Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

KordenNår jeg med dette nummeret av TANGENTEN overtar ansvaret som redaktør, viljeg først takke Ole Einar Torkildsen for stor innsats gjennom 5 år. Han overtoketter Stieg Mellin-Olsen. Som fersk i redaksjonen kan det ikke ha vært en lett oppgaveå overta ansvaret. Tidsskriftet har gjennomgått en positiv utvikling de sisteårene. Nettet av skrivevillige forfattere har vokst. Abonnementstallene har steget ogsamarbeidet med LAMIS har vist seg som et heldig trekk for alle parter. En stortakk til Ole Einar!Tingene ligger vel til rette når jeg nå overtar redaktørstolen. Jeg kommer inn iordnete forhold, noe som jeg takker min forgjenger for. Likevel ser jeg det er myeå ta fatt på.· TANGENTEN åpner med et elevinnlegg. Vi får et innblikk i hvordan nyeevalueringsformer oppleves fra elevsiden. Mange skoler prøver ut nyeeksamensformer, og det er viktig at positive erfaringer bringes videre tilhele systemet.· I dette nummeret ser vi på privatskoler i Norge som bl.a. utmerker seg gjennomet spesielt syn på matematikken. Steinerskolen og Montessoriskolen presenterersine syn på faget. Vi kan se likhetstrekk med den offentlige skolensamtidig som der er forskjeller. Reformene på 80- og 90-tallet har muligensbidratt til å minke forskjellene.· TANGENTEN går nye veier. Til neste nummer inviterer vi Signe Holm Knudtzonog Janne Fauskanger som gjesteredaktører. Temaet er «jenter og matematikk»,et område der forskning og forsøksvirksomhet vokser. Det blir viktig å holdetritt med utviklingen på denne fronten og å kunne sammenholde nyvinningermed våre egne erfaringer fra klasserommene.· Diskusjonen om nye læreres matematikkunskaper som har vært tydelig i aviseneog som har funnet sine nedslag i TANGENTEN er fortsatt levende. Myeav den bunner i forskjellige tolkninger av «matematikkens vesen». Vi ser klartat utviklingen i samfunnet krever forandringer i skolen og dermed også imatematikkundervisning. Dette rokker ved matematikkens vesen slik mangeser det.tangenten 3/2000 1

· Matematikkåret 2000 har synliggjort faget i nyesammenhenger. TANGENTEN har tatt initiativtil et nordisk samarbeidsprosjekt. Fellesutgivelsenom matematikkundervisning i Nordenvil foreligge i oktober. Alle våre abonnentervil få et eksemplar av boka som en liten 2000-årsgave.Til slutt: Hvorfor vil noen drive et blad for matematikki skolen? Kan ikke lærerne finne aktueltstoff på internettet? Er der ikke uhorvelige mengderav tilbud om undervisningsopplegg, oppgaver,rapporter og kopieringoriginaler tilgjengelige gjennominternett, skolenett og diskusjonsgrupper?Hvorfor da et tidsskrift i tillegg?Etter min mening henger vår eksistensberettigelsesammen med kvalitet. Som redaksjon forsøkervi å arbeide fram et blad som virker til bevisstgjøringog kvalitetsheving. Vi vil at TANGENTENskal være noe annet enn det en kan få gjennom søki en hvilken som helst søkemotor. Samtidig som vihåper på å inspirere leserne, vil vi kanskje sparedem for arbeid og frustrasjon som søk på nettetkan medføre. Det er klart for oss at TANGEN-TEN må bli enda mer aktuell og treffe våre leserepå hjemmebane.RedaktørskifteIllustratøren vår har på omslagssiden latt seg inspirereav sommerens fotballfester. Da landslaget ikkekom så langt som forventet, begynte BjørgTronshart å studere andre spennende sider vedfotballens struktur. Her er mye artig matematikk åhente.23/2000 tangenten

Erling RangnesKlasseromsmodellen –munnleg eksamen for einungdomsskoleelevEg går i klasse 10 på ungdomsskulen der vi nylegvar oppe i munnleg eksamen. Eg kom opp i matte.Vi begynte tidleg med førebuingane, med valgav type eksamen, eventuell eksamenspartnar osv.Sjølv valgte eg og ein kamerat å gå opp saman etterklasseromsmodellen, der vi skulle gå opp samanmed tre andre grupper i faget vi ville få. Vi førebuddeoss på samarbeid gjennom fleire oppgåverog prosjekt i skuletida.Då det begynte å nærma seg fekk vi vite meirom måten å ha klasseromsmodellen. Vi fekk vitaat vi hadde ei viss tid til å førebu oss om eit spesieltemne før vi vart spurde. Vi hadde og ein litenprøveeksamen for å sjå litt korleis det føregjekk.Då eg og kameraten min fekk vite at vi haddekome opp i matte, vart vi fortald om kva som varspesielt med det, deriblant at vi fekk utdelt eit emneog opplysninger for så å kunne lage og løyse eigneoppgåver. Dermed var det klart for øvinga. Vi fekkein lesedag før sjølve eksamen, der eg og kameratenmin øvde oss på å lage eigne oppgåver omreise. Vi fann ut omtrent kor mykje det kostar å bupå hotell og å ete på ei reise til ein tilfeldig plass.På eksamensdagen fekk eg meg ei positiv overrasking.I staden for å få ei viss tid til å lageoppgåver, kom faglærar og eksaminator rundt frågruppe til gruppe og stilte spørsmål og ba oss forklarekva vi hadde kome fram til, kva vi holdt påmed osv. Eg meinte dette letta opp på presset oggjorde det letteare å konsentrere seg . Eg veit ikkjekorleis det var for andre, men eg likte denneeksamensforma. Uansett, vi starta med å trekke eioppgåve til kvar gruppe. Vi fekk overskrifta «EM ifotball» og informasjon om mål på fotballbana,lagoppsetting, bilettprisar til fotballkampane, valuta,flybilettprisar og hotellkostnader. Vi lagdeførst eit tankekart om kva oppgåver det varmogleg å lage. Kameraten min valgte å ta areala påfotballbana først medan eg fordreiv tida med åfinne ut kor mykje det ville koste for ein familie påto vaksne og to barn å reise til Amsterdam, verader i fem dagar og sjå to kampar. Deretter rekna egalt, bortsett frå buss og flykostnader, om til gylden,og fekk dermed inn valuta og. Vi fekk dessutanfleire utfordringar frå sensor. Vi var innom tidsrekningog sannsynsrekning også. Oppgåvene varikkje altfor vanskelege, det verka som vanskegradenvart tilpassa ut frå kva vi fekk til, og vi gjorde det vikunne for å svare.Det var få av oss som brukte klasseromsmodellensom fekk lågare karakter i matte munnlegeksamen enn det vi hadde i standpunkt. Fleireav oss, deriblant eg sjølv fekk ein karakter overstandpunkt. Det kan kanskje ha noko med at stemningavar mykje lettare enn eg forventa. Eg fekkriktignok jernteppe eit par gonger, men kom alltidinn i nærleiken av riktig svar. Då vi var ferdige medalle oppgåvene, spurde sensor om kva karakter vitrudde vi fortende. Vi vart sende ut på gongen ogtatt inn igjen ein etter ein for å få vite karakteren vår.Det verka som om dei fleste var fornøyde.tangenten 3/2000 3

(same) 1 +10 / +12 109 m3 meat dispatchAz. Agr. Nocerino Limatola (BN) Italy 3 0 / +2 1052 m3 storage of fruit(same) 1 +4 / +8 486 m3 fruit anteroomE.CO. San Vitaliano (NA) Italy 1 0 / +2 372 m3 storage of carrotsVERSILIA CARNI Viareggio (LU) Italy 1 0 / +1 93 m3 storage of meat(same) 1 0 / +1 23 m3 storage of meat(same) 1 +10 / +12 251 m3 meat cut roomVesuvio Ercolano (NA) Italy 1 0 / +1 240 m3 storage of fruitG.A.D. Vitulazio (CE) Italy 1 -20 / -18 2188 m3 storage of frozen food(same) 1 -20 / -18 1501 m3 storage of frozen food(same) 1 -20 / -18 460 m3 storage of frozen food(same) 2 -20 / +4 460 m3 storage of various productsIdealfrutta Pagani (NA) Italy 2 0 / +2 110 m3 storage of fruitLEMURIA Viareggio (LU) Italy 2 0 / +1 94 m3 fish storage(same) 1 -5 / 0 24 m3 ice storage(same) 1 -5 / 0 29 m3 fish defrost(same) 1 +10 / +12 800 m3 fish cut room(same) 1 -27 / -18 163 m3 fish storageE.CO. San Vitaliano (NA) Italy 1 0 / +1 80 m3 garlic storageMaltese San Nicola (CE) Italy 1 -27 / -18 25 m3 fiber storageOrlando Angri (SA) Italy 1 0 / +1 660 m3 fruit and vegetable storageSottozero Frattaminore (NA) Italy 2 -25 / refrigerated cabinetMarvi Frozen Frattamaggiore (NA) Italy 1 -27 / -18 1023 m3 fish storage(same) 1 -27 / -18 609 m3 fish storageVelotto Napoli Italy 2 +2 200 m3 storage of fruitCAS DELLE ROSE Frattamaggiore (NA) Italy 3 -20 / -18 272 m3 storage of frozen food(same) 1 -27 / 0 101 m3 milk freezing(same) 2 -20 / -18 161 m3 storage of frozen food(same) 6 0 / +2 76 m3 storage of various products(same) 1 +4 / +8 392 m3 freezing anteroom(same) 1 +4 / +8 247 m3 various product anteroom(same) 2 -20 / -18 375 m3 storage of frozen food(same) 1 -20 / -18 147 m3 storage of frozen foodCAS DELLE ROSE Frattamaggiore (NA) Italy 3 -20 / -18 278 m3 storage of frozen foodGolden Nuts Saviano (NA) Italy 1 +4 / +6 553 m3 storage of dry fruitsSAPIF Ospedaletto (AV) Italy 3 +4 / +12 1227 m3 storage of dry fruitsECO SUMMA Francolise (CE) Italy 1 +2 / +8 864 m3 storage of pharmaceutical productsGrasso Mugnano (NA) Italy 2 -10 / ice factoryCOPESCA Casoria (NA) Italy 1 -27 / -18 2326 m3 storage of frozen foodCOMIMPORT FISH Mugnano (NA) Italy 2 0 / +2 338 m3 storage of cod fish(same) 1 0 / +2 127 m3 storage of cod fish(same) 1 0 / +2 460 m3 storage of cod fishFranco Luca Frattamaggiore (NA) Italy 4 +12 / +18 84 m3 banana ripening(same) 2 +12 / +18 147 m3 banana ripeningCOMIMPORT FISH Mugnano (NA) Italy 2 0 / +1 469 m3 fish storagePEZZONE Trentola (CE) Italy 2 -27 / -18 852 / 550 m3 ice cream storageMOCERINO Somma Vesuviana (NA Italy 1 +4 / +6 300 m3 storage of dry fruitsUAB Salteklis - Kaunas - Lithuania - www.salteklis.ltAUGMA Kaunas Lithuania 5 0 800 m3 fruit storage(same) 11 +12 / +14 24 pallets banana ripening and storageUAB LIUTUKAS IR CO Kaunas Lithuania 1 0 100 m3 meat dumpling storageAUGMA Kaunas Lithuania 1 +12 / +14 24 pallets banana ripening and storageUAB LIUTUKAS IR CO Kaunas Lithuania 1 +12 100 m3 meat dumpling roomSIA FRIGUS Riga Latvia 1 +12 / +14 100 m3 banana ripening and storageUAB SALTEKLIS Kaunas Lithuania 1 0 / central unit for fruit storageSIA NOVITA Riga Latvia 1 0 / +12 1000 m3 fruit and banana storageUAB JUDEX Kaunas Lithuania 1 -25 100 m3 dumpling blast freezingPREKYBOS MIESTAS Kaunas Lithuania 1 -2 / +1 106 m3 poultry / fresh meat storageKAUNO VAISIU IR D.P. Kaunas Lithuania 1 0 / +2 361 m3 storage quick fruits and vegetables(same) 1 0 / +2 442 m3 storage quick fruits and vegetablesUAB LIUTUKAS IR CO Kaunas Lithuania 1 -27 100 m3 storage of meat dumplingsUAB ROMEGA Kaunas Lithuania 2 -27 / -18 699 m3 / 523 m3 storage of frozen foodUAB LIUTUKAS IR CO Kaunas Lithuania 1 -27 100 m3 storage of meat dumplingsMISA S.p.A. - Pomezia (RM) - www.misaspa.itUrbani tartufi Perugia Italy 2 -18 / -20 1000 m3 storage of frozen foodGli Epicurei Roma Italy 2 -18 / -20 560 m3 storage of frozen foodMc Donald's Roma Italy 1 +2 / +4 21 m3 food storageeb / c22 / file D117Y1.xls / date 2009-11-09 / sheet Main / page 4/5

Erik MarstranderMatematikk i steinerskolenAllment om matematikk i steinerskolenFagplanen i matematikk på steinerskolen er intimtforbundet med det spirituelle menneskesynet somskolen prøver å arbeide ut ifra. Slik som alle andrefag på skolen er også matematikk et fag som søkesforstått som et pedagogisk virkemiddel i barnetsutvikling. Det står ikke i motsetning til det rettsligekrav barnets selv har til skolen om kunnskap ogferdigheter, men fører til en annen læreplan. Opparbeidelseav kunnskaper og regneferdigheter, entendet skjer ved aktivitet, selvforståelse eller memoreringrepresenterer pedagogiske virkemidler. Vi kanderfor vanskelig komme bort fra at faginnhold,innlæringsform, egen bearbeidelse og testing bådeenkeltvis og samlet representerer et syn på mennesketsom blir formidlet til elevene sammen medstoffet. Det ville være vanskelig å forsvare at detfinns en objektiv matematikkundervisning. Ikke såå forstå at matematikken er subjektiv eller underlagtpersonlige meninger, men måten man underviserpå er ikke objektiv. All undervisning uttaler etmenneskesyn og derved også et livssyn.Allerede en så enkelt ting som å telle representereri så måte et tankekors. Vi er alle vant til å telle1, 2, 3, 4, … osv, og samtidig forestille oss at vi leggeren til hver gang. Derfor er 4 større enn 3, 3 erstørre enn 2, 2 er større enn 1, som er den minste.6Man assosierer med det gjenstandsmessige, ogtenker seg at menneskenes evne til å telle er et produktav at de en gang i tiden satt å lekte seg medsmåstein eller bønner. Det ligger et materialistisklivssyn til grunn for slike assosiasjoner. Ser vi derimotpå organismer, både i planteriket og i dyreriket,telles det på en helt annen måte. Sjøstjernen tellertil 5 ved å dele seg i 5 deler, agurken teller til 3ved å dele frukten i tre frøkamre og liljen teller til 6ved å sette ut seks kronblader i blomsten. I naturenfinner det ikke sted en kummulativ telling, men endivitiv, ikke en oppsamling, men en oppdeling.Biologene arbeider i vår tid med å forstå detoverordete formprinsipp som ligger til grunn forslike dannelser. Man kan bare registrere at sjøstjerneorganismen«vet» at den skal dele seg i 5lenge før den har møtt verdenen. Selv oppdagelsenav det biologiske prinsipp, enten det dreier seg omgener, aminosyrer eller andre kjemiske forbindelser,vil ikke rokke ved at naturen faktisk deler seg pådenne måten. I motsetning til en kvantitativ tellingkunne man være fristet til å kalle dette en kvalitativtelling. Det ligger en kvalitet, dvs en egenart, i håndensfem fingre. I den kvalitative telling er derfor 1det største tallet, mens 4 er mindre.3/2000 tangenten

