Matematikkvansker - Konkrete tiltak for tidlig innsats
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Lena Lindenskov og Peter Weng<br />
MATEMATIKK-<br />
VANSKER<br />
KONKRETE TILTAK FOR TIDLIG INNSATS<br />
Regnehull
Forord<br />
Denne boken er et resultat av et svært omfattende arbeid fra en rekke mennesker. Vi ønsker først<br />
og fremst å rette en stor takk til Frederiksbergs skoler og til skole<strong>for</strong>valtningen og skolenes ledere<br />
<strong>for</strong> å ha satt fokus på å gi støtte til elever som befinner seg i risikogruppen <strong>for</strong> å oppleve problemer<br />
med matematikkundervisningen. Vi vil gjerne også takke matematikkveiledere og matematikklærere<br />
som gjennom sitt engasjement i dette prosjektet og langvarige utprøvinger sammen med sine<br />
elever, har gitt et verdifullt bidrag til bokens <strong>for</strong>m og innhold. Vi vil også takke samtlige lærere og<br />
kommuner som har deltatt på våre kurs og kommet med nyttige tilbakemeldinger. Takk også til alle<br />
elever og <strong>for</strong>eldre som har valgt å bruke materiellet. Utviklingen av boken har vært en lang og omfattende<br />
prosess, og vi vil gjerne rette en takk til Dansk Psykologisk Forlag <strong>for</strong> sakkyndig redigering<br />
av boken. Sist, men ikke minst, ønsker vi å takke Fondet Egmont <strong>for</strong> deres støtte til utviklingen av<br />
prosjektet og utgivelsen av boken.<br />
Lena Lindenskov og Peter Weng<br />
5
Innhold<br />
INNLEDNING<br />
Bokens <strong>for</strong>mål og bakgrunn …………………………………………......................……….. 7<br />
Overordnede mål <strong>for</strong> matematikkundervisningen ………….........................................….. 8<br />
Inkludering og undervisningsdifferensiering ……………….......................................……. 8<br />
Regnehull ………………………………………………………......................................….... 8<br />
Kartlegging og undervisning styrt av fokusspørsmål ……....................................………. 9<br />
Lærerens rolle …………………………………………………..................................………. 9<br />
Valg av <strong>innsats</strong>område ……………………………………......................................……… 10<br />
Skolens matematikkprofil ……………………..................................……………………... 10<br />
BOKENS Innhold<br />
Screeningstest …………………………………….....................................………………... 11<br />
Elevsamtale ……………………………………….....................................………………… 11<br />
De ti matematiske områder ………………….........................................………………… 12<br />
Undervisning i lys av Gummi-Tarzan ………..........................................………………… 14<br />
SAMARBEID OG SAMARBEIDSPARTNERE<br />
Kommunikasjon …………………………………………........................................………. 16<br />
Samarbeid mellom spesiallærer og matematikklærer …………......................…………. 16<br />
Samarbeid med <strong>for</strong>eldrene …………………………………………......................……….. 17<br />
Tidlig intervensjon og skolens matematikkprofil ………………….................…………… 18<br />
Screeningtest til begynnertrinnet (1.-2. KLASSE) ........................…............. 19<br />
Elevsamtale …………………………………….....................................…..…………… 27<br />
A. Kjennskap til/viten om tallene i sammenheng og tallenes navn og symbol …........ 31<br />
B. Forståelse av tallenes egenskaper, som kardinal,<br />
ordinal og identifikasjon og ordenstall …................................................................. 47<br />
C. Grunnregler <strong>for</strong> tall ved addisjon og substraksjon………..................................…... 63<br />
D. Forståelse av grunnleggende tallsammenheng …................................................... 79<br />
E. Grunnregler <strong>for</strong> tall ved multiplikasjon og divisjon …......................................…….. 95<br />
F. Grunn<strong>for</strong>klaringer og terminologi relatert til geometriske <strong>for</strong>mer …....................... 111<br />
G. Grunnregler og <strong>for</strong>ståelse av geometriske <strong>for</strong>mler ……......................................… 127<br />
H. Formler <strong>for</strong> gjenkjennelse og produksjon av tallmønstre og geometriske <strong>for</strong>mler .... 143<br />
I. Grunnleggende <strong>for</strong>ståelse av del-helhet …............................................................ 159<br />
J. Grunnleggende <strong>for</strong>ståelse av målingsenheter …………………………................... 175<br />
Litteratur ……………………………………....………………………………………… 191<br />
6
Innledning<br />
Formålet med <strong>Matematikkvansker</strong>-<br />
<strong>Konkrete</strong> <strong>tiltak</strong> <strong>for</strong> <strong>tidlig</strong> <strong>innsats</strong> er å tilby<br />
matematikklærere muligheten til å gi rask og<br />
effektiv støtte til elever som har problemer med<br />
å lære grunnleggende sider av matematikkens<br />
ulike områder. Å ha slike problemer er ikke<br />
knyttet opp til en bestemt alder eller klassetrinn.<br />
Boken retter seg der<strong>for</strong> mot alle elever som har<br />
eller viser tegn på å ha vanskeligheter med å<br />
<strong>for</strong>stå grunnleggende matematikk, uavhengig<br />
av alder og klassetrinn. Boken åpner opp <strong>for</strong> at<br />
lærere kan arbeide med det matematiske stoffet<br />
på en måte som kan tilpasses den enkelte elevs<br />
<strong>for</strong>utsetninger og behov, uansett hvor eleven<br />
befinner seg i sin utvikling av matematisk<br />
kunnskap. Jo <strong>tidlig</strong>ere man tilbyr hjelp, jo<br />
bedre. At <strong>tiltak</strong> settes i verk så <strong>tidlig</strong> som mulig,<br />
er i seg selv svært viktig i undervisningen.<br />
<strong>Matematikkvansker</strong>– <strong>Konkrete</strong> <strong>tiltak</strong> <strong>for</strong> <strong>tidlig</strong><br />
<strong>innsats</strong> kan også benyttes i <strong>for</strong>hold til elever<br />
som ser ut til å være i svært rask framgang<br />
<strong>tidlig</strong> i skolegangen. For noen av disse elevene<br />
baserer deres hurtige fremgang seg primært på<br />
å gjenkjenne matematiske tegn, samtidig som<br />
man mangler kunnskap om og <strong>for</strong>ståelse av det<br />
matematiske språket. Disse elevene kan dermed<br />
komme til å oppleve vansker med å <strong>for</strong>stå<br />
matematikk på et senere tidspunkt i skolen. Ved<br />
å benytte seg av denne boken, kan læreren få<br />
in<strong>for</strong>masjon om dybden av kunnskap hos elever<br />
som viser rask fremgang. Boken kan med andre<br />
ord brukes i <strong>for</strong>hold til begge marginalgruppene<br />
omkring normalområdet: Den er først og fremst<br />
utviklet med tanke på elever som har problemer<br />
med å lære matematikk, men kan også brukes<br />
<strong>for</strong> høyt presterende elever.<br />
Boken vil kunne gi læreren svar på følgende<br />
spørsmål:<br />
• Hvilke in<strong>for</strong>masjoner om elevens matematiske<br />
utvikling skal læreren prøve å få kjennskap<br />
til?<br />
• Hvilke faglige områder er viktige i elevens<br />
matematiske utvikling?<br />
• Hvordan kan læreren innhente in<strong>for</strong>masjon om<br />
hva eleven kan?<br />
• Hvilke undervisnings<strong>tiltak</strong> kan læreren sette i<br />
gang på grunn av denne in<strong>for</strong>masjonen?<br />
• Hvilke samarbeidspartnere er viktige <strong>for</strong> å gi<br />
eleven støtte?<br />
Boken gir et strukturert opplegg <strong>for</strong> støtte til<br />
elever med vansker. Dette kan tilpasses og<br />
utvikles på en fleksibel måte av kompetente<br />
lærere. Bokens innhold er delt inn i tre nivå:<br />
Det første nivået er bokens matematikkfaglige<br />
innhold som er delt inn i ti grunnleggende<br />
begrepsområder med tilhørende strategier. De<br />
betegnes med bokstavene A-J, hvilket betyr<br />
at det ikke er en rekkefølge som må følges.<br />
De tar <strong>for</strong> seg <strong>for</strong>skjellige sammenhenger<br />
med tall, figurer og <strong>for</strong>hold. På det mer<br />
overordnede nivået beskrives og begrunnes det<br />
innen<strong>for</strong> hvert av de ti områdene en strukturert<br />
kartlegging og undervisning som bygger på<br />
samtale. Sist, men ikke minst, anbefales det<br />
å se støtten til elever med vansker i sosial<br />
sammenheng. På dette nivået er anbefalingene<br />
strukturert med hensikt å styrke nettverket<br />
omkring elevens læring, dvs. <strong>for</strong>eldre, lærer og<br />
skoleledelse.<br />
Bokens struktur er utviklet og utprøvd i<br />
samarbeid med Fredriksberg Kommune i<br />
Danmark i årene 2009 til 2011 med deltakelse<br />
av lærere og elever. Opplegget ble brukt<br />
fra og med skoleåret 2010-2011 av lærere i<br />
kommunens skoler, og det utgjør blant annet<br />
grunnlag <strong>for</strong> kommunens <strong>tidlig</strong>e <strong>innsats</strong> i<br />
7
8<br />
matematikk. Hovedprinsippet er at elever<br />
som i slutten av første klasse viser tegn til<br />
matematikkvansker, tilbys støtte fra starten i<br />
andre klasse. Opplegget er da at eleven får støtte<br />
i 30 minutter fire dager i uken i en periode på 12<br />
uker.<br />
Boken bygger på den kunnskap vi <strong>for</strong>fattere har<br />
om tilpasset undervisning og spesialundervisning<br />
i matematikk. Denne kunnskapen har vi<br />
tilegnet oss gjennom mange års arbeid<br />
med matematikkvansker. I diskusjonen om<br />
matematikkvansker og elever som har slike<br />
vansker med å lære matematikk, har vi innført<br />
begrepet ”regnehull” som vi vil beskrive detaljert<br />
i det følgende. Boken henter noe av inspirasjonen<br />
fra den tenkning som ligger til grunn <strong>for</strong><br />
Mathematics Recovery (Wright 2008) som<br />
internasjonalt <strong>tiltak</strong> <strong>for</strong> å <strong>for</strong>ebygge senere behov<br />
<strong>for</strong> spesialundervisning.<br />
Boken er også et svar på en av anbefalingene<br />
i OECD-rapport om grundskolen i Danmark-<br />
2004 (Mortimore m.fl. 2004). Her blir sterke<br />
og svake sider ved skolen beskrevet, og det<br />
gis anbefalinger. En av disse anbefalingene<br />
går på å ta initiativ over<strong>for</strong> elever med<br />
matematikkvansker.<br />
Overordnede mål <strong>for</strong><br />
matematikkundervisningen<br />
Det matematiske landskap er mer enn tall og<br />
bruk av tall i de fire regningsartene. Det er <strong>for</strong><br />
snevert å kun fokusere på <strong>for</strong>ståelse av tall og<br />
regningsarter. Vi mener at flere områder enn<br />
tall og regningsarter må tas med allerede fra<br />
starten av grunnskolen. Dette er en utvidelse<br />
i <strong>for</strong>hold til internasjonale opplegg <strong>for</strong> <strong>tidlig</strong><br />
<strong>innsats</strong>. Boken inneholder der<strong>for</strong> også beskrivelse<br />
av hvordan man kan arbeide med elevene i<br />
geometri, mønster, del-helhet/brøk og måling.<br />
De ti utvalgte områdene som er med i boken, er<br />
fundamentale i hele elevens skoletid.<br />
Matematikken i skolen gir mulighet <strong>for</strong> å øve opp<br />
det aktive ord<strong>for</strong>rådet til eleven med målsetting<br />
få eleven til å bruke matematiske begrep i<br />
hverdagen. Dagligtalen inneholder mange<br />
uttrykk <strong>for</strong> hva som tidsmessig kommer før og<br />
etter, og elever og lærere kan leke med disse i<br />
matematikkundervisningen og i andre fag. Boken<br />
inneholder der<strong>for</strong> <strong>for</strong>slag til hvordan man kan<br />
bruke språket i kartleggingen og undervisningen.<br />
Det kan <strong>for</strong> eksempel dreie seg om å leke med<br />
uttrykk som ”neste år”, ”et år senere”, ”året<br />
etter”, ”en time senere”, ”etter en time”, ”en time<br />
<strong>for</strong>an” (om ur som går <strong>for</strong> seint eller tidssoner)<br />
og ”neste time”. Boken inneholder også mange<br />
eksempler på bruk av matematiske begrep i<br />
situasjoner som er kjente <strong>for</strong> eleven <strong>for</strong> på den<br />
måten å skape større motivasjon.<br />
Utvikling av elevenes matematiske kompetanse<br />
er en viktig del av matematikkundervisningen.<br />
Det må legges vekt på at elevene skal kunne<br />
bruke det de lærer som utgangspunkt <strong>for</strong> videre<br />
matematikklæring, både i andre fag og uten<strong>for</strong><br />
skolen. Det er også viktig at eleven skal utvikle<br />
motivasjon <strong>for</strong> å bruke matematikk. Kunnskap<br />
og ferdigheter skal aktiveres. For å få dette til,<br />
gir boken råd om hvilke typer spørsmål man kan<br />
stille, hvordan man kan løse problemer, hvordan<br />
man kan tenke annerledes og hvordan man<br />
kommuniserer med hverandre.<br />
Regnehull<br />
Vi bruker begrepet ”regnehull” som en meta<strong>for</strong><br />
<strong>for</strong> matematikkvansker hvor matematikken<br />
ses som et landskap med mer eller mindre<br />
tilgjengelige områder. Landskapet består av daler,<br />
bakker og fjell- alle med <strong>for</strong>skjellige muligheter<br />
<strong>for</strong> vekst og alle med ulike klima<strong>for</strong>hold. Når en<br />
elev har stoppet læringen sin i matematikk, sier vi<br />
meta<strong>for</strong>isk at eleven har falt ned i et ”regnehull”<br />
i det matematiske landskapet. Når en elev har falt<br />
ned i et regnehull, er det <strong>tiltak</strong> man som lærer kan<br />
bruke <strong>for</strong> å støtte eleven:<br />
Man kan støtte eleven ved å arbeide bredt med de<br />
matematiske begrepene og prosessene eleven har<br />
vansker med. Dette kan f. eks. skje ved at læreren<br />
får eleven til å samarbeide om matematiske<br />
oppgaver og begrep, <strong>for</strong> på den måten å motivere<br />
eleven og framkalle hans/hennes potensial. Slik<br />
kan regnehullet fylles opp på en god måte.
Man kan støtte eleven ved å gi han/henne<br />
redskaper som kompenserer <strong>for</strong> vanskene, slik<br />
at eleven likevel kan arbeide med matematiske<br />
problemer. Dersom eleven <strong>for</strong> eksempel har<br />
problemer med de fire regneartene, kan en<br />
kalkulator være et hjelpemiddel som gjør det<br />
mulig <strong>for</strong> eleven å utvikle sin matematiske<br />
tenkning på tross av manglende ferdighet.<br />
Dersom eleven har kalkulator på mobilen og<br />
er mer <strong>for</strong>trolig med å bruke denne frem<strong>for</strong> en<br />
vanlig kalkulator, må man selvfølgelig la eleven<br />
bruke mobilen. Her blir hovedsynspunktet at<br />
læreren må være pragmatisk og legge til side<br />
eventuelle prinsipp om hvilke hjelpemidler<br />
det er akseptabelt å ta i bruk. På denne måten<br />
bygger man en bro over regnehullet. Eksempel<br />
på andre hjelpemidler som kompenserer <strong>for</strong><br />
manglende ferdigheter, kan være kuleramme,<br />
målebånd eller matematiske dataprogrammer.<br />
Man kan støtte eleven ved å introdusere han/<br />
henne <strong>for</strong> et annet matematisk landskap <strong>for</strong><br />
å <strong>for</strong>sikre seg om at eleven til enhver tid får<br />
mulighet til å utvikle sin matematiske tenkning<br />
og sin interesse <strong>for</strong> matematikk. Denne <strong>for</strong>m <strong>for</strong><br />
støtte kan iverksettes <strong>for</strong> å unngå risikoen <strong>for</strong><br />
at eleven ”setter seg fast i et regnehull”. Eleven<br />
kan <strong>for</strong> eksempel ha behov <strong>for</strong> å arbeide med<br />
noe annet enn matematikk, før man etter en tid<br />
igjen <strong>for</strong>søker å arbeide med de begreper som<br />
ligger rundt regnehullet. På den måten kommer<br />
eleven – <strong>for</strong> kortere eller lengre tid – bort fra<br />
regnehullet.<br />
Med sine mange <strong>for</strong>slag til ulike metoder skiller<br />
denne boken seg fra internasjonale opplegg<br />
som også tar sikte på å tilby <strong>tidlig</strong> intervensjon.<br />
Disse bærer ofte preg av en hierarkisk<br />
tankegang om at eleven må arbeide seg<br />
gjennom bestemte nivå i en bestemt rekkefølge.<br />
Ut fra tankegangen om regnehull, vurderer<br />
man derimot hvorvidt eleven har stoppet opp<br />
i sin <strong>for</strong>ståelse av matematiske begrep, altså<br />
”falt ned i et regnehull”, og i så fall setter man i<br />
verk hurtige <strong>tiltak</strong>, både <strong>for</strong> at eleven ikke skal<br />
gi opp, men også <strong>for</strong>di elevens problemer kan<br />
øke ettersom tiden går. Støtten som beskrives<br />
i boken, legger vekt på at eleven får utviklet<br />
en hensiktsmessig basal begreps<strong>for</strong>ståelse,<br />
personlige strategier, og sist, men ikke minst,<br />
sin motivasjon. Alle disse faktorene er viktige<br />
<strong>for</strong> elevens videre utvikling. Det er også<br />
grunnen til at kartleggingen og <strong>for</strong>slagene til<br />
støtte fokuserer på de affektive og sosiale sidene<br />
ved matematikkvanskene. Boken kan med andre<br />
ord brukes til å avdekke elevens <strong>for</strong>ståelse,<br />
holdning og følelser i <strong>for</strong>hold til matematikk<br />
og kartlegge hvordan disse kan brukes på en<br />
produktiv måte. Hensikten er at eleven styrker<br />
og videreutvikler- om nødvendig bygger opp sin<br />
<strong>for</strong>ståelse, strategi og opplevelse av seg selv og<br />
av matematikk, som kan danne grunnlaget <strong>for</strong> at<br />
eleven kan oppnå målene <strong>for</strong> læringen.<br />
Kartlegging og undervisning basert på<br />
fokusspørsmål<br />
Boken legger stor vekt på kartlegging av<br />
elevens matematiske problemer. Kartleggingen<br />
tar som nevnt <strong>tidlig</strong>ere utgangspunkt i ti<br />
utvalgte matematiske områder, og til hvert<br />
av disse områdene har man laget seks<br />
fokusspørsmål. Dette er vårt <strong>for</strong>slag til<br />
hvilken in<strong>for</strong>masjon læreren skal innhente<br />
angående eleven når man legger til rette <strong>for</strong><br />
og gjennomfører en intervensjon som er nøye<br />
tilpasset den enkelte elev. Fokusspørsmålene er<br />
begrunnede, overordnede spørsmål som viser<br />
hvilke områder læreren skal fokusere på når<br />
han eller hun skal innhente in<strong>for</strong>masjonen som<br />
skal brukes i planleggingen og undervisningen.<br />
Fokusspørsmålene brukes i første omgang i<br />
kartleggingen, men etter det også henholdsvis<br />
i den grunnleggende og videre læringen.<br />
Fokusspørsmålene skal verken stilles til eller<br />
besvares direkte av eleven, men har som <strong>for</strong>mål<br />
å gi læreren en retning i kartleggingen av<br />
elevens ferdigheter, kunnskap og lyst til å lære.<br />
Lærerens rolle<br />
Både bokens strukturerte kartlegging og<br />
<strong>for</strong>slagene om undervisnings<strong>tiltak</strong> er kun<br />
ment som et <strong>for</strong>slag til hvordan man kan gå<br />
frem. Læreren kan først prioritere å velge i det<br />
omfattende kartleggingsmateriellet han besitter<br />
ut fra sitt kjennskap til eleven og til elevens<br />
ordinære matematikkundervisning. Når elevens<br />
9
vansker er kartlagt, kan læreren benytte boken<br />
til å finne flere ulike <strong>for</strong>slag til <strong>tiltak</strong> man kan<br />
gjennomføre. Læreren kan velge <strong>for</strong>slagene<br />
som passer best til elevens motivasjon og<br />
som gir eleven størst mulig utbytte. Dersom<br />
læreren finner andre opplegg bedre egnet til en<br />
konkret elev, bør han/hun være oppmerksom<br />
på å innhente andre opplegg enn det som<br />
beskrives i <strong>for</strong>bindelse med kartleggingen. I<br />
så fall opp<strong>for</strong>drer vi til å føre notater om disse<br />
alternative oppleggene, slik at han/hun kan<br />
bruke sine erfaringer gjennom kartleggingen.<br />
Læreren kan også bruke <strong>for</strong>slagene som<br />
inspirasjon. På bakgrunn av sine profesjonelle<br />
vurderinger kan han utvikle <strong>for</strong>slagene eller<br />
erstatte dem med andre, alt ut fra hva som<br />
fungerer best i hvert enkelt tilfelle.<br />
Erfaringene vi innhentet gjennom lærerkursene<br />
i prosjektperioden, tyder på at boken inneholder<br />
kartleggingsmateriell og <strong>for</strong>slag som lærere<br />
kan bruke som grunnlag <strong>for</strong> gode og lærerike<br />
samtaler med elever, og som kan inspirere<br />
lærere til å ta i bruk og tilpasse innholdet ut<br />
fra hver enkelt elev. Vi ønsker at lærere vil<br />
bruke opplegget på en dynamisk og personlig<br />
måte. Dette er mulig ved at lærerne via sine<br />
egne kontinuerlige notater utvikler opplegget<br />
til å bli unikt, da det blir <strong>for</strong>met av hver enkelt<br />
lærer som et redskap han eller hun har eierskap<br />
til. At lærere tar i bruk sin profesjonalitet på<br />
en selvstendig og kreativ måte, er etter vår<br />
oppfatning i harmoni med styrken som bør være<br />
i skolen.<br />
Opplegget er som nevnt ikke delt inn i alder<br />
eller klasse, og i prinsippet kan det der<strong>for</strong><br />
benyttes av alle elever som har problemer med<br />
å <strong>for</strong>stå matematikkens grunnleggende områder.<br />
Det er aldri <strong>for</strong> sent å sette i gang <strong>tiltak</strong>, og<br />
det er uten tvil elever på mellomtrinnet og<br />
ungdomstrinnet som har problemer med å <strong>for</strong>stå<br />
geometriske <strong>for</strong>mer, titallsystemet, regneartene,<br />
brøk eller måleenheter. Ved å benytte opplegget<br />
i denne boken sammen med eldre barn, må<br />
spesiallæreren være spesielt oppmerksom på<br />
at man tilpasser matematiske eksempler og<br />
kontekster til elevens alder og interesse.<br />
Valg av <strong>innsats</strong>område<br />
<strong>Matematikkvansker</strong> – Tidlig <strong>innsats</strong> gir solid<br />
dekning av de grunnleggende matematiske<br />
begrepsområdene, slik at man på best mulig<br />
måte kan kartlegge på hvilke områder eleven<br />
har vansker. Det er på disse områdene eleven<br />
skal bli hjulpet til å utvikle sin <strong>for</strong>ståelse og<br />
ferdigheter på en konstruktiv måte, samtidig<br />
som eleven også får styrket sin selvtillit og<br />
lyst til å lære. Spesiallærerne som har som<br />
oppgave å kartlegge elevens vansker og sette<br />
i verk hjelpe<strong>tiltak</strong>, må sammen med elevens<br />
matematikklærer avgjøre hvilke områder<br />
som er såpass problematiske <strong>for</strong> eleven at<br />
vedkommende har behov <strong>for</strong> hjelp. Samtidig<br />
må de vurdere hvorvidt eleven på det gjeldende<br />
tidspunktet kan motiveres til å utvikle seg<br />
på det eller de utvalgte områdene, og om en<br />
intervensjon kan løfte elevens lyst til å lære<br />
matematikk. Elevens lærere kan også beslutte<br />
at et visst område av matematikken ikke skal<br />
være en del av undervisningen. Det er <strong>for</strong>øvrig<br />
ikke meningen at man må gjennomføre en<br />
total kartlegging og undervise den enkelte<br />
elev innen<strong>for</strong> samtlige områder fra A til J. Her<br />
må det understrekes at bruken av bokstaver<br />
frem<strong>for</strong> tall <strong>for</strong> å navngi de matematiske<br />
områdene, viser til at rekkefølgen man arbeider<br />
seg gjennom materialet på ikke er bestemt på<br />
<strong>for</strong>hånd.<br />
Skolens matematikkprofil<br />
Å innføre en matematisk intervensjon<br />
etter behov, bør bli en del av skolens<br />
matematikkprofil. Dette skjer først og<br />
fremst ved et samarbeid med <strong>for</strong>eldrene<br />
til de aktuelle elevene. Det kreves<br />
tydelig og god kommunikasjon med<br />
elevens matematikklæreren dersom<br />
spesialundervisningen finner sted med en annen<br />
matematikklærer enn elevens egen.<br />
10
Screeningtest til<br />
begynnertrinnet<br />
(1-2.klasse)<br />
& Elevsamtale<br />
19
SCREENINGTEST TIL<br />
BEGYNNERTRINNET (1.-2. KLASSE)<br />
20<br />
Kommunikasjon<br />
Et av kjennetegnene ved opplegget i<br />
<strong>Matematikkvansker</strong> – Tidlig <strong>innsats</strong>, er at<br />
metoden bygger på samtale. En kombinasjon<br />
av samtaler og felles aktiviteter bidrar til at<br />
eleven danner seg et bilde av matematikk<br />
og fenomener i en verden som matematikk<br />
kan brukes på. Man legger vekt på dialog<br />
som kommunikasjons<strong>for</strong>m, der lærerens<br />
tilrettelegging gir eleven gode muligheter<br />
til å ta initiativ. Forutsetningen <strong>for</strong> at<br />
læreren kan tilrettelegge aktivitetene på<br />
en slik måte, er at han/hun får innsikt i<br />
rekkevidden av elevens <strong>for</strong>ståelse og kunnskap<br />
gjennom den systematisk kartleggingen,<br />
samt den kontinuerlige observasjonen og<br />
dokumentasjonen av elevens utbytte av<br />
undervisningen.<br />
Kommunikasjonen mellom elev og lærer er<br />
avgjørende, da kommunikasjon fører til at<br />
eleven blir lærerens guide og veileder, og<br />
læreren blir elevens guide, støtte og ut<strong>for</strong>drer.<br />
Kommunikasjonen er en garanti <strong>for</strong> at læreren<br />
kan tilpasse undervisningsaktivitetene til<br />
elevens mestringsområder og gi passe store<br />
ut<strong>for</strong>dringer i den videre læringen. Det er<br />
også gjennom samtaler og felles aktivitet at<br />
eleven kan utvikle eierskap <strong>for</strong> eksempel til<br />
symboler, sette symboler på prosesser, tenkning,<br />
fenomener og matematiske symboler som tegn<br />
som kan tillegges flere betydninger.<br />
Kommunikasjonskanalene mellom elev og<br />
lærer i spesialundervisningen kan blant annet<br />
være tale og skrift i ulike medier, bevegelse av<br />
objekter, samt elevens og lærerens bevegelser,<br />
lyder og rytmer. Matematikk i skole og hverdag<br />
kommuniseres gjennom sansene, og opplevelser<br />
gjennom sansene <strong>for</strong>sterker motivasjonen og<br />
begrepsutviklingen og bidrar til at områdets<br />
terminologi blir en del av elevens aktive<br />
ord<strong>for</strong>råd.<br />
Bokens materiell legger opp til å aktivere<br />
hørsel-, syns- og følesans på samme tid,<br />
slik at de blir til ”samsanser”. Dette gjelder<br />
<strong>for</strong> samtlige ti matematikkområder. Det<br />
kommer tydelig frem i materiellet til område<br />
B, Forståelse av tallenes egenskaper som<br />
kardinaltall/mengdetall, ordenstall og<br />
identifikasjonstall.<br />
Samarbeid mellom spesiallærer og<br />
matematikklærer<br />
Målet med en <strong>tidlig</strong> intervensjon i matematikk<br />
er å sikre at eleven klarer å følge med i klassens<br />
fremtidige matematikk undervisning. Der<strong>for</strong><br />
er det viktig at spesiallæreren sørger <strong>for</strong> at<br />
spesialundervisningen <strong>for</strong>egår i samarbeid<br />
med elevens matematikklærer. Dette<br />
samarbeidet er en <strong>for</strong>utsetning <strong>for</strong> at eleven<br />
skal se sammenhengen mellom innholdet<br />
i undervisningen han eller hun mottar i<br />
spesialundervisningen og i klassen.<br />
Der<strong>for</strong> skal det være en kontinuerlig dialog<br />
mellom spesiallæreren og matematikklæreren.<br />
Dialogen begynner når matematikklæreren<br />
setter i verk – eller vurderer å sette i verk –<br />
spesialundervisning <strong>for</strong> eleven. Det er viktig<br />
at matematikklærerens vurdering inneholder<br />
observasjonene han/hun har gjort av elevens<br />
arbeid i timene. Observasjonene er et verdifullt<br />
verktøy <strong>for</strong> spesiallæreren når han/hun skal<br />
finne en hensiktsmessig inngang til elevens<br />
undervisning.<br />
Når spesialundervisningen er satt i gang,<br />
er det også viktig at spesiallæreren og<br />
matematikklæreren orienterer hverandre om<br />
elevens utvikling. Hvor <strong>for</strong>malisert dette<br />
samarbeidet skal være vil variere fra skole<br />
til skole, og blant annet avhenge av skolens<br />
matematikk-kultur og matematikkfaglige miljø.<br />
Dersom skolen har en matematikkveileder, kan<br />
vedkommende sette i verk denne type
SCREENINGTEST TIL BEGYNNERTRINNET (1.-2. KLASSE)<br />
Elev:<br />
Klasse:<br />
dato:<br />
Materiell:<br />
Papir og blyant. Røde, gule og blå centikuber (minst ti av hver). Målebånd. Analogt og digitalt ur.<br />
Firesidet pyramide med bunnen ut<strong>for</strong>met av Polydron brikker.<br />
Elevens følelser og oppfatninger<br />
1 Liker du matematikk? Hvor<strong>for</strong>? Hvor<strong>for</strong> ikke?<br />
2 Synes du oppgavene i matematikk boken er vanskelige eller lette?<br />
3 Fortell om noe du synes er veldig lett, og noe som er veldig vanskelig i matematikk.<br />
21
SCREENINGTEST TIL BEGYNNERTRINNET (1.-2. KLASSE)<br />
Elevens faglige <strong>for</strong>ståelse:<br />
Forbered eleven på at følgende spørsmål innebærer å løse en rekke oppgaver, og at hensikten er at dere<br />
i fellesskap skal finne ut om det er ting dere kan gjøre <strong>for</strong> at eleven skal lære mer matematikk.<br />
1 Hvor langt kan du telle? Tell så langt du klarer til jeg sier stopp.<br />
Eleven bør klare å telle til 40 eller mer. Legg merke til om eleven hopper over tall, samt hvor trygg han/<br />
hun høres ut når hun teller. Teller han/hun med letthet, eller mister eleven tråden og må begynne <strong>for</strong>fra?<br />
2 Nå skal du telle hvor mange centikuber jeg legger på bordet. Når du er ferdig, skriver du antallet.<br />
Tell høyt, slik at jeg kan høre at du teller.<br />
I første omgang legger læreren – avhengig av eleven – f.eks. 7,13 eller 26 centikuber på bordet. Dersom<br />
eleven grupperer tall over 10 i grupper av ti eller andre grupper, noterer man dette. Teller eleven<br />
centikubene lett? Teller eleven en om gangen (1,2,3) , to om gangen (2,4,6) eller brukes andre<br />
strategier?<br />
oppgaven bør gjentas med minimum tre ganger så vanskelige oppgaver,<br />
f.eks. 7, 13 og 26.<br />
3 Nå legger jeg to bunker med centikuber på bordet. Oppgaven din er å finne ut hvilken bunke som har<br />
flest. Hvordan vil du gå frem? Du skal nå finne ut hvor mange det er i hver bunke. Skriv ned tallet.<br />
Antallet i de to bunkene kan f.eks. være 17 og 23, slik at det er mulig å sammenligne antallet tiere og<br />
enere. Legg merke til elevens strategi. Teller eleven f.eks. antallet i bunkene hver <strong>for</strong> seg og<br />
sammenligner? Grupperer eleven klossene i hver bunke og sammenligner gruppene i den ene bunken<br />
med gruppene i den andre bunken? Sammenligner eleven en centikube i den ene bunken med en<br />
centikube i den andre bunken ved å berøre eller flytte en centikube fra hver bunke samtidig?<br />
22
A<br />
Kjennskap til/viten om<br />
tallene i sammenheng<br />
og tallenes navn<br />
og symbol<br />
31
A<br />
A. Kjennskap til / viten om tallene<br />
i sammenheng og tallenes navn<br />
og symbol<br />
Mål med kartleggingen i del A<br />
Målet med kartleggingen i denne delen er å innhente in<strong>for</strong>masjon som kan brukes til å hjelpe<br />
eleven med å utvikle <strong>for</strong>ståelse og kunnskap om det enkelte talls navn og symbol, samt gi eleven<br />
innsikt i hvordan tallene henger sammen med hverandre. Kartleggingen skal også avdekke hvorvidt<br />
eleven kan bruke tallene fleksibelt og skifte mellom tallets auditive og visuelle uttrykk, samt både<br />
gjenkjenne og skrive tallsymbolene.<br />
Fokusspørsmål<br />
A1. Hvordan teller eleven fremover?<br />
A2. Hvordan er elevens kjennskap til et talls etterfølger?<br />
A3. Hvordan teller eleven bakover?<br />
A4. Hvordan er elevens kjennskap til talls <strong>for</strong>gjenger?<br />
A5. Hvilke tall kan eleven identifisere når tallet vises som symbol?<br />
A6. Hvilke tall kan eleven gjenkjenne når tallet sies?<br />
32
D. FORSTÅELSE AV GRUNNLEGGENDE TALLSAMMENHENGER<br />
Læring og undervisning<br />
Materiell<br />
Tallkort med tallene 1-100. Centikuber og Cuisenaire-staver. Penger (eventuelt lekepenger). Åpen<br />
tallinje, linjal og centimetermål. Konkret materiell som benyttes i elevens matematikkundervisning.<br />
Papir og blyant.<br />
Styrkende læring på elevens mestringsområder<br />
Elevens <strong>for</strong>ståelse av titallssystemet styrkes med regnestykker om penger, og samtaler der man<br />
fokuserer på at man kan oppfatte tikroner som tiere og kronestykker som enere.<br />
D<br />
➤ Læreren ber eleven legge et beløp, f.eks. 34 kroner, eller et annet beløp eleven mestrer, på bordet<br />
på <strong>for</strong>skjellige måter. For hver nye måte eleven finner på, setter man det inn på en åpen tallinje.<br />
Hver måte anskueliggjøres også på et centimetermål. Man snakker så om de ulike måtene man<br />
bruker, <strong>for</strong> å få et beløp vekslet til tikroner og kronestykker.<br />
Videre læring<br />
Arbeidet med elevens videre læring legges til rette ut fra elevens behov og motivasjon.<br />
➤ I situasjoner der eleven ikke ser at tosifrede tall kan deles opp i tiere og enere, kan læreren på<br />
samme måte som i D2 be eleven samle elementer i tier bunker, telle tier bunker og skrive antallet<br />
tier bunker. Dette kan gjøres ved hjelp av ulikt konkret materiell og antall. Man kan også arbeide<br />
med tallinjen, der læreren ber eleven hoppe fra 0 til f.eks. 34 med tier hopp og enerhopp. Både<br />
arbeidet med konkret materiell og tallinjen relateres til tallsymboler.<br />
➤ Med elever som ser at tosifrede tall kan deles opp i tiere og enere, kan <strong>for</strong>ståelsen av titallssystemet<br />
styrkes med stadig mer avanserte regnestykker om penger. Man bruker hundre- og tusenkronesedler<br />
<strong>for</strong> å representere tall i hundrere og tusener, og tosifrede tall i <strong>for</strong>slagene neden<strong>for</strong><br />
erstattes med tre- og firesifrede tall.<br />
➤ Læreren velger et tosifret tall. Eleven legger det på bordet som et beløp med tikroner og kronestykker.<br />
Læreren legger opp tallet med andre kombinasjoner av tikroner og kronestykker, og<br />
eleven kontrollerer om det er korrekt.<br />
➤ Eleven velger et tosifret tall, og læreren legger det på bordet som et beløp med tikroner og kronestykker.<br />
Eleven legger summen på bordet i andre kombinasjoner av tikroner og kronestykker.<br />
Læreren kontrollerer om det er korrekt.<br />
➤ Læreren velger en rekke tosifrede tall, og eleven legger dem opp som et beløp med tikroner og<br />
kronestykker. Læreren ber eleven veksle beløpene til femkroninger og legge merke til antallet<br />
femkroninger i <strong>for</strong>hold til antall tikroner.<br />
83
MATEMATIKKVANSKER - KONKRETE TILTAK FOR<br />
TIDLIG INNSATS er et praktisk redskap som<br />
kan brukes til å kartlegge og styrke elevers<br />
matematiske begrepsutvikling innen<strong>for</strong><br />
ti grunnleggende matematiske områder.<br />
Bokens metode bygger på <strong>for</strong>fatterens<br />
begrep “regnehull”, som bl.a. innebærer at<br />
matematikkvansker kan møtes med mange ulike<br />
strategier, og at den beste strategien ikke alltid<br />
er å starte med å “fylle igjen hullet”.<br />
Boken inneholder konkrete og varierte <strong>for</strong>slag<br />
til kartlegging, styrkende læring og videre<br />
læring til hvert av bokens ti områder. Denne<br />
oppbyggingen gjør det mulig <strong>for</strong> lærere<br />
å tilpasse det matematiske stoffet til den<br />
enkelte elevs <strong>for</strong>utsetninger og behov, uansett<br />
hvor eleven befinner seg i sin utvikling<br />
av matematisk kunnskap og uavhengig av<br />
elevens klassetrinn. Boken inneholder også en<br />
screeningtest som kan brukes til en innledende<br />
kartlegging av elevens <strong>for</strong>utsetninger,<br />
potensial, behov og motivasjon før en eventuell<br />
intervensjon.<br />
Boken besvarer følgende spørsmål:<br />
• Hvilke faglige områder er viktige <strong>for</strong> elevens<br />
matematiske utvikling?<br />
• Hvilken in<strong>for</strong>masjon om elevens matematiske<br />
utvikling skal lærere ønske å få kjennskap til,<br />
og hvordan kan man skaffe seg denne<br />
in<strong>for</strong>masjonen?<br />
• Hvilke undervisnings<strong>tiltak</strong> kan og bør iverk<br />
settes på bakgrunn av dette?<br />
Boken henvender seg hovedsakelig til<br />
matematikklærere og matematikkveiledere,<br />
men også til PPT- medarbeidere, skoleledere,<br />
lærerstudenter og andre som arbeider<br />
med læring, undervisning og veiledning i<br />
matematikk i grunnskolen.<br />
Boken tar utgangspunkt i og bygger på<br />
prosjektet TMF, Tidlig matematikk<strong>innsats</strong> på<br />
Frederiksberg, som begynte i 2009 med støtte<br />
fra Egmont Fonden og som nå er et fast tilbud<br />
ved barneskolene i Frederiksberg Kommune,<br />
Danmark.<br />
Bokens <strong>for</strong>fattere<br />
Peter Weng er lektor ved Institut <strong>for</strong> Skole og<br />
Læring, Professionhøjskolen Metropol. Han<br />
arbeider med fagdidaktikk, deriblant elevers<br />
vansker ved læring av matematikk, problembehandling<br />
og evaluering i og av matematikkundervisning.<br />
Lena Lindenskov er lektor ved Institut <strong>for</strong><br />
Uddannelse og Pædagogik (DPU), Campus<br />
Emdrup, Aarhus Universitet. Hun arbeider med<br />
fagdidaktikk og har fokus på matematikklæring<br />
og på barn, ungdom og voksne som har vansker<br />
med å lære matematikk.<br />
9 788290 910643<br />
ISBN 978-82-90910-64-3