proposição 3.1.13, que pode ser ligeiramente simplificada com terminologia
introduzida no Capítulo anterior.
Teorema 5.2.3. Se f : X → R é M-mensurável, e se f ≥ 0 µ-qtp, ou se f
é µ-somável, e
λ(E) = fdµ, para qualquer E ∈ M,
então λ é uma medida em M, e λ ≪ µ.
E
Demonstração. Provamos este teorema apenas para f não-negativa. Para
mostrar que λ é uma medida positiva basta-nos provar que λ é σ-aditiva, já
E

5.2. Funções Mensuráveis e Integrais 311
que λ(∅) = 0. Consideramos conjuntos disjuntos e M-mensuráveis En tais
que E = ∞ n=1 En, e observamos que:
∞
ΩE(f) = ΩEn(f), onde os conjuntos ΩEn(f) são disjuntos, donde
n=1
(µ ⊗ m)(ΩE(f)) =
∞
(µ ⊗ m)(ΩEn(f)), i.e., λ(E) =
n=1
Como ΩE(f) ⊆ E × R, é claro que, se µ(E) = 0, então
∞
λ(En).
n=1
0 ≤ λ(E) = (µ ⊗ m)(ΩE(f)) ≤ (µ ⊗ m)(E × R) = µ(E)m(R) = 0.
Alguns dos enunciados que apresentámos não são válidos para qualquer
espaço de medida, e requerem entre as suas hipóteses propriedades mais específicas
do espaço em causa. Por exemplo, a propriedade 3.1.5 é válida se
o espaço (X, M,µ) for completo, e o teorema 3.1.12 é válido para espaços
σ-finitos. Em certos casos, pode ser vantajoso enfraquecer as conclusões,
sem perder generalidade nas hipóteses. Por exemplo, o teorema 3.1.12 pode
ser modificado como se segue
Teorema 5.2.4. Seja E ⊆ X, e f : E → R. Então( 2 )
ΩE(f) ∈ M ⊗ B(R) ⇐⇒ ΣE(f) ∈ M ⊗ B(R) =⇒
(µ ⊗ m)(ΩE(f)) = (µ ⊗ m)(ΣE(f)).
Os teoremas sobre limites e integrais que estudámos na secção 3.2 são,
essencialmente, corolários do teorema da convergência monótona para medidas,
que é válido para qualquer medida. Estes resultados são por isso
aplicáveis em qualquer espaço de medida (X, M,µ).
O lema 3.2.1 é independente do domínio de definição das funções em
causa, ou seja, é aplicável a funções fn : E → R, com E ⊆ X. O teorema
3.2.2, que é sobretudo um corolário deste lema, pode agora ser enunciado
como se segue:
Teorema 5.2.5. Se as funções fn : E → R são M-mensuráveis em E ⊆ X,
então as funções definidas como se segue são M-mensuráveis em E:
g(x) = sup{fn(x) : n ∈ N},h(x) = inf{fn(x) : n ∈ N},
G(x) = lim supfn(x),H(x)
= lim inf
n→∞
n→∞ fn(x)
Se f(x) = lim
n→∞ fn(x) para qualquer x ∈ E então f é M-mensurável em E.
2 +
Os conjuntos ΣE(f) = Σ E (f) ∪ Σ−
E (f) definem-se por
Σ +
E(f) = {(x,y) ∈ X × R : x ∈ E, e 0 < y ≤ f(x)},
Σ −
E(f) = {(x,y) ∈ X × R : x ∈ E, e 0 > y ≥ f(x)}.

312 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Este teorema, combinado com o teorema da convergência monótona de
Lebesgue para medidas, conduz directamente aos clássicos resultados sobre
limites e integrais, correspondentes aos teoremas 3.2.3 a 3.2.7, que não têm
qualquer alteração nos respectivos enunciados:
Teorema 5.2.6 (Teorema de Beppo Levi). Se as funções fn : E → [0,+∞]
são M-mensuráveis em E ⊆ X, e formam uma sucessão crescente, então
f(x) = limn→∞ fn(x) é M-mensurável em E, e
lim
n→∞ fndµ
= lim fndµ.
n→∞
E
Teorema 5.2.7 (Teorema de Beppo Levi (II)). Se as funções fn : E →
[0,+∞] são M-mensuráveis em E ⊆ X, e formam uma sucessão decrescente,
então f(x) = limn→∞ fn(x) é M-mensurável em E, e se alguma
função fn é µ-somável, então
lim
n→∞ fndµ
= lim fndµ.
n→∞
E
Lema 5.2.8 (Lema de Fatou). Se as funções fn : E → [0,+∞] são Mmensuráveis
em E ⊆ X, então
lim inf
n→∞ fndµ
≤ lim inf fndµ.
n→∞
E
Teorema 5.2.9 (Lema de Fatou (II)). Se as funções fn : E → [0,+∞] são
M-mensuráveis em E ⊆ X, e existe uma função µ-somável F : E → [0,+∞]
tal que fn(x) ≤ F(x), µ-qtp em E, então
lim sup
n→∞
E
fndµ ≤
E
E
E
E
lim supfndµ.
n→∞
Estes resultados provam-se com adaptações óbvias dos argumentos que
apresentámos em 3.2. Ilustramos esta afirmação com a demonstração do
teorema de Beppo Levi.
Demonstração. Sabemos que f(x) = sup{fn(x) : n ∈ N} é M-mensurável,
de acordo com 5.2.5. Sabemos igualmente que
Ω + E (f) =
∞
n=1
Ω + E (fn).
Como os conjuntos Ω +
E (fn) formam uma sucessão crescente, segue-se, do
teorema da convergência monótona para medidas 2.1.13, que
(µ ⊗ m)(Ω +
E (fn)) → (µ ⊗ m)(Ω +
E (f)), i.e., fndµ → fdµ.
E
E

5.2. Funções Mensuráveis e Integrais 313
A proposição 3.4.6, sobre funções simples mensuráveis, mantem-se inalterada,
exactamente com a mesma demonstração:
Proposição 5.2.10. Seja E ⊆ S ⊆ X, c ∈ R, e s,t : S → R funções
simples M-mensuráveis em E. Temos então:
a) cs, s + , s − , |s|, s + t, e st são simples, e M-mensuráveis em E.
Se s e t são não-negativas em E, ou se s e t são µ-somáveis em E,
temos ainda
b) Aditividade:
(s + t)dµ = sdµ + E tdµ.
E
c) Homogeneidade:
E
E
(cs)dµ = c(
E sdµ).
Os resultados sobre funções mensuráveis que estudámos em 3.4 resultam,
em larga medida, das funções mensuráveis serem limites de funções simples
mensuráveis, como provámos em 3.4.7. Este último resultado é também
válido em qualquer espaço de medida.
Teorema 5.2.11. Se f : E → R, onde E ⊆ X, então f é M-mensurável
se e só existe uma sucessão de funções simples M-mensuráveis sn : E → R
tais que sn(x) → f(x), e |sn(x)| ր |f(x)|. Neste caso, e se f ≥ 0, ou se f
é µ-somável, temos ainda que
sndµ → fdµ.
E
O teorema 3.4.9, sobre operações algébricas que envolvem funções com
valores em R, não requer qualquer adaptação:
Teorema 5.2.12. Se f,g : E → R são M-mensuráveis, então
a) A função fg é M-mensurável em E.
b) As funções f +g e f −g são M-mensuráveis, nos conjuntos onde estão
definidas.
O teorema 5.2.13 é uma versão abstracta de 3.4.10, e é um corolário
directo de 5.2.11, tal como 3.4.10 é um corolário de 3.4.7.
Teorema 5.2.13. Sejam f,g : E → R M-mensuráveis em E, e c ∈ R. Se
f,g ≥ 0 em E, ou se f e g são finitas e µ-somáveis em E, então
a) Aditividade:
E (f + g)dµ = E fdµ + E gdµ.
b) Homogeneidade:
E
E
(cf)dµ = c
E fdµ .
O teorema 3.4.12, sobre limites de sucessões de funções mensuráveis, é
também completamente geral.

314 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Teorema 5.2.14. Se as funções fn : E → R são M-mensuráveis em E ⊆
X, F ⊆ E é o conjunto onde existe limn→∞ fn(x), e f : F → R é dada por
f(x) = limn→∞ fn(x), então f é M-mensurável em F.
Os diversos critérios de mensurabilidade que vimos em 3.4.15, e aplicáveis
a funções definidas em conjuntos mensuráveis, não sofrem qualquer alteração.
Teorema 5.2.15. Seja E ⊆ X um conjunto M-mensurável. Se f : E → R,
então as seguintes condições são equivalentes:
a) {x ∈ E : f(x) > λ} é M-mensurável, para qualquer λ ∈ R.
b) f −1 (I) é M-mensurável, para qualquer intervalo I ⊆ R.
c) f é M-mensurável em E.
O resultado em 3.4.17, relativo à composição com funções Borel-mensuráveis,
é aplicável independentemente da natureza da σ-álgebra M:
Teorema 5.2.16. Seja E ⊆ R N um conjunto M-mensurável, e f1, f2,
· · ·, fM : E → R funções M-mensuráveis em E. Se f = (f1,f2, · · · ,fM),
e g : R M → R é Borel-mensurável, então a composta h = g ◦ f é Mmensurável
em E.
A relação “≃” de equivalência entre funções, i.e., de igualdade qtp, é
facilmente generalizável a espaços de medida arbitrários. Se f,g : X → R,
dizemos que f ≃ g se e só se µ({x ∈ X : f(x) = g(x)} = 0. Designaremos
por Fµ(E) o espaço das classes de equivalência de funções f : E → R Mmensuráveis
em E, e por L 1 µ(E) o correspondente espaço das classes de
funções µ-somáveis. Este espaço é um espaço vectorial normado, com a
norma f 1 =
E |f|dµ.
Exemplo 5.2.17.
o espaço ℓ1 : Se µ é a medida de contagem, então a relação ≃ é a igualdade
usual, i.e., f ≃ g ⇔ f = g. O espaço Fµ(N) é o conjunto de todas as sucessões
reais, e o espaço L1 µ(N) é formado pelas sucessões reais tais que ∞ n=1 |f(n)| <
∞. Este espaço é usualmente designado por ℓ1 .
O Teorema da Convergência Dominada pode enunciar-se como se segue:
Teorema 5.2.18 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Sendo
fn ∈ L1 µ (E), suponha-se que existe uma função somável F : E → [0,+∞] tal
que |fn(x)| ≤ F(x), µ-qtp em E, e limn→∞ fn(x) existe µ-qtp em E. Seja
ainda f(x) = limn→∞ fn(x) onde este limite existe. Temos então
a) f ∈ L 1 µ (E),
b) fn → f em L 1 µ(E), e em particular,

5.2. Funções Mensuráveis e Integrais 315
c)
E fndµ →
E fdµ, quando n → ∞.
Demonstração. Supomos sem perda de generalidade que
• As funções fn e F são finitas em E,
• f(x) = limn→∞ fn(x), para qualquer x ∈ E, e
• |fn(x)| ≤ F(x), também para qualquer x ∈ E.
A função f é M-mensurável em E. Como |f(x)| ≤ F(x), concluímos que f é
µ-somável e finita em E. Consideramos as funções auxiliares gn = |fn −f| ≥
0, e aplicamos o Lema de Fatou (II), para concluir que
lim sup
n→∞
E
|fn − f|dµ ≤ 0, ou lim
n→∞
Segue-se da desigualdade triangular que
0 ≤
fndµ −
fdµ
≤
E
E
E
E
|fn − f|dµ = 0.
|fn − f|dµ → 0.
Os teoremas sobre a integração de séries de funções mensuráveis não
sofrem modificações, e L1 µ (E) é sempre um espaço de Banach.
Teorema 5.2.19. Se as funções fn : E → [0,+∞] são M-mensuráveis,
então
∞
∞
dµ =
fndµ .
E
n=1
fn
n=1
Teorema 5.2.20. Suponha-se que fn ∈ L1 µ (E) e
Temos então que:
∞
fn1 =
n=1
∞
(
n=1
E
E
|fn|dµ) < +∞.
a) A série ∞
n=1 fn(x) converge absolutamente µ-qtp em E,
b) Existem funções M-mensuráveis f : E → R tais que f(x) = ∞
n=1 fn(x),
µ-qtp em E, e
c) Se f : E → R é M-mensurável em E e f(x) = ∞
n=1 fn(x), µ-qtp em
E, então f é µ-somável em E, e
lim
m→∞
E
|f −
m
fn(x)|dµ = 0, donde
n=1
E
∞
( fn)dµ =
n=1
∞
(
n=1
E
fndµ).

316 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Corolário 5.2.21. Se fn ∈ L1 µ(E) e ∞ n=1 fn1 < +∞, então existe f ∈
L1 µ(E) tal que m n=1 fn − f1 → 0. Em particular, L1 µ(E) é um espaço de
Banach.
Vimos na secção 3.6 diversos resultados sobre a aproximação de funções
mensuráveis por funções contínuas, dos quais o principal é o teorema de
Vitali-Luzin. Estes resultados podem ser facilmente adaptados a qualquer
medida de Lebesgue-Stieltjes regular e σ-finita, e são válidos em particular
para qualquer medida de Lebesgue-Stieltjes localmente finita, como é o caso
da própria medida de Lebesgue.
Supomos então que µ é uma medida positiva σ-finita, definida e regular
em M ⊇ B(R N ). O argumento utilizado para demonstrar o corolário 3.6.2
é aplicável a µ, de acordo com o corolário 4.4.12 e), e temos portanto
Lema 5.2.22. Sendo E ⊆ R N um conjunto mensurável com µ(E) < ∞, e
ε > 0, existe f ∈ Cc(R N ) tal que
0 ≤ f ≤ 1, e µ({x ∈ R N : f(x) = χE(x)}) < ε.
É simples generalizar o teorema 3.6.3 para qualquer espaço de medida,
e obtemos assim uma versão mais geral do:
Teorema 5.2.23 (de Vitali-Luzin). Seja f : R N → [0,1] uma função Mmensurável
que é nula no complementar de um conjunto de medida finita.
Se ε > 0, então existe g ∈ Cc(R N ) tal que
0 ≤ g ≤ 1, e µ x ∈ R N : f(x) = g(x) < ε.
Os corolários do teorema de Vitali-Luzin que apresentámos na secção
3.6 são aplicáveis com adaptações óbvias ao presente contexto. Deve notarse
apenas que 3.6.7 requer uma modificação mais significativa, porque só é
válido para medidas completas. Podemos enunciá-lo como se segue, supondo
que (R N , Mµ,µ) é a menor extensão completa do espaço de medida original:
Corolário 5.2.24. Seja f : R N → R finita µ-qtp. Temos então,
a) Se f é M-mensurável existem funções contínuas fn : R N → R tais
que fn(x) → f(x) µ-qtp em R N .
b) f é Mµ-mensurável se e só se existem funções contínuas fn : R N → R
tais que fn(x) → f(x) µ-qtp em R N .
Aproveitamos para generalizar a noção de integral de Lebesgue em ordem
à medida positiva µ para o caso em que µ é real (ou complexa) no espaço
(X, M), e f é uma função M-mensurável.

5.2. Funções Mensuráveis e Integrais 317
Definição 5.2.25 (Integral em ordem a medidas reais). Se f : X → R é
M-mensurável em E ⊆ X, e µ é uma medida real em M, o integral de f
em E, em ordem a µ é dado por:
fdµ =
E
E
fdµ +
− fdµ
E
− ,
se os integrais em ordem às medidas positivas µ + e µ − estão definidos, e a
expressão acima não conduz a indeterminações.
Dizemos que f é µ-somável em E se e só se
E fdµ < ∞.
Exemplos 5.2.26.
1. Se µ é uma medida real então f é µ-somável em E se e só se f é |µ|-somável
em E, no sentido da definição 5.1.8.
2. Se µ é uma medida complexa então µ = α+iβ, onde α e β são medidas reais,
e podemos definir
fdµ = fdα + i fdβ,
X X X
sempre que os integrais à direita estão definidos.
3. Se µ é uma medida real então L1 µ (E) = L1 |µ| (E), e o integral definido φ :
L1
µ (E) → R, dado por φ(f) = fdµ é uma transformação linear. Se µ é
E
positiva a transformação é também monótona, i.e., f ≤ g ⇒ φ(f) ≤ φ(g).
É interessante observar que, na expressão
X fdµ, podemos considerar,
em alternativa, a função f como fixa, e a medida µ como variável. Por
exemplo, se f : E → R é mensurável e limitada em E, então é µ-somável,
qualquer que seja a medida real µ definida em M.
Exemplos 5.2.27.
1. Seja M(B(R N )) o espaço de todas as medidas reais definidas em B(R N ).
Se f : R N → R é B-mensurável e limitada em E ⊆ R N , podemos definir
Ψ : M(B(R N )) → R por
Ψ(µ) =
E
fdµ.
2. Em particular, se f ∈ C0(R N ) e µ ∈ M(B(R N )), podemos definir
〈f, µ〉 =
R N
fdµ.
φ(f) = 〈f, µ〉 é um funcional linear em C0(R N ), e o teorema 5.2.28 mostra que
φ é contínuo na norma de L ∞ . Mostra igualmente que Ψ(µ) = 〈f, µ〉 é um
funcional linear contínuo no espaço de Banach M(B(R N )).( 3 )
3 Um dos famosos Teoremas de Representação de Riesz afirma que todos os funcionais
lineares contínuos no espaço de Banach C0(R N ) (com a norma de L ∞ ) são da forma
φ(f) = 〈f, µ〉, com µ ∈ M(B(R N )), conforme veremos mais adiante.

318 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
O próximo teorema indica algumas identidades sugeridas por estas observações.
A respectiva demonstração é o exercício 9.
Teorema 5.2.28. Seja f : X → R uma função M-mensurável, e µ e λ
medidas definidas em (X, M). Temos então:
a) Aditividade: Se f, µ e λ são não-negativas, ou se f é µ-somável e
λ-somável,
fd(µ + λ) = fdµ + fdλ.
X
X
b) Homogeneidade: Se f, µ e c ∈ R são não-negativos, ou se f é µsomável
e c ∈ R,
fd(cµ) = c fdµ .
X
c) Desigualdade Triangular: Se f é µ-somável,
X
X
fdµ
≤
X
X
|f|d(|µ|).
d) Continuidade: Supondo que f∞ = sup{|f(x)| : x ∈ X} < ∞, e
sendo µ = |µ|(X) < ∞, então f é µ-somável, e
fdµ
≤ f∞ µ.
Exercícios.
X
1. Seja (X, Mµ, µ) a menor extensão completa de (X, M, µ). Prove que f :
E → R é Mµ-mensurável em E se e só se existe uma função g : E → R,
M-mensurável em E, tal que g ≃ f em E.
2. Prove que o gráfico da função M-mensurável f tem medida µ⊗m nula, desde
que o espaço (X, M, µ) seja σ-finito, ou a função f seja µ-somável. sugestão:
suponha primeiro que µ(X) < +∞.
3. Considere o espaço (R, P(R), #), e a função f : R → R dada por f(x) = x.
a) Determine a medida (# ⊗ m)(GE(f)).
b) Determine as funções A(x) = m(GE(f)x), e B(y) = #(GE(f) y ). Determine
igualmente os integrais
Ad#, e R Bdm.
R
4. Dado um espaço (X, M, µ), considere uma função M-mensurável f : X →
[0, +∞], e seja λ o respectivo integral indefinido. Mostre que se g : X →
[0, +∞] é M-mensurável então
gdλ = gfdµ. Se g : X → R é µ-somável
E E
temos necessariamente que g : X → R é λ-somável? sugestão: Suponha
primeiro que g é simples.

5.3. O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue 319
5. Sejam µ e ν medidas em M, e µ a menor extensão completa de µ.
a) Qual é a relação entre os espaços L 1 µ e L 1 µ ?
b) Sendo δn a usual medida de Dirac no ponto n ∈ N, o que são os espaços
L1 δ0 (R), L1∆n (R), e L1∆ (R), quando
∆n =
n
∞
δk e ∆ = δn?
k=1
6. Suponha que f : X → R é µ-somável. Prove que para qualquer ε > 0 existe
δ > 0 tal que, para qualquer conjunto M-mensurável E,
µ(E) < δ =⇒
fdµ
≤
|f|dµ < ε.
E
7. Suponha que o espaço (X, M, µ) é completo, f : X → R, e f(x) = 0, µ-qtp
em X. A função f é sempre M-mensurável?
8. Sejam f, g : R → R funções crescentes e contínuas à direita, com derivadas
generalizadas µ e λ.
a) Mostre que se f e g são contínuas então é válida a seguinte fórmula de
integração por partes:
b b
fdλ + gdµ = f(b)g(b) − f(a)g(a)
a
a
b) A fórmula anterior é válida, mesmo que f e/ou g não sejam contínuas?
c) Supondo que µ e λ são medidas reais, a fórmula anterior é válida, quando
f e g são contínuas?
d) Suponha que h : R → R é B-mensurável, e prove a seguinte fórmula de
integração por substituição:
h ◦ fdµ = hdm
E
E
f(E)
9. Demonstre o teorema 5.2.28. Pode ser conveniente provar primeiro:
a) Se f é simples, mensurável e não negativa, e µ e λ são medidas positivas,
então
X fd(µ + λ) = X fdµ + X fdλ.
b) Se
f é mensurável e não negativa, e µ e λ são medidas positivas, então
fd(µ + λ) = fdµ + X fdλ.
X
X
5.3 O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue
Dado um espaço de medida (X, M,µ), e uma função M-mensurável f nãonegativa,
ou µ-somável, o respectivo integral indefinido, dado por
λ(E) = fdµ, para qualquer E ∈ M,
E
n=1

320 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
é sempre uma medida λ ≪ µ, como vimos em 5.2.3. Bastante mais difícil de
esclarecer é a questão de saber se qualquer medida λ ≪ µ é, efectivamente,
um integral indefinido em ordem a µ. A resposta (afirmativa) a esta questão
é o Teorema de Radon-Nikodym ( 4 ), que será discutido e demonstrado nesta
secção, e que se pode resumir informalmente como se segue:
As medidas absolutamente contínuas são os integrais indefinidos.
Veremos, simultaneamente, que qualquer medida λ definida em (X, M) pode
ser decomposta de forma única como uma soma λ = λa+λs de duas medidas,
onde λa é absolutamente contínua em relação a µ, e λs é singular em relação
a µ. Esta afirmação é o Teorema da Decomposição de Lebesgue, e o par
(λa,λs) é a Decomposição de Lebesgue de λ em relação a µ.
Exemplos 5.3.1.
1. A medida de Dirac δ, no espaço de Lebesgue (R, L(R), m), não é um integral
indefinido, porque δ é singular em relação a m.
2. A medida de Cantor ξ não é um integral indefinido no espaço (R, L(R), m),
porque ξ é igualmente singular. Se λ = m + ξ + δ, então a decomposição de
Lebesgue de λ é (m, ξ + δ).
A decomposição de Lebesgue foi mencionada no exercício 3 da secção
4.2. Define-se formalmente como se segue:
Definição 5.3.2 (Decomposição de Lebesgue ). Se λ e µ são medidas em
(X, M), uma decomposição de lebesgue de λ em relação a µ é um par
de medidas (λa,λs) em (X, M), tais que:
a) λ = λa + λs, e
b) λa ≪ µ, e λs⊥µ.
O seguinte resultado deve ser conhecido, do exercício mencionado:
Proposição 5.3.3. Sejam λ e µ medidas em (X, M).
a) Se λ ≪ µ e λ⊥µ, então λ = 0,
b) Se (λa,λs) e (λ∗ a ,λ∗s ) são decomposições de Lebesgue de λ em relação
a µ, então λa = λ∗ a , e λs = λ∗ s .
No que se segue nesta secção, todas as medidas mencionadas estão
definidas num espaço mensurável fixo (X, M). O nosso principal objectivo
é a demonstração de:
4 De Radon e Otto M. Nikodym, 1889-1974, matemático polaco, e colaborador de
Radon.

5.3. O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue 321
Teorema 5.3.4 (de Radon-Nikodym-Lebesgue (I)). Se λ e µ são medidas
positivas σ-finitas, existe uma função M-mensurável f : X → [0,+∞] e
uma medida positiva ν⊥µ tal que
λ(E) = fdµ + ν(E) para qualquer E ∈ M.
E
Como o integral indefinido da função f é uma medida absolutamente
contínua em relação a µ, este teorema estabelece também a existência da
decomposição de Lebesgue de λ em relação a µ. A unicidade desta decomposição
é a proposição 5.3.3, e portanto a medida ν e a classe de equivalência
de f em Fµ(X) são únicos.
Antes de demonstrarmos o teorema 5.3.4 exploramos algumas das suas
consequências mais imediatas. Se λ ≪ µ, obtemos:
Teorema 5.3.5 (de Radon-Nikodym (I)). Se λ e µ são medidas positivas
σ-finitas, e λ ≪ µ, existe uma função M-mensurável f : X → [0,+∞] tal
que
λ(E) = fdµ, para qualquer E ∈ M.
E
Demonstração. De acordo com 5.3.4, existe uma função M-mensurável f :
X → [0,+∞] e uma medida positiva ν⊥µ tal que
λ(E) =
E
fdµ + ν(E), para qualquer E ∈ M.
Como λ ≪ µ, o par (λ,0) é a (única) decomposição de Lebesgue de λ. É
por isso evidente que ν = 0.
Os resultados anteriores são facilmente adaptados a medidas reais.
Teorema 5.3.6 (de Radon-Nikodym-Lebesgue (II)). Se µ é uma medida
positiva σ-finita, e λ é uma medida real, existe f ∈ L1 µ (X) e uma medida
real ν⊥µ tal que
λ(E) = fdµ + ν(E) para qualquer E ∈ M.
E
Demonstração. Sendo λ = λ + − λ − a decomposição de Jordan de λ, é claro
que λ + e λ − são medidas positivas finitas em (X, M). O teorema 5.3.4
é aplicável às medidas λ + e λ − , donde existem funções M-mensuráveis
f+,f− : X → [0,+∞], e medidas positivas ν+, ν−⊥µ tais que
λ ±
(E) =
E
f±dµ + ν±(E), para qualquer E ∈ M.

322 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
É claro que as funções f+, f− e f = f+ − f− são µ-somáveis, as medidas ν+
e ν− são finitas, ν = ν+ − ν− é uma medida real, ν⊥µ, e
λ(E) = fdµ + ν(E), para qualquer E ∈ M.
E
Deixamos como exercício a demonstração de
Teorema 5.3.7 (de Radon-Nikodym (II)). Se µ é uma medida positiva
σ-finita, λ é uma medida real, e λ ≪ µ, existe f ∈ L 1 µ(X) tal que
λ(E) =
E
fdµ, para qualquer E ∈ M.
A função f que ocorre na decomposição de Lebesgue diz-se:
Definição 5.3.8 (Derivada de Radon-Nikodym). Se λ, µ, e ν são medidas,
e
λ(E) = fdµ + ν(E),
E
é a decomposição de Lebesgue de λ em ordem a µ, dizemos que f é a
derivada de Radon-Nikodym de λ em ordem a µ, e escrevemos f = dλ
dµ .
Exemplos 5.3.9.
1. Considere-se, no espaço (R, B(R), m), a medida λ = ρ + ξ, onde ξ é a medida
de Cantor, e ρ é o integral indefinido da função exponencial f(x) = e x .
Como ρ é absolutamente contínua, e ξ é singular, então λ = ρ + ξ é a decom-
posição de Lebesgue de λ em ordem a µ, e a derivada de Radon-Nikodym dλ
dm
é, evidentemente, a função exponencial.
2. Como ξ é singular, a derivada de Radon-Nikodym dξ
dm
é nula.
A noção de derivada de Radon-Nikodym é aplicável em circunstâncias
muito gerais( 5 ), e onde a derivada no sentido usual do termo pode não ter
qualquer significado. Podemos no entanto comparar a derivada usual de
uma função f : R → R com a derivada de Radon-Nikodym da sua derivada
generalizada µ, supondo que µ existe. Deve ser claro que do Capítulo
anterior que
5 Cauchy parece ter tido algumas noções intuitivas sobre este conceito, e a ideia de
continuidade absoluta, já em 1841. Discutiu de forma algo vaga a ideia de “magnitudes
coexistentes”, mas o exemplo que utilizou é muito sugestivo: a massa e o volume de um
corpo, onde, na terminologia moderna, a massa é a medida λ, o volume é a medida µ, e é
a medida de Lebesgue, e a derivada de Radon-Nikodym é a função “densidade”.

5.3. O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue 323
• O Teorema da Decomposição de Lebesgue (4.7.13 e 4.7.14) é o teorema
de Radon-Nikodym-Lebesgue para medidas na recta real, e mostra que
neste caso dµ
dm = f ′ .
• Se µ é uma medida absolutamente contínua na recta real, então
– O 1 o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que dµ
dm = f ′ , e
– O 2 o Teorema Fundamental do Cálculo é essencialmente o teorema
de Radon-Nikodym.
Passamos à demonstração do teorema 5.3.4, que organizamos numa sequência
de resultados parciais auxiliares. O argumento que utilizamos baseia-se
numa observação muito natural: supondo que λ e µ são medidas positivas
em (X, M), e temos
λ(E) = fdµ + ν(E), para qualquer E ∈ M,
E
onde ν é também uma medida positiva, é evidente que
(5.3.1) fdµ ≤ λ(E), para qualquer E ∈ M.
E
É por isso razoável procurar a derivada de Radon-Nikodym de λ em ordem
a µ na classe das funções que satisfazem a desigualdade 5.3.1, e é de esperar
que esta derivada seja a maior solução para esta desigualdade.
Definição 5.3.10. Seja Dλ a classe das funções M-mensuráveis g : X →
[0,+∞] tais que
gdµ ≤ λ(E) para qualquer E ∈ M.
E
É fácil obter sucessões crescentes em Dλ.
Lema 5.3.11. Se gk ∈ Dλ e fn = max{gk : k ≤ n}, então fn ∈ Dλ.
Demonstração. Basta-nos considerar n = 2, por razões óbvias. Se g =
f2 = max{g1,g2}, então g é uma função M-mensurável e não-negativa, e os
conjuntos F1 = {x ∈ X : g(x) = g1(x)}, e F2 = F c 1 são mensuráveis. É claro
que f(x) = g2(x) para x ∈ F2. Portanto, e sendo E ∈ M, temos:
gdµ = gdµ + gdµ = g1dµ + g2dµ ≤
E
E∩F1
E∩F2
E∩F1
≤λ(E ∩ F1) + λ(E ∩ F2) = λ(E),
E∩F2
dado que g1,g2 ∈ Dλ, e λ é uma medida. Concluímos que g ∈ Dλ.

324 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Como Dλ = ∅, podemos introduzir a seguinte definição auxiliar:
Definição 5.3.12. A função π : M → [0, ∞] é dada por
π(E) = sup{ gdµ : g ∈ Dλ}.
E
É evidente que π(E) ≤ λ(E) para qualquer E ∈ M. Provamos a seguir
que π é o integral indefinido de uma função f ∈ Dλ, sob a hipótese adicional
de λ e µ serem medidas finitas.
Lema 5.3.13. Se λ e µ são medidas positivas finitas, existe f ∈ Dλ tal que
π(E) =
E fdµ para E ∈ M.
Demonstração. Como π(X) = sup{
X gdµ : g ∈ Dλ}, existem funções gn ∈
Dλ tais que
X gndµ → π(X). Definimos fn = max{g1,g2,g3, · · · ,gn}, e
notamos que as funções fn ∈ Dλ, de acordo com 5.3.11.
As funções fn são mensuráveis, não-negativas, e fn(x) ր f(x). Segue-se,
do teorema de Beppo Levi, que f é uma função mensurável não-negativa, e
fndµ ր fdµ, para qualquer E ∈ M.
E
Como
E fndµ ≤ λ(E), para qualquer E ∈ M, temos
E
f ∈ Dλ.
E
fdµ ≤ λ(E), i.e.,
Para mostrar que π é o integral indefinido de f, note-se primeiro que, para
E = X, temos:
fndµ ր π(X) = fdµ.
X
Seja E ∈ M, e g ∈ Dλ. Sendo h = max{f,g}, segue-se de 5.3.11 que h ∈ Dλ.
Por definição de π, temos
fdµ + fdµ = fdµ = π(X) ≥ hdµ ≥ gdµ +
Ec fdµ.
E
E c
Concluímos que
π(E) ≥ fdµ ≥
E
É assim evidente que π(E) =
E
X
X
X
gdµ, para qualquer E ∈ M, e qualquer g ∈ Dλ.
E
fdµ, i.e., π é o integral indefinido de f.
Acabámos de provar que π é um integral indefinido, e é, por isso, uma
medida absolutamente contínua em relação a µ. Para concluir a demonstração
de 5.3.4, para o caso em que λ e µ são medidas positivas finitas,
resta-nos mostrar que a diferença ν = λ − π é singular em relação a µ.
E

5.3. O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue 325
Lema 5.3.14. Se λ e µ são medidas positivas finitas, e π é definido por
5.3.12, então ν = λ − π é uma medida positiva finita, e ν⊥µ.
Demonstração. λ e π são medidas positivas finitas e λ ≥ π, donde ν = λ−π
é uma medida positiva finita. Consideramos as medidas reais νn = ν − 1
n µ, e
designamos por (Pn,Nn) uma decomposição de Hahn para νn. Registamos
que
(1) Se P =
∞
Pn e N =
n=1
∞
Nn, então X = P ∪ N, e P ∩ N = ∅.
n=1
Como N ⊆ Nn para qualquer n, temos
νn(N) = ν(N) − 1
1
µ(N) ≤ 0, ou ν(N) ≤
n n µ(N).
Fazendo n → +∞, obtemos ν(N) = 0, e portanto
(2) ν está concentrada em P.
Seja agora f a função referida no lema 5.3.13, cujo integral indefinido é π.
Consideramos a função hn = f + 1
nχPn, e notamos que hn é uma função
mensurável não-negativa. Designamos o integral indefinido de hn por φn.
Provamos em seguida que hn pertence a Dλ, ou seja, que φn(E) ≤ λ(E)
para qualquer E ∈ M. Como π = λ − ν, um cálculo simples mostra que
φn(E) = π(E) + 1
n µ(E ∩ Pn) = λ(E) − ν(E) + 1
n µ(E ∩ Pn) =
= λ(E) − ν(E ∩ Nn) − ν(E ∩ Pn) + 1
n µ(E ∩ Pn) =
= λ(E) − ν(E ∩ Nn) − νn(E ∩ Pn).
Como ν ≥ 0 e Pn é νn-positivo, temos ν(E ∩ Nn) ≥ 0 e νn(E ∩ Pn) ≥ 0.
Portanto,
φn(E) = λ(E) − ν(E ∩ Nn) − νn(E ∩ Pn) ≤ λ(E), ou seja, hn ∈ Dλ.
Concluímos que µ(Pn) = 0, porque
hndµ = fdµ + 1
n µ(Pn)
≤ π(X) =
X
Como P = ∪ ∞ n=1 Pn, é claro que µ(P) = 0, i.e.,
Segue-se de (1), (2) e (3) que ν⊥µ.
X
(3) µ está concentrada em N.
X
fdµ.

326 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
A demonstração do Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue para medidas
σ-finitas é uma generalização relativamente simples destes argumentos.
Demonstração. Se as medidas µ e λ são σ-finitas, existem conjuntos Mmensuráveis
Xn, que podemos supor disjuntos, tais que
X =
∞
Xn, onde µ(Xn) < +∞, e λ(Xn) < +∞.
n=1
Definimos medidas λn, e µn, por
λn(E) = λ(E ∩ Xn), e µn(E) = µ(E ∩ Xn).
As medidas λn e µn são finitas, e estão concentradas em Xn. Existem, por
isso, funções M-mensuráveis não-negativas fn : X → [0,+∞], e medidas
positivas finitas νn, em ambos os casos concentradas em Xn, tais que
λn(E) = fndµn + νn(E), para qualquer E ∈ M, e νn⊥µn.
E
É simples verificar que
E fndµn =
E fndµ. Temos, portanto,
(1) λn(E) = fndµ + νn(E), para qualquer E ∈ M.
Definimos
Segue-se de (1) que:
(2) λ(E) =
f(x) =
E
∞
fn(x), e ν(E) =
n=1
∞
λ(E ∩ Xn) =
n=1
E n=1
∞
νn(E).
n=1
∞
λn(E) =
n=1
∞
∞
fndµ + νn(E) =
n=1
E
fdµ + ν(E).
Deixamos para o exercício 3 verificar que ν⊥µ, o que termina a demonstração
de 5.3.4.
Exemplo 5.3.15.
O teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue não é, em geral, válido, se as medidas
em causa não são σ-finitas. Deixamos para o exercício 1 o estudo dos casos
λ = m, e µ = #, bem como λ = #, e µ = m.
Exercícios.

5.4. Os Espaços L p 327
1. Considere a medida de contagem # e a medida de Lebesgue m, ambas
definidas em L(R). Existem decomposições de Lebesgue de # (respectivamente,
m) em relação a m (respectivamente, #)?
2. Demonstre 5.3.7.
3. Para concluir a demonstração do teorema de Radon-Nikodym esboçada acima,
mostre que:
a)
E fndµn =
E fndµ.
b) ν⊥µ.
4. Suponha que λ e µ são medidas positivas σ-finitas, e λ ≪ µ.
a) Mostre que se f é M-mensurável, e não-negativa, então
X
fdλ =
b) Prove que se f ∈ L1 dλ
λ (X) então f dµ ∈ L1
dλ
µ (X) e fdλ = f X X dµ dµ.
c) Mostre que µ ≪ λ se e só se dλ
dµ
= 0, µ-qtp, e que neste caso dλ
5. Suponha que λ, ν e µ são medidas positivas σ-finitas, e λ ≪ ν.
a) Prove que dλ
dµ
dλ dν = dν dµ .
dµ
dµ dλ
X
f dλ
dµ dµ.
= 1.
b) Suponha que λ não é absolutamente contínua em relação a ν. A conclusão
anterior mantem-se válida?
6. Suponha que µ, ν, λ, e λn são medidas positivas σ-finitas.
a) Prove que d(λ+ν)
dµ
dλ dν = dµ + dµ .
b) Prove, mais geralmente, que ( 6 )
5.4 Os Espaços L p
∞
d
λn =
dµ
n=1
∞
n=1
dλn
dµ .
Na discussão que se segue, identificamos ( i.e., tratamos como um único
objecto) funções mensuráveis que diferem entre si num conjunto de medida
nula. Sendo (X, M,µ) um espaço de medida fixo, introduzimos
Definição 5.4.1 (Funções Equivalentes). Se f,g : X → R são M-mensuráveis,
então f e g dizem-se equivalentes, e escrevemos f ≃ g, quando
µ({x ∈ X : f(x) = g(x)}) = 0, i.e., se e só se f(x) = g(x) µ-qtp.
6 Esta é uma forma abstracta do Teorema de Diferenciação de Fubini para séries de
funções crescentes, a que também chamámos o “pequeno teorema de Fubini”.

328 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Podemos demonstrar facilmente que a relação “≃” é de equivalência,
no conjunto de todas as funções mensuráveis f : X → R. Por esta razão, consideramos
o conjunto quociente, formado pelas classes de equivalência
de todas as funções mensuráveis f : X → R, que designaremos aqui Fµ(X).
É muito simples verificar que ( 7 )
Teorema 5.4.2. Fµ(X) é um espaço vectorial.
Diz-se frequentemente que Fµ(X) é o espaço das (classes de) funções
mensuráveis, definidas e finitas qtp em X, porque qualquer função M-mensurável
definida µ-qtp, e finita também µ-qtp, determina uma única classe
em Fµ(X), mesmo quando o espaço (X, M,µ) não é completo.
Teorema 5.4.3. Seja f : E → R M-mensurável, e finita µ-qtp em E. Se
µ(E c ) = 0, então:
a) Existe g : X → R, M-mensurável em E, tal que g(x) = f(x), µ-qtp
em E, e
b) Se h : X → R é M-mensurável em X, e h(x) = f(x) µ-qtp em E,
então h ≃ g.
Demonstração. a) A função ˜ f : X → R, que coincide com f no conjunto E,
e é nula em Ec , é mensurável em X. Como H = {x ∈ E : |f(x)| = ∞} é
mensurável, a função g = ˜ fχH c é mensurável. É óbvio que f(x) = g(x), se
x ∈ Ec ∪ H, onde µ(Ec ∪ H) = 0, i.e., f(x) = g(x), µ-qtp em E.
b) Os conjuntos A = {x ∈ E : g(x) = f(x)} e B = {x ∈ E : h(x) = f(x)}
são mensuráveis, e têm medida nula. Como {x ∈ X : h(x) = g(x)} ⊆
Ec ∪ A ∪ B, é óbvio que g ≃ h.
A classe de equivalência de f é designada por [f], mas, em geral, escreveremos
simplesmente f, no lugar de [f]. Bem entendido, teremos sempre
de verificar que as noções que associamos a uma qualquer classe [f] são
efectivamente independentes do representante f escolhido. Por exemplo, se
f ≃ g, e f é somável, é evidente que g é igualmente somável, e, portanto, é
razoável referirmo-nos a classes de equivalência “somáveis”.
Introduzimos imediatamente a seguir uma família de subespaços de Fµ(X),
ditos os espaços L p , com 1 ≤ p ≤ ∞, que designaremos por L p µ(X). Estes
espaços são definidos em termos das chamadas normas L p . A norma L p
da classe [f] pode ser calculada a partir de qualquer representante f, e
designa-se por f p .
7 O conjunto F(X), de todas as funções mensuráveis f : X → R, é, como sabemos, um
espaço vectorial real. A classe N(X), de todas as funções mensuráveis f : N → R que são
nulas µ-qtp é, claramente, um subespaço vectorial de F(X). É fácil mostrar que Fµ(X) é
o quociente F(X)/N(X).

5.4. Os Espaços L p 329
Definição 5.4.4 (Norma L p , Espaços L p ). Se 1 ≤ p < ∞, e f : X → R é
M-mensurável, então ( 8 )
fp =
X
|f| p 1
p
dµ .
L p µ(X) é formado pelas classes de funções com norma Lp finita, i.e.,
L p
µ (X) = [f] ∈ Fµ(X) : fp < ∞
Veremos que L p µ(X) é, efectivamente, um espaço vectorial normado, com
a norma indicada. Esta afirmação é, em qualquer caso, quase evidente para
p = 1, onde a norma é dada por
[f]1 = f1 = |f|dµ.
Recorde-se, a este respeito, as seguintes observações, que fizémos num contexto
mais restrito já no Capítulo 1, agora reforçadas com os resultados da
secção anterior, e a afirmação final.
• Se f,g ∈ L 1 µ(E), a desigualdade f+g1 ≤ f1+g1 é a desigualdade
triangular usual,
• Se f ∈ L 1 µ (E) e α ∈ R, a identidade αf1 = |α|f1 resulta directamente
de 5.2.13, e
• f1 = 0 ⇐⇒ f ≃ 0 ⇐⇒ [f] = [0].
A definição do espaço L ∞ µ
auxiliares.
X
(X) requer a introdução de algumas noções
Definição 5.4.5 (Majorantes e Minorantes Essenciais). Dizemos que M é
majorante ( respectivamente, minorante) essencial da função f se e
só se f(x) ≤ M, (respectivamente, f(x) ≥ M) µ-qtp em X.
Exemplo 5.4.6.
No espaço (R, L(R), m), qualquer M ≥ 0 é majorante essencial da função de
Dirichlet, porque a função de Dirichlet é nula qtp em R.
Funções equivalentes têm exactamente os mesmos majorantes e minorantes
essenciais, e portanto estas noções são aplicáveis a elementos de
Fµ(X). Deixamos para o exercício 2 a demonstração de:
8 Seguimos a convenção natural de tomar (∞) α = ∞, desde que α > 0.

330 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Proposição 5.4.7. Se f : X → R é M-mensurável, e A é o conjunto dos
majorantes essenciais de f, então o conjunto A tem mínimo.
Definição 5.4.8 (Norma L ∞ , Espaço L ∞ ). Se f : X → R é M-mensurável,
o menor majorante essencial de |f| designa-se f∞, e diz-se a norma L ∞
da classe [f]. Definimos ainda L ∞ µ (X) = {[f] ∈ Fµ(X) : f∞ < ∞}.
Deixamos também como exercício a demonstração do seguinte resultado:
Proposição 5.4.9. L ∞ µ (X) é um espaço vectorial normado, com a norma
L ∞ definida em 5.4.8.
Exemplos 5.4.10.
1. Designaremos o espaço L p mN (E) por Lp (E), quando E ⊆ R N é um conjunto
Lebesgue-mensurável.
2. Se (X, M, µ) = (N, P(N), #), é tradicional designar o espaço L p
# (N) por ℓp .
Por exemplo, ℓ2 é o espaço das sucessões reais tais que ∞ n=1 x2n < ∞, e ℓ∞ é
o espaço das sucessões reais limitadas.
3. R N é um espaço L p , para qualquer 1 ≤ p ≤ ∞.
Os espaços L p , com 1 < p < ∞, são igualmente espaços vectoriais normados,
mas a demonstração deste resultado requer a prévia verificação das
desigualdades ditas de Hölder( 9 ), e de Minkowski( 10 ).
Lema 5.4.11. Se f,g : X → R são funções M-mensuráveis e α ∈ R, então
a) αf p = |α| f p .
b) f p = 0 ⇔ f(x) = 0,µ-q.t.p. em X ⇔ [f] = [0].
c) f p + g p < ∞ =⇒ f + g p ≤ (|f| + |g|) p < ∞.
d) Em particular, L p µ(X) é um subespaço vectorial de Fµ(X).
Demonstração. As afirmações a) e b) são evidentes, para qualquer 1 ≤ p ≤
∞, assim como c), para p = ∞. Passamos a provar c), para p < ∞. Como
a função φ(t) = tp é convexa para t ≥ 0, tomamos s = |f(x)|, t = |g(x)|, e
α = β = 1
2 , para concluir que
1
2p (|f(x)| + |g(x)|)p p |f(x)| + |g(x)|
=
≤
2
1
2 (|f(x)|p + |g(x)| p ) .
9 Otto Ludwig Hölder, 1859-1937, matemático alemão com o nome associado a esta
desigualdade, e ao teorema de Jordan-Hölder da Teoria dos Grupos. Ensinou nas universidades
de Göttingen e Tübingen.
10 Hermann Minkowsky, 1864-1909, matemático alemão, professor em Göttingen, com o
nome indissociavelmente ligado ao espaço-tempo quadridimensional da teoria da Relatividade
Restrita.

5.4. Os Espaços L p 331
A integração desta desigualdade conduz imediatamente a
1
1
|f| + |g| p
2p p ≤
2 fp
1
p +
2 gp p < ∞.
Repare-se que as funções f e g são, necessariamente, finitas µ-qtp, e podemos
supor, sem perda de generalidade, que f + g é finita e está definida em toda
a parte. Como |f + g| ≤ |f| + |g|, é claro que f + g p ≤ |f| + |g| p < ∞.
A afirmação d) é um corolário imediato de a) e c).
Usaremos aqui a seguinte terminologia:
Definição 5.4.12 (Expoentes Conjugados). Se 1 ≤ p,q ≤ ∞, então p e q
são expoentes conjugados se e só se 1 1
1
p + q = 1, onde tomamos ∞ = 0.
Observe-se que o único valor de p que é conjugado de si próprio é p = 2.
Esta observação está relacionado com o facto do espaço L 2 ser o único espaço
L p que é euclidiano( 11 ).
Lema 5.4.13. Se p e q são expoentes conjugados, 1 < p < ∞, então
0 ≤ x,y ≤ ∞ =⇒ xy ≤ 1
p xp + 1
q yq .
Demonstração. A desigualdade só não é evidente se 0 < x,y < ∞. Neste
caso, como a função logaritmo é côncava, e 1 1
p + q = 1, um cálculo simples
mostra que
log( 1
p xp + 1
q yq ) ≥ 1
p log(xp ) + 1
q log(yq ) = log(xy).
A função logaritmo é crescente, e por isso 1
p xp + 1
q yq ≥ xy.
O próximo teorema generaliza a desigualdade de Cauchy-Schwarz( 12 )
para quaisquer expoentes conjugados.
Teorema 5.4.14 (Desigualdade de Hölder). Se f,g : X → R são Mmensuráveis,
e p e q são expoentes conjugados, 1 ≤ p ≤ ∞, então
fg 1 ≤ f p g q .
Demonstração. A desigualdade é evidente se f p g q = ∞, e é muito
simples de estabelecer se f p g q = 0, porque, neste último caso, temos
11 O espaço vectorial normado V é euclidiano se e só se a respectiva norma é dada por
v = (v • v) 1 2 , onde o símbolo “•” representa um produto interno em V.
12 A desigualdade de Cauchy-Schwarz para integrais é a desigualdade de Hölder com
p = q = 2.

332 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
fg = 0, µ-qtp. Supomos por isso que 0 < f p g q < ∞. Tomamos
F(x) = |f(x)|
f p
, e G(x) = |g(x)|
g . De acordo com o lema 5.4.13, temos
q
F(x)G(x) ≤ 1
p F(x)p + 1
q G(x)q .
Integramos esta desigualdade, e como F p = G q = 1, obtemos:
Finalmente, e como
FG1 ≤ 1 1
F p
p +
p q Gq
1 1
q = + = 1.
p q
fg 1
f p g q
= FG 1 ≤ 1, temos fg 1 ≤ f p g q .
Outra das consequências do teorema anterior é a seguinte desigualdade:
Teorema 5.4.15 (Desigualdade de Minkowski). Se 1 ≤ p ≤ ∞, então
f,g ∈ L p µ (X) ⇒ f + g ∈ Lp µ (X), e f + g p ≤ f p + g p .
Demonstração. Limitamo-nos a considerar aqui os casos 1 < p < ∞. Definimos
h = (|f| + |g|) p−1 , e registamos que
(|f| + |g|) p = h|f| + h|g|.
A desigualdade de Hölder aplicada aos produtos h|f| e h|g| conduz a:
(1) (|f| + |g|) p
dµ = h|f|dµ + h|g|dµ ≤ hq fp + hq gp .
X
X
O lado esquerdo desta desigualdade é naturalmente dado por:
(2) (|f| + |g|) p dµ = |f| + |g| p
p .
Como (p − 1)q = p, temos
h q
q =
(|f| + |g|) (p−1)q
dµ =
X
X
(3) h q =
X
X
(|f| + |g|) p dµ = |f| + |g| p
p , ou
p
q
|f| + |g| p Usando (2) e (3) na desigualdade (1), obtemos
|f| + |g| p
p ≤
|f| + |g| p
p
q
f p + g p
É claro que nada temos a provar se |f| + |g|p = 0. Caso contrário, dividi-
p
q
mos a desigualdade anterior por |f| + |g| p , e notamos que p − p
q = 1,
donde
f + gp ≤ |f| + |g|p ≤ fp + gp .
.
.

5.4. Os Espaços L p 333
Este resultado, associado ao lema 5.4.11, torna o seguinte corolário essencialmente
evidente.
Corolário 5.4.16. L p µ(X) é um espaço vectorial normado com a norma
de L p µ(X). Em particular, L 2 µ(X) é um espaço euclidiano, com o produto
interno f • g =
X fgdµ.
As noções topológicas básicas, que devem ser conhecidas pelo menos
do espaço R N , adaptam-se facilmente ao contexto de um qualquer espaço
vectorial normado.
Definição 5.4.17 (Topologia em V). Sejam V e W espaços vectoriais normados
reais. Se v ∈ V (respectivamente, w ∈ W), designamos por v
(respectivamente, w ′ ), as correspondentes normas.
a) A bola aberta de centro em v e raio ε > 0 é o conjunto Bε(v) =
{u ∈ V : u − v < ε}.
b) O conjunto U ⊆ V é aberto se e só se, para qualquer v ∈ U, existe
ε > 0 tal que Bε(v) ⊆ U. Se U é aberto, e v ∈ U, dizemos que U é
uma vizinhança de v. A família O = {U ⊆ V : U é aberto em V} é
a topologia do espaço V.
c) A sucessão de termo geral vn ∈ V converge para v ∈ V se e só se
vn − v → 0, quando n → ∞. Em particular, se f,fn ∈ L p µ(X), e
fn − f p → 0, dizemos que fn converge para f em L p .
d) A sucessão de termo geral vn ∈ V é fundamental se e só se
vn − vm → 0, quando n,m → ∞.
e) A função f : V → W é contínua em v ∈ V se e só se para qualquer
ε > 0 existe δ > 0 tal que u − v < δ ⇒ f(u) − f(v) ′ < ε.
Usaremos no que se segue, e sem mais comentários, noções que se derivam
destas sem qualquer dificuldade, como, por exemplo, as de interior, exterior,
fronteira, e fecho de qualquer conjunto U ⊆ V.
Exemplos 5.4.18.
1. O teorema da convergência dominada de Lebesgue pode ser enunciado como
se segue: Se fn → f pontualmente em X, e existe g ∈ L 1 µ(X) tal que |fn(x)| ≤
g(x) µ-qtp em X, então fn também converge para f em L 1 . Um resultado
análogo é válido em L p (exercício 4).
2. O integral definido φ : L1 µ(X) → R é um funcional contínuo em L1 µ(X):
|φ(f) − φ(g)| =
fdµ − gdµ
X X
≤
|f − g|dµ = f − g1 .
X

334 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
3. Seja U ⊂ L 1 (R) formado pelas classes de funções que têm algum representante
f ∈ Cc(R). É usual escrever U = Cc(R), não distinguindo “funções” de
“classes de equivalência” de funções, para evitar sobrecarregar a notação utilizada
( 13 ). Com esta convenção, o corolário 3.6.8 afirma que Cc(R) é denso
em L 1 (R), i.e., Cc(R) = L 1 (R).
4. Deixamos para o exercício 7 verificar que, se 1 ≤ p, q < ∞, então Lp µ (X) ∩
Lq µ(X) é denso em Lp µ(X).
É muito interessante observar que as definições apresentadas em 5.4.17
c), d) e e), dependem apenas da topologia do espaço em causa, i.e., da família
formada pelos conjuntos abertos, e não da norma utilizada para definir essa
topologia. Com efeito:
Proposição 5.4.19. Mantendo a notação em 5.4.17, temos:
a) vn → v se e só se, para qualquer vizinhança U de v, existe p ∈ N tal
que n > p =⇒ vn ∈ U.
b) A sucessão de termo geral vn é fundamental se e só se, para qualquer
vizinhança U de 0 ∈ V, existe p ∈ N tal que n,m > p =⇒ (vn −vm) ∈
U.
c) A função f : V → W é contínua em v ∈ V se e só se para qualquer
vizinhança W de f(v) em W existe uma vizinhança V de v em V tal
que f(V ) ⊆ W.
Por esta razão, duas normas definidas no mesmo espaço vectorial dizemse
equivalentes se determinam a mesma topologia. Esta noção é irrelevante
no estudo dos espaços de dimensão finita, porque todas as normas
num mesmo espaço são automaticamente equivalentes. A situação é dramaticamente
diferente nos espaços de dimensão infinita, o que introduz uma
complexidade e riqueza de resultados muito interessante na teoria.
Exemplos 5.4.20.
1. Lp µ (X) ∩ Lq µ (X) é um subespaço vectorial, tanto de Lp µ (X), como de Lq µ (X).
No entanto, em geral, as normas de Lp e de Lq geram topologias distintas
em Lp µ (X) ∩ Lq µ (X). Por exemplo, se gn é a função característica do intervalo
[0, 1
n ] no intervalo X = [0, 1], então fn = √ ngn → 0, com a norma de L1 , ou
“em L1 ”, mas a sucessão diverge em L∞ , porque fn∞ = √ n → ∞. Por
outras palavras, as topologias determinadas em L1 (X) ∩ L∞ (X) pelas normas
de L1 (X) e de L∞ (X) são diferentes.
2. Vimos atrás que Cc(R N ) é denso em L 1 (R N ), i.e., Cc(R N ) = L 1 (R N ), na
topologia de L 1 . É relativamente simples mostrar que Cc(R N ) = C0(R N ), na
topologia de L ∞ (exercício 5).
13 É relevante observar que se f, g ∈ Cc(R N ) e f ≃ g então f = g, ou seja, a função
φ : Cc(R N ) → L 1 (R N ) dada por φ(f) = [f] é injectiva.

5.4. Os Espaços L p 335
3. Se x ∈ R N , temos x ∞ ≤ x p ≤ N 1
p x ∞ . Segue-se daqui que todas as
normas L p em R N são equivalentes.
O seguinte resultado relaciona as sucessões convergentes com as sucessões
fundamentais.
Lema 5.4.21. Seja V um espaço vectorial normado. Então
a) Qualquer sucessão convergente em V é fundamental.
b) Qualquer sucessão fundamental em V com pelo menos uma subsucessão
convergente é necessariamente convergente.
Demonstração. Para provar a afirmação b), supomos que a sucessão de
termo geral xn é fundamental, e tem uma subsucessão de termo geral y n =
xkn → y. Como a sucessão de naturais de termo geral kn é estritamente
crescente, e a sucessão original é fundamental, temos xn − y n → 0. Observamos
agora que:
xn − y ≤ xn − y n + y n − y → 0.
A demonstração de a) é parte do exercício 8.
No espaço R N , as sucessões fundamentais são convergentes, mas é simples
dar exemplos de espaços vectoriais normados com sucessões fundamentais
que divergem.
Exemplo 5.4.22.
Seja hn a função característica do intervalo [ 1
1
n , 1], e ϕ(x) = √ . Considere-se
x
a sucessão de funções ϕn = hnϕ, no espaço L1 (X) ∩ L∞ (X), com a norma de
L1 (X), onde X = [0, 1]. É claro que a sucessão converge em L1 para a função
ϕ ∈ L1 (X) ∩ L∞ (X). Portanto, a sucessão é fundamental, mas divergente, no
espaço L1 (X) ∩ L∞ (X), com a norma de L1 (X).
Os espaços vectoriais normados em que todas as sucessões fundamentais
convergem são classificados como se segue:
Definição 5.4.23 (Espaços de Banach, Espaços de Hilbert). O espaço vectorial
normado V diz-se um espaço de banach se e só se as sucessões
fundamentais em V convergem em V. Um espaço de hilbert( 14 ) é um
espaço de Banach euclidiano.
14 David Hilbert, 1862-1943, alemão, professor em Göttingen, um dos grandes matemáticos
de sempre, tem o seu nome associado à célebre lista de problemas que apresentou
no Congresso da Matemática de 1900, como um desafio às capacidades dos matemáticos
do século que então se iria iniciar. O seu problema n o 8, sobre a chamada “Hipótese de
Riemann”, é talvez o mais famoso problema da Matemática à espera de solução.

336 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Como sugerimos a propósito do teorema sobre a integração de séries de
funções somáveis, o critério usual de convergência de séries reais (“qualquer
série absolutamente convergente é convergente”), pode ser adaptado para
caracterizar os espaços de Banach.
Teorema 5.4.24. Se V é um espaço vectorial normado, então as seguintes
afirmações são equivalentes:
a) V é um espaço de Banach.
b) Qualquer série absolutamente convergente em V é convergente, i.e., se
vn ∈ V,
∞
m
vn < +∞ =⇒ Existe v ∈ V tal que lim vn − v
= 0.
m→∞
n=1
Demonstração. Deixamos a implicação “a) ⇒ b)” para o exercício 9. Para
provar que “b) ⇒ a)”, supomos que a sucessão de termo geral xn ∈ V é
fundamental, donde:
Para qualquer k ∈ N, existe nk ∈ N tal que n,m ≥ nk ⇒ xn − xm < 1
.
2k Supomos sem perda de generalidade que a sucessão de termo geral nk é
estritamente crescente, e consideramos a subsucessão de termo geral yk =
xnk , e a sucessão auxiliar de termo geral zk = yk+1 − yk. É claro que
m
zk = ym+1 − y1, e
k=1
∞
zk <
k=1
∞
k=1
n=1
1
< +∞.
2k De acordo com b), existe z ∈ V tal que z − m
k=1 zk → 0. Por outras
palavras, temos y m = xnm → z+y 1, quando m → ∞, e a sucessão de termo
geral xn tem uma subsucessão convergente. Concluímos do lema 5.4.21 que
a sucessão fundamental de termo geral xn converge.
O resultado que provámos anteriormente sobre séries de funções somáveis
é generalizável a qualquer espaço L p µ(X).
Teorema 5.4.25. Se fn ∈ L p µ(X), e ∞
n=1 fn p < ∞, então:
a) A série f(x) = ∞
n=1 fn(x) converge absolutamente µ-qtp em X.
b) f p ≤ ∞
n=1 fn p , donde f ∈ L p µ(X), e
c) As somas parciais m n=1 fn convergem para f em L p µ(X), i.e.,
m
lim fn − f
= 0.
m→∞
n=1 p

5.4. Os Espaços L p 337
Demonstração. Supomos 1 ≤ p < ∞, e deixamos o caso p = ∞ como
exercício. Observamos que
gm(x) =
m
|fn(x)| ր
n=1
∞
|fn(x)| = g(x), donde gm(x) p ր g(x) p .
n=1
Segue-se da propriedade de Beppo Levi que gm p → g p . Temos ainda,
da desigualdade de Minkowski, que:
gm p ≤
m
fnp ≤
n=1
∞
fnp < ∞, donde gp ≤
n=1
∞
fnp < ∞.
Concluímos que g é finita µ-qtp, o que estabelece a).
Para provar b), definimos f(x) = ∞ n=1 fn(x), onde podemos supor que
a série converge, e é finita, em todo o conjunto X. A função f é mensurável,
e temos:
∞
∞
∞
fp = fn
≤ |fn| = g
p ≤ fnp < ∞.
n=1 p n=1 p n=1
Aplicamos a afirmação b) à cauda da série ∞ n=1 fn, para concluir que
m
∞
∞
fn − f
= fn
≤ fn
p → 0, quando m → ∞.
n=1 p n=m+1 p n=m+1
O resultado seguinte é, certamente, um dos mais importantes resultados
da teoria de integração de Lebesgue, e um dos seus sucessos técnicos mais
significativos. É uma consequência evidente dos teoremas 5.4.24 e 5.4.25.
Corolário 5.4.26 (Teorema de Riesz-Fischer). ( 15 ) L p µ(X) é um espaço de
Banach. Em particular, L2 µ (X) é um espaço de Hilbert.
Exercícios.
1. Prove que a relação ≃ é de equivalência. Prove que se f ≃ f ∗ , g ≃ g ∗ e
c ∈ R, então f + g ≃ f ∗ + g ∗ , fg ≃ f ∗ g ∗ , e cf ≃ cf ∗ .
n=1
2. Demonstre as proposições 5.4.7 e 5.4.9, relativas aos espaços L ∞ .
3. Demonstre o teorema 5.4.25 para o caso p = ∞.
15 Ernst Fischer, 1875-1954, matemático alemão de origem austríaca, foi professor em
Erlangen e Colónia. Este teorema foi provado para L 2 quase simultaneamente por Riesz
e por Fischer em 1907. Riesz definiu os espaços L p para p > 1 em 1910, e descobriu que
são espaços de Banach, para qualquer p.

338 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
4. Generalize o teorema da convergência dominada de Lebesgue para o espaço
L p . sugestão: Suponha |fn| ≤ g, onde g ∈ L p , e fn(x) → f(x), qtp em X.
5. Mostre que o fecho de Cc(R N ) na topologia de L ∞ (R N ) é o espaço C0(R N ).
6. Demonstre as seguintes afirmações, relativas aos espaços L p µ(X):
a) Se µ(X) < ∞, e p < q, então L q µ(X) ⊆ L p µ(X).
b) Se p < q < r, e f ∈ L p µ(X) ∩ L r µ(X), então f ∈ L q µ(X).
c) Se p < q, então ℓ p ⊆ ℓ q , L p (R)\L q (R) = ∅, e L q (R)\L p (R) = ∅.
7. Seja Sµ(X) ⊆ Fµ(X) o conjunto das classes que têm um representante simples.
Supondo 1 ≤ p, q < ∞, prove que:
a) Sµ(X) ∩ L p µ(X) é um subespaço denso de L p µ(X).
b) L p µ(X) ∩ L q µ(X) é denso em L p µ(X).
c) Sµ(X) ∩ L ∞ µ (X) é denso em L ∞ µ (X).
d) Existe um conjunto numerável, denso em L p (R N ).
8. Complete a demonstração do lema 5.4.21.
9. Complete a demonstração do teorema 5.4.24, provando a implicação “a) ⇒
b)”. sugestão: Mostre que a sucessão de somas parciais é fundamental.
5.5 Teoremas de Representação de Riesz
A generalização das ideias e métodos do Cálculo Diferencial, conhecidas do
espaço R N , para um espaço vectorial normado V “arbitrário”, em particular
para os espaços L p µ(X), utiliza transformações lineares T : V → R
apropriadas. Estas transformações devem aproximar funções ϕ : V → R,
de forma a que ϕ(x + y) = ϕ(x) + T(y) + y ∆(x,y), onde ∆(x,y) → 0,
quando y → 0.
As transformações lineares em espaços vectoriais normados de dimensão
finita são automaticamente funções contínuas. Recorde-se que T : R N → R
é linear se e só se T(x) = a • x, onde a ∈ R N , e “•” designa o produto
interno usual. No caso dos espaços vectoriais de dimensão infinita, e no
seguimento das observações que fizémos acima sobre a existência de normas
que não são equivalentes, não é razoável esperar que qualquer transformação
linear seja contínua, e é necessário distinguir:
Definição 5.5.1 (Dual Algébrico, Dual Topológico). Seja V um espaço
vectorial normado.
a) O dual algébrico de V é o conjunto de todas as transformações
lineares f : V → R.

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 339
b) O dual topológico de V é o conjunto V ∗ de todas as transformações
lineares contínuas f : V → R.
Exemplos 5.5.2.
fdm, é evidente
nfn, então
→ 0. Se considerarmos em V a topologia de
L∞ , então φ não é contínua, i.e., φ pertence ao dual algébrico, mas não ao
dual topológico.
1. Se V = L1 (R) ∩ L∞ (R), e φ : V → R é dada por φ(f) =
R
que φ é linear. Sendo fn a função característica de [0, n2 ], e gn = 1
φ(gn) = n → ∞, e gn∞ = 1
n
2. No mesmo espaço, e supondo que E ∈ L(R) tem medida finita, a função
ϕ : V → R dada por ϕ(f) =
E fdm é linear, e contínua. Basta observar que
|ϕ(f) − ϕ(g)| ≤ |f − g| dm ≤ f − g∞ m(E).
E
3. ϕ : V → R é diferenciável em V se e só se existe uma função Dϕ : V → V ∗
tal que, para todo o x ∈ V,
ϕ(x + y) − ϕ(x) − Dϕ(x)(y)
lim
= 0
y→0
y
Teorema 5.5.3. Seja V um espaço vectorial normado, e φ : V → R uma
transformação linear. Então:
a) φ é contínua se e só se φ = sup {|φ(x)| : x ≤ 1} < ∞. Nesse
caso, temos
|φ(x)| ≤ φ x, para qualquer x ∈ V.
b) O dual topológico V ∗ é um espaço de Banach, com norma dada por
φ = sup {|φ(x)| : x ≤ 1}.
Demonstração. Para provar a), seja φ : V → R uma transformação linear.
(i) Suponha-se que φ é contínua, em particular contínua em 0 ∈ V. Existe
por isso δ > 0 tal que x ≤ δ ⇒ |φ(x)| ≤ 1. Dado x = 0,
x. Observamos que
consideramos y = δ
x
1 ≥ |φ(y)| = δ
1
|φ(x)| , e |φ(x)| ≤ x .
x δ
Segue-se que φ = sup {|φ(x)| : x ≤ 1} ≤ 1
δ < ∞, e é muito fácil
mostrar que |φ(x)| ≤ φ x, para qualquer x ∈ V.
(ii) Suponha-se que φ = sup {|φ(x)| : x ≤ 1} < ∞, donde mais uma
vez |φ(x)| ≤ φ x. Se y ∈ V, então
|φ(x) − φ(y)| = |φ(x − y)| ≤ φ x − y.
É portanto evidente que φ é (uniformemente) contínua em V.

340 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Para mostrarmos que V ∗ é um espaço de Banach, é necessário verificar
primeiro que φ = sup {|φ(x)| : x ≤ 1} é uma norma em V ∗ , o que deixamos
para o exercício 1.
Dada uma sucessão fundamental em V ∗ , de termo geral φn, e x ∈ V, a
sucessão real de termo geral φn(x) é fundamental em R, e existe por isso
limn→∞ φn(x), porque:
|φn(x) − φm(x)| = |(φn − φm)(x)| ≤ φn − φm x → 0.
Podemos portanto definir φ : V → R por φ(x) = limn→∞ φn(x), e é simples
verificar que φ é linear. Como φn − φm < M, temos |φ(x) − φm(x)| ≤
M x, e portanto |φ(x)| = |φ(x) − φm(x) + φm(x)| satisfaz
|φ(x)| ≤ |φ(x) − φm(x)| + |φm(x)| ≤ (M + φm) x
Concluímos que φ é contínua, e V é um espaço de Banach.
Exemplos 5.5.4.
1. Se p e q são expoentes conjugados, e g ∈ Lq
µ(X), podemos definir T :
(X) → R por T(f) = fgdµ, de acordo com a desigualdade de Hölder.
Lp µ X
Ainda de acordo com a mesma desigualdade, é claro que T é uma transformação
linear contínua em Lp , e T ≤ gq .
2. Se µ é uma medida real em B(R N ), podemos definir T : Cc(R N ) → R por
T(f) =
R N fdµ. Temos neste caso que ( 16 )
|T(f)| ≤ f ∞ |µ|(R N ) = f ∞ µ.
Concluímos que T é uma transformação linear contínua em Cc(R N ), com a
topologia de L ∞ .
A identificação de transformações lineares apropriadas definidas num
dado espaço normado é um problema muito interessante, e apresentamos
a seguir alguns resultados clássicos desta natureza. Precisaremos de usar
no que segue a noção de partição de unidade, que passamos a introduzir.
Note-se que a demonstração da sua existência é uma adaptação engenhosa
do argumento que introduzimos com a proposição 3.6.1, que como dissémos
é por sua vez uma forma do Lema de Urysohn.
Teorema 5.5.5 (Existência de partições da unidade). Se K ⊆ R N é compacto,
e C = {U1, · · · ,Um} uma cobertura de K por abertos em R N , então
existem funções h1, · · · ,hm : R N → [0,1] tais que:( 17 )
16 Recorde do Capítulo 4 que a função µ = |µ|(X) é uma norma no espaço vectorial
de todas as medidas reais definidas em (X, M).
17 Dizemos neste caso que a família de funções h1, · · · , hm é uma partição da unidade
em K subordinada à cobertura C.

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 341
a) hn ∈ Cc(R N ) tem suporte compacto em Un, e
b) h1(x) + h2(x) + · · · hm(x) = 1, para qualquer x ∈ K.
Demonstração. Se x ∈ K então existe pelo menos um aberto Un tal que
x ∈ Un, e existe igualmente um rectângulo aberto limitado Rx tal que
x ∈ Rx ⊂ Rx ⊂ Un.
A família D = {Rx : x ∈ K} é uma cobertura aberta de K, e existe por isso
uma subcobertura finita de K por rectângulos Rx1 , · · · ,Rxp. Agrupamos os
rectângulos Rxi ⊂ Un, ou seja, tomamos
Kn =
i∈In
Rxi ,In = {i : Rxi ⊂ Un} donde K ⊆
m
Kn.
De acordo com a proposição 3.6.1, existem funções gn ∈ Cc(R N ) tais que
χKn ≤ gn ≤ χUn. Tomamos
h1 = g1,h2 = (1 − g1)g2, · · · ,hm = (1 − g1)(1 − g2) · · · (1 − gm−1)gm.
Repare-se que 0 ≤ hn ≤ 1 é uma função contínua de suporte compacto, cujo
suporte está contido no de gn, e portanto está contido em Un. Por outro
lado, e observando que
n=1
h = h1 + h2 + · · · + hm = 1 − (1 − g1)(1 − g2) · · · (1 − gm),
concluímos que h = 1 em cada um dos conjuntos Kn, porque quando x ∈ Kn
temos certamente 1 − gn(x) = 0.
Se µ é uma medida positiva localmente finita, ou real, definida em B(R N ),
podemos definir uma correspondente transformação linear (um funcional
linear) no espaço Cc(R N ) por:
Tµ(f) =
R N
fdµ
Dizemos que o funcional T : Cc(R N ) → R é crescente sempre que:
f ≤ g em R N =⇒ T(f) ≤ T(g).
Deve ser claro que se µ é positiva então Tµ é crescente. O próximo teorema
mostra que todos os funcionais crescentes em Cc(R N ) são da forma Tµ, com
µ positiva, e refere igualmente que a aplicação µ ↦→ Tµ é injectiva na classe
das medidas positivas localmente finitas.

342 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Teorema 5.5.6 (Teorema de Representação de Riesz (I)). Se T : Cc(RN ) →
R é uma transformação linear crescente então existe uma medida positiva
localmente finita µ definida em B(RN ) tal que
T(f) = Tµ(f) = fdµ( 18 ).
R N
Temos ainda que se µ = µ ′ então Tµ = Tµ ′.
Demonstração. Supomos que U ⊆ R N é aberto, e designamos por F(U) o
conjunto das funções f ∈ Cc(R N ), com suporte compacto em U, e tais que
0 ≤ f ≤ 1 em R N . Definimos ainda
• Se ∅ = U ⊆ R N é aberto, τ(U) = sup {T(f) : f ∈ F(U)}, e τ(∅) = 0.
• Para qualquer E ⊆ R N , µ ∗ (E) = inf {τ(U) : E ⊆ U,U, aberto }.
Note-se como quase óbvio que, se U é aberto, então µ ∗ (U) = τ(U). Observese
também que, de um ponto de vista por enquanto apenas heurístico, parece
claro que µ(U) deve coincidir com τ(U), e portanto µ ∗ deve ser uma medida
exterior, e µ só pode ser a medida determinada por essa medida exterior.
É o que passamos a mostrar ser verdade, demonstrando uma sequência de
resultados parciais, numerados de (i) até (vi).
(i) τ é aditiva e σ-subaditiva na classe dos conjuntos abertos.
Demonstração. Supomos que U = ∅ e Un são abertos, e
U ⊆
∞
Un.
n=1
Seja f ∈ F(U), com suporte compacto K ⊆ U. A família {Un : n ∈ N}
é uma cobertura aberta de K, e existe por isso m ∈ N tal que
K ⊆
m
Un.
n=1
Pelo teorema 5.5.5, existe uma partição da unidade em K subordinada
à cobertura U1,U2, · · · ,Um, e formada por funções h1,h2, · · · ,hm,
onde hn ∈ F(Un). Tomando fn = fhn, é claro que
m
fn = f
n=1
m
hn = f e fn ∈ F(Un).
n=1
Como T é linear e τ ≥ 0, concluímos que
f ∈ F(U) =⇒ T(f) =
m
T(fn) ≤
n=1
m
τ(Un) ≤
n=1
∞
τ(Un).
n=1

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 343
Segue-se que τ(U) ≤ ∞ n=1 τ(Un), i.e., τ é σ-subaditiva.
A aditividade de τ é agora mais simples de estabelecer. Suponha-se
que U1, · · · ,Um são abertos e disjuntos, e U = ∪m n=1Un. Quaisquer
que sejam as funções fn ∈ F(Un), é claro que f = m n=1 fn ∈ F(U),
donde
m
m
T(fn) = T(f) ≤ τ(U), e por isso τ(Un) ≤ τ(U).
n=1
n=1
Como provámos acima que τ(U) ≤ m
n=1 τ(Un), é evidente que
m
τ(Un) = τ(U).
n=1
Temos assim que τ é aditiva.
(ii) µ ∗ é uma medida exterior, e E ⊆ R N é µ ∗ -mensurável se e só se
τ(U) = µ ∗ (U ∩ E) + µ ∗ (U − E), para qualquer aberto U ⊆ R N .
A respectiva verificação, que é muito simples, fica para o exercício 3.
A próxima afirmação é algo mais delicada de demonstrar.
(iii) Os conjuntos compactos são µ ∗ -mensuráveis.
Demonstração. Sendo K compacto e U aberto, temos a provar que
τ(U) ≥ µ ∗ (U ∩ K) + µ ∗ (U − K) = µ ∗ (U ∩ K) + τ(U − K).
Dado ε > 0, existe f ∈ F(U − K), tal que T(f) > τ(U − K) + ε.
Sendo K ′ o suporte de f, que é disjunto de K, existem conjuntos
abertos disjuntos V ′ ,V tais que K ′ ⊂ V ′ , e K ⊂ V ( 19 ). (Ver figura
5.5.1.)
Sejam W ′ = U ∩ V ′ , e W = U ∩ V . Como W ∪ W ′ ⊆ U, e os abertos
W e W ′ são disjuntos, temos:
τ(U) ≥ τ(W ∪ W ′ ) = τ(W) + τ(W ′ )
Dado que K ′ ⊂ W ′ , e K ′ é o suporte de f, temos também
τ(W ′ ) ≥ T(f) > τ(U − K) + ε
Como U ∩ K ⊂ W, temos ainda τ(W) ≥ µ ∗ (U ∩ K), e concluímos que
τ(U) ≥ τ(W) + τ(W ′ ) ≥ µ ∗ (U ∩ K) + τ(U − K) + ε.
O resultado segue-se fazendo ε → 0.

344 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
V ′
K ′
W ′
V
K
U ∩ K
W
U
Figura 5.5.1: Separação de K e K ′ por abertos V e V ′ .
Sendo M(R N ) a σ-álgebra dos conjuntos µ ∗ -mensuráveis, e µ a restrição
de µ ∗ a B(R N ), podemos evidentemente concluir que
(iv) µ é uma medida regular em B(R N ).
O próximo resultado estabelece, em particular, que µ é localmente
finita. Definimos F(K) = f ∈ Cc(R N ) : χK ≤ f ≤ 1 , e passamos a
provar que
(v) Se K é compacto, então
Demonstração.
µ(K) = inf T(f) : f ∈ F(K) < ∞.
É simples estabelecer a desigualdade
(v.1) µ(K) ≥ inf T(f) : f ∈ F(K) .
Dado ε > 0 existe um aberto U ⊃ K tal que τ(U) ≤ µ(K) + ε. Como
existem funções g ∈ F(K) ∩ F(U) (a proposição 3.6.1 é exactamente
a afirmação F(K) ∩ F(U) = ∅), é claro que
inf T(f) : f ∈ F(K) ≤ T(g) ≤ τ(U) ≤ µ(K) + ε.
Fazendo ε → 0, obtemos (v.1).
A afirmação (v) ficará assim estabelecida se provarmos
(v.2) µ(K) ≤ inf T(f) : f ∈ F(K) .
19 Esta é mais uma propriedade de separação, válida na realidade em qualquer espaço
topológico de Hausdorff, e que não deve ser considerada como “óbvia”. A sua demonstração
é o exercício 2.

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 345
Dado f ∈ F(K) e 0 < ε < 1, seja Uε = x ∈ RN : f(x) > ε . É claro
que Uε é um aberto que contém K. Por outro lado, se g ∈ F(Uε) então
εg ≤ ε ≤ f. Como T é linear e crescente, concluímos que
g ∈ F(Uε) ⇒ εg ≤ f ⇒ εT(g) ≤ T(f) ⇒ T(g) ≤ 1
ε T(f).
Como g ∈ F(Uε) é arbitrária, segue-se da definição de τ que
τ(Uε) ≤ 1
T(f), para qualquer 0 < ε < 1.
ε
Como µ(K) ≤ τ(Uε), temos ainda
µ(K) ≤ 1
T(f), para qualquer 0 < ε < 1.
ε
Fazendo ε → 1 obtemos µ(K) ≤ T(f) < ∞, o que estabelece (v.2).
O próximo resultado mostra finalmente que a medida µ é uma representação
do funcional T.
(vi) T(f) =
R N fdµ, para qualquer f ∈ Cc(R N ).
Demonstração. Seja K o suporte de f, e R ⊇ K um rectângulo compacto.
Dado ε > 0, e como f é uniformemente contínua em R, existe
uma partição de R em rectângulos R1, · · · ,Rn, tais que a oscilação de
f em cada Rk é inferior a ε. Com Mk = sup {f(x) : x ∈ Rk}, temos:
(vi.1)
Notamos que
n
Mkµ(Rk) ≤
k=1
R
(f + ε)dµ =
R
fdµ + εµ(R).
• Existem abertos Vk ⊇ Rk tais que f(x) < Mk + ε, para x ∈ Vk,
porque f é contínua, e
• Existem abertos Wk ⊇ Rk tais que µ(Rk) ≤ τ(Wk) < µ(Rk) + ε
n .
Tomamos Uk = Vk ∩ Wk, e consideramos uma partição da unidade
para K subordinada aos abertos Uk, h = n
k=1 hk. Observamos que
fk = fhk < (Mk + ε)hk, porque fk é nula no complementar de Uk, e
Uk ⊆ Vk, donde
T(f) =
n
T(fk) ≤
k=1
n
(Mk + ε)T(hk) ≤
k=1
n
(Mk + ε)τ(Uk)
k=1

346 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Temos ainda
n
(Mk + ε)τ(Uk) <
k=1
=
n
k=1
e concluímos que
n
(Mk + ε)(µ(Rk) + ε
) =
n
k=1
Mk(µ(Rk) + ε
) +
n
n
k=1
ε(µ(Rk) + ε
) ≤
n
n
Mkµ(Rk) + ε f∞ + εµ(R) + ε 2 ,
k=1
(vi.2) T(f) ≤
n
Mkµ(Rk) + ε f∞ + εµ(R) + ε 2 .
k=1
Combinando (vi.1) e (vi.2) resulta que
T(f) ≤ fdµ + ε f∞ + 2εµ(R) + ε 2 ,
R
e fazendo ε → 0 concluímos que T(f) ≤
R fdµ. Como esta desigual-
dade é também válida para a função −f, temos então que T(f) =
R fdµ.
A unicidade da medida µ fica estabelecida com o seguinte resultado,
que deixamos para o exercício 3.
(vii)
Para estabelecer a unicidade da medida µ, supomos que T(f) =
fdλ, e notamos que
X
• f ∈ F(K) ⇒ λ(K) ≤ T(f). De acordo com (v), concluímos que
λ(K) ≤ µ(K), para qualquer compacto K.
• f ∈ F(U) ⇒ λ(U) ≥ T(f). Concluímos que λ(U) ≥ τ(U) =
µ(U), para qualquer aberto U. Como λ e µ são regulares nos
compactos, temos λ(K) ≥ µ(K) para qualquer compacto K.
•
Exemplo 5.5.7.
É óbvio que λ(K) = µ(K) para qualquer compacto K, e segue-se
de 4.4.10 que λ = µ em B(R N ).
Definimos T : Cc(R N ) → R tomando para T(f) o integral de Riemann de f
em R N . Sabemos que T é um funcional linear crescente em Cc(R N ). Deve ser
evidente que a medida µ que lhe está associada pelo teorema de representação
de Riesz é exactamente a medida de Lebesgue.

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 347
Passamos a estudar os duais topológicos dos espaços L p µ(X). Recordamos
da desigualdade de Hölder que, se p e q são expoentes conjugados,
f ∈ L p µ(X) e g ∈ L q µ(X) =⇒ fg ∈ L 1 µ(X) e fg1 ≤ ppgq.
Concluímos imediatamente que
Lema 5.5.8. Se g ∈ L q µ(X), então podemos definir T : L p µ(X) → R por
T(f) =
X
fgdµ,
e T é uma transformação linear contínua, com T ≤ gq.
É um pouco mais delicado estabelecer que T = gq, e deve notar-se
que esta igualdade pode falhar quando p = 1 e q = ∞.
Lema 5.5.9. Se T : L p µ(X) → R é dada por T(f) =
X fgdµ, onde g ∈
L q µ(X), então temos T = gq pelo menos desde que:
a) 1 < p ≤ +∞, ou
b) p = 1, quando o espaço X é σ-finito.
Demonstração. Observamos que nada temos a provar se gq = 0, e organizamos
a demonstração em três casos distintos:
• p = ∞ e q = 1: Tomamos f = sgn(g)( 20 ). Como f∞ = 1 e
T(f) =
X
sgn(g)gdµ =
X
|g|dµ = g1, donde T = g1.
• 1 < p < ∞: Definimos f = |g| q
p sgn(g). Notamos que f p p = g q q,
donde f ∈ L p µ(X). Temos então
|T(f)| =
X
fgdµ
=
Como T é contínua, temos também que
X
q
1+
|g| pdµ = |g|
X
q dµ = g q q.
q
p
|T(f)| ≤ T fp = T gq
Concluímos que g q q
p
q ≤ T gq
donde gq ≤ T , e segue-se do
lema 5.5.8 que gq = T .
20 Recorde que sgn(g) (o sinal de g) é +1 quando g ≥ 0, e -1 quando g < 0)

348 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
• p = 1 e X é σ-finito: Sendo g ∈ L ∞ µ (X), M = g∞ e ε > 0, existe um
conjunto mensurável E com µ(E) > 0 tal que M − ε ≤ |g(x)| ≤ M,
para qualquer x ∈ E. Existem conjuntos mensuráveis Xn ր X, com
µ(Xn) < 0, e definimos En = E ∩ Xn.
Tomamos ainda fn = MχEn sgn(g), notamos como óbvio que fn1 =
Mµ(En), e fn ∈ L1 µ (X). Supomos (sem perda de generalidade) que
µ(En) > 0 para qualquer n, e observamos que
fn1T ≥ |T(fn)| = | fngdµ| = M|g|dµ ≥ M(M − ε)µ(En)
X
En
Como fn1 = Mµ(En), concluímos que T ≥ M − ε, e fazemos
ε → 0.
De acordo com os dois lemas anteriores, o operador
Ψ : L q µ(X) → L p µ(X)
∗
, dado por Ψ(g)(f) =
X
fgdµ
está bem definido e é uma isometria, donde é injectivo. O operador é claramente
linear, e o teorema seguinte mostra que é sobrejectivo. Estabelece por
isso que Ψ é um isomorfismo de espaços vectoriais normados.
Teorema 5.5.10 (Teorema de Representação de Riesz (II)). Seja (X, M,µ)
um espaço σ-finito, 1 ≤ p < ∞, e T : L p µ(X) → R uma transformação linear
contínua. Então existe g ∈ L q µ(X), onde q é conjugado de p, tal que
T(f) =
X
fgdµ.
Demonstração. Supomos primeiro que µ(X) < ∞. Neste caso, dado qualquer
E ∈ M, temos χEp = p µ(E) < ∞, donde χE ∈ L p µ(X). Podemos
assim definir λ : M → R por λ(E) = T(χE). É fácil verificar que λ é uma
medida real, e λ 1.

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 349
• p = 1: Dado um conjunto mensurável E, seja f = χE, donde
f1 = µ(E), e note-se que:
|T(f)| = |λ(E)| =
gdµ
≤ T f1 = T µ(E).
E
Segue-se facilmente que g ≤ T qtp em X, i.e., g∞ ≤ T .
• p > 1: Sendo s = n αkχAk k=1 uma função simples mensurável,
é claro que s ∈ L p µ(X), e temos
T(s) =
n
k=1
αkT(χAk ) =
n
αkλ(Ak) =
k=1
n
k=1
αk
Ak
gdµ =
X
sgdµ.
Existem funções simples mensuráveis tais que 0 ≤ sn ր |g| q .
Sendo tn = (sn) 1
p sgn(g), e como as funções tn são simples, temos
(1) T(tn) =
X
tngdµ =
X
(sn) 1
p |g|dµ = |T(tn)| ≤ T tnp
Observamos agora que, por um lado,
(2) T(tn) = (sn) 1
p |g|dµ ր |g| 1+q/p
dµ =
X
Temos por outro lado que
(3) tn p p =
|tn| p
dµ =
X
X
X
sndµ ր
X
X
|g| q dµ = g q q
|g| q dµ = g q q
Supondo sem perda de generalidade que g q > 0, concluímos de
(1), (2) e (3) que
g q q
≤ T gq/p
q , ou seja, gq ≤ T
A afirmação (iii) conclui a demonstração para o caso µ(X) < ∞:
(iii) T(f) = fgdµ, para qualquer f ∈ L p µ(X), e T = gq .
X
Demonstração. Definimos S(f) =
X fgdµ, para qualquer f ∈ Lp µ(X).
Notamos do lema 5.5.8 que S é um funcional linear contínuo.
Como S(f) = T(f) para qualquer função simples, e estas funções são
densas em L p , é fácil concluir que S = T em L p (exercício 1).
(iv) Supomos finalmente que X é σ-finito, e Xn ր X, onde os conjuntos
Xn têm medida finita.

350 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Demonstração. Designamos por µn a restrição de µ aos subconjuntos
mensuráveis de Xn. Dada uma função f ∈ L p µn(Xn), seja en(f) ∈
L p µ(X) a extensão de f a X que é nula para x ∈ Xn, e note-se que a
norma de f em L p µn(Xn) é a norma de en(f) em L p µ(X), i.e., en é uma
isometria.
Definimos Tn : L p µn(Xn) → R por Tn(f) = T(en(f)), e deve ser evidente
que Tn ≤ T . Como µ(Xn) < ∞, existe uma função
gn ∈ L q µn (Xn)
tal que Tn(f) = fgndµn, e gnq = Tn ≤ T .
Xn
Observe-se que se n > m então gm é a restrição de gn a Xm, porque a
representação de Tm é única. Existe portanto uma função g definida
em X cuja restrição a Xn é a função gn, e temos que gnq
ր gq|,
donde gq ≤ T . É fácil concluir que T(f) =
X fgdµ.
Deixamos para o exercício 5 verificar que, no caso 1 < p < ∞, a restrição
a espaços σ-finitos é supérflua.
O próximo teorema identifica o dual topológico de Cc(R N ), na topologia
de L ∞ . A respectiva demonstração é interessante, em especial por utilizar
duas topologias distintas em Cc(RN ), a da convergência uniforme usual (de
L∞ ), e a do espaço L1 λ , onde λ = |µ|, e µ é a medida real que representa o
funcional T em causa.
Teorema 5.5.11 (Teorema de Representação de Riesz (III)). A transformação
linear T : Cc(RN ) → R é contínua na topologia de L∞ se e só se
existe uma medida real µ, definida em B(RN ), tal que
T(f) = fdµ.
Neste caso, T = µ = |µ|(R N ).
Demonstração. Sendo C + c (RN ) = f ∈ Cc(R N ) : f ≥ 0 , definimos
ϕ(T) : C + c (R N ) → R por ϕ(T)(f) = sup |T(g)| : |g| ≤ f,g ∈ Cc(R N ) .
Temos:
(i) ϕ(T) é crescente em C + c (R N ), e ϕ(T) ≤ T f ∞ .
(ii) Se c ≥ 0 e f ∈ C + c (R N ), então ϕ(T)(cf) = cϕ(T)(f) = ϕ(cT)(f).
(iii) Se f1,f2 ∈ C + c (R N ), então ϕ(T)(f1 + f2) = ϕ(T)(f1) + ϕ(T)(f2).
R N

5.5. Teoremas de Representação de Riesz 351
Demonstração. Demonstramos apenas (iii), já que (i) e (ii) são evidentes.
Se g1,g2 ∈ Cc(R N ), e |gi| ≤ fi, é claro que
e podemos concluir que
T(g1) + T(g2) = T(g1 + g2) ≤ ϕ(T)(f1 + f2),
ϕ(T)(f1) + ϕ(T)(f2) ≤ ϕ(T)(f1 + f2).
Por outro lado, se g ∈ Cc(RN ), e |g| ≤ f1 + f2, definimos
g(x)fi(x)
gi(x) = f1(x)+f2(x) , se f1(x) + f2(x) = 0,
0, se f1(x) + f2(x) = 0.
É claro que as funções gi ∈ Cc(R N ), e |gi| ≤ fi. Temos assim que
T(g) = T(g1) + T(g2) ≤ ϕ(T)(f1) + ϕ(T)(f2), donde concluímos que
ϕ(T)(f1 + f2) ≤ ϕ(T)(f1) + ϕ(T)(f2).
Definimos Φ(T) : Cc(R N ) → R por Φ(T)(f) = ϕ(T)(f + ) − ϕ(T)(f − ).
Observamos que, se f ≥ 0 então Φ(T)(f) = ϕ(T)(f), e:
(iv) Existe uma medida positiva finita λ tal que Φ(T)(f) =
RN fdλ. Em
particular, |T(f)| ≤
RN |f|dλ, e portanto T é também contínuo na
topologia de L 1 λ (RN ).
Demonstração. É muito simples mostrar que Φ(T) é linear e crescente
em Cc(RN ). A existência da medida λ segue-se assim do teorema de
representação de Riesz 5.5.6. A medida λ é finita, de acordo com (i).
Temos também, por definição de ϕ(T), que
|T(f)| ≤ ϕ(T)(|f|) = ϕ(T)(f + ) + ϕ(T)(f − ) =
= f +
dλ + f −
dλ = |f|dλ = f1 .
R N
R N
Como Cc(R N ) é denso em L 1 λ (RN ), existe um funcional linear ˜ T : L 1 λ (RN ) →
R, contínuo na topologia de L 1 , e que é extensão de T (exercício 1). De
acordo com 5.5.10, existe g ∈ L ∞ λ (RN ) tal que
˜T(f) =
R N
fgdλ =
R N
RN fdµ, para qualquer f ∈ L 1 λ (RN ),
onde µ(E) =
E gdλ, i.e., µ é o integral indefinido de g em ordem a λ.
Deixamos como exercício verificar que T = µ = |µ|(RN ).

352 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Exercícios.
1. Seja V um espaço vectorial normado, W ⊆ V um subespaço denso de V, e
φ ∈ V ∗ .
a) Mostre que φ = sup{|φ(x) : x ≤ 1} é uma norma em V ∗ .
b) Suponha que S, T ∈ V ∗ . Prove que se S(x) = T(x) para qualquer x ∈ W
então S = T.
c) Suponha que S : W → R é linear e contínua. Prove que S tem uma única
extensão linear contínua T a todo o espaço V, e que T = S, i.e.,
sup {|S(x)| : x ≤ 1, x ∈ W} = sup {|T(y)| : y ≤ 1, y ∈ V}.
d) Suponha que B é um espaço de Banach, e T é o espaço das transformações
lineares contínuas T : V → B. Mostre que T é um espaço de Banach.
2. Mostre que se K e K ′ são conjuntos compactos disjuntos em R N então existem
conjuntos abertos U e U ′ , também disjuntos, tais que K ⊂ U e K ′ ⊂ U ′ .
3. Complete a demonstração do teorema de representação de Riesz (I) (5.5.6),
provando a afirmação (ii).
4. Complete a demonstração do teorema de representação de Riesz (II) (5.5.10)
verificando que a função λ aí definida é uma medida, e λ ≪ µ.
5. Mostre que o teorema de representação de Riesz (II) (5.5.10) é válido para
1 < p < ∞, mesmo quando o espaço não é σ-finito. sugestão: Proceda como
se segue:
a) Prove que, se E ⊆ X é σ-finito, existe gE ∈ L q µ (X), nula em Ec , tal que,
para qualquer função f ∈ L p µ (X), nula em Ec , temos T(f) =
X fgEdµ.
b) Mostre que existe um conjunto σ-finito E onde
E |gE| q dµ é máximo.
6. Complete a demonstração de 5.5.11, provando que T = µ.
5.6 Teoremas de Egorov, Lebesgue e Riesz
É em alguns casos indispensável utilizar topologias que não podem ser
definidas a partir de normas, ou mesmo de qualquer outro tipo de métrica
( 21 ). Quando o conjunto em causa é um espaço vectorial, a limitação mais
fundamental a ter em conta na definição de topologias adequadas é a de
garantir a compatibilidade entre as suas estruturas algébrica e topológica,
21 Uma métrica, ou distância, no conjunto X é uma função d : X × X → [0, ∞[,
tal que d(x,y) = d(y,x), d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), e d(x,y) = 0 se e só se x = y.
Uma topologia gerada por uma métrica, a partir das chamadas bolas abertas, que são os
conjuntos Bρ(x) = {y ∈ X : d(x,y) < ρ}, é uma topologia metrizável.

5.6. Teoremas de Egorov, Lebesgue e Riesz 353
o que se resume a assegurar que as suas operações algébricas básicas são
contínuas. Mais precisamente, sendo O a classe dos conjuntos abertos no
espaço vectorial real V, é necessário que:
• Se x + y ∈ U ∈ O, então existem V,W ∈ O tal que x ∈ V , y ∈ W, e
(v,w) ∈ V × W ⇒ v + w ∈ U, e
• Se α ∈ R, x ∈ V, e αx ∈ U ∈ O, então existe um aberto V ⊆ R, e
W ∈ O, tal que (α,x) ∈ V × W, e (β,y) ∈ V × W ⇒ βy ∈ U.
Dizemos que o espaço V com a topologia O é um espaço vectorial
topológico( 22 ). Não nos detemos aqui a examinar em pormenor como
definir topologias em espaços deste tipo, mas notamos que, dada a família
O, é simples identificar as sucessões convergentes. Dada uma sucessão em
V, de termo geral xn, dizemos que xn → x ∈ V na topologia O, se e só
se, para qualquer aberto U ∈ O, se x ∈ U então existe p ∈ N tal que
n > p ⇒ xn ∈ U. Dadas topologias O e O ′ num mesmo espaço V, é comum
dizer que O é mais forte que O ′ , ou O ′ é mais fraca que O, se e só se
O ′ ⊆ O. Deve notar-se que se uma dada sucessão converge na topologia
O, então converge necessariamente em qualquer topologia mais fraca do
que O. Indicamos a seguir dois exemplos de critérios de convergência de
sucessões, em ambos os casos determinados por topologias que não são em
geral definidas por métricas.( 23 )
Definição 5.6.1 (Convergência Pontual, e em Medida). Dada uma sucessão
fn ∈ Fµ(X), dizemos que a sucessão converge para f
a) pontualmente, se e só se limn→∞ fn(x) = f(x), µ-qtp em X.
b) em medida, se e só se, para qualquer ε > 0,
µ ({x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε}) → 0 , quando n → ∞.
Escrevemos neste caso “fn ⇒ f”.( 24 )
Note-se de passagem que a convergência em medida é muito utilizada na
Teoria das Probabilidades, já que afirma que a probabilidade da diferença
entre as variáveis aleatórias fn e f ser “significativa” é pequena, quando
n → ∞.
Exemplos 5.6.2.
22
É comum incluir na definição de espaço vectorial topológico outras restrições, em
especial a de que o conjunto {0} é fechado.
23
A especificação de uma topologia determina um critério específico de convergência de
sucessões, mas o critério de convergência de sucessões em si pode não ser suficiente para
estabelecer a topologia em causa, quando a topologia não é determinada por uma métrica.
24
A convergência em medida foi definida por Riesz em 1909.

354 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
1. Seja fn : R → R a função característica de [n, n + 1]. É claro que fn → 0
pontualmente, mas fn não converge para 0 em L p (R), para qualquer 1 ≤ p ≤
∞, porque fnp = 1. A sucessão fn também não converge para 0 em medida.
2. Se fn(x) = nχIn(x), onde In = [0, 1
n ], então fn converge pontualmente e em
medida, mas não converge em Lp .
3. Com n, k ∈ N, e 0 ≤ k < n, seja In,k =
k k+1 , , e gn,k a respectiva função
n n
característica. Reindexamos as funções gn,k, definindo hm = gn,k, quando
m = nq + k. A sucessão hn converge em Lp , mas não converge pontualmente.
As funções nhn convergem em medida, mas não convergem em Lp .
A topologia da convergência uniforme é sempre mais forte do que a
topologia da convergência pontual, e mais forte do que a topologia de L p ,
desde que µ(X) < ∞, o que é reflectido no próximo lema. Deixamos a
respectiva demonstração para o exercício 5.
Lema 5.6.3. Se fn −f∞ → 0, então fn → f pontualmente, e em medida.
Se µ(X) < ∞, então fn → f em L p , para qualquer 1 ≤ p ≤ ∞.
A topologia de L p pode ser introduzida no espaço Fµ(X), através da
métrica, ou distância, d, dada por d(f,g) = min{1, f − g p }. A topologia
da convergência em medida é mais fraca do que a topologia de L p :
Proposição 5.6.4. Dada uma sucessão fn ∈ Fµ(X), se fn → f em L p ,
então fn converge para f em medida.
Demonstração. Fixado ε > 0, seja En = {x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε}. Temos
a provar que µ(En) → 0, e deixamos o caso p = ∞ para o exercício 7.
Temos fn → f em L p , donde
fn − fp =
X
|fn − f| p 1
p
dµ
É evidente que µ(En) → 0.
≥
En
|fn − f| p 1
p
dµ
≥ εµ(En) 1
p ≥ 0.
Demonstramos a seguir três resultados clássicos, devidos a Riesz, Egorov
( 25 ), e Lebesgue, que relacionam alguns destes modos de convergência. O
primeiro destes resultados envolve a convergência em medida e a convergência
pontual:
Teorema 5.6.5 (Teorema de Riesz). Dada uma sucessão fn ∈ Fµ(X), se
fn ⇒ f então existe uma subsucessão fnk → f pontualmente.
25 Dimitri Egorov, 1869-1931, matemático russo, de quem Luzin foi aluno. Foi professor
da Universidade de Moscovo, e ocupou cargos muito relevantes, mas foi duramente
perseguido pelas autoridades soviéticas pelas suas convicções religiosas. Morreu no seguimento
de uma greve da fome, que iniciou na prisão.

5.6. Teoremas de Egorov, Lebesgue e Riesz 355
Demonstração. Fixado k ∈ N, temos
lim
n→∞ µ
x ∈ X : |fn(x) − f(x)| ≥ 1
k
Portanto, para cada k existe um natural nk tal que
1
µ x ∈ X : |fnk (x) − f(x)| ≥
k
Definimos:
a) gk = fnk ,
= 0.
< 1
.
2k b) Ek = {x ∈ X : |gk(x) − f(x)| ≥ 1
k }, donde µ(Ek) < 1
2 k.
c) Fm = ∪∞ k=mEk, e F = ∩∞ m=1Fm, donde µ(Fm) < ∞ k=m 1
µ(F) = 0.
2k = 1
2m−1, e
Se x ∈ F, i.e., se x ∈ Fm para algum m, então x ∈ Ek para todo o k ≥ m,
e portanto |gk(x) − f(x)| < 1
k para k ≥ m, donde gk(x) → f(x). Como
gk(x) → f(x) para x ∈ F e µ(F) = 0 temos que gk → f pontualmente.
Quando uma sucessão converge em duas topologias distintas, não é necessariamente
verdade que o respectivo limite seja independente da topologia
em causa. O teorema de Riesz mostra que este problema não existe,
no caso de sucessões de funções que convergem de acordo com mais de um
dos critérios que mencionámos (exercício 2). Passamos a demonstrar uma
relação algo surpreendente entre convergência pontual e convergência uniforme.
Teorema 5.6.6 (Teorema de Egorov). Se fn(x) → f(x),µ-qtp em X,
e µ(X) < +∞, então para qualquer ε > 0 existe um conjunto E com
µ(X\E) < ε tal que fn → f uniformemente em E.
Demonstração. Para cada n,k ∈ N, seja
En,k = x ∈ X : |fn(x) − f(x)| < 1
.
k
Consideramos igualmente os conjuntos
Fm,k =
∞
n=m
En,k ր Ck =
∞
m=1
Fm,k, e C =
∞
Ck.
É fácil verificar que fn(x) → f(x) se e só se x ∈ C. Tomando k fixo, sabemos
que µ(Fm,k) ր µ(Ck) < ∞. Concluímos que, para cada k, existe um natural
pk tal que
µ(Ck\Fpk,k) < ε
.
2k k=1

356 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Consideramos o conjunto E, onde
E =
∞
k=1
Fpk,k.
Dado qualquer natural k, supomos que n ≥ pk e tomamos qualquer x ∈ E.
Como x ∈ Fpk,k, concluimos que |fn(x)−f(x)| < 1
k , donde fn → f uniformemente
em E. Por outro lado, é fácil verificar que C\E ⊆ ∪ ∞ m=1 (Ck\Fpk,k),
donde se segue imediatamente que µ(C\E) < ε. Como o complementar de
C tem medida nula, o resultado está demonstrado.
O resultado seguinte relaciona a convergência pontual com a convergência
em medida. Mais uma vez, só é aplicável quando µ(X) < +∞.
Teorema 5.6.7 (Teorema de Lebesgue). Se fn → f pontualmente e µ(X) <
+∞ então fn ⇒ f.
Demonstração. Dado ε > 0, seja
En = {x ∈ X : |fn(x) − f(x)| ≥ ε} .
Dado δ > 0, sabemos do teorema de Egoroff que existe E ⊆ X tal que
fn → f uniformemente em E, e µ(X\E) < δ.
Existe, por isso, um natural p tal que n > p ⇒ |fn(x) − f(x)| < ε, para
qualquer x ∈ E. É portanto óbvio que para n > p temos En ⊆ (X\E),
donde n > p ⇒ µ(En) < δ.
É tradicional dizer que a topologia usual de um qualquer espaço vectorial
normado, associada à respectiva norma, é a sua topologia forte. Além
desta, é muito comum a utilização das chamadas topologias “fraca”, e
“fraca ∗ ”, que se lê “fraca estrela”. Estas duas últimas são mais fracas do
que a topologia “forte”, como o respectivo nome indica, e, em geral, não
são metrizáveis. A próxima definição indica os critérios de convergência de
sucessões que estão associados a estas topologias( 26 ).
Definição 5.6.8 (Topologias Fraca, e Fraca ∗ ). Seja V um espaço vectorial
normado, e V ∗ o seu dual topológico.
a) A sucessão de termo geral xn ∈ V converge para x na topologia
fraca se e só se T(xn) → T(x), para qualquer T ∈ V ∗ .
b) A sucessão de termo geral Tn ∈ V ∗ converge para T na topologia
fraca ∗ se e só se Tn(x) → T(x), para qualquer x ∈ V.
Exemplos 5.6.9.
26 Mas que, como já observámos, não especificam completamente as correspondentes
topologias.

5.6. Teoremas de Egorov, Lebesgue e Riesz 357
1. A sucessão de funções fn(x) = sen(nx) converge para 0 na topologia fraca
de L 1 ([0, 2π]) (recorde o exercício 6 da secção 3.4).
2. A topologia fraca ∗ é a usual convergência pontual de funções, restrita ao
espaço das transformações lineares contínuas.
3. De acordo com o Teorema de Riesz, se V = L p , e 1 < p < ∞, então V ∗∗ = V.
Portanto, as topologias fraca e fraca ∗ são iguais em L p∗
, desde que 1 < p < ∞.
A título de curiosidade, indicamos aqui um resultado que sugere algumas
das vantagens associadas a estas topologias fracas:
Teorema 5.6.10 (Teorema de Alaoglu). A bola fechada unitária {T ∈ V ∗ :
T ≤ 1} é compacta na topologia fraca ∗ .
Exercícios.
Uniforme
Em L
p
Egorov
TCDL
Lebesgue
Pontual
Em medida
Riesz
Figura 5.6.1: Relações entre modos de convergência
1. Suponha que fn, gn ∈ Fµ(X), α ∈ R, fn → f, e gn → g, pontualmente
(respectivamente, em medida, em L p ). Prove que fn+gn → f +g, e αfn → αf,
pontualmente (respectivamente, em medida, em L p ).
2. Suponha que fn ∈ Fµ(X), fn → f, e fn → g, de acordo com dois critérios
de convergência distintos (pontualmente, em medida, ou em L p ). Prove que
f = g.
3. Suponha que fn ∈ Fµ(X), e fn − fm → 0 pontualmente (respectivamente,
em medida). Prove que existe f ∈ Fµ(X) tal que fn → f pontualmente
(respectivamente, em medida).

358 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
4. Seja V um espaço vectorial normado. Mostre que se a sucessão de termo geral
Tn converge na topologia fraca de V ∗ , então converge igualmente na topologia
fraca ∗ .
5. Demonstre o lema 5.6.3.
6. Supondo µ(X) < ∞, e f, g ∈ Fµ(X), definimos
|f − g|
d(f, g) =
1 + |f − g| dµ.
Mostre que:
a) d é uma métrica em Fµ(X).
b) d(fn, f) → 0 se e só se fn ⇒ f.
7. Demonstre a proposição 5.6.4, para p = ∞.
8. Os teoremas 5.6.6 e 5.6.7 são aplicáveis em espaços σ-finitos?
X
9. Mostre que, em geral, a bola unitária fechada B1(0) = {v ∈ V : v ≤ 1}
não é compacta na topologia forte. sugestão: Considere os espaços ℓ p .
5.7 O Teorema de Fubini-Lebesgue
Estudamos nesta secção versões mais abstractas do teorema de Fubini-
Lebesgue, agora aplicáveis no produto cartesiano de quaisquer dois espaços
de medida (X, M,µ) e (Y, N,ν). A teoria que vamos desenvolver exige a
definição de um espaço de medida com suporte no produto cartesiano dos
espaços de medida indicados, e para isso demonstraremos o seguinte resultado.
Teorema 5.7.1. Dados espaços (X, M,µ) e (Y, N,ν), existe um espaço
(X × Y, M ⊗ N,µ ⊗ ν) com (µ ⊗ ν)(A × B) = µ(A)ν(B), para quaisquer
conjuntos A ∈ M e B ∈ N.
O caso particular deste teorema com (Y, N,ν) = (R, B(R),m) é o teorema
5.1.7, que estudámos a propósito da definição de integrais de Lebesgue
“em ordem à medida µ”. A demonstração de 5.7.1 segue aliás os mesmos
passos da demonstração de 5.1.7, mas usando agora os resultados da secção
anterior sobre integrais de Lebesgue em ordem a uma qualquer medida.
Fixados os espaços de medida (X, M,µ) e (Y, N,ν), definimos:
• A classe R formada pelos “rectângulos” A × B ⊆ X × Y , com
A ∈ M e B ∈ N,
• A função λ : R → [0,+∞] dada por ζ(A × B) = µ(A)ν(B), e

5.7. O Teorema de Fubini-Lebesgue 359
• A classe E formada pelas uniões finitas de “rectângulos” em R, ditos
novamente conjuntos “elementares”. Deixamos para o exercício 1
verificar que E é uma álgebra em X × Y .
Lema 5.7.2. A função λ é σ-aditiva na classe R.
Demonstração. Segue precisamente os passos da demonstração de 5.1.18:
Seja A×B = ∪ ∞ n=1 An ×Bn, com A,An ∈ M,B,Bn ∈ N, e os “rectângulos”
An × Bn disjuntos. As secções (A × B) y e (An × Bn) y , com y ∈ Y , são
dadas, novamente, por:
A, se y ∈ B,
• (A × B) y =
, e (An × Bn)
∅, se y ∈ B.
y =
An, se y ∈ Bn,
∅, se y ∈ Bn.
Segue-se, mais uma vez, e por razões evidentes, que
µ (A × B) y = µ(A)χB(y) e µ (An × Bn) y = µ(An)χBn(y), para y ∈ Y.
As secções (An × Bn) y são conjuntos disjuntos, e, por isso,
µ(A)χB(y) =
∞
µ(An)χBn(y).
n=1
Integramos esta identidade termo-a-termo, usando o teorema 5.2.19. Temos
novamente
∞
∞
µ(A)ν(B) = µ(An)ν(Bn), i.e., λ(A × B) = λ(An × Bn).
n=1
Podemos alargar a definição de λ à classe E dos conjuntos “elementares”,
demonstrando o próximo lema exactamente como 5.1.19.
Lema 5.7.3. Se E é “elementar”, i.e., se E ∈ E, então
n=1
a) E é uma união finita de “rectângulos” em R disjuntos, e
b) Se P = {A1 × B1, · · · ,Am × Bm} e Q = {C1 × D1, · · · ,Cn × Dn} são
partições de E em “rectângulos” em R, então
m
λ(Aj × Bj) =
j=1
n
λ(Ck × Dk).
Definição 5.7.4. Se E ∈ E e P = {A1 ×B1,A2 ×B2, · · · ,Am ×Bm} é uma
partição de E em conjuntos de R, definimos
λ(E) =
m
λ(Aj × Bj) =
j=1
k=1
m
µ(Aj)ν(Bj).
j=1

360 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
É claro que a função λ é σ-aditiva na álgebra E, e segue-se do teorema
de extensão de Hahn (5.1.16) que:
Teorema 5.7.5. Existe um espaço de medida (X ×Y, K,ρ) tal que R ⊆ E ⊆
K e ρ(E) = λ(E), para qualquer conjunto E ∈ E.
A σ-álgebra K referida acima contém a classe R, e por isso M ⊗ N ⊆ K.
A restrição da medida ρ à σ-álgebra M⊗N é a medida µ⊗ν, o que termina
a demonstração de 5.7.1. Temos naturalmente que
∞
∞
(µ ⊗ ν)(E) = inf µ(An)ν(Bn) : E ⊆ An × Bn,An ∈ M,Bn ∈ N .
n=1
Estabelecido assim o primeiro resultado que nos tínhamos proposto demonstrar
nesta secção, passamos ao estudo do teorema de Fubini-Lebesgue
na forma aplicável a conjuntos:
Teorema 5.7.6 (Teorema de Fubini-Lebesgue (I)). Dados espaços de medida
σ-finitos (X, M,µ) e (Y, N,ν), e supondo que o conjunto E ⊆ X × Y
é M ⊗ N-mensurável, então
n=1
a) As secções Ex = {y ∈ Y : (x,y) ∈ E} ∈ N, para todo o x ∈ X,
b) As secções E y = {x ∈ Y : (x,y) ∈ E} ∈ M, para todo o y ∈ Y ,
c) A função A(x) = ν(Ex) é M-mensurável em X,
d) A função B(y) = µ(Ey ) é N-mensurável em Y , e
ν(Ex)dµ = µ(E y )dν = (µ ⊗ ν)(E).
X
Y
Para provar este resultado, consideramos a classe FL(µ ⊗ ν), formada
pelos conjuntos em M ⊗ N que satisfazem todas as condições indicadas em
5.7.6. Note que a definição seguinte ignora as condições 5.7.6 a) e b), já que
estas são satisfeitas por todos os conjuntos em M⊗N, conforme verificámos
em 5.1.10.
Definição 5.7.7 (A Classe FL(µ⊗ν)). Designamos por FL(µ⊗ν) a classe
dos conjuntos E ∈ M ⊗ N tais que:
a) A função A(x) = ν(Ex) é M-mensurável em X,
b) A função B(y) = µ(Ey ) é N-mensurável em Y , e
ν(Ex)dµ = µ(E y )dν = (µ ⊗ ν)(E).
X
Y

5.7. O Teorema de Fubini-Lebesgue 361
Nesta terminologia, o teorema 5.7.6 é a identidade FL(µ ⊗ν) = M ⊗ N.
Mostramos a seguir que FL(µ ⊗ ν) contém os conjuntos “elementares”.
Lema 5.7.8. E ⊆ FL(µ ⊗ ν).
Demonstração. Suponha-se que E = A × B é um “rectângulo”. Temos
A ∈ M e B ∈ N, e sabemos que
A(x) = ν(Ex) = ν(B)χA(x), e B(y) = µ(E y ) = µ(A)χB(y).
É evidente que estas funções são mensuráveis, e que
Adµ =ν(B) χAdµ = ν(B)µ(A) = (µ ⊗ ν)(E) = µ(A)ν(B) =
X X
=µ(A) χBdν = Bdν.
Se E é um conjunto “elementar”, temos
E =
Y
Y
m
An × Bn, com An ∈ M e Bn ∈ N,
n=1
onde podemos supor que os “rectângulos” An×Bn são disjuntos. Um cálculo
simples, semelhante ao que fizémos na demonstração de 5.7.2, mostra que
A(x) = ν(Ex) =
m
ν(Bn)χAn(x) e B(y) = µ(E y ) =
n=1
m
µ(An)χBn(y).
A e B são, portanto, funções simples mensuráveis, respectivamente em
(X, M), e em (Y, N), e temos
X
Adµ =
m
ν(Bn)µ(An) = (µ ⊗ ν)(E) =
n=1
n=1
Y
Bdν.
Como M⊗N é a σ-álgebra gerada pelos “rectângulos”, provaríamos que
M⊗N ⊆ FL(µ⊗ν), e portanto que M⊗N = FL(µ⊗ν), estabelecendo que
FL(µ⊗ν) é uma σ-álgebra, mas esta ideia não é fácil de aplicar directamente.
É mais simples aproveitar outras propriedades de FL(µ ⊗ ν):
Lema 5.7.9. Suponha-se que os conjuntos En,Fn ∈ FL(µ ⊗ ν). Temos
então:
a) Se En ր E = ∪ ∞ n=1 En, então E ∈ FL(µ ⊗ ν), e
b) Se Fn ց F = ∩ ∞ n=1 Fn, então F ∈ FL(µ ⊗ ν).

362 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
Demonstração. Demonstramos a), deixando b) para o exercício 2. O argumento
que utilizamos é idêntico para as secções Ex e E y , e ilustramo-lo
usando as secções Ex. Notamos como evidente que:
En ր E =
∞
En =⇒ (En)x ր
n=1
∞
(En)x = Ex.
Consideramos as funções A(x) = ν(Ex) e An(x) = ν((En)x). As funções An
são M-mensuráveis por hipótese, e o teorema da convergência monótona
para medidas mostra que An ր A. Concluímos do teorema de Beppo Levi
que A é M-mensurável, e
(i) Andµ → Adµ.
X
Como En ∈ FL(µ ⊗ ν), e ainda do teorema da convergência monótona para
medidas, temos
(ii) Andµ = (µ ⊗ ν)(En) → (µ ⊗ ν)(E).
Obtemos assim que (µ ⊗ ν)(E) =
X
X
X
n=1
Adµ, i.e., E ∈ FL(µ ⊗ ν).
As seguintes noções abstractas são sugeridas pelo lema anterior.
Definição 5.7.10 (Classe Monótona). Seja C uma classe de subconjuntos
do conjunto Z. Dizemos que C é uma classe monótona se e só se:
a) En ∈ C e En ր E =⇒ E ∈ C, e
b) Fn ∈ C e Fn ց F =⇒ F ∈ C.
Exemplos 5.7.11.
1. FL(µ ⊗ ν) é uma classe monótona, de acordo com 5.7.9.
2. Qualquer σ-álgebra, em particular M⊗N, é igualmente uma classe monótona.
3. A classe dos intervalos em R não é uma álgebra, mas é uma classe monótona.
4. Os conjuntos elementares em [0, 1] formam uma álgebra que não é monótona.
Deixamos para o exercício 3 a demonstração do seguinte lema.
Lema 5.7.12. Se A é uma classe monótona, então A é uma σ-álgebra se e
só se A é uma álgebra.
Apresentámos no capítulo 2 a definição de σ-álgebra gerada por uma
classe de conjuntos. Observamos agora que o mesmo procedimento pode ser
aplicado também a classes monótonas.

5.7. O Teorema de Fubini-Lebesgue 363
Definição 5.7.13 (Classe Monótona Gerada por S). Se S é uma classe
de subconjuntos do conjunto Z, a classe monótona gerada por S é a
intersecção de todas as classes monótonas em Z que contém S, e designa-se
aqui mon(S).
É muito fácil verificar que mon(S) é a menor classe monótona que contém
a classe S (exercício 6). Temos ainda:
Lema 5.7.14. Se S é uma álgebra então mon(S) é uma σ-álgebra. Em
particular, mon(E) é uma σ-álgebra que contém E.
Demonstração. Dado E ∈ mon(S), consideramos a classe auxiliar
comp(E) = {F ∈ mon(S) : E\F,F \E,E ∪ F ∈ mon(S)} ⊆ mon(S).
Provamos primeiro que:
(i) Se E ∈ S então S ⊆ comp(E) = mon(S).
Demonstração. comp(E) é uma classe monótona (exercício 5). Como
S é por hipótese uma álgebra,
E,F ∈ S =⇒ E\F,F \E,E ∪ F ∈ S ⊆ mon(S), i.e.
S ⊆ comp(E), e comp(E) é uma classe monótona que contém S.
Como mon(S) é a classe monótona gerada por S, temos comp(E) ⊇
mon(S), donde comp(E) = mon(S).
Provamos agora que:
(ii) Se E ∈ mon(S) então S ⊆ comp(E) = mon(S), e mon(S) é uma
semi-álgebra.
Demonstração. comp(E) é ainda uma classe monótona. De acordo
com (i), se F ∈ S temos E ∈ comp(F), i.e., F ∈ comp(E), e S ⊆
comp(E). comp(E) é mais uma vez uma classe monótona que contém
S, donde comp(E) ⊇ mon(S), e comp(E) = mon(S). Em particular,
se E,F ∈ mon(S) então E\F,F \E,E∪F ∈ mon(S), e mon(S) é uma
semi-álgebra.
Como S é uma álgebra temos Z ∈ S, donde Z ∈ mon(S), e mon(S) é
também uma álgebra. Segue-se de 5.7.12 que mon(S) é uma σ-álgebra.
A demonstração do teorema de Fubini-Lebesgue 5.7.6 é uma aplicação
muito simples deste último resultado:
Demonstração. Limitamo-nos a observar que

364 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
• M ⊗ N ⊆ mon(E), porque mon(E) é uma σ-álgebra que contém E, e
• mon(E) ⊆ FL(µ ⊗ ν), porque FL(µ ⊗ ν) é uma classe monótona que
contém E.
Como FL(µ ⊗ν) ⊆ M ⊗ N, temos M ⊗ N = mon(E) = FL(µ ⊗ν).
Estabelecido o teorema de Fubini-Lebesgue na forma aplicável a conjuntos,
é possível aplicá-lo igualmente a funções. Consideramos a seguir o caso
de funções simples M ⊗ N-mensuráveis e não-negativas.
Lema 5.7.15. Se f : X × Y → [0,+∞[ é simples e M ⊗ N-mensurável,
X
a) As funções gx(y) = f(x,y) são simples e N-mensuráveis, para todo o
x ∈ X,
b) As funções hy(x) = f(x,y) são simples e M-mensuráveis, para todo
o y ∈ Y ,
c) A função A(x) =
Y gxdν é M-mensurável e não-negativa,
d) A função B(y) =
X hydµ é N-mensurável e não-negativa, e
Adµ =
X
Y
gxdν dµ = hydµ dν = Bdν = fd(µ⊗ν).
Y X
Y X×Y
Demonstração. Suponha-se que E é um conjunto M ⊗ N-mensurável, e
f = χE é a função característica de E, donde
(µ ⊗ ν)(E) = fd(µ ⊗ ν).
X×Y
De acordo com o teorema 5.7.6 aplicado a E, temos que:
• Os conjuntos Ex são N-mensuráveis, i.e.,
• As funções gx(y) = f(x,y) = χEx(y) são N-mensuráveis,
• A função A(x) = ν(Ex) =
Y gxdν é M-mensurável, e
(µ ⊗ ν)(E) =
X
Adµ =
X
Y
gxdν dµ.
O resultado fica assim demonstrado para a função A. É claro que o
mesmo argumento é aplicável à função B, o que termina a demonstração
quando f é uma função característica.
Se f é uma função simples, então f é uma combinação linear finita de
funções características, e o resultado segue-se da linearidade e homogeneidade
do integral.

5.7. O Teorema de Fubini-Lebesgue 365
O teorema de Fubini-Lebesgue para funções mensuráveis não-negativas
é um corolário do resultado anterior, obtido aproximando a função f por
funções simples mensuráveis. A sua demonstração é o exercício 7.
Teorema 5.7.16 (Teorema de Fubini-Lebesgue (II)). Se f : X × Y →
[0,+∞] é M ⊗ N-mensurável,
a) As funções gx(y) = f(x,y) são N-mensuráveis, para todo o x ∈ X,
b) As funções hy(x) = f(x,y) são M-mensuráveis, para todo o y ∈ Y ,
c) A função A(x) =
Y gxdν é M-mensurável,
d) A função B(y) =
X hydµ é N-mensurável, e
X
Y
gxdν dµ = hydµ dν = fd(µ ⊗ ν).
Y X
X×Y
O teorema de Fubini-Lebesgue para funções somáveis obtem-se aplicando
o resultado anterior separadamente às partes positiva e negativa de f. A
respectiva demonstração é ainda parte do exercício 7.
Teorema 5.7.17 (Teorema de Fubini-Lebesgue (III)). Se f : X × Y → R é
M ⊗ N-mensurável, e mantendo a notação do teorema anterior, temos
|gx|dν dµ = |hy|dµ dν = |f|d(µ ⊗ ν).
Y X
X×Y
X
Y
Em particular, se pelo menos um destes integrais é finito então todos são
finitos, e f é (µ ⊗ ν)-somável. Se f é (µ ⊗ ν)-somável então as funções gx
e B são ν-somáveis, hy e A são µ-somáveis, e
X
Y
gxdν dµ = hydµ dν = fd(µ ⊗ ν).
Y X
X×Y
As diferenças entre os enunciados apresentados nesta secção e os seus
correspondentes para a medida de Lebesgue nos espaços R N , tal como indicados
em 3.3, resultam naturalmente dos seguintes factos:
(1) L(R N ) ⊗ L(R M ) = L(R N+M ), o que mostra que a teoria em 3.3 não é
um caso particular dos resultados desta secção, e
(2) Os espaços (X, M,µ) e (Y, N,ν) não foram aqui supostos completos.
É simples introduzir neste contexto abstracto as extensões completas apropriadas,
definidas pelo processo que indicámos em 2.3.17.
Exemplos 5.7.18.

366 Capítulo 5. Outros Integrais de Lebesgue
1. A menor extensão completa de (X ×Y, M⊗N, µ⊗ν) é o espaço (X ×Y, K, ρ),
que mencionámos em 5.7.5.
2. A menor extensão completa de L(R N ) ⊗ L(R M ) é L(R N+M ).
Podemos adaptar os resultados desta secção usando espaços completos,
e assim generalizar efectivamente a teoria desenvolvida em 3.3. A título de
ilustração, e supondo que os espaços (X, M,µ) e (Y, N,ν) são completos, o
teorema 5.7.16 tem o seguinte análogo, que efectivamente generaliza 3.3.17.
Teorema 5.7.19 (Teorema de Fubini-Lebesgue (II)). Se f : X × Y →
[0,+∞] é K-mensurável,
a) As funções gx(y) = f(x,y) são N-mensuráveis, µ-qtp em X,
b) As funções hy(x) = f(x,y) são M-mensuráveis, ν-qtp em Y ,
c) A função A(x) =
Y gxdν está definida µ-qtp em X e é M-mensurável,
d) A função B(y) =
X hydµ está definida ν-qtp em Y , é N-mensurável,
e
X
Y
gxdλ dµ = hydµ dν = fdρ.
Y X
X×Y
É talvez mais interessante investigar até que ponto as hipóteses básicas
usadas nesta secção (e implicitamente também em 3.3) são realmente necessárias.
Repare-se que supusemos sempre:
• Os espaços de medida (X, M,µ) e (Y, N,ν) σ-finitos, e
• A função f mensurável (e somável, se muda de sinal) em X × Y .
Vimos já em exemplos simples nos exercícios da secção 3.3 que a somabilidade
de f é essencial. Não mostraremos aqui por que razão não podemos
concluir a mensurabilidade de f, mesmo supondo que as funções auxiliares
gx e hy são mensuráveis, porque se trata de uma questão delicada, mais
uma vez relacionada com os fundamentos da Teoria dos Conjuntos.
É no
entanto relativamente simples mostrar que o teorema de Fubini-Lebesgue
não é válido se algum dos espaços (X, M,µ) e (Y, N,ν) não for σ-finito.
Exemplo 5.7.20.
Tomamos X = Y = [0, 1], sendo µ = # a medida de contagem e M = P(X), e
ν = m a medida de Lebesgue, com N = L(Y ). Definimos f(x, y) = 1 se x = y,
e f(x, y) = 0, se x = y. O espaço (X, M, µ) não é σ-finito, e deixamos como
exercício verificar a mensurabilidade de f, e mostrar que neste caso temos
gxdν dµ = hydµ dν.
X
Y
Y
X

5.7. O Teorema de Fubini-Lebesgue 367
Exercícios.
1. Mostre que a classe E formada pelas uniões finitas de “rectângulos” em R
(os conjuntos “elementares”) é uma álgebra em X × Y .
2. Demonstre 5.7.9b). sugestão: Suponha primeiro que os espaços (X, M, µ)
e (Y, N, λ) são finitos, e depois generalize o argumento para espaços σ-finitos.
3. Mostre que a classe monótona A é uma σ-álgebra se e só se A é uma álgebra.
4. Verifique as afirmações feitas no texto nos exemplos 5.7.11.2 a 5.7.11.4.
5. Para concluir a demonstração de 5.7.14, verifique que comp(E) é uma classe
monótona.
6. Seja S uma classe de subconjuntos do conjunto Z. Recorde 5.7.13, e mostre
que mon(S) é a menor classe monótona que contém S, i.e., prove que:
a) Se M é uma classe monótona que contém S então mon(S) ⊆ M,
b) mon(S) é uma classe monótona e S ⊆ mon(S), e
c) Mostre que se S é uma álgebra então mon(S) é uma σ-álgebra.
7. Demonstre o teorema de Fubini-Lebesgue nas suas versões 5.7.16 e 5.7.17.
8. Considere o exemplo 5.7.20. Mostre que a função f é M ⊗ N-mensurável,
mas
gxdλ dµ = 0, e hydµ dλ = 1.
X
Y
Y
X

Índice
368

Índice
acontecimento, 93
aditividade, 10, 15, 20
álgebra de conjuntos, 19
axioma da escolha, 131
B(x,r),Br(x), 52
Baire
categorias de, 126
Teorema de, 126
Barrow, regra de, 60
Bola aberta, 52
B(R N ), 115
BV (I), 255
C(I), 30
Cε(I), 79
cardinal, 21, 93
categorias de Baire, 126
C k c (RN ),C0(R N ), 210
classe monótona, 362
gerada por, 363
˜cN, 77
cobertura
sequencial, 140
combinação convexa, 198
comprimento, 9
do gráfico de uma função, 67
condição de Lipschitz, 263
conjunto
Borel-mensurável, 115
de Borel, 115
de Cantor, 30
de Dirichlet, 31
de Lebesgue, 103
de Volterra, 79
de Volterra generalizado, 123
369
denso, 31
diâmetro, 11
elementar, 13
Fσ, 115
Gδ, 115
Jordan-mensurável, 27
Lebesgue-mensurável, 103
mensurável, 91
µ-negativo, 222
µ-nulo, 219
µ-positivo, 222
µ ∗ -mensurável, 142
nulo, 56
perfeito, 34
σ-compacto, 83
σ-elementar, 77
conteúdo, 9, 10, 15
de Jordan, 27
exterior, 26
interior, 26
continuidade
absoluta, 234, 263
convergência
em medida, 353
em L p , 333
pontual, 353
convolução, 207
decomposição
de Hahn, 222
de Jordan, 220
de Lebesgue, 236, 320
derivada
de Radon-Nikodym, 322
generalizada, 245
no sentido das distribuições, 245

370 ÍNDICE
desigualdade
de Hölder, 331
de Minkowski, 332
desigualdade de
Jensen, 198
diâmetro
de conjunto, 11
de partição, 11
diferença de conjuntos, 13
Dirichlet
conjunto de, 31
função de, 37
distribuição
de Dirac, 22, 92
de probabilidade, 246
equivalência de funções, 154, 327
E(R N ), 13
Eσ(R N ), 77
escada do Diabo, 64
espaço
de Banach, 206, 335
de Hilbert, 335
de medida, 93
completo, 121
finito, 93
menor extensão completa, 121
σ-finito, 93
de probabilidade, 93
dual
algébrico, 338
topológico, 338
euclidiano, 331
L 1 , 201
L p , 329
L ∞ , 330
mensurável, 91
vectorial normado, 48
espaço das medidas reais/complexas
em (X, M), 231
exemplo de
Cantor
conjunto, 30
função, 64
Dirichlet
conjunto, 31
função, 37
Hellinger, 283
Riemann, 37
Sierpinski, 136
van der Waerden, 68
Vitali, 130
Volterra
conjunto, 79
função, 83
generalizado, 123
expoentes conjugados, 331
FL(µ ⊗ ν), 360
Fµ, 314
Fµ, 328
função
absolutamente contínua, 263
Borel-mensurável, 151, 153
côncava, 198
característica, 37
contínua
de suporte compacto, 210
convexa, 198
de Cantor, 64
de Cantor-Lebesgue, 64
de conjuntos, 20
aditiva, 20
monótona, 20
σ-aditiva, 75
σ-subaditiva, 75
subaditiva, 20
de Dirichlet, 37
de escolha, 132
de Heaviside, 22
de Hellinger, 283
de Riemann, 37
de saltos, 251
de van der Waerden, 68
de variação limitada, 255
de Volterra, 83
discreta, 251
equivalente, 154

ÍNDICE 371
escada do Diabo, 64
gráfico, 43
comprimento, 67
Lebesgue-mensurável, 151, 153
Lebesgue-somável, 151, 153
mensurável, 310
M-mensurável, 299
µ-somável, 299
oscilação, 52, 53
parte contínua, 251
parte discreta, 251
parte negativa, 37
parte positiva, 37
região de ordenadas, 35
Riemann-integrável, 36
semi-contínua
superior, 285
simples, 187
sinal, 63
singular, 285
somável, 310
suporte de, 210
variação total, 255
funcional, 45
GE(f),ΓE(f), 157
gráfico
rectificável, 67
Hellinger
função de, 283
medida de, 285
impulso de Dirac, 22
indicatriz de Banach, 259
índice-K, 173
integração por partes, 319
integral
de Lebesgue
em ordem a µ, 299
em ordem a mN, 151
de Riemann, 36, 58
de Stieltjes, 297
definido
de Riemann, 45
desigualdade triangular, 38
homogeneidade, 38
impróprio de Riemann, 70, 152
absolutamente convergente,
153
indefinido
de Lebesgue, 159
de Riemann, 49
inferior, 39
paramétrico, 169
superior, 39
Jensen, desigualdade, 198
J (R N ), 27
Jσ(R N ), 77
L(R N ), 103
ℓ 1 , 314
L 1 , 201
Lema
de Borel-Cantelli, 97
de Fatou, 166, 312
de Fatou (II), 167, 312
de Jordan, 256
de Riesz (Sol Nascente), 269,
288
Lipschitz
condição de, 263
Lµ(R N ), 237, 242
µ-qtp, 219
majorante essencial, 329
M(B(R N )), 232
medida
absolutamente contínua, 234
completa, 121, 232
complexa, 91
concentrada em S, 218
de Borel, 236
de Cantor, 249
de contagem, 93
de Dirac, 22, 92
de Hellinger, 285
de Lebesgue, 104
de probabilidade, 93

372 ÍNDICE
discreta, 231
exterior, 140
de Lebesgue, 98
finita, 91
interior
de Lebesgue, 101
localmente finita, 239
parte contínua, 250
parte discreta, 250
positiva, 91
real, 91
regular, 120, 242
σ-finita, 93
singular, 221
suporte de, 220
medidas de
Borel, 232
Lebesgue-Stieltjes, 236
minorante essencial, 329
M(M, C), 231
M(M, R), 231
Mµ, 121, 232
mN, 104
m∗ N , 98
M ⊗ N, 298
NBV (I), 255
norma, 48
de L 1 , 46, 201
de L p , 329
de L ∞ , 215, 330
normas equivalentes, 233, 334
ωf, 53
ΩR(f), 35
Oscf(s), 52
oscilação
de função, 52, 53
paradoxo de Banach-Tarski, 132
partição, 11
apropriada, 187, 188
da unidade, 340
diâmetro, 11
refinamento, 12
pente de Dirac, 22, 93, 231, 251
πI, 173
ponto de acumulação, 34
probabilidade, 21
problema
de Caratheodory, 142
de Borel, 81
de Stieltjes, 246
difícil de Lebesgue, 129
fácil de Lebesgue, 101
produto de convolução, 207
projecção, 173
qtp, 57, 219
R, 94
rectângulo, 8
recta acabada, 94
rectificável
gráfico, 67
refinamento, 12
comum, 12
reflexão, 16
região de ordenadas, 35
regra de Barrow, 60
ρI, 174
Riemann
função de, 37
R + , 94
σ-aditividade, 75
σ-álgebra, 90
de Borel, 115
de Lebesgue, 106
gerada por, 115
σ-compacto, 83
semi-álgebra de conjuntos, 19
semi-continuidade
superior, 285
semi-norma, 48
Sf, 248
Sierpinski
exemplo de, 136
soma
de Riemann, 58

ÍNDICE 373
inferior de Darboux, 39
superior de Darboux, 39
σ-subaditividade, 75
subaditividade, 15, 20
suporte de uma
função, 210
medida, 220
medida regular, 244
Teorema (de/da)
Alaoglu, 357
Baire, 126
Banach-Vitali, 260
Banach-Zaretsky, 266
Beppo Levi, 165, 312
Beppo Levi (II), 166, 312
Cantor, 81
convergência dominada de Lebesgue,
167, 202, 314
convergência monótona de Lebesgue,
95
decomposição de Hahn-Jordan,
226
decomposição de Lebesgue, 279,
320
diferenciação de Fubini, 327
diferenciação de Lebesgue, 276
Egorov, 355
Fichtenholz, 268
Fubini-Lebesgue, 175, 181, 207,
360, 365
Fundamental do Cálculo
1 o , 62, 281
2 o , 62, 64, 281
Hahn, extensão de, 305
Heine-Borel, 52
Lebesgue, 356
Radon-Nikodym, 321, 322
Radon-Nikodym-Lebesgue, 321
Representação de Riesz, 342,
348, 350
Riesz, 354
Riesz-Fischer, 206, 337
Vitali-Luzin, 212, 316
topologia, 333
transformada de Fourier, 203
continuidade, 215
translação, 16
U(R N ), 13
variável aleatória, 297
variação
limitada, 231
negativa, 229
positiva, 229
total, 228, 230, 255
Vitali
exemplo de, 130