Den kvalitative opplevelse av verden liggerbarnets bevissthet meget nær. Derfor introduserestellingen også på den kvalitative måten, dvs oppdelingav enheten. Et tau blir delt i to, tre og fire, ensirkel blir delt i tre og fire som igjen gir en trekantog en firkant. Slik bygges den første tallforståelseopp rundt tallene som en kvalitet i seg selv, ikke resultatav en oppsamling. For barna synes dette åvære helt uproblematisk, ja mer enn det: Det synessom en riktig fremstillingsform og et riktig innhold.Verden er meningsfull, også tallene! For ossvoksne derimot rører slike tanker ved de mestdyptgående problemstillinger som europeisk kulturhar forholdt seg til: Har gjenstandene i verden,enten det dreier seg om et dyr eller tallet 12 enegenart utover det fysiske materiale som er synlig?Det toppet seg i den store universaliastriden på1200-tallet der nominalistene sto steilt mot realistene.Som kjent lever vi i en tid som er sterkt influertav nominalismen, dvs det syn at vårt språk ikkeuttaler noe om tingenes realitet. De er snarere tilfeldigemerkelapper som vi mennesker i tidens løphar satt på dem. I tråd med det kan man spørre,slik Kant gjorde, om selve tenkningen kan utsi noensannhet om naturens gjenstander. Vi kjenner hanskonklusjoner, noe som også har fått sine konsekvenser.Disse merkesteinene i vår kulturhistorie pekerpå et problemkompleks som har fått et bestemtutfall og som er videreført med en indre konsekvenstil vår tids syn på mennesket: En vellykkettilfeldighet.I en skole er bevisstgjøringen av dette spørsmåletsentralt. Det å oppdra et menneske må hengesammen med ens tro og tillit til at det enkelte menneskekan utvikle seg selv, og metoden må understøttedisse tankene. Mennesket er verdens mål ogmening kan man stille opp som en antitese.Steinerskolen er derfor ikke oppstått for å ta håndom mistilpassede barn eller introdusere en kunstneriskanlagt pedagogikk. Den er oppstått dermennesker vil arbeide med barn ut ifra et spiritueltmenneskesyn. I vår sammenheng vil det si å stilleseg inn i realistenes syn på språket: Det utsier ensannhet om tingenes realitet og at tenkningen kanerkjenne verdens kvaliteter. Det fører også til atbarnets bevissthet er en realitet som det er riktig åta på alvor og arbeide konkret ut ifra.De fire første skoleåreneNettopp barnets bevissthet blir i matematikkfageten sentral faktor for forståelsen av læreplanen. Ellerfor å presisere: Ikke bare bevisstheten generelt,men bevissthetsutviklingen spesielt. I de 4–5 førsteskoleårene øves elevene i formtegning. Det er enform for linjegeometri, der linjene knyttes sammentil symmetriske former på mange forskjellige vis.Figurene på denne og neste side viser noen eksempler.Vi ønsker å vekke bevissthet om aksesymmetrived at barna føyer til den ene manglendehalvdelen, fordi det er et hovedelement i organiseringenav deres egen kropp.I enklere former som forvandles skisseres organiskeformdannelser, og i flettinger utfordres detintellektuelle moment, både gjennom linjeføringenog hvordan de enkelte linjene går over og underhverandre.Dette er geometri i det 1-dimensjonale rom.Først etter at barnets bevissthetutvikling har gjennomgåtten eksternalisering i 9–10-års alderen blirbarna introdusert til den 2-dimensjonale geometrien.Interessant nok kan man finne et tilsvarendetangenten 3/2000 7

gjørende. Barn forstår med kroppen det voksneerkjenner med tankene. Derfor klapper, hopper,klipper og tegner man ikke i undervisningen fordibarna synes det er morsomt. Man gjør det fordibarnets erkjennelse ennå er knyttet sammen medkroppens organiske prosesser. Og da blir detmorsomt.stadium i menneskets historie i megalittkulturen,da slike linjegeometriske mønstre var vanlig. Enkeltesteder ble denne kulturen beholdt helt opp tilsiste tusenårsskiftet. Også tallfølger og den rytmeman musikalsk kan anskueliggjøre dem med liggerinn under disse aldertrinnene. Likeledes er sammenfallav tallfølger i bestemte tall, noe som kandanne grunnlag for gangetabellene og fellesnevner,viktige øvingsområder. På barnetrinnet dreier detseg om å undervise i matematikk handlende ellerMidttrinnetNår barna er mellom 9 og 10 år avløses dennebevissthetsformen av en begynnende erkjennelse avden ytre verdens forhold. Undervisningen fokusererpå de vanlige måleenhetene for lengde, vekt ogrommål. Først finner barna frem til egne måleenheter,for eksempel tomme, favn, fot og kopp. Såintroduseres standardenhetene meter, kg og liter. I5.klasse introduseres barna så til brøken, urbildetpå at enheten er brutt i stykker. Ved enkle øvelserarbeides det i begynnelsen bare med stambrøkene,slik som ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ¹⁄₆, ¹⁄₈, ¹⁄₁₂. Også i denne sammenhenger det interessant å legge merke til ategypterne arbeidet på en lignende måte. For barnablir den kulturhistoriske delen til en introduksjon,vel og merke ikke presentert som historisk passé,men som en realitet. Mange bruker anskuelige historiermed kongeriker som blir oppdelt i 12, en deltil hver sønn, sammensluttet til større og mindrebrøkdeler osv. Videre anskueliggjøres brøkdeler påen rekke forskjellige måter. Man arbeider fra hel tildel, fra del til hel igjen og så det vanskeligste aspektetav brøken: Forholdet. Det som imidlertid er enavgjørende del av undervisningen er lærerens tilstedeværelse.Hun står frem for klassen uten lærebok,legger frem stoffet på sin måte og forholder segdirekte til barna. Gjennom aktivitet, også lærerens,blir tankene vekket. Brøkregningen gjennomarbeidesså i 5. og 6. klasse, slik at så å si alt er behandlet.Eksternaliseringen av bevisstheten i 9–10-årsalderenblir naturlig videreført i undervisningengjennom desimaltall, som et stivnet brøksystem, tilprosentregning og renteregning. Som et sluttprodukt,men også som en port inn i ungdomstidendannes evnen til den abstrakte tanke i 12–13-årsalderen.Bevisstheten har trukket seg så langt tilbakefra verdens kvaliteter at mennesket kan opp-83/2000 tangenten

fatte sin egen tenkning. Vi kan se på et par eksemplerhvordan innføringen gjøres.Setter man opp en addisjon av fire like tall,f. eks:3+3+3+3=kan man omdanne dette til et gangestykke:3+3+3+3=4·3Uansett hvilket tall man velger, så gjentar det seg:17 + 17 + 17 + 17 = 4 · 176,1 + 6,1 + 6,1 + 6,1 = 4 · 6,1¹⁄₂ + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ =4·¹⁄₂31,68 + 31,68 + 31,68 + 31,68 = 4 · 31,68Tar man et eller annet tall a fire ganger, kan manskrive dette som et gangestykke: 4 · a eller 4a.a+a+a+a=4·a=4aI samtale med klassen vil dette ikke være noe somlæreren presser frem, snarere noe elevene oppdagerselv. I subtraksjon kan man sette opp den enklesannheten: Tar man et tall og trekker fra detsamme, får man null.14 – 14 = 02,1 – 2,1 = 0156 – 156 = 0¹⁄₂ – ¹⁄₂ =0a–a=0Kjente regneregler, slik som brøkregler, kan ogsåbearbeides på lignende måte.Andre øvelser retter seg mot naturlige tall.Hvordan uttrykker man algebraisk et naturlig tall?Jo, med bokstaven n. Velg et naturlig tall i tankene.Regn så ut hva n + 1 blir?, og hva blir 2n? Hva blirn–2?Har man arbeidet med de greske figurtallenepå et tidligere klassetrinn, kan man i 7.–8. klasse nåspørre seg hva slags tall kvadrattallene, rektangeltalleneog trekanttallene danner? Rektangelfigureneer:• • • •• • • • • • •• • • • • • • • •Nr 1 = 2 Nr 2 = 6 Nr 3 = 12Vi ser at hvis n = 1, blir antallet 2, for n = 2 blirantallet 6 og for n = 3 blir antallet 12. Høyden eralltid en mindre enn lengden. På et så tidlig stadiumkan man komme frem at tallene kan skrives:n · (n + 1).Hva som her er tatt med som en kortfattet eksempelmå selvfølgelig forstås som et arbeid i formav en dialog over lengre tid.UngdomstrinnetPå ungdomstrinnet har også geometrien en storplass. Her tas det sikte på å utvikle dømmekraften,dvs å integrere den abstrakte tenkningens tendenstil rigiditet inn i et sammenhengende tankemessighele. Til det egner geometrien seg meget godt. Medutgangspunkt i symmetri og sirkelkonstruksjonerutvikles nå grunnlaget for den greske geometrien.Den imøtekommer den strenge forstandskaraktereni tenkningen, samtidig som man får utvikleten bevegelighet i forestillinger og begreper ved atproblemstillinger kan ses og løses på flere forskjelligemåter. Her er trekant- og firkantkonstruksjonerkjente elementer, likeledes Pythagoras’ flatesetning.Mindre kjent er nok de linjere transformasjoner oglinjegeometrien. Både aksesymmetri og forflytninggjennomgås; her skal jeg trekke frem punktsymmetrien,eller forstørring og forminsking somden også ofte kalles.På spørsmål om hvordan man kan gjøre trekantenABC dobbelt så stor (ikke dobling av arealet),finner man fort frem til å forlenge to av sidenetil dobbel lengde. Det kan man gjøre med alle trevalg av sider.Etter å ha bevist at side DE er parallell til BC og atden også må være dobbelt så lang som BC, kanman spørre om ikke det er mulig å forstørre ABC,slik at den nye siden stikker ut like mye på begge siderav AB.tangenten 3/2000 9

Nå kan man gå videre til punktsymmetri ogsentralperspektivet. Viktig i vår sammenheng er atelevene har grepet det avgjørende med det fastepunktet S selv. De har hatt opplevelsen av at de selvhar oppdaget det.I de første regnetimene i barneskolen ble barnaintrodusert til den rette og krumme linje som motpoler.I ungdomstiden utvikles nå følelsen forflateforvandlinger, som egentlig hele den greskegeometrien dreier seg om. Hvordan kan mandanne flater?Her oppdager vi at punktene F, C og midtpunktetM på AB ligger på en linje. Er det sikkert,og er DF dobbelt så lang som AC? Mange variasjonerav denne konstruksjonen kan gjøres. Vioppdager at det hele tiden er ett punkt som liggerstille mens de andre punktene forstørres opp. Kannå dette punktet ligge midt inne i trekanten? Kan viplassere S vilkårlig inne i trekanten?Enten kan man la en flate vokse fra et sentrumutover eller kan man la formen dannes av en begrensningutenfra. Enten fylles formen ut av punkterinnenfra eller begrenses den av linjer utenfra.En første øvelse er vist ovenfor og en mer avansertform nedenfor.Ja, kan man plassere det faste punktet til ogmed utenfor trekant ABC? Når vi så fordoblerABC til DEF, får vi frem en slik konstruksjon:10Slike øvelser danner sammen med de linjeretransformasjonene grunnlaget for den projektivegeometrien i 2. og 3. vg. som jeg skal komme til-3/2000 tangenten

ake til i et senere nummer av Tangenten.På ungdomstrinnet introduseres og øves ogsåpotens og rot, negative tall og parenteser samt likningerog volumregning. Også på disse områdeneprøver vi å arbeide slik at elevene oppdager realiteteneselv. Men det er også oppgaveløsning og regulærtrening i faglig selvstendighet som på mangemåter ligner den offentlige skoles undervisning. Idet hele tatt likner matematikkundervisningen pådette trinnet både i form og innhold på mangemåter den offentlige skoles læreplan. Det er ikke tilfeldig.På dette stadium i menneskets bevissthetsutviklingdreier det seg om å vekke forstandskreftenetil aktivitet, ikke bare reproduserende, men skapendeaktivitet. Her har lærere i offentlig skole ogsteinerskolen sammenfallende opplevelse av barnetsbevissthet og pedagogiske mål for undervisningen.Dette gjelder kanskje ikke så sterkt for10.klasse. Her vurderer steinerskolen at barnetsbevisstutvikling gjør et nytt sprang, nå inn i det meridemessige. Undervisningen dreier seg derfor ogsåmer i den retning. Vi ser på tallsystemene, bådehistorisk fra assyrisk, egyptisk og romersk tid ogkonstruerer gjerne våre egne femtallsystemer osv.Spesielt interessant er det å få frem at brøkenesdesimalekvivalens er et uttrykk for tallsystemet,ikke for tallet selv. 1/7 er jo lik 0,142857… i 10-tallsystemet,mens det i 7-tallsystemet er lik 1/10 = 0,1.Det er forskjell på begrepet 7 og tallet 7. I et størreperspektiv prøver vi å arbeide frem forskjellen mellombegrep og forestilling. Dette møtte barna allerededa brøken ble introdusert. En og samme verdikan som kjent uttrykkes med en rekke forskjelligebrøker. I 10. klasse arbeides det slik at dette skal blibevisst. I historie arbeides det med ideer ogsamfunnsdannelse, kunsthistorie og biografier. Imatematikken introduseres enkel permutasjon,kombinatorikk og sannsynlighetsregning ut fra detsamme pedagogiske mål. På den måten prøver viogså i matematikken å møte den idealitet somkommer frem hos mange unge på dette klassetrinnet.Terningkasting er alltid meget populært. Enkelteklasser kan drive det til serier med 3000 kastfor å få frem de store talls lov. Men da går det ogsåmed en dobbelttime. Sammen med proporsjonaliteti geometrien prøver man å differensiere begrepene.Stoffet i 10.klasse er derfor lagt opp megetutfordrende tankemessig.Artikkelen blir fortsatt i et senere nummer av Tangenten.(fortsatt fra side 5)materiell i storskolen, kan vi som regel bruke verdenrundt oss. Vi lager ofte oppgaver sammen,elever og lærere, oppgaver elevene jobber videremed etter en presentasjon.Det er ikke foretatt noen forskning på hvordanelevene klarer seg i vanlig ungdomsskole etter årenepå Jareteigen Montessori skole. De få elevene jeghar snakket med sier de klarer seg svært bra. Jegser i hvert fall mange elever med tro på at de mestrerfaget matematikk.tangenten 3/2000 11

Hans-Jørgen BruckerBruk av kalkulatorI følge L97 skal kalkulatoren brukes mer og tidligerei skolen enn før. Det var stor motstand motkalkulatoren da den opprinnelig ble innført i skolen.Tydelig kom dette til uttrykk da den ble obligatoriskpå ungdomstrinnet. Mange var redd for atelevene ikke skulle lære å regne selv. Kritikken harvært vesentlig mindre ved innføringen av L97, endakalkulatoren nå skal brukes fra småskoletrinnet ogat eksamen i 10. klasse skal foregå med bruk avkalkulator i hele oppgavesettet.Hva brukes kalkulatoren til i klasserommene? Jeghar spurt lærere på kurs og mange svarer at debruker kalkulator der det er et kalkulatorsymbol ilæreboka. I en travel hverdag kan det hende at detstopper der. Noen lærebøker er imidlertid kreativei sitt oppgavevalg og har stor variasjon i tilfangetav oppgaver.Uavhengig av læreverkenes presentasjon vil jegnedenfor presentere noen eksempler som kan løsesved kalkulator og som kan gi økt tallinnsikt ogsamtidig være interessante å holde på med.Eksempel 1I L97 for 5. klasse under Tall står det: «elevene skal… undersøke lommeregnerens muligheter og begrensninger.»Regneprioritet er et av områdene som gir tydeligebegrensninger for kalkulatoren. I studentgrupperhar utregning av uttrykket: 2 + 3 × 5 gittforskjellig svar alt etter hvilken kalkulator de har.Hvordan kalkulatoren regner og dermed hvilkenstrategi man må bruke for at kalkulatoren skal gidet svaret man ønsker er innfallsvinkler til å under-12søke muligheter og begrensninger. Interessant mådet derfor være å la elever lage oppgaver til hverandrefor deretter å regne dem ut ved hjelp av kalkulatoren.En måte å rette dette mot matematikk idagliglivet på er å sette dette i en praktisk sammenhengved å la elevene lage regnefortellinger til stykkenesine.Eksempel 2Undersøkelser av tall.På mange klassetrinn kan eksemplene undervære en utfordring for undersøkelse av tall. Påhøyere trinn kan oppgavene utvides til mer formellebegrunnelser for svarene.Bruk sifferne 1, 2, 3 og 4 og løs oppgavene under.Alle sifferne skal brukes en gang i hvert stykke.Gjør svarene så store som mulig:+ = 55+ = 64– = 11¥ = 448Bruk de samme sifferne som over, men gjør+–¥:svarene så små som mulig. Tilsvarende kan gjøresmed 6 bokser isteden for 4.3/2000 tangenten

Eksempel 3Kjeder.Start med et tall mindre enn 40. Multipliserenerne med 4 og legg til tierne. Gjenta dette flereganger.Eks: Velger 32. Ganger 2 med 4 og legger til 3,får da 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.Gjentar dette og får:1 × 4 + 1 = 5, deretter 5 × 4 + 0 = 20, deretter0 × 4 + 2 = 2, deretter 2 × 4 + 0 = 8, deretter8×4+0=32, deretter 2×4+3=11 osv.Ser at tallene gjentas, prøv f. eks. å startemed 4. Hva skjer da?Prøv andre tall under 40.Eksempel 4Ødelagt kalkulator.Hvis kalkulatoren din er ødelagt, slik at du ikkekan bruke gangetegnet, hvordan ville du da regneut 57 × 63?Hva hvis tasten for 5-tallet var ødelagt?Eksempel 5Flere kjeder.Velg et tall. Hvis tallet er et partall, så halver det.Hvis det er et oddetall, så gang det med 3 og legg til1. Gjenta dette mange ganger. Prøv med nye tall.Hva får du?Eksempel 6Fire på rad. Spill for to.Trykk 5 og gangetegn på kalkulatoren. Trykkderetter inn et annet tall og så på likhetstegnet.Hvis svaret du nå får står i tabellen under, setter duet kryss på det tallet. Den første til å få 4 på radhar vunnet.5 85 0 40 90 2010 30 98 110 45 6055 80 105 5 20 7565 50 120 25 35 11560 15 70 55 10 2025 60 15 35 70 100Eksempel 7Partall.Trykk 2 + 2 =. Beholdt svaret og trykk + 2 =gjentatte ganger. Fargelegg tallene som kommer påkalkulatoren i rutene under.1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36Oppgaven kan brukes for større tabell og sommønstre for gangetabellen.Eksempel 8Andre undersøkende oppgaver:a) Ta et tosifret tall, f. eks. 31. Bytt om sifrene,dvs. 13. Finn differensen mellom tallene, dvs.31 – 13 = 18. Prøv med andre tall. Hvilketmønster finner du? Forklar resultatet.b) Skriv ned tre tall etter hverandre, f. eks. 3, 4 og5. Ganger sammen det største og det minstetallet og gang det midterste tallet med seg selv.Finn differansen mellom svarene du fikk.Prøv igjen med andre tall som følger etterhverandre. Hvilket mønster finner du?Forklar resultatet.c) i) Skriv ned tre tall etter hverandre, f. eks 5, 6og 7. Legg sammen tallene. Er summen deleligmed 3? Gjelder dette hver gang vi tar tre talletter hverandre? Forklar resultatet.ii) Prøv det samme med 4 tall etter hverandre.Forklar resultatet.iii) Prøv det samme med 5 tall etter hverandre.Forklar resultatet.d) Regn ut:15873 × 7 =15873 × 14 =15873 × 54 =15873 × 45 =15873 × 28 =15873 × 63 =Hvilket mønster finner du? Forklar resultatet.tangenten 3/2000 13

Gunvor SønnesynTi delt på atten; korleis blirdet, og kvifor blir det slik?Ein god kollega på ein annan kant av landet ringjerav og til for å drøfta ulike spørsmål ho har fått fråelevane sine – elevar som kjem til henne fordi deihar vanskar av eitt eller anna slag. For ikkje lengesidan var problemstillinga slik: «Når vi deler 81 på3, då skriv vi 81 : 3 =, og så skriv vi 2 på tiarplasseni svaret. Men kvifor skriv vi det talet først? Og korleisveit vi at det er tiarplassen?»Kva ligg bak slike spørsmål? Korleis vi kanhjelpa elevane å finna svar?Det kan liggja nær å sukka over matematikkundervisningsom består i å læra borna algoritmerdei ikkje forstår. Kanskje hadde eleven vår forståttbetre om han hadde fått høve til å utforska ogfinna svar utan å bruka ein fast oppsett måte ågjera det på. I vårt tilfelle var spørsmålet gitt for åfå vita kvifor vi kan gjera det akkurat slik, og då erdet det eleven vår vil ha svar på.Konkret materiellDet vert ofte lettare for elevane å forstå om dei fårbruka konkret materiale. For å få tak i kva someigentleg skjer når 81 skal delast på tre er det formange born avgjerande over lenger tid å ha gjorterfaringar med å gruppera antal. Det er ogsåavgjerande å ha begrep om einarar og tiarar, einarplassog tiarplass – generalisert på grunnlag avmange erfaringar med ulike slag einarar og tiarar.Det er lett å ty til pengar, det er noko born oftastkjenner frå dagleglivet. Skal dei kunna generalisera– oppdaga kva alle einarar er like i og kva alletiarar er like i, må dei ha arbeidd med einarar ogtiarar av mange slag. Då kan dei generalisera; eina-rar er det vi tel ein om gongen, og tiarar det vi tel tiom gongen. Alt det er mogeleg å telja ein om gongenkan brukast som eksempel på einarar, og alt vikan telja ti om gongen kan brukast som tiarar.Korleis veit vi kva som er tiarplassen?Borna vil fort erfara at skal vi dela likt, er det lurt åstarta med den største eininga. I vårt tilfelle er dettiarane. Har vi åtte tiarar som skal delast på tre, såvert det to heile tiarar til kvar. Det skriv vi der vi harbestemt oss for å skriva svaret, så slepp vi å hugsadet mens vi arbeider vidare. Vi skriv kor mangetiarar det vart til kvar. Då avgjer vi med det sammekva som er tiarplassen. Den plassen der vi skrivantal tiarar vert tiarplassen, og så er i neste omgangeinarplassen gitt ut frå det. Har tre fått totiarar kvar, så har vi brukt seks, og har to att. Detkan vi skriva i eit rekneskap slik det er vanleg, ellerpå ein annan måte dersom det synest lettare.To tiarar og ein einar som vi hadde frå før, detkan vi tenkja som 21 einarar. Vi kan gjera det synlegmed å veksla kvar tiar i ti einarar. Då vert detikkje så vanskeleg å dela einarane i tre grupper.Kanskje kan eleven vår – lat oss kalla han Per –gangetabellen så godt at han veit at det vert sju tilkvar. Viss ikkje må han dela ut og telja.2-talet står alt på tiarplassen i svaret, då måantal einarar stå på einarplassen, ein plass lenger tilhøgre. Dette siste er kanskje ikkje så lett – detforutset at Per har begrep om sifferet sin plass i taletsom symbol for antal einarar, tiarar, hundrararosv.143/2000 tangenten

I Tangenten 2/ 99 har Jostein Våge ein artikkelom å forstå og å forklara. Han syner tilSkemp og Mellin-Olsen og skil mellom instrumentellog relasjonell forståing. Slike egser det har «vår elev» instrumentell forståing– han veit korleis han skal utføra rekneoperasjonen10:18. Han ber om hjelp til å fåei relasjonell forståing – å forstå kvifor dengitte operasjonen fungerer, slik Våge definereruttrykket. Eigentleg ber han om meir –han vil forstå sjølve operasjonen.Våge har truleg rett når han hevdar atdet duger ikkje berre å forklara og tru at dåhar eleven forstått.Etter mitt syn er orda likevel viktige i å«dela» forståing – men då ord som verkeleggir meining både for den som forklarar ogfor den som skal forstå. Det vil sei at vi måha kompetanse til å sjå kva forutsetningarsom er nødvendige for at forklaringa vårskal føra til relasjonell forståing.Det er ikkje nok at lærarar eller studentarfår enkelte «aha»-opplevingar på vårtnivå. Vi må også kunna leggja til rette for atelevane våre får alle dei «aha»-opplevingarsom er nødvendige for å forstå.Går det an med 10:18?Per hadde fleire spørsmål, han. Det neste var slik:«Korleis blir det når vi skal dela 10 på 18?» Vanlegprosedyre for ei slik utrekning er om lag slik:«10 delt på 18, det går ikkje. Det blir null, ognull nede, og ti igjen, og så må vi setja til ein null10 : 18 = 0,555010090100901009010slik at vi får 100:18, og skriva komma i svaret i svaret,og så bli det 5. 5 × 18 er 90, og då har vi brukt90 av dei hundre, og har ti igjen. Så set vi ein ny nullbakerst …», og det heile gjentek seg. Men kvar kjemalle nullane frå? Og kvifor skriv vi 0,.. i svaret?Per vil forstå matematikkspråketIgjen kunne vi setja Per til å utforska – ta 10 bollarog dela det mest mogeleg likt på 18. Det ville hantruleg klara. Men det spørs om han var nøgd meddet. Per ville ha hjelp til å forstå matematikkspråketsitt uttrykk for dette – og ikkje minst – han ville vitakvar alle nullane kjem frå. Skal Per bli nøgd, må vifinna ut korleis vi kan gjera dette begripeleg forhan.Kva for einingar har Per bakgrunn for åarbeida med?Det blir viktig å finna ut kva slag einingar eleven vårhar forutsetningar for å arbeida med. Arbeider vimed einarar, så er det heile vi skal dela 10, og vi fårikkje «ein einar til kvar» når det skal delast på 18.Vel vi å arbeida med tideler, så er det heile vi skaldela 100 tideler, og då vert det både ein og fleire tidelerpå kvar.Vi har fleire måtar å skriva 100 tideler med tal.Vi kan til dømes skriva 100/10 eller 10,0. Kanskjehar vi ikkje vore heilt bevisst på det siste alle gongenevi har sett til ein null bak komma - at deteigentleg symboliserer at vi har delt kvar einar i tilike store deler. I tilfellet over hadde vi ti einarar. Videler kvar einar i ti like store deler, og har 100 tideler.Vi har like mykje som før, men vi har gitt det eianna nemning – vi arbeider med ei anna eining. Vikan skriva 10 = 10,0; men leggja oss på minnet atdå betyr 10,0 100 tideler. Kanskje vert det lettare årekna med desimaltal når vi gir elevane våre eitgrunnlag for å forstå dette?Vi må vita kva Per veit …Lat oss seia at Per har begrep om heil og del avheil, han har begrep om tideler og hundredeler.Han forstår ein hundredel som ein av delene nårein heil er delt opp i hundre like store deler og tidelsom ein del når den heile er delt i ti like store deler.tangenten 3/2000 15

Det har han lært ut frå mangfaldig erfaring medheile einingar som er delt i hundre like store delerog ti like store deler. Han har og begrep om at sifferetsin plass i talet symboliserer antal tusenar,hundrarar, tiarar og einarar på venstre side avkomma, og tideler, hundredeler og tusendeler påhøgre side av komma. Vidare har han leseferdigheitfor desimaltal, og kan lesa 10,000 som tikomma null null null eller ti tusen tusendeler. Dettegjev eit grunnlag for meistring som kan læra Per athan får til matematikk, at matematikk erspennande og moro. Det gjev haldningar både tilfaget og til seg sjølv som ein som kan.Vi vel kva eining vi vil rekna medDå kan vi velja å skriva 10,000; og rekna medtusendeler. Vi har reknestykket 10,000:18, og les: «titusen tusendeler delt på atten». Vi får ingen heileinar til kvar, og skriv 0, i svaret. Vi har då hundretideler å dela på atten. Det gir fem tideler til kvar, ogskriv 5 på tidelplassen i svaret. Vi har brukt opp 90av dei hundre tidelene, og har ti att. Vi gjer det om(vekslar, eller eigentleg deler kvar tidel i ti like storedeler) til hundredeler – og har hundre hundredelerå dela på atten. Det blir fem hundredeler til kvar,og vi skriv 5 på hundredelsplassen i svaret. Vi brukarsamme prosedyre – deler kvar hundredel viikkje har brukt i ti like store deler, og har hundretusendeler å dela på 18. Slik kunne vi fortsetja ogdela kvar tusendel i ti til titusendeler, i neste omgangtitusendelene i ti til hundretusendeler osv. Dåhar vi eit fint utgangspunkt for å undra oss. Kormange deler er det eigentleg mogeleg å dela ein heili? Kor nøyaktig svar treng vi?Kan vi sjå ein tusendel?Med ein kvadratmeter millimeterpapir som detheile vi skal dela, i dette tilfellet 10; kan vi sjå einarensom 10 kvadratdesimeter (ein tidel av kvadratmeteren).Tidelen vert då ein kvadratdesimeter,hundredelen ti kvadratcentimeter og tusendelen einkvadratcentimeter. Reknar vi då med tusendeler girsvaret oss antal kvadratcentimeter. Ville vi ha detmeir nøyaktig kunne vi dela i titusendeler ellerhundretusendeler, og finna kor mange«tikvadratmillimeter» eller kvadratmillimeter detvart på kvar av dei 18.Gje rom for undringTilbake til spørsmålet kor mange deler det ermogeleg å dela ein heil i. Vi veit at det er ikkje nokosvar på det. Lat oss ta med slike spørsmål og – ogundra oss saman med borna. Dette er også ein delav matematikken – det er ikkje slik at vi alltid har eiteksakt svar – at det alltid er ei løysing på eit matematiskproblem. Vi kan velja kor langt vi vil gå -kor mange desimalar det gjev meining i å ta med.Det vil seia at vi vel kor mange gonger det gjevmeining å dela det vi har att i ti like store deler. Vikan ikkje med berre auga vårt sjå skilnad på0,55 mm og 0,555 mm, men vi kan sjå at 0,55 m og0,555 m ikkje er det samme. Vi ser det endå betreom vi snakkar om skilnaden på 0,55 km og0,555 km.Lat oss læra av elevar som spør!Det er godt at vi har born som spør – slik at vi blirtvinga til å tenkja gjennom korleis det eigentleg er –og kvifor vi gjer ting slik vi gjer. Særleg i matematikkenhar vi som lærarar alt for lett for ågjennomføra ein prosedyre fordi vi har lært at detskal vera slik, og ikkje ut frå ei forståing av kvifor vigjer det på denne måten – og kva alle tala og teiknavi skriv undervegs eigentleg står for.Lat oss læra av elevane som spør – og samanmed dei gå inn i utfordringa det er å finna svar ogforstå.ReferansarMellin-Olsen, Eleven, matematikken og samfunnet,NKI-forlaget 1984Skemp, Richard R .,Mathematics teaching, TheAssociation of Teachers of Mathematics 1976163/2000 tangenten

Gunnar Gjone: Matematikk på frimerkerUendelige mengderMot slutten av 1800-tallet foregikk det en interessantutvikling av tallbegrepet, spesielt i matematikkmiljøenei Tyskland. Flere matematikere arbeidetmed å legge et grunnlag for ulike typer av tall. Enav de mest bemerkelsesverdige utviklingene var definisjonenav «uendelige tall». Før vi går nærmereinn på denne utviklingen skal vi imidlertid nevnenoe om uendelighetsbegrepet.Vi vil skille mellom de to typene: potensiell uendeligog faktisk eller aktuell uendelig.En prosess sies å være potensiell uendelig hvisden kan fortsettes uten noen gang å stoppe. Et eksempeler prosessen å dele et tall med 2, eller foreksempel å telle utover i tallrekka. Faktisk uendeligrefererer til en uendelig mengde av elementer betraktetsom en helhet (en «ting»). Eksempler pådette er mengden av de naturlige tallene og mengdenav de reelle tallene.Dette skillet er også interessant didaktisk. Dethar blitt vist at 11 og 12 år gamle barn kan akseptereideen om det potensielt uendelige, mens detfaktisk uendelige er et mye vanskeligere begrep å blifortrolig med.Vi finner eksempler langt tilbake i historien påpotensielt uendlige prosesser (for eksempel Zenosparadoks med Achilles og skilpadda). Det somimidlertid har vært et vanskelig begrep å akseptere,også for mange matematikere, er faktisk uendelig.Dette vil for mange være et ikke intuitivt begrepsom leder til (tilsynelatende) paradokser. Aristoteles(384–322 f. Kr.) ville ikke at uendelige mengderskulle være en del av filosofi og matematikk, sidenhan mente at det ville lede til paradokser og selvmotsigelser.Vi kan regne med at Aristoteles kjentetil Zenos paradoks.Kirken hadde også lenge innvendinger mot aten aksepterte faktisk uendelige mengder. ThomasAquinas mente at å akseptere en faktisk uendelighetville være en direkte utfordring mot Gud, somvar enestående og («faktisk») uendelig. Faktiskuendelig ble ikke generelt akseptert før mot sluttenav 1800-tallet – og det skjedde heller ikke da utenheftige diskusjoner i matematikkmiljøene.Det var framfor alt en mann som vi kan sihadde mesteparten av æren for dette – GeorgCantor (1845–1918). Imidlertid hadde ideen omfaktisk uendelig blitt tatt opp av enkelte matematikereopp gjennom historien, og da ofte knyttet tilparadokser.Galileo Galilei (1564–1642) så på forholdetmellom naturlige tall og kvadrattallene. Han så påavbildningen mellom dem:1 2 3 4 …↕ ↕ ↕ ↕ …1 4 9 16 …og argumenterte ut fra denne avbildningen at detvar like mange kvadrattall som naturlige tall. Imidlertider det klart «flere» naturlige tall enn kvadrattall.Han konkluderte at de vanlige begrepene«større», «mindre» osv. ikke hadde mening når entok for seg uendelige mengder.Diskusjon om det uendelige ble også tatt oppav Bernard Bolzano (1781–1848).Det skulle imidlertid gå noen år før saken igjenble tatt opp på en systematisk måte av Georg Cantor.tangenten 3/2000 17

Georg Cantor ble født 3. mars i 1845 iSt. Petersburg. Faren var en framgangsrikkjøpmann. I 1856 reiste familien til Tyskland. Fra1862 til 1867 studerte Cantor matematikk i Zürich,Göttingen og Berlin. I Berlin var han student tilWeierstrass. Fra 1872 hadde han stilling veduniversitetet i Halle og ble i 1879 professor sammested.Cantors grunnleggende arbeider i mengdelærevar i perioden fra 1875 til 1884.Fra 1884 led han under tunge depresjoner oghadde flere frivillige opphold på klinikker. Cantorsmengdelære var tidlig omstridt. Han haddestøttespillere – som Richard Dedekind – men ogsåsterke motstandere som Leopold Kronecker i Berlin.Georg Cantor har såvidt vites ikke kommet påfrimerke, men han finnes gjengitt på et spesialstempelfra Tyskland 150 år etter at han ble født (3.mars 1995).{1, 2} har delmengdene Δ (den tommemengde), {1}, {2} og {1, 2} (mengden selv)Ser vi på mengden {1, 2, 3} finner vi delmengdeneΔ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} og{1, 2, 3}.Det skulle ikke være så vanskelig å se ut fradisse eksemplene at enhver mengde med to elementerhar fire delmengder og at enhver mengdemed tre elementer har 8 delmengder. Hvor mangedelmengder har så en mengde med fire elementer?– med fem, med n?Ved å generalisere fra eksemplene finner vi aten mengde med n elementer har 2 n delmengder.Antallet elementer i en mengde kaller vi kardinalitetentil mengden. Mengden av antall delmengdertil en mengde kaller vi potensmengden til mengden– en betegnelse som passer med skrivemåten 2 n .Når vi utvider til å studere uendelige tallmengder,får vi endel paradokser som påpektovenfor. Hvis vi betrakter mengden av naturligetall som en (faktisk) uendelig mengde har den altsåden egenskapen at den kan bringes i en-entydigkorrespondanse med en delmengde av seg selvPå dette stemplet finner vi også den noe merkeligelikheten:¿ = 2¿ 0 > ¿ 0For å forstå hva dette betyr vil vi se litt på tallmengder.La oss starte med endelige mengder.{1, 2} er en mengde med to elementer: 1 og 2{1, 2, 3} er en mengde med tre elementer: 1, 2 og 3Mengden {1, 2, 3, 4, 5, …} er mengden av alle naturligetall, et eksempel på en faktisk uendeligmengde. Å «telle opp» disse er derimot enpotensielt uendelig prosess (vi blir aldri ferdige). Vivil nå videre ta for oss mengden {1, 2} og se påmengden av alle delmengder som denne har:Galileo Galilei er kanskje mest kjent som astronomog fysiker. Han var imidlertid professor i geometri ogastronomi, først i Pisa og siden i Padua. Fra 1610var han hoffmatematiker i Firenze. Det må bemerkesat det var uklare grenser mellom mekanikk,astronomi og matematikk på den tiden Galilei levde,og mange arbeidet innenfor flere felter. Vitenskapenvar ikke så spesialisert. Han hadde forøvrig storinnflytelse på matematikere i samtida, for eksempelpå Bonaventura Cavalieri (1598–1647) som var elevav Galilei.183/2000 tangenten

(paradokset til Galilei). Det som var et sentraltproblem ved utvidelse av tallbegrepet til å omfatteuendelige tall var å generalisere enkelte egenskapersom vi har for endelige tall (mengder) til også ågjelde for (faktisk) uendelige mengder. For å sammenliknemengder bruker vi ideen til Galilei medavbildninger.Cantor innførte avbildninger for å avgjøre nårto mengder er «like», eller har samme kardinalitet,når vi bruker betegnelsen fra endelige tallmengdersom vi innførte ovenfor. Tallmengder som harsamme kardinalitet som de naturlige tall kaller vitellbare. Det finnes da en en-entydig (1–1) avbildningmellom slike mengder og de naturlige tallene.Vi kan nå umiddelbart presentere noen tellbaremengder:· de jamne tallene: 2, 4, 6, 8, …· de odde tallene: 1, 3, 5, 7, …· kvadrattallene: 1, 4, 9, 16, ..Cantor innførte symbolet ¿ 0 for kardinaliteten tilmengden av naturlige tall. ¿ (alef) er den førstebokstaven i det hebraiske alfabetet. Alle mengdeneovenfor har kardinalitet ¿ 0 , som er felles for alletellbare mengder. Indeksen er «0» fordi Cantor betraktetdette som den «første» uendeligheten ( i enserie av mange). Cantor innførte på denne måtenen rekke nye uendelige «tall»: ¿ 0 ,¿ 1 ,¿ 2 ,¿ 3 ,¿ 4 , … .Disse såkalte kardinaltallene kan vi betraktesom en utvidelse av de naturlige tallene. Vikan også se på de naturlige tallene som kardinaltall– tallet 3 som antallet elementer i en mengde medtre elementer.Før vi går videre med bakgrunnen til uttrykketpå stemplet, trenger vi en definisjon av potenserfor uendelige mengder. Kan vi finne en rimelig utvidelseav hva M N skal bety når M og N er uendeligekardinaltall? Den definisjonen som en fant egnetvar å definere M N som kardinaliteten av allefunksjoner fra N til M. La oss spesielt betrakte situasjonender M er en mengde med to elementer. Idenne sammenhengen er det vanlig å brukeM = {0, 1}.Funksjonen f definert fra {a, b, c} Æ {0, 1} vilvære gitt ved alle tripler som består av 0-er og 1-ere. For eksempel kan vi liste opp funksjonens verdierpå følgende måte:Bernard Bolzano hadde studert en rekke ulikeemner, teologi, filosfi og matematikk, veduniversitetet i Praha. I 1805 ble han ansatt somprofessor i religionsvitenskap. Han besluttet åarbeide som prest selv om hadde hadde fått tilbudom en stilling i matematikk. Han fikk imidlertidproblemer som prest ved at han uttrykte kjetterskemeninger. I 1819 ble han tvunget til å trekke segtilbake fra prestegjerningen. Allerede som presthadde han arbeidet med matematikk, og haddepublisert betydningsfulle arbeider. Etter at hanhadde trukket seg tilbake levde han hos venner,tilbaketrukket på landsbygda. Han fikk da tid til åarbeide med matematikk. Hans interesser gikk iretning av matematikkens grunnlag, og spesielt varhan opptatt av filosofien rundtuendelighetsbegrepet. Han så på en-entydige (1–1)avbildninger som et middel til å studere egenskaperved uendelige mengder. Et slikt eksempel eravbildningen mellom de naturllige tallene ogkvadratttallene som Galilei hadde sett på. Bolzanoarbeidet for en stor del aleine, og de ideene somhan presenterte ble stort sett ikke tatt opp av tidensmatematikere.Denne minneplaten over Bernard Bolzano finnes iCeletná ulice i Praha i nærheten av Karlsuniversitetet.tangenten 3/2000 19

aÆ0, bÆ0, cÆ0 0, 0, 0aÆ1, bÆ0, cÆ0 1, 0, 0aÆ0, bÆ1, cÆ0 0, 1, 0aÆ0, bÆ0, cÆ1 0, 0, 1aÆ1, bÆ1, cÆ0 1, 1, 0osv. fram tilaÆ1, bÆ1, cÆ1 1, 1, 1(Overbevis deg om at det blir 8 elementer når viregner med alle muligheter).Kardinaliteten til mengden {0, 1} er 2, og kardinalitetentil mengden {a, b, c} er 3. Vi får da at kardinalitetentil 2 3 dermed blir 8 (som vi også har ivanlige tallregning). Dette er da et eksempel på atdefinisjonen gjelder for endelige kardinaltall. (Undersøknoen flere eksempler).Vi har nå gitt 2 ¿ 0 en mening, nemlig kardinalitetentil alle funksjoner fra de naturlige tall til 2(= {0, 1}). Det store spørsmålet som nå reiser seger om denne mengden er tellbar eller mer generelthvilken ¿ den er.La oss se på hvordan verdiene til denne funksjonen(dvs. 2 ¿ 0) er. Vi kan betrakte disse somuendelige (tellbare) følger av 0 eller1 (ethvert naturligtall avbildes på 0 eller 1)For eksempel, kan vi liste noen slike verdier:1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, … (1)0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, … (2)0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, … (3)0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, … (4)og så videre.Et av de mest kjente bevisene om uendelige mengderer at denne mengden ikke er tellbar (kan ikkebringes i en 1–1 avbildning med de naturlige tall).Beviset kan skissemessig gis slik:Anta at vi hadde en nummerering av elementeneav denne mengden (som antydet ved tallenesom er gitt i parentes). Vi vil da påstå at en sliknummerering ikke kan omfatte alle slike elementer.Lag nemlig et element som er forskjellig fra førsteelement på første plass, fra andre element på andreplass, fra tredje element på tredje plass osv.(Som et eksempel ville vi fått ut fra opplistingenovenfor: 0, 0, 1, 0, …) Dette elementet vil væreforskjellig fra ethvert element i opplistingen.Resultatet kan skrives: 2 ¿ 0 > ¿ 0(som står påstemplet).Beviset kan generaliseres videre til å vise at potensmengden(mengden av alle delmengder til en vilkårligmengde) har ekte større kardinalitet ennmengden selv. Det kan også vises at mengden ovenforhar lik kardinalitet som mengden av alle reelletall. Denne kardinaliteten kan vi betegne med c.Altså 2 ¿ 0 = c (c for continuum eller kontinuum pånorsk).Vi kan nå komme til likheten på stemplet:2 ¿ 0 =¿. Kardinaliteten til de reelle tallene er altsåstørre enn kardinaliteten til de naturlige tallene.Vi definerer ¿ 1som det kardinaltallet som følgeretter ¿ 0. Hva er nå forholdet mellom 2 ¿ 0 og¿ 1 ? En naturlig(?) hypotese er at 2 ¿ 0 =¿ 1 . Dennepåstanden fikk navnet kontinuum-hypotesen, ogCantor forsøkte forgjeves å bevise denne.En mulig kandidat til et kardinaltall mellom ¿ 0og ¿ 1 kunne være kardinaliteten til de rasjonaletallene (brøkene). Cantor beviste imidlertid at derasjonale tallene er tellbare. Dette er også et megetelegant bevis. I oppstillingen nedenfor har vi visthvordan en kan telle opp de rasjonale tallene:1112131415162122232425… osv.313233343541424344515253616271(fortsettes side 23)203/2000 tangenten

Anne Berit FuglestadInternettressurser:Dynamisk geometriFor mange emner i matematikk gir datamaskinernye muligheter. Dynamisk geometri kan gi nyeinnfallsvinkler til å oppdage og eksperimenteremed geometriske sammenhenger. Slik kan elevenefå en bedre tilnærming til begrepene vi kjenner fraplangeometri med passer og linjal, og bygge oppforståelse for sammenhenger. På Internett fins detflere programmer for dynamisk geometri, demonstrasjonerav hvordan de virker, undervisningsoppleggog informasjon om aktuelle prosjekter.Hva er dynamisk geometri? Vi kan for eksempeltegne en trekant og konstruere halveringslinjene forvinklene i trekanten. Så kan vi ta tak og dra i ethjørne og se hva som skjer med halveringslinjeneog skjæringspunktet mellom dem. Programmethar med de vanligste konstruksjonene somhalveringslinje, midtnormal, nedfelle normal, parallellelinjer, tegne sirkler. Slike enkle anvendelserpasser i grunnskolen, men programmet gir ogsåstore muligheter på høyere nivå, med muligheterfor bruk av makroer, å tegne kjeglesnitt og geometriskesteder. På Skolenettets fagsider i matematikkligger flere undervisningsopplegg som bruker dynamiskgeometri, http://skolenettet.nls.no/dok/sn/fag/matm_gr/fag.matematikk.gr.html.På Cabri-sidene http://www.cabri.net/indexe.htmlfinner vi både programmet Cabri og flere informasjonerom hva det dreier seg om. UnderProducts på dette nettstedet finner vi demo-utgaven,som kan lastes ned gratis for å prøve programmet,på http://www-cabri.imag.fr/produits/cabripc-e.html. Vi kan ikke lagre eller kopiere tegningerog ikke ta utskrift i denne versjonen, menFigur 1Trekant med vinkel – halveringslinjer – vi kan dradet er likevel gode muligheter for å gjøre seg kjentmed programmet. Videre under About og valgetExamples finner vi noen animasjoner som viserflere muligheter i Cabri på adressen http://wwwcabri.imag.fr/a-propos/exemples-e.html.Programmetfins for flere språk og er nylig oversatt tilnorsk, både bokmål og nynorsk. Norsk utgave avhåndboka kan kjøpes fra Høgskolen i Agder, se informasjonerunder http://www.hia.no/realfag/.Programmet The Geometers Sketchpad er kanskjeden mest kjente konkurrenten til Cabri. Vi finnerinformasjoner på nettstedet http://www.keypress.com/sketchpad/index.html. Også herer det muligheter for å hente en demoversjon avprogrammet. Nettstedet gir også lenker til andreprosjekter som bruker Sketchpad (Onlineresources) og gir Prosjektideer for bruk i undervisningen.tangenten 3/2000 21

Et annet program for dynamisk geometri erEuklid DynaGeo på adressen http://www.mechling.de. I tillegg til de vanlige konstruksjoneneer det her også muligheter for å sette avlinjestykke med en bestemt lengde, eller vinkel medet bestemt gradtall. Dette programmet ershareware. Det kan lastes ned og prøves ut i 8 uker,men ikke brukes i skolen. Det forutsetter at en betalerlisens dersom programmet skal brukes videre,enten som enbruker eller skolelisens. Alle informasjonerom dette fins på nettstedet.DrGeo er også et program for interaktiv geometri,laget for DOS og for GNU/Linux. Det haren del av de samme mulighetene som de andre,men virker mer begrenset og tungvint i bruk. Fordelener at det er fullstendig gratis. Det kan hentesfra http://www.drgeo.seul.org/index.html.Cinderella er et noe nyere program i kategoriendynamisk geometri http://www.cinderella.de/. Detkan brukes for å undervise euklidsk geometri ogikke-euklidske geometrier, som projektiv oghyperbolsk geometri. Cinderella er skrevet i Java ogkan også bruke som forfatterverktøy for å lage interaktivekonstruksjoner for websider. En demoutgaveav Cinderella, fullt funksjonell, men somgår bare 15 minutter om gangen, er tilgjengelig påhttp://www.cinderella.de/demo/download.html.Det fins flere interaktive geometri konstruksjonerlaget med Cinderella på Internett. På Maths Netmed adresse http://www.anglia.co.uk/education/mathsnet/dynamic/cindy/index.html finner vi for eksempelillustrasjoner av ulike figurer der vi kan drai punkter eller linjer.Det er også mulig å lage interaktive applikasjonersom kan legges på Internett ved hjelp av Cabrieller Geometers Sketchpad med passende tillegg.Eksemplene som vises på Cabri-sidene http://wwwcabri.imag.fr/a-propos/exemples-e.htmler ikke interaktiveanimasjoner. De består av flere bilder somfølger etter hverandre for å vise konstruksjonersom på en film. Med interaktive konstruksjoner erdet mulig selv å ta tak i punkter eller linjer ogprøve hvordan konstruksjonen virker.Programmeringsspråket Java med de spesielle mulighetenefor å lage Java-applets - applikasjonersom kan kjøre på Internett - ligger bak denne muligheten.The Cabri Java Project på sidene http://wwwcabri.imag.fr/cabrijava/viser hvordan vi kan kobleCabri-figurer laget med Cabri II, sammen med enJava applet slik at figurene kan vises dynamisk påInternett. I tillegg til Cabri programmet trenger vifila CabriJava.jar som kan hentes fra disse sidene,og vi trenger mulighet for å lage et HTML dokument.Vi finner flere eksempler på interaktive konstruksjonerlaget på denne måten på Cabri JavaProject sidene.For konstruksjoner laget i GeometersSketchpad kan interaktive sider lages medJavaSketchpad. Dette er omtalt på http://forum.swarthmore.edu/workshops/sum98/java.gsp.explain.html.Figur 2 Interaktiv Cinderella-figur – dra i punkteneFigur 3 Fra NRICH – dra i punktet.Er trekanten likesidet?223/2000 tangenten

MathsNet har en samling interaktive figurer,laget med de aktuelle programmene. Det finnes etgodt utvalg slike påhttp://www.anglia.co.uk/education/mathsnet/dynamic/. Maths Net har også flere aktuelle lenkertil andre kilder med undervisningsressurser fordynamisk geometri, se for eksempel lenke til TheMath Forum http://forum.swarthmore.edu/dynamic/classroom.html og til NRICH-The Geometry Problembank http://www.nrich.maths.org.uk/mathsf/journalf/rb_interact_geom.html.The Math Forum har egen diskusjon angåendedynamisk geometri: http://forum.swarthmore.edu/epigone/geometry-software-dynamic/. Her erdet muligheter for å diskutere og stille spørsmål tilandre som arbeider med dynamisk geometri.Her finner vi for eksempel lenke til en artikkelmed litt historisk tilbakeblikk og en sammenligningmellom tre av de aktuelle programmene med omtaleav styrke og svakheter: http://www.math.uic.edu/~burgiel/Cinderella/review.pdf. Et annet innlegg giren anbefaling av Wingeom fra Peanut Software,http://math.exeter.edu/rparris/. Dette er fri programvare,men siden det tar utgangspunkt i koordinatgeometrier det nokså annerledes enn de andreprogrammene som er omtalt her.Programmer for dynamisk geometri har mulighetersom bør kunne gi ny inspirasjon og forståelsefor geometrien, både i grunnskolen og påhøyere nivå. Ut fra de omtalte programmene oglenkene skulle det være mulig å komme i gang. Detfins sikkert mange flere gode kilder til undervisningsoppleggog oppgaver i dette emnet og tips omandre lenker mottas med takk til e-postAnne.B.Fuglestad@hia.no.Denne artikkelen (med alle lenker!) kan ogsåfinnes på http://www.caspar.no/Tangenten.LitteraturBreiteig, T. & Fuglestad, A.B. (2000) Data i matematikken.(2 utg./2.opl.) Oslo: Aschehoug.Fuglestad, A.B. (1999) Læring med datamaskiner ikonstruktivistisk perspektiv. Tangenten, 2(10),27–33.(fortsatt fra side 20)Historien om kontinuum-hypotesen er ikke avsluttet.For å komme videre må vi gå til mengdelærensaksiomer. Den amerikanske matematikerenPaul Cohen viste i 1963 at hvis «den vanlige»aksiomatiseringen av mengdelæren ikke har motsigelser(er konsistent), så vil den også være konsistenthvis vi legger til negasjonen av kontinuumshypotesen.Det vil si at å innføre uendeligheter mellomkardinaliteten til de naturlige tallene og til dereelle tallene ikke vil føre til motsigelser – hvis detikke var noen allerede.Det grunnlaget som ble lagt for matematikkengjennom mengdelæren har vist seg levedyktig oger i dag stort sett akseptert av de fleste matematikere.OppgaverSammenlikning av uendelige tallmengder ved hjelpav en-entydige avbildninger er et fascinerende område.Mange oppgaver kan gå på å lage avbildninger,for eksempel:1. Vis at det er «like mange» heltall som naturligetall.2. Vis at det er «like mange» positive reelle tallsom det er reelle tall. (Hint: Bruk for eksempeleksponensialfunksjonen).3. Vis at det er «like mange» reelle tall mellom 0og 1 som det er reelle tall.LitteraturDe fleste matematikkhistoriske verk vil ha medavsnitt om mengdlærens utvikling. Her vil vispesielt trekke fram:Picutti, E. m.fl. (2000) Stora matematiker frånFibonacci til Wiles. Lund: Studentlitteratur.Det finnes også en biografier om Cantor, foreksempel:Purkert, W. & Ilgauds, H.J. (1985) Georg Cantor.Leipzig: B.G. Teubner.tangenten 3/2000 23

243/2000 tangenten

OppgaverHvordan finne formelen?Følgende oppgave stammerfra en Shell-undersøkelse(Alan Bell, The University ofNottingham, publisert i Journalof Mathematical Behaviornr. 14 s. 41–73 (1995)). Per ArneBirkeland (Høgskolen i Agder) prøvdeoppgaven ut som en gruppeoppgave iungdomsskolen. Hensikten var bl.a. å se hvordanelevene arbeider med en åpen oppgave der algebrakan være et nyttig hjelpemiddel. Prøv gjerne oppgavenpå dine elever. I neste nummer av Tangentenpresenterer han noen av elevenes løsninger.HengebrokablerNår man lager kabler til en hengebro, kan mangestrenger bli presset sammen til en sekskantet form.Tegningen over illustrerer en slik kabel av «størrelse4» som er satt sammen av 37 strenger.– Hvor mange strenger trenger man for å lageen kabel av størrelse 5?– Hvor mange strenger trenger man for å lageen kabel av størrelse 6?– Hvor mange strenger trenger man for å lageen kabel av størrelse 10?Kan du med ord forklare hvordan du finner uthvor mange strenger du trenger i en kabel?Hvor mange strenger trenger man for å lage enkabel av «størrelse n» der n er et hvilket som helsttall?tangenten 3/2000 25

Arealer av trekanterPå hver av de to parallelle linjene m og n velger vito punkter, A og B på m og C og D på n. Vi trekkernå forbindelseslinjene AC, AD, BC og BD sompå tegningen. Forbindelseslinjene AD og BC møtesi punktet x. Vis at trekantene AxC og BxD harsamme areal. Her kan det være lurt å prøve segfram med ulike eksempler og kanskje har deregeometriprogrammet «Cabri» som kan være tilhjelp?mABxnCDPythagoras setning?Vi vet at når vi lager kvadrater over katetene oghypotenusen i en rettvinklet trekant, vil summen avarealene til kvadratene over katetene være lik arealettil kvadratet over hypotenusen. Hvordan er detmed arealene til tre formlike figurer som er tegnetover katetene og hypotenusen i en rettvinklet trekant?Her er noen eksempler.263/2000 tangenten

DivergentenMatematikkundersøkelsen 1999 ogallmennlærerutdanningenResultatene fra Norsk Matematikkråds undersøkelseblant nye studenter 1999 foreligger nå. De eretter min mening godt egnet til diskusjon om hvasom bør gjøres for å bedre nye studenters kunnskaperog regneferdigheter i matematikk. Undersøkelsenviser hvordan det står til med nye studentersferdigheter innefor helt grunnleggende og sentraleområder av grunnskolematematikken, og for denye lærerstudentenes vedkommende viser undersøkelsendramatiske brister i tallregning og praktiskregning. For disse studentenes vedkommendehadde 52.4 % av R94-studentene det laveste kursnivåmed matematikk med modul 2A fra videregåendeskole. Det vil i praksis si at de stort sett ikkehadde særlig mer enn grunnskolematematikkenmed seg i «bagasjen». Bare 6.9 % hadde 3MX.Blant lærerstudenter med modul 2A var det 78.4 %som bare hadde 20 eller færre rette svar av 43. Vedlærerutdanningen er det fra 1998 obligatorisk med10 vekttall matematikk. Det fagspesifikke innholdeti dette kurset går ikke mye ut over den videregåendeskoles grunnkurs med modul 2B.All erfaring viser at grunnmurens kvalitet eravgjørende for sluttresultatet. Og den grunnmurenjeg sikter til bygges i grunnskolen. Det må derforvære av den aller største betydning at byggmesternekan sitt fag. Fra videregående skole vet viat lærere med hovedfag oppnådde de beste resultateneblant elevene. En lærer med hovedfag er gladi sitt fag. Den gleden smitter over på elevene. Eninspirator må selv være inspirert. Det er ikke mindreviktig å inspirere barn og unge mellom 6 og 16år enn elever i den videregående skole.Det er snakk om en sirkel her: arbeidet med årekruttere til realfagene starter i barneskolen, mendersom arbeiderne enten mangler eller har mangelfullekunnskaper, vil sirkelen bli «ond» og konsekvensenefor rekrutteringen langvarig negative.Derfor bør en ved lærerutdanningen satses på denundervisning som fremmer positiv matematikklæring.Den store internasjonale TIMSS-undersøkelsenblant 13-åringer viser helt klart hvilken undervisningdet er. I tillegg må studentene lære ommatematikkvansker. Men morgendagens læreremå ikke selv ha vansker med å løse grunnskolenseksamen i matematikk! Det må bli krav ommatematikkbakgrunn ut over grunnkurset i denvideregående skole for de som skal begynne pålærerutdanningen. Det kan ikke være en menneskerettå kunne bli lærer. Matematikk er skolens neststørste fag. Det bør gjenspeile seg i både opptakskravog utdanning.Tangenten stilte spørsmålet om hva undersøkelsenønsket å evaluere: regneferdigheter ellermatematikkunnskaper. Regneferdigheter er i hvertfall en del av matematikkunnskapene, og en viktigsådan. Ja, de er etter hva min erfaring tilsier avgjørendefor å kunne trenge dypere inn i faget. Rammeplanenfor 10-vekttallskurset i lærerutdanningener organisert etter områdenetangenten 3/2000 27

som for så vidt er blitt videreført i L97.Kunnskap er nær knyttet til forståelse: forståelseav et tegns mening, av formålet med en handlingog forståelse av meningen med en sosial institusjon.Forståelse er altså innsikt i meningen mednoe.Ludwig Wittgenstein sa mot slutten av sitt liv:«Å forstå er å kunne». Han kritiserer den oppfatningat en persons praktiske beherskelse av etuttrykks korrekte anvendelse bare er et ytre tegn påselve forståelsen av uttrykket, som for sitt vedkommendeer noe indre og privat. Det er i kraft av forståelsenat språkbrukeren, i vårt tilfelle eleven, mestreruttrykkets bruk og derfor kan avgjøre om anvendelsenved en bestemt anledning er korrekt ellerikke. Forståelsen som en indre tilstand eller annetløser ikke problemet etter W.`s mening.Derfor konkluderer W. med at forståelse rett ogslett er beherskelse av uttrykkets, i vårt tilfellematematikkens, korrekte anvendelse.Mitt utgangspunkt var redaktørens skille mellomkunnskaper i matematikk og regneferdigheter,at regneferdigheter eller rituell matematikk nå bliransett som mindre viktig. Etter mitt syn er det nettoppav den største betydning å beherske «rituellmatematikk», å kunne ta del i det relevante utsnittetav den språklige praksis. Det er ved graden av åbeherske av det matematiske språket at graden avforståelse viser seg. Hvordan vet vi om en elev forstårprosentbegrepet dersom eleven ikke kan gjøreberegninger? Eller: hvilken nytte har det å kunneuttale at «prosent betyr per hundre» dersomdenne «kunnskapen» ikke kan anvendes? Og til anvendelsenhører å beherske aritmetikk, bestemteregneregler. Beherskelse av uttrykkets korrekte anvendelseer en nødvendighet for å kunne ta del ispråklige spill.Eystein RaudeHøgskolelektorHøgskolen i VestfoldRedaksjonen har forkortet innlegget.tangenten 3/2000 29

Tanker rundt et tusenårsskifte fortsattNår vi står en stjerneklar kveld og ser opp på deutallige stjerner er det svært naturlig å spørre: finnesdet intelligent liv på en planet rundt noen avdisse?Vi kan snu på problemstillingen og vurderemuligheten noen der ute har til oppdage at det ersåkalt intelligent liv her på jorda. Mange definererintelligent liv som evnen til å kommunisere medradio/tv-signaler, og vi har her på jorden et nett avlyttestasjoner som søker etter budskap fra stjernene.I følge en slik definisjon har vi vært «intelligente»i snaut 100 år.For å få en ide om vår rolle i universet tenker vimodeller i forskjellige målestokker, ideen har jegfått av Rolf Stabell på Astrofysisk institutt ved Universiteteti Oslo, kanskje Norges største ekspert ikosmologi.Modell 1: Solsystemet i målestokken1 : 10 000 000 000 eller 1 : 10 10 .I denne målestokken blir sola ei kule med diameterca 14 cm, jorda er et korn med diameter ca 1 mm iavstand 15 m fra sola og den ytterste planeten gåri bane i avstand ca 600 m fra sola. Tilnærmet kanvi si at solsystemet okkuperer ca 1 km 2 og av detteopptar jorda ca 1 mm 2 .I denne målestokken vil vi finne vår nærmestestjerne i avstand 4000 km (Alfa Centauri) og dennærmeste som vi kan se fra Norge; Sirius i avstandca 8000 km. Denne avstanden er egentlig 8 lysår.Vi skifter til ny målestokk i det vi legger på6 nuller:30Modell 2: Vår galakse i målestokken1 : 10 000 000 000 000 000 eller 1 : 10 16I denne målestokken svarer 1 meter til 1 lysår. Nåblir avstanden til vår nærmeste stjerne 4 meter,Sirius har vi 8 meter unna og hele vår galakse somer en spiralgalakse med diameter 100 km og sombestår av ca 200 milliarder stjerner roterer langsomrundt. Solsystemet vil oppta ca 1 mm 2 i enavstand ca 30 km fra galaksens sentrum og brukerca 200 millioner år på en runde.Vi skifter målestokk enda en gang og også nålegger vi på 6 nuller.Modell 3: Galakser i målestokk1 : 10 000 000 000 000 000 000 000 eller 1 : 10 22I denne målestokken har vår galakse Melkeveisystemeten diameter på ca 10 cm, vår nabogalakseAndromeda som vi kan se med det blotte øye erca 2,3 meter vekk. Vi vet nå at det er flere enn100 milliarder galakser som hver kanskje har hundretallsmilliarder stjerner og hvor de fjerneste vilvære ca 20 km unna.Tilsvarende kan vi kan også lage en modell forjordas alder:La oss tenke oss at jorda ble til ved år 1000 ogat vi nyttårsaften år 1999 ser til bake på jordas historie.Målestokken blir 1000 år : 4 500 000 000 år,altså 1 : 4 500 000.I denne målestokken svarer altså ett år i vårmålestokk til 4,5 millioner år i virkeligheten. Enmåned vil svare til 400 000 år, ei uke ca 100 000, ogen dag ca 12 000 år. En time svarer til ca 500 år ogett minutt til ca 8 år.3/2000 tangenten

Geologisk og historisk tidsregning i denne målestokkenkan da se slik ut:Urtididen varer da fram til ca 1885ca 1780 kom de første primitive algene (urdyr).OldtidKambrium fra 1885–1905Ordovicium fra 1905–1920Silur fra 1920–1926Devon fra 1926–1937Karbon fra 1937–1948Perm fra 1948–1955MiddeltidTrias fra 1955–1963Jura fra 1963–1971Kritt fra 1971–1986, dinosaurene dør ut ca 1985NåtidTertiær fra 1986–1999Kvartær siste åretMenneskene blir til i løpet av 1999.Vi har sikre spor etter homo sapiens fra juni/juliHistorisk tid. Vår historie handler i denne målestokkenom den siste dagen Vi har funnet spor etterbosetting kl 02 00 . De egyptiske og kinesiske dynastierca 15 00 . Kristus levde ca 20 00 . Vikingene stopå som verst ca kl 22 00 og det siste århundre svarertil fra kl 23 48 til midnatt.De må treffe en dag i løpet av tusen år. For å treffevår sivilisasjon er det snakk om minutter.Skulle såkalt intelligens finne oss ville de også sikkertfinne ut at vår sivilisasjon bruker mest økonomiog energi på våpen og nest mest på narkotikaog andre rusmidler, at vi lar en del av befolkningensulte og lide mens de rike kaster og brennermat.Bjørn BjørnengFor å finne oss må vi først lette etter solsystemetsom utgjør ei flate på ca 1 mm 2 i en galakse på ca100 km 2 . Deretter vil jorda utgjøre på ny en flatepå ca 1 mm 2 i et solsystem på 1 km 2 . I tillegg må vitreffe på mennesker som har en form for kultur.tangenten 3/2000 31

BokomtalerAnthony Furness og Ilkka Isaksson:Euklides, matematikerns dröm. (CD-rom)Ekelunds Förlag AB, S 16902 Solna, SverigeVel l anvendtndte e pengngerPå Matematikkbiennalen i Göteborg i januar fikk videmonstrert en CD-rom som het Euklides,matematikerns dröm. Jeg kjøpte den til tross for atteksten kun var på svensk.Foruten rettledningen er CD-en todelt: enbiblioteksdel og en verkstedsdel. Biblioteksdelen erbetryggende for voksne mennesker som mistrivesmed å prøve seg frem i for stor grad. Verksteddelener perfekt for dem som taster i vei på pc-enuten skrupler.Her fins lekre fotografier foruten animasjoner,tekst og tegninger. Her fins også rikelig med mulighetertil selv å prøve seg frem og teste ut både detene og det andre.Teksten bakpå eska lyder: Euklides er ettmultimediaprogram der matematikk og bilde forenes.Barn, ungdom og voksne kan skape en personligmatematikk gjennom å aktivt undersøke koblingermellom tall, geometri og geometriske former i omgivelsene.Programmet fremhever matematikk som enestetisk opplevelse med interessante koblinger til andrekunnskapsområder. Det passer både for den somhar problemer med tradisjonell matematikk og forden som vil ha større utfordringer.Denne CD-en kan benyttes av barn fra 5–6 årog oppover. Jeg har nettopp fått den, men hittil harjeg dessverre ikke hatt tid til å sitte stort mer ennen time og leke meg.32Primtall, symmetrier, tallbilder, gangetabellen,romgeometri, pytagoras setning og pascals trekanter noen stikkord. Formingslæreren med sans formønster vil kunne finne nye ideer her. Elever somer lei av terping, vil kunne møte matematikken pået annet vis. Flinke elever som kjeder seg i timene,vil få muligheten til nye oppdagelser.Pris til private er 390 SEK, pris til skoler er 2900SEK. For meg var fire hundre norske kroner leverthjem i postkassa vel anvendte penger.Passer både til MAC og PC, men sjekk at duikke har for gammel maskin før du handler.Anne FyhnNils Kr. Rossing: Den matematiske krydderhylle– Smakstilsetning for matematikkundervisningeni skolenVitensenteret, 325 s.Undring, gylne øyeblikk, om å skifte ståsted, dengode historie, skjønnheten, kreativiteten og skaperevnenog lek – dette er noen av punktene forfatterensetter opp som viktige deler av læringsperspektivet.Punktene er også hovedoverskriftenei boka. Under disse overskriftene er det en ufattelig3/2000 tangenten

mengde spennende matematisk stoff hentet frageometri, topologi, tallære, funksjoner osv. Vinklingeneer spennende, ofte med fortellerstoff knyttettil forsøk en kan gjøre. Det er lett å bli fascinert avhistorien og på den måten bli nysgjerrig på forsøkene.Et eksempel er studenten som lekte seg medpapirstrimler og oppdaget at han kunne bretteheksagoner og mens han fingret med modellenoppdaget han at han kunne folde den ut som enblomst og danne nytt heksagon med ny overflate.Modellen er enkel og kan uten problem brukes tileksperimentering i barneskolen, for eksempel nåren arbeider med mangekanter og vinkler.Boka er ikke beregnet på et spesielt trinn i skolen.Den er ikke laget som en lærebok som skaldekke en fagplan. Som mangeårig lærer i barneskolenså jeg mange forsøk som kunne brukes der, frasmåskolen og oppover. Som høyskolelærer medundervisning på førskole- og allmennlærerutdanningoppdaget jeg en hel del forsøk som jegfikk lyst til å jobbe med sammen med studenter.Men boka er ikke begrenset til grunnskole ellerlærerutdanning, her er nok av utfordringer forflinke elever på videregående skole også, som åbruke avanserte lommeregnere til å lage knutematte-mønsterog arbeid med fraktaler og rekker.Dessuten inneholder boka mange utforskningsoppgaverog lek med tall som voksne og barn kanglede og undre seg over sammen. For ungdomsskolenmå boka være et funn dersom en ønsker enmer kreativ og eksperimenterende undervisning,det gjelder emner som symmetri, tesselering, romfigurer,Fibonacci-tallene og Pascals trekant blantannet.Flere temaer gir muligheter for tverrfagligsamarbeid, som med naturfag, historie, formingog KRL-faget. Det er skrevet om «fenomener»innen mystikk og tall, såkalt numerologi som jegfant interessante forklaringer på her. Dessuten erdet tatt med forklaringer på opprinnelsene til ulikeparadis som barn leker med, hvordan lage kretiskelabyrinter og etnomatematikk fra ulike land.I det hele tatt er dette en spennende bok å bla i,jeg har lært ting som jeg ikke har tenkt over før, foreksempel at kumlokk alltid er runde slik at lokketikke skal kunne ramle ned i kummen og at det finnesen annen form, Reuleaux´ triangel som er slikat lokket likevel ikke kan ramle nedi kummen fordibredden er konstant. Her er det også beskrevethvordan denne spesielle formen utnyttes i praktiskesammenhenger.Boka er billig, kun 100 kr per stykk. Det betyr athver skole bør ta seg råd til å ha noen eksemplarerpå lærerbiblioteket. Til den bruken forfatteren anbefalerden til, som en smakstilsetning imatematikkundervisningen, vil jeg tro denne bokenkan bli til stor glede for både lærere og elever.Boka kan fungere som en idebank. Bakerst er detmange litteraturhenvisninger og gode internettadressersom kan være kjekke å gjøre seg bruk av iundervisningen.Pris og kvalitet er alltid en avveining. Jeg personligsynes boka ville ha fortjent en noe mer profesjonellutgivelse. Det gjelder layout, farger, korrektur,kanskje også litt mer vurdering av hva somskal være med hvor. Eksempelvis er lek tatt medsom et hovedmoment, uten at det er behandlet slikemnet fortjener. Det ville kanskje være bedre åtangenten 3/2000 33

kutte ut dette kapittelet og heller la det lekende ogundrende mennesket boltre seg med de spennendetemaene som blir tatt opp i boka? Det betyr noe aten bok ser innbydende ut, at illustrasjonene er tydeligeog at en fort ser hvilken tekst en illustrasjonhører sammen med. Men med den økonomiensom er i skolen, vil jeg likevel tro det er mangesom setter pris på en slik utgivelse som blir produsertså rimelig at skolen har råd til å kjøpe den.Herved anbefalt!Toril Eskeland RangnesGeorges Ifrah: All verdens tall.Tallenes kulturhistorie.Norsk utgave: Pax forlag 1997. To bind, 1200 s.Hvor kommer tallene fra?Forfatteren George Ifrah opplevde at noen trosskyldigespørsmål fra nysgjerrige elever kom til åforandre livet hans. «Lærer, hvor kommer egentligtallene fra? – Hvem oppfant null?» Ute av stand tilå svare stammet han fram svært nølende: «æh, destammer fra … tidenes morgen.» Elevene ble likevelivrige og stilte enda flere spørsmål. En elevhadde strevd med å multiplisere romertall og lurte34på hvordan romerne gjorde dette. Ifrah fant ikkede svarene han søkte i leksikon og oppslagsbøker.Han ga seg ikke så lett og etter hvert ble interessenså stor at han oppga undervisningen og reiste verdenrundt for å undersøke tellingens historie. Resultatetav undersøkelsene hans er samlet i to tykkebøker om tallenes kulturhistorie.Tallene og tellingen oppstod ikke plutselig, mener et resultat av tusener av års utvikling. Men, spørIfrah, begynte det i Asia eller Europa, eller kanskje iAfrika? Hadde utviklingen av tellingen startet påCro-Magnon menneskenes tid for 30000 år siden,eller var den enda eldre? Kan dyr oppfatte tall, ellerer dette forbeholdt mennesker? Ifrah gir en levendeog personlig preget fremstilling av de svarene hanfant på disse spørsmålene. Det er altså ikke en tørrfremstilling av fakta, men likevel holder boka fagligmål. Bøkene gir en grundig og bred oversikt overtallenes utvikling fra den spede begynnelse medrissing av streker i et bein til dagens datamaskiner.Et poeng er menneskenes bruk av ulike telleredskaper,både konkrete og abstrakte. Direkte utennoen form for telling eller gruppering kan vi bareoppfatte og skille fra hverandre antall opp til fire!Ifrah gir derfor inngående beskrivelse av ulike tellemetoderog telleredskaper. Dessuten behandles dementale metodene for telling som for eksempelgruppering og ikke minst posisjonssystemer.Ved å studere tallordene i ulike språk kan manfå et innblikk i tidligere tiders tallsystemer. Danskenespesielle tellemåte viser en arv etter et tjuetallsystemog baklengs telling. Når de sier halvtres,mener de et halvt snes mindre enn tre snes, dvs. 10mindre enn 60, altså 50! Dette er lettere å forstå hvis3/2000 tangenten

vi sammenligner med tidsuttrykk som «halv fem».I folkelig språk sier vi fortsatt at vi klokka halv femer halvveis inne i den femte timen. Tilsvarende kanvi si at når vi har talt til 50, er vi halvveis inne i tellingenav det tredje sneset. Tallenes kulturhistorieinneholder mye som er av interesse for de språkinteresserte.Kjennskap til tallord på flere språk kanogså gjøre det mulig å huske hva gamle uttrykksom dusin betyr. På fransk er ’douze’ ordet fortolv. Ordet to er på fransk ’deux’, på italiensk ’due’og latin ’duo’! Tallet ti er ’decem’ på latin,’dix’ påfransk og ’zehn’ på tysk. Det ser ut til at franskmennenehar arvet første del av det latinske ordet,mens tyskerne har beholdt siste del. Ordet ’douze’på fransk har beholdt siste delen av det latinskeordet for ti til tross for at de bruker den første deleni ordet for ti!Studiet eller vitenskapen om hvordan ord harblitt som de er kalles etymologi. Dette er en del avspråkvitenskapen eller lingvistikken. Noen begrepergår igjen i nesten alle språk og etymologien til ordenefor disse begrepene er derfor spesielt interessantei lingvistikken. Mest kjent er hvor like ordenefor ’mamma’ og ’pappa’ er på ulike språk. Ordenefor tall spiller en tilsvarende rolle. «Tallenes kulturhistorie»har oversikter over tallordene på en rekkespråk. En annen sammenheng mellom tall ogspråk er den alfabetiske tellingen i gresk og hebraisk.Bokstavene i alfabetet har en fast rekkefølgeog egner seg derfor som telleord. Alfa, beta oggamma svarer slik til en, to og tre. Et spørsmålsom tas opp i bøkene er om den alfabetiske tellingenopprinnelig er gresk eller hebraisk. Selve skriftspråketsopprinnelse er også knyttet til talleneshistorie. Et kapittel tar opp skriftlig regnskapsførseli Mesopotamia. Trolig er skriftlig regnskapsførselopprinnelsen til skriftspråket. Kapitlet fokusererimidlertid først og fremst på hvordan tallnotasjonutvikler seg gjennom bruken av regnskaper.Tallenes kulturhistorie er et omfattende verk ogegner seg for de fleste best som et oppslagsverk.Det er imidlertid ikke noe leksikon. Kapitlene ersammenhengende fremstillinger. En rekke temaertas opp. Fokuset er tallene, men de settes hele tideninn i en språklig og kulturell sammenheng. Andrebind tar spranget helt fram til vår tid og har engrundig drøfting av datamaskiner og maskinregning.Til og med den menneskelige intelligens erviet et kapittel. Bøkenes er opprinnelig skrevet påfransk og beregnet på franske forhold. Noen gangerskinner det klart gjennom i oversettelsen. Det erimidlertid bare noen få ganger en leser vil tenkeover dette. Den norske oversettelsen har et godtspråk som gjør bøkene tiltalende å lese. Vel bekomme!Reinert A. Rinvoldtangenten 3/2000 35

Harald TotlandTidevannI naturen er det mange eksempler på svingningersom er både lette å registrere og mer eller mindreregelmessige, men det finnes få slike fenomener dervariasjonen i tillegg er vedvarende i århundrer. Deto åpenbart mest betydningsfulle slike fenomeneneer for det første solas daglige gang på himmelen ogfor det andre den årlige variasjonen knyttet til solasgang. Andre eksempler er variasjonen i månefasene,samt månens og stjernenes gang på nattehimmelen.Alle disse fenomenene hører i sin helhethjemme i himmelsmekanikken og beskrives avforholdsvis enkle geometriske bilder. Tidevannet erytterligere et eksempel, men i motsetning til de foregåendefinner dette fenomenet sted her nede påjorda, og det er ikke opplagt at det skulle værenoen årsakssammenheng mellom variasjonen ivannstanden ved kysten på den ene side oghimmellegemene på den andre.Isaac Newton (1642–1727) 1 var den første somga en fysisk forklaring av tidevannet, og det pågrunnlag av fysiske lover som han selv var opphavsmanntil, nemlig de generelle bevegelsesloveneog gravitasjonsloven. Han viste at det faktisk erastronomiske forhold som ligger til grunn for tidevannet,og at derfor også dette fenomenet er forbundetmed himmelsmekanikken. Det er imidlertidmer komplisert å forklare enn de ovennevnte fenomenene,både når det gjelder den tilgrunnliggendedynamikken, og ikke minst når det gjelderberegningen av de direkte utslagene forskjellige stederpå jorda (altså problemer fra fagområdetoseanografi, se f. eks. referanse [1]). Hensiktenmed denne artikkelen er å formidle en rent kvalitativforståelse av fenomenet, og dette krever ingenspesielle forkunnskaper.Årsakene til at tidevann oppstår og arter segsom det gjør, kan sammenfattes i tre hovedgrunner.Et første hint får man ved å se på hyppighetenav flo (høyvann) og fjære (lavvann).Hvor ofte er det flo?Flo og fjære opptrer begge omtrent to ganger idøgnet, og følger altså tilnærmelsesvis den dagligerytmen til jorda. Denne kjensgjerningen tyder alleredepå at tidevannsfenomenet har noe å gjøre medfølgende faktum.Grunn 1: Jorda har en daglig rotasjon om sin egenakse.Det viser seg imidlertid at flo og fjære inntreffer pået litt senere klokkeslett for hver gang (og for hverdag). Det betyr at tidsrommet mellom to gangermed flo eller to ganger med fjære ikke er akkurat12 timer, men litt mer, i gjennomsnitt 12 timer og25 minutter. Det dobbelte av dette tidsrommet, 24timer og 50 minutter, kalles et månedøgn. Dette ertiden som går ifra månen står i en viss posisjon,for eksempel i sør, og til neste gang den står i sør.Det er altså tydelig at også månens månedligekretsløp rundt jorda på en eller annen måte spilleren viktig rolle for tidevannet.Grunnen til at et månedøgn er litt lengre enn etvanlig døgn, er at månens omløpsretning er densamme som jordas rotasjonsretning. For hvertdøgn som går, beveger månen seg et lite stykke viderei banen rundt jorda, og jorda må rotere 50minutter ekstra før vi får innhentet den.363/2000 tangenten

Figur 1 Skjematisk framstilling av deformasjonen av havoverflaten til jorda (t.h.) i sammenheng med retningentil månen (t.v.). (Deformasjonen er sterkt overdrevet.)Hvorfor blir det flo?Vannmassene i havene er ikke helt jevnt fordeltsom på en kuleoverflate, men buler litt ut i tohovedretninger i verdensrommet: i retning månen,samt i motsatt retning (omtrent som en amerikanskfotball, se figur 1). Siden jorda roterer, vil ethvertsted på kysten omtrent to ganger i døgnetpassere områder hvor vannmassene blir løftet littopp (dvs. ut i verdensrommet), og det blir flo(med fjære på tidspunkter midt imellom). Og sidende to hovedretningene følger månens kretsløp, blirdet flo to ganger i månedøgnet. Den lille deformasjonenav havoveflaten arter seg altså som en globalhavbølge som har en bølgetopp på hver sideav jordkloden, og som forplanter seg langs jordoverflateni takt med månedøgnet.Nå gjenstår det altså bare å finne ut hvorforhavmassene blir deformert på denne måten. Dettehar å gjøre med krefter som påvirker jorda og blirforklart i de neste to avsnittene.Kreftene som virker på jordaSom vi har sett, er det en sammenheng mellomdeformasjonen og månens bevegelse. For å forklaredenne sammenhengen, er det imidlertid ikketilstrekkelig presist å si at månen går i bane rundtjorda.Grunn 2: Månen og jorda går i (månedlig) banerundt sitt felles massesenter.Hadde jorda og månen hatt samme masse (værtlike «tunge»), ville massesenteret (tyngdepunktet)ha ligget midt imellom dem, og de ville hatt likestore baner. Men siden jorda har omtrent 80 gangerså stor masse som månen, ligger massesenteretforholdsvis nær jordas eget massesenter, faktiskinne i selve jordkloden (omtrent 4700 km fra sentrum).I tillegg til egenrotasjonen har jorda altså etmånedlig kretsløp langs en sirkelbane med radiuslik 3/4 av jordradien (se figur 2). Denne forholdsvisbeskjedne sirkelbevegelsen er, som vi snart skal se,en essensiell årsak til tidevannet, og den har dermeden overraskende stor betydning for mye av livetpå jorda.Det felles massesenteret til månen og jorda gårpå sin side i årlig bane rundt sola, men dette ser vibort ifra inntil videre. Dessuten gjør vi en forenklingtil. Siden det i denne omgang bare er selvedeformasjonseffekten som skal forklares, ser vi idette og neste avsnitt bort ifra jordas egenrotasjon.Vi forestiller oss altså at jorda har en fast orienteringi forhold til stjernehimmelen.Det er to ulike krefter som spiller en rolle i forbindelsemed deformasjonen av havmassene, ogsom henger sammen med jordas månedlige sirkelbevegelse(grunn nr. 2): tyngdekraften (gravitasjonen)og sentrifugalkraften. Sistnevnte er en kraftsom alle har erfaring med, for eksempel fra bilkjøringi krappe svinger. Sentrifugalkraften er da kraftensom trekker utover i svingen. Snurrer man enslegge rundt i ring, må man holde hardt igjen motsentrifugalkraften, som trekker loddet utover – iretning bort fra sirkelbevegelsens sentrum. Påsamme måte fører jordas månedlige sirkelbevegelseogså til en viss sentrifugalkraft. Det somtangenten 3/2000 37

Figur 2 Systemet jord og måne ved to tidspunkter med omtrent to ukers mellomrom, sett ovenfra i forhold tilplanet de beveger seg i. Massesenteret, angitt ved punktet midt på figuren, er tenkt å være i ro. Sirklene medtykk strek viser posisjonene ved første tidspunkt, sirklene med tynn strek viser situasjonen to uker senere.De fire stiplede linjene i midten beskriver halvsirkler som gjennomløpes av forskjellige steder på jorda i løpetav dette tidsrommet (når man ser bort ifra jordas egenrotasjon).nå er av betydning, er at denne sentrifugalkraftenpå et gitt tidspunkt er den samme overalt på jorda,både i styrke og retning. Dette kommer av at allepunkter på jorda gjennomløper like store sirkelbaneri løpet av en måned, som vist i figur 2; deneneste forskjellen mellom banene er at de er forskjøveti forhold til hverandre.Som kjent er det tyngdekraften som er densentrale vekselvirkningen i himmelsmekanikken. Isine baner rundt hverandre (rundt massesenteret)holdes månen på plass av jordas tyngdekraft ogjorda av månens tyngdekraft – på samme måtesom solas tyngdekraft holder jorda og de andreplanetene på plass i sine baner rundt sola. Dentredje og avgjørende årsaken til tidevannet er attyngdekraften, i motsetning til sentrifugalkraften,ikke er den samme overalt på jorda.Grunn 3: Tyngdekraften er ikke konstant, menvarierer – både i styrke og retning – fra sted til sted.Formelen for tyngdekraften er gitt i Newtons berømtegravitasjonslov. I denne sammenhengenholder det å slå fast to ting vedrørende tyngdekraftenrundt ei kule med jevnt fordelt masse (jorda ogmånen er tilnærmelsesvis slike kuler). For det førsteer tyngdekraften rettet mot kulas sentrum, og fordet andre avtar styrken med avstanden fra sentrum.Forklaring av deformasjonenNå skal vi se på hvordan disse kreftene faktisk førertil en deformasjon av den globale havoverflaten.38Figur 3 er en skjematisk framstilling av jorda ogmånen på et bestemt tidspunkt. De fire pilene somer rettet mot månen, viser månens tiltrekningskraft(tyngdekraft) på de fire stedene merket A, B, C ogD på jorda. Sentrifugalkraften som stammer frajordas månedlige omløp, er representert ved pilenesom er rettet mot høyre på figuren, altså utover isirkelbevegelsen. 2 Som nevnt er månens tiltrekningskraft,i motsetning til sentrifugalkraften, ikkeden samme overalt på jorda. Dette er vist ved devarierende retningene og lengdene til pilene (vektorene).Det er mulig å vise at i jordas sentrum hartiltrekningskraften samme styrke som sentrifugalkraftenog motsatt retning, så der opphever de tokreftene hverandre. Alle andre steder blir det imidlertidtilovers en nettokraft. Denne nettokraften,som kalles tidevannskraft, er vist i figur 4 for forskjelligeområder på jordoverflaten.Vi ser først på områdene rundt A og C, hvortiltrekningskraften og sentrifugalkraften er parallelleog motsatt rettede. I områder nærmest månen(A) er tiltrekningskraften større enn sentrifugalkraften(se figur 3), slik at det er en nettokraft iretning månen (figur 4). På den siden som er lengstborte fra månen (C), er forholdene motsatt. Annerledeser det i områder som B og D. Her hartiltrekningskraften og sentrifugalkraften omtrentsamme styrke, men de er ikke parallelle.Tiltrekningskraften er rettet litt innover, så nettokraftenher har retning omtrent mot jordas sentrum.I områder som A, B, C og D er nettokraften3/2000 tangenten

DACBFigur 3 Tiltrekningskraft (tyngdekraft) fra månen (t.v.), angitt ved heltrukne piler, og sentrifugalkraft, angitt vedstiplede piler, forskjellige steder på jorda (t.h.). Bildet beskriver perspektiver både ovenfra og fra siden iforhold til baneplanet.altså parallell med jordas egen tyngdekraft. La ossnå se på områder som ligger imellom to slike områder,for eksempel området E (figur 4). Her blirnettokraften en mellomting mellom den i D og deni A, og den ligger derfor delvis på langs av havoverflaten(den har med andre ord en tangentiell komponent)og trekker vannet mot A. Som figur 4 viser,blir det tilsvarende i de øvrige tre områdenehvor det er tegnet inn piler. Resultatet av alle dissenettokreftene – tidevannskreftene – er at vannetstrømmer mot de to områdene rundt ytterpunkteneA og C. 3I virkeligheten er situasjonen mer komplisertenn det som er blitt beskrevet her. Det skyldes blantannet kontinentene og havdypene.Forskjeller fra sted til stedDe tidspunktene da man er nærmest månen, ernår den står i sør. Det som er blitt sagt så langt,skulle kanskje tyde på at det alltid er flo på sliketidspunkter, men dette er ikke tilfelle. Grunnen tildet er at kontinentene hindrer vannmassene i haveneå bevege seg fritt, noe som fører til en forsinkelsei ankomsten av tidevannet. Denne forsinkelsen,som varierer fra sted til sted og er meget komplisertå beregne, kalles havnetiden. I tillegg finnesdet påfallende store lokale variasjoner i tidevannsforskjellen.Enkelte steder er forskjellen mellom floog fjære nærmere 20 meter, mens den knapt ermerkbar andre steder. Dette er blant annet avhen-DEACFigur 4 Tidevannskraft (nettokraft gitt som summen av tiltrekningskraft og sentrifugalkraft i figur 3) forskjelligesteder på jorda, sett ovenfra eller fra siden i forhold til baneplanet.Btangenten 3/2000 39

gig av kystlinjas form og havbunnens dybder. Inoen bukter vil vannet, når det strømmer inn ogut, kunne skylle fram og tilbake som en bølge (påsamme måte som man kan få vannet til å skyllefram og tilbake i badekaret). Hvis den karakteristiskeperioden for denne bølgen er i nærheten av12 1/2 time, får bølgen ekstra stort utslag somfølge av resonans. Figur 1 beskriver altså egentligen forenklet situasjon, hvor man forestiller seg atjordoverflaten er fullstendig dekket av hav. Denmaksimale forskjellen i vannstanden ville i et slikttilfelle være bare omtrent en halv meter.Solas rolleSå langt har vi sett bort ifra solas virkning. Det erimidlertid klart at grunn nr. 2 ovenfor (jordaskretsløp rundt massesenteret med månen) gjelderpå samme måte for sola som for månen, bortsettfra at omløpstiden er et år istedenfor omtrent enmåned. Siden sola har mye større masse enn jorda,er det felles massesenteret i dette tilfellet praktisktalt sammenfallende med solas massesenter. Ogsågrunn nr. 1 og 3 – jordas daglige rotasjon samttyngdekraftens variasjon – gjelder som før. Dettebetyr at også sola forårsaker en tidevannseffekt påjorda. Spørsmålet er hvor stor denne effekten er iforhold til den effekten som forårsakes av månen.Til tross for at avstanden til sola er mye lengre ennavstanden til månen, sørger solas enorme massefor at den har større tiltrekningskraft på jorda enndet månen har. Vi har imidlertid sett at det som eravgjørende, er hvor mye tiltrekningskraften varierermellom forskjellige steder på jordoverflaten. Pågrunn av den store avstanden til sola er denne variasjonenmindre enn variasjonen i månens tiltrekningskraft,og det viser seg at tidevannseffekten frasola er knapt halvparten så stor som månens. Solasvirkning er mest merkbar når jorda, månen og solaligger på en linje. Dette skjer omtrent to ganger imåneden, nemlig ved fullmåne og nymåne. Da blirdet spring, med ekstra store tidevannsforskjeller(springflo og springfjære). Tidevannsforskjelleneer minst ved nipp, når retningene til sola og månendanner rette vinkler.TidevannskrefterEn liten kommentar til slutt. Vi har sett attidevannskraften et gitt sted på jordoverflaten blirdannet av summen av månens (og solas) tyngdekraftog sentrifugalkraften, eller alternativt av forskjellenmellom månens (og solas) tyngdekraft påstedet og tyngdekraften i jordas sentrum. Genereltvil ethvert objekt med en viss utstrekning bli påvirketav deformasjonskrefter som er forårsaket avtyngdefeltets inhomogenitet (dvs. av at tyngdekraftenikke er konstant, men varierer fra sted til sted).Disse deformasjonskreftene betegnes i fysikkenogså som tidevannskrefter.Et enkelt eksempel er gitt ved at man tenker seget lodd som holdes rett over et annet lodd i tyngdefeltettil for eksempel månen, og at de slippes samtidig.Hvis de får starte høyt nok, vil de etterhvertfå stadig større avstand, for tyngdekraften er heletiden størst på det nederste loddet (se figur 5 a).a b cFigur 5 Effekten av tidevannskreftene i et inhomogent tyngdefelt: (a) To lodd som faller fra forskjellig høyde fårøkende avstand, (b) To lodd som faller fra samme høyde får minkende avstand, (c) En fallende elastisk ringmed fire lodd blir deformert.403/2000 tangenten

Blir de derimot sluppet ved siden av hverandre isamme høyde, vil de nærme seg hverandre, sidentyngdekraften da har samme styrke, men ikkesamme retning (figur 5 b). Hvis man nå tenker segfire lodd som i utgangspunktet er fysisk forbundetmed en elastisk ring, er det lett å se at ringen etterhvert blir strukket i loddrett retning og sammenpresseti vannrett retning (figur 5 c).Dette lille eksempelet kan knyttes direkte tiltidevannsfenomenet. Når jorda kretser rundtmassesenteret med månen, eller rundt sola, er dettefaktisk ingenting annet enn en kontinuerlig fallbevegelse,men da i tillegg med en fartskomponentpå tvers av fallretningen. Deformasjonen av ringenmed loddene har med andre ord nøyaktig sammeopphav som den lille deformasjonen av jordashavoverflate, som altså fører til tidevann.Et par utregningerTil nå har vi unngått formler, men noen tall harvært nevnt når det gjaldt lengden av et månedøgnog avstanden mellom jordas sentrum og det fellesmassesenteret med månen. La oss nå se på hvordanman kan komme fram til disse tallene.(1) Soldøgn og månedøgn. Et døgn, d =24 h, kallesogså et soldøgn fordi det er den tiden det tarfor jorda å gjøre en omdreining sett i forhold tilsola. Siden jorda også beveger seg langs en banerundt sola, er et soldøgn ikke helt likt et stjernedøgn(jordas rotasjonstid i forhold til stjernehimmelen).Månedøgnet er en tredje type. Lengden av etmånedøgn, D, kan regnes ut når man vet at tidendet tar mellom hver gang månen krysser forbindelseslinjenmellom jorda og sola, er T =29,5d. Iløpet av denne tiden roterer jorda T/d ganger i forholdtil sola, men bare T/D ganger i forhold tilmånen. Siden månen i løpet av dette tidsrommethar gått rundt jorda én gang i jordas rotasjonsretning,må antallet T/D være én mindre enn T/d,altsåT/D = T/d –1,som gir den enkle sammenhengen1/d –1/D =1/T.(Tilsvarende sammenheng er det bl.a. mellom etstjernedøgn, et soldøgn og et år.) Dermed finnerman månedøgnet:(2) Massesenterets plassering. Avstanden mellomjordas og månens sentre er a =384 000 km, ogjordas masse M er 81 ganger så stor som månensmasse m, altså M =81m. Avstanden x fra jordassentrum til massesenteret kan regnes ut ved hjelpav vektstangprinsippet: Siden avstanden fra månenssentrum til massesenteret er a –x, får manligningenm(a – x) =Mx fi ma =(M + m)x,som gir avstanden til massesenteret, dvs. radien ijordas sirkelbevegelse:altså omtrent 3/4 av jordradien, som er på6400 km.Utregning (1) kan gjøres på flere forskjelligmåter, og disse kan med fordel akkompagneres avpassende geometriske figurer. Resultatet av utregning(2) kan man konkretisere ved for eksempel åforbinde to vekter i masseforhold 1 : 9 med en lettstang eller et tau, og så merke av massesenteret entidels taulengde fra (sentrum i) den tyngste vekten.Da skal det være mulig å få dette modellsystemet tilå rotere på isen på en slik måte at massesenteretligger i ro.Vi har i disse to eksemplene å gjøre med matematikkeninnen tidevann som astronomisk fenomen,med en viss vekt på geometri og vektorregning.På den annen side er det også matematikki selve det synlige resultatet av fenomenet, altså dedaglige og månedlige svingningene i vannstanden.Disse kan danne utgangspunkt for undervisninginnen sammenhengene mellom tabell, graf og situasjongenerelt og innen sinus- og cosinus-funk-tangenten 3/2000 41

sjoner spesielt (se referanse [2]). Tidevannstabellerfinnes ferdigtrykt, men det er også mulig å få demregnet ut og vist med tilhørende grafer (se referanse[3]). Alle som bor ved kysten (og særlignordover i landet, hvor forskjellene er tydeligst)har dessuten muligheten av å lage tidevannstabellerselv ut ifra egne målinger. Ved å måle vannstandenmange ganger i løpet av en dag, ser man variasjoneni takt med månedøgnet, mens man ved åmåle høyeste vannstand gjennom en måned kan fåfram de månedlige variasjonen mellom springfloog nippflo.Når man står i fjæra, er det pussig å tenke påat det her holder til dyr og planter med en «dagsrytme»tilsvarende et halvt månedøgn. For disseorganismene har altså månen i en viss forstand enviktigere direkte effekt enn sola.Noter1Newtons fødselsår er 1642 etter denjulianske kalender (som fortsatt var i bruk iEngland da), 1643 etter den gregorianske.2Strengt tatt representerer pilene kraftfelt,3Det er selvsagt mulig å gi en beskrivelse somikke innebærer bruk av såkalte fiktivkrefterslik som sentrifugalkraften, men dette blirbetraktelig mer komplisert. For det førsteforutsetter det bruk av Newtons andre lov,SF = ma, for det andre kjennskap til begrepetsentripetalakselerasjon (som skal inn påhøyre side av ligningen), og for det tredje atman tar med de indre kreftene på jorda(jordas tyngdekraft og normalkraft) påvenstre side av ligningen.Referanser[1] Mellor, G. L. (1996), Introduction to PhysicalOceanography (Springer, New York).[2] Torkildsen, S. H. (1995), Det svinger i Bodø! Enmatematisk modell. Tangenten 6, nr. 4, 23-29.[3] Internett – se for eksempel:http://tbone.biol.sc.edu/tide/sitesel.html ellerhttp://www.math.uio.no/tidepred/ ellerhttp://www.dnmi.no/varsel/index.htmlaltså kraft pr. masseenhet.ICME 10 · 2004Kvart 4. år vert det halde ICME – InternationalCongress on Mathematical Education. I år var den iJapan, i 2004 skal den vere i København; deinordiske landa samarbeider om arrangementet.Vi kjem til å høyre meir om dette i åra framover;dei som er interessert kan følgje med på heimesidenewww.icme-10.dk423/2000 tangenten

tangenten 3/2000 43

Bjørn SmestadUhemmet regresjon –det er fali detModellbegrepet er sentralt i matematikken. Detdreier seg om hvordan man ut fra noen opplysningerom virkeligheten kan lage et matematisk bildeav denne virkeligheten, og deretter analysere dettebildet for å finne mer informasjon om virkeligheten.Modeller brukes blant annet som grunnlag forsvært mange politiske beslutninger, men også i defleste andre sammenhenger.Matematisk modellering er et kraftig redskap,og kraftige redskaper er det bestandig fare for åmisbruke. Man kan putte inn mer eller mindre sikkerinformasjon, lage seg en modell, og få ut informasjonsom kan nyte godt av matematikkensautoritet. Slik bruk av matematikken egner seggodt for å manipulere en godtroende opinion.Nettopp derfor er det viktig at elevene får etbevisst forhold til modeller, og ser at konklusjonenesom kommer ut aldri er sikrere enn de antakelservi legger til grunn når vi lager modellen.Problemstillingen nedenfor er en av mange somegner seg godt fra en slik synsvinkel. Den er lettforståelig, og kan forhåpentligvis berede grunnenfor å ta opp mer kompliserte (og politiske?) modellersenere. 1ProblemstillingJeg er litt høyere enn faren min; jeg er 178 cm høy,mens min far er 176 cm høy. Dette har irritert hamikke så rent lite, men her om dagen kom han triumferendemed et nytt innspill: – Da jeg var rekrutt(i 1950) var jeg høyere enn gjennomsnittet,mens du var lavere enn gjennomsnittet (i 1990). Selvom jeg synes at dette argumentet ikke var noe vi-44dere lå utfordringen i luften: Stemmer dette?Et søk på nettet (www.ssb.no) frembrakte følgendetabell:Norske rekrutters gjennomsnittshøyde:År Høyde1900 170,01930 172,81960 177,11990 179,7OppgaveHva blir konklusjonen: Stemmer farens påstand ellerstemmer den ikke?En tilleggsutfordring: Si noe om hvorfor høydenhar økt så voldsomt.Hva er det rimelig å anta at gjennomsnittshøydentil rekruttene vil være i 2010?Hva med gjennomsnittshøyden i 1800? Eller i1030?Fra litteraturenEt analogt problem er omtalt og løst i Tre småvenner av Kjell Aukrust:Vi kommer inn i historien i det Solan Gundersenforsøker å åpne et syltetøyglass, og Ludvigkommer med et forslag:- Hadde man enda hatt disse jomsvikingene, desom bet i skjoldkantene. De hadde vel bitt lokketfint av, store og utvokste karer som de var!- Hva var det denne Ludvig’n satt og bablaom?3/2000 tangenten

Gundersen var irritert:- Store og kraftige vikinger? Sludder og våspratfra ende til annen. Vikingene var noen oppskryttesmå puslinger!Ludvig så mistenksom på Solan: Hvor haddesagbruksarbeideren disse opplysningene fra?Solan Gundersen hadde det fra sjølvesteforskningssjefen i Statistisk Sentralbyrå. Eksperteneregna seg tel sånt. Dagens norske soldat vokstenemlig 0.8 millimeter om året. I dag var gjennomsnittshøyden179 centimeter. Det var bare å regneseg attende i tia med null komma åtte, tel slaget påStiklestad – Da skulle’n Ludvig få sjå svart på kvittå mye det vart att tå’n Olav den Hellige,Gaukatore, Afrafaste og’n Hårek fra Tjøtta! – Nei,her nytta det itte å telle på fingra! Men Solan Gundersenkunne fortelle det han:- Dessa oppskrytte råskinna som barkasammen i slaget på Stiklestad var itte høyere enn29 centimeter!Ja Ludvig kunne bare måpe. På Stiklestad villehan verken ha sett snurten av bondehæren ellerkara hass Olav den Hellige. Døm var rett og slettborte neri graset.- Det eneste Ludvig ville sett og hørt, var kampropog ei skur av knappnåler som pilsvermer overgrastorva. Så kom itte og fortell en sagbruksarbeiderat vikingene kunne skru lokket av et syltetøyglassfra Nora fabrikker!Målløs over slike statistiske kjensgjerningersatte Ludvig seg ende ned …Dagen etter holdt han seg til opptråkkete stier.Gjennom høgt gras ville han ikke ta seg fram:Rote seg bort i etterdønningene fra slaget påStiklestad, det var fali det!(Kjell Aukrust: Tre små venner, HelgeErichsens Forlag 1979)Didaktiske kommentarerDet elevene gjør i denne oppgaven, er å lage en matematiskmodell, tenke over forutsetningene i denog trekke ut opplysninger av den. I tillegg skapes enkognitiv konflikt hvis de faktisk regner ut at vikingenepå Stiklestad var ekstremt lave. Dennekognitive konflikten kan føre til at elevene tenkermer over forutsetningene de har gjort, og kanskjekommer de fram til at konklusjoner ikke kan trekkesukritisk – dersom vi skal forutsette at endringeni høyde har vært lik langt tilbake i tid, må vivære rimelig sikre på at forholdene (eller endringenei forholdene) har vært tilsvarende i hele tidsperioden.Et annet moment er at man her benytter seg avhumorens kraft. Hvorvidt bruk av humor bidrartil læring er høyst omstridt, men de fleste forskernemener at bruk av humor i det minste bidrartil et hyggeligere og mindre skremmendelæringsmiljø. (Dette forutsetter naturligvis at humorenikke er av uthengende art). En del forskeremener at humoren må være nært knyttet til temaetom den skal ha noen læringseffekt, mens mer løsrevethumor kan virke avsporende. Humorforskningkan derfor sies å støtte bruk av humorsom i dette eksemplet.Før jeg begynte å skrive denne artikkelen, hardet aldri falt meg inn at regnestykket til Solan (ellerforskningssjefen i Statistisk Sentralbyrå?) kan værefeil. Men jeg vil anta at elevene (og andre) vil få andresvar enn 29 centimeter … Dette er kanskje enhint om effekten av å bruke «autoriteter» i undervisningen,både på godt og vondt …Takk til Kjell Aukrust for tillatelse til å brukeutdraget fra Tre små venner.Note1Se Mogens Niss: «Matematiske modeller,almendannelse og demokrati» fraMatematikundervisning og Demokrati,IMFUFA, Roskilde Universitetscenter 1990.tangenten 3/2000 45

463/2000 tangenten

Landslaget formatematikk i skolenAdresse:Landslaget for matematikk i skolenBoks 2919, LandåsN-5825 BergenE-post: lamis@hib.noPostgiro: 0819 2039356 Organisasjonsnr: 980 401 103Det overordnede målet for Landslagetfor matematikk i skolen erå heve kvaliteten på matematikkundervisningeni grunnskolen,den videregående skole og påuniversitet/høyskole.Landslaget skal stimulere til kontaktog samarbeid mellom lærerepå ulike utdanningsnivåer ogmellom lærere og andre som eropptatt av matematikk.Styret består av:Fra grunnskolens barnetrinn:Henrik Kirkegaard, ÅlesundTurid Nørving, MossFra grunnskolens ungdomstrinn:Johannes Hjelland, BømloSvein H. Torkildsen,Kristiansand (styreleder)Fra videregående skole:Anne Karin Wallace, Trondheim.Bente Solbakken, Mo i RanaFra høyskole/universitet:Kristian Ranestad, OsloVeslemøy Johnsen,Kristiansand (nestleder)Medlemsavgift for 2000Skole/institusjon 500,–Enkeltmedlem 275,–Husstandsmedlem 125,–Studenter 200,–Tangenten inngår i kontingenten(Gjelder ikke husstandsmedlemmer)«Jeg hadde aldri trodd det skullebli så mye ut av det på dennekorte tiden.» Uttalelsen stammerfra en av de som var med daLAMIS ble etablert i Nordfjordeid iaugust 1997, og den falt i etterkantav det andre sommerkursetvårt, august 1999. Personligsynes jeg det har vært både inspirerendeog moro å erfare denvarme mottakelse LAMIS har fåtti mange kretser, fra departementtil ingeniørorganisasjoner og industri.Men det viktigste vil alltidvære interessen for LAMIS hospraktiserende lærere. Også derer det mye positivt å erfare.I mine to år som styreleder harjeg fått mange henvendelser frade fleste deler av vårt vidstrakteland. Det fins så menn engasjertelærere med interesse formatematikkundervisning. Menmange føler seg ensomme ogsavner et nettverk. Vi må nokbare innse at vår særegne geografiog bosetting gjør det vanskeligfor mange med personligkontakt i et lokalt nettverk. Selv imer tett befolkede områder kandet være vanskelig å få i gangaktivitet gjennom lokallag. Detser ut til å være et arbeid sommå gå over tid. Vi har heldigvismedlemmer rundt om i landetsom ikke gir seg i første motbakke.Dess viktigere vil nok sommerkursenebli. Etter mitt skjønn harvi selv arrangert to svært godesommerkurs der foredrag ogverksteder har holdt høy kvalitet.I år var vi i Island på nordiskmatematikklærerkonferanse.Omkring 70 av 130 deltakere varnorske, og langt de fleste av demer medlemmer av LAMIS. Tilneste år vil vi igjen arrangereeget sommerkurs. Søknad omstøtte er sendt, og vi får håpe atStatens Lærerkurs igjen åpnerpengesekken slik at riktig mangekan samles i Kristiansand tidlig iaugust. Det hadde vært festlig åpassere 100 deltakere. Blir væretsom det er mens jeg nå sitter herog skriver, kan vi nok en gang fåLANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 47

denne deilige kombinasjonen avferie og fag!Et annet tiltak vi med god grunnkan ha store forventninger til er«matematikkleirskolen» i Nordfjord.På LAMIS-sidene i dettenummer av Tangenten har vi enomtale av det pilotprosjektet vihar arbeidet med en tid. Mye harskjedd siden ideen ble kastetfram på et møte i interimstyret foret par år siden, og det er deilig åse konkrete resultater. Dette erså avgjort et tiltak å satse på ifortsettelsen. Målet får være atflest mulig elever – og lærere –får erfaring med å «gjøre ogsnakke» matematikk, ikke bareløse oppgaver fra læreboka. Kanvi bidra til å dreie arbeidet medmatematikk mer i den retningenog elevene i tillegg får med segandre hyggelige minner og erfaringerfra leirskolen, burde dettekunne bli en positiv opplevelsefor mange. Her får vi bygge viderepå den kompetanse ogerfaring som LAMIS-medlemmerer i ferd med å opparbeide seg.Samarbeidet med Fellesrådet forkunstfagene i skolen (FKS) harogså gitt synlige resultater. Konferanseni mars var vellykket oghadde hele 411 deltakere. Ogsådette var et tiltak som ga deltakerneinspirasjon til å sette matematikkeninn i en sammenhengsom kan gi arbeidet med fageten ny dimensjon. Omtalen avkonferansen i dette nummer avTangenten viser at LAMIS-medlemmersatte sitt preg på det somskjedde og at tilbakemeldingeneer gode. Vi holder fortsatt kontaktmed FKS, og i slutten av junivar vi sammen med dem i etmøte i departementet for en litenoppsummering av konferansenog mulig spredning av ideer tiltverrfaglige opplegg. Med denomorganisering av departementetsom nå foregår, vil organisasjonersom vår stå overfor nyeproblem. Det vil ligge mindrepenger i departementet til åstøtte tiltak som f eks konferansen«Riv ned gjerdene». Mye avpengene til utviklingsarbeid leggesut til utdanningsdirektøreneog vil bli fordelt gjennom dem.Under møtet lovte departementetå gi oss mulighet for å presentereoss og arbeidet vårt på en av desamlingene departementet jevnlighar for samtlige utdanningsdirektører.Det er en mulighet vibør prøve å få noe ut av.Matematikkrommet på Hovinhøgdaskole er i god gjenge.Også her er målet å inspirere tilvarierte aktiviteter i matematikkundervisningen.Det godt utstyrterommet er nå på plass og åpnes islutten av september. Neste fasei arbeidet blir å få erfaring medbruk av utstyret og spredning averfaringene. Et eget matematikkromer neppe den beste løsningenfor alle skoler. Det er brukenav utstyret som kan bidra til øktmatematkkforståelse hos elevene,og organiseringen av utstyretog undervisningen blir detselvsagt en oppgave for denenkelte skole å finne en løsningpå. Uansett burde det være inspirasjonog ideer å hente i detsom nå er under oppbygging påHovindhøgda skole. Bare det åha ei omfattende utstyrsliste medhenvisning til leverandør vil væretil hjelp for mange. Flere lister ertilgjengelige på LAMIS’ hjemmesidepå internett.Det synet på matematikkundervisningsom ligger bak alledisse tre initiativene er også bygdinn i KappAbel-konkurransen forniendeklasser. Spesielt gledeliger det at det tunge fagmiljøet vedNTNU så sterkt signaliserer atdenne type aktiviteter er viktige i48 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

grunnskolens matematikkopplæring.De samme signalerkommer fra matematisk instituttved UiO gjennom tilbudet til skoleneom å få besøk av en matematikersom holder timer medelevene. Utbudet og variasjonen itemaer er riktig spennende.Som de aller fleste grunnskolelærereunderviser jeg i andre fagenn matematikk. I sommer harjeg blant annet vært på en europeiskkonferanse for naturfagundervisningi York, England. Jeghar også hatt en viss kontaktmed Prosessindustriens Landsforening(PIL) som organiserteden norske deltakelsen på dennekonferansen. Det er interessant åse på det samarbeidet mellomundervisning og industri som erunder utvikling i flere land i Europa.Her hjemme har jo LAMISogså hatt kontakt med ingeniørforeningeneNIF og NITO, og PILer sammen med flere bedrifter enav sponsorene til matematikkrommetsom også ble presentert iYork. Mange er opptatt av å«blåse liv» i realfagene, og allesynes det er vanskelig å nå frampå tross av at de bruker storeressurser på arbeidet. Mye materiellog invitasjon til flere konkurransersendes skolene uten å nåfram til de som kan gjøre noemed det. Kanskje det haddevært bedre å samle kreftene,samordne tiltakene og la alt gåsom én forsendelse til skolene?Jeg har denne gangen tillatt megå bruke litt plass på en liten oppsummeringog noen refleksjonernå som jeg holder på å avsluttemin periode som styreleder. Dethar vært en krevende, men ihøyeste grad interessant periode.Håpet mitt er at den aktivitetensom er i gang får fortsette, og atnye hoder bringer fram nye ideertil tiltak. Med dette takker jeg formeg og ønsker det nye styretlykke til i arbeidet.Svein H. Torkildsenhttp://www.lamis.noLAMIS har allerede vært på nettei stund. Internettsiden vår harbetydd en stor avlastning for osssom stadig har fått henvendelserfra lærere som gjerne vil ha informasjonom LAMIS. Nå kan vihenvise interesserte til siden vår,og en god del nye medlemmerhar meldt seg via skjemaet påinternettsiden.Grete Tofteberg har stått for arbeidetog bygd opp siden vår påsitt eget hjemmeområde. Når dufår dette nummeret av Tangentenburde alt være klart på vårt egetdomene, og energien kan brukespå å videreutvikle siden. Vedtekteneog annen fast informasjonhar sin selvsagte plass på sidensom også er forsynt med linker tilandre interessante adresser.Informasjon om landslagets aktivitetersamt artikler og bilder frakurs og konferanser kan forhåpentliggi et bilde av hvordan viarbeider og hva vi prioriterer.Lokallag legger også ut informasjonom møter på internettsiden.En matematikkoppgave somskiftes ut i alle fall nesten hvermåned har vi også fått plass til.Har du forslag til en liten oppgaveer det bare å sende deninn. Og har du forslag til forbedringerav siden, er selvsagt ogsåde velkomne.LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 49

Riv ned gjerdene!Svein H. TorkildsenForestill deg drøyt 400 godtvoksne mennesker som sitter ogstirrer mot taket i Folkets hus iOslo. Hver og en har omhyggeligknyttet knute på en papirstrimmelog fått erfare at det dannes enregulær femkant. Ved hjelp avtaklyset som skinner gjennompapiret trer nå en femarmetstjerne fram i den regulære femkanten.En stille mumling gårgjennom salen. På scenen stården lune og rolige Geir Bottensom har regien på forsamlingensaktivitet.Og spør om han fikk oss med inni grenselandet mellom matematikkog kunst. Gjennom fine eksemplerfra naturen og denmenneskeskapte hverdagen fikkhan øynene opp hos noen hver.Her var det snakk om bier ogblomster – og fotballer. SelvPentagon ble avlagt en litenvisitt. Og hver og en av demange konferansedeltakernefikk også lage ei flott lita eske aven sirkulær papirbit. Det ble enavkortet trekantet pyramide avdet – med lokk!At Geir tok prisen blant bidragsyternepå konferansen «Riv nedgjerdene» får stå som min personligevurdering. Men det kom-mer tydelig fram av de 239evalueringsskjemaene som blelevert inn etter konferansen imars at mange var enige medmeg. Det var ellers varierendekvalitet over bidragene, og somrimelig er var det ikke full samstemmighetmellom deltakerneom hvem som var interessante.Annet er vel heller ikke å ventenår forsamlingen er en blandingav kunstnere, matematikere,kunstlærere, matematikklærereog allmennlærere. I en så sammensattforsamling vil naturligvisogså det utbyttet hver enkelt fårha sammenheng med egen kompetanseeller mangel på sådan –som en av deltakerne så treffendeformulerte seg påevalueringsskjemaet.Velformulert var i høyeste gradogså professor Trond Berg Erikseni sitt foredrag Ars sinescientia nihil. Mange var interesserti å få en utskrift av nettoppdet foredraget. Fellesrådet forkunstfagene i skolen – somhadde hovedansvaret for arrangementet– ser seg ikke i standtil å få ut en konferanserapport.Men det er meningen å legge50 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

foredragene ut på Skolenettet.Da kan vi også få helheten iSvein Sjøbergs foredrag om«Realistens kalde kroppsspråk»som dessverre ble sterkt amputertpå grunn av tidssprekken iprogrammet. Mange følte medforedragsholderen som ble tvungettil å improvisere.Flere av konferansedeltakernepeker på at tidsprogrammet varnoe strengt med lange økter ogkorte pauser. Det ble lite tid til ådyrke gamle og stifte nye bekjentskaper,og det opplevermange som viktig på en konferanseav denne type. Ved enseinere anledning er nok detteen innvending det bør legges storvekt på imøtekomme. De uformellesamtalene mellom engasjertedeltakere er ofte en likestor inspirasjon som de mer formelleinnleggene.Av de 239 som leverteevalueringsskjema var langt defleste kvinner (177) og majoritetenover 35 år (193). 113 arbeideti grunnskolen, 87 i videregåendeskole og 36 på høyskole/universitet. Resten arbeidet iadministrasjon, annen offentligeller privat virksomhet. 105hadde matematikkfaglig og 109kunstfaglig bakgrunn. Det var 70allmennlærere og 30 med annenbakgrunn. Flere av deltakernehar altså mer enn ett bein å ståpå. Det må være et komplimenttil de som har stått for konferansenat 115 i denne bredt sammensatteforsamlingen ga en5’er for helheten i konferansen.31 ga en 6’er – meget godt.Hva mer hadde deltakerne påhjertet etter konferansen? Jegsiterer et utvalg av de mangepositive uttalelsene:· Etter R-94 er dette det førstekurset jeg får være med påsom tar for seg disse viktigedelene av læreplanen. Vitrenger slike innspill for å fået eieforhold til deler av læreplanen.Vi lærere kan væreen «treg masse». Vi trengerbare ordentlig input for åkomme i gang.· Flott og inspirerende!· Dette må gjentas. Dette girenergi!· Gjenta dette, helst årlig, mentil en lavere pris.· Det beste seminar jeg harvært med på!· jeg føler jeg har fått en gavepakkefra skolen for å dra hit.· Viktig konferanse i en forvirrendetid – mye nytt/uliketolkinger av planer osv.· Jeg skulle ønske hele kollegietmitt hadde vært her.· Gir håp om at skolen bevegerseg i riktig retning.Men skepsisen ligger også underhos enkelte:· Jeg var noen ganger uroligfor en mulig faglig overflatiskhet.Det er ikke nok å si«sirkel» og «kvadrat», så erdet automatisk matematikk.· Jeg ser en liten fare:Matematikklæreren kangjerne la kjedsomhetenkomme inn i vårt fag ved åforklare for mye, ta vekkspenningen. Han må ogsåvære interessert i form oginnlevelse – på samme måtesom formgiveren må ha respektfor tallenes betydning –og skjønnhet!· Seminaret var preget av forlite kunnskap i kunst oghåndverk. Ta med fagfolk iseinere prosjekt. Spre kunnskap!Noen peker på andre problemdet er verd å merke seg:· Dette har jeg venta på! MenLANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 51

de fleste er ikke DER – reddefor mer bunden tid til planlegging/merarbeid.· Jeg måtte betale over halvpartenselv, og ingen flerefikk delta.Og så har vi da en som riktig slårtil: «Gjerdene er revet. Nå kommerulven og tar alle sauene.»Nettopp denne kommentarenkan minne oss om at kombinasjonenav fag ikke er uproblematisk.Men det hadde vært interessantmed en nærmere begrunnelsefra denne konferansedeltakeren.Det kan bli en interessantdebatt av det i Tangenten.Jeg synes LAMIS har all grunn tilå være tilfreds med konferansenog samarbeidet med Fellesrådetfor kunstfagene i skolen (FKS).De LAMIS-medlemmene som vari ilden under konferansen, haralle kommet godt ut avkonferansedeltakernes evaluering.En ekstra honnør fortjenerGunnar Nordberg og Ida HeibergSolem som har representertLAMIS i forberedelsene og gjennomføringenav konferansen. Devil også fortsatt holde kontaktmed FKS.52 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

Videre utvikling av LAMISGerd NilsenSist skoleår ble medlemmene iLAMIS bedt om å mene noe omden videre utvikling av «Landslagetfor matematikk i skolen».Her følger en kortfattet oppsummeringav undersøkelsen. Tallenebygger på svar fra 166 medlemmer.I Tangenten har LAMIS noensider hvor de gir informasjon bl.a.om styrets arbeid med mer.Spørsmål 1 gikk på hvordanman er fornøyd med den informasjonensom blir gitt på denevnte sidene i Tangenten og hersvarer 75 % på at de er godtfornøyd og resten at de ermellomfornøyd.Spørsmål 2 lød som følger:«Hva slags stoff for øvrig setterdu mest pris på i Tangenten».Her måtte man gjerne sette flerekryss.Av 5 nevnte områder var det 2–3som pekte seg klart ut som detmedlemmene verdsatte høyest:78 % vil gjerne ha artikler sombeskriver arbeid i klasserommet70 % setter stor pris på fagligeartikler om matematiske temaer60 % vil gjerne ha oppgavesider31 % liker at det debatteres matematikki bladet30 % setter pris på bokomtalerFlere nevner under kommentarenetil dette spørsmålet at deliker variasjonen i bladet og derforkrysser av på det meste.Andre igjen sier at dette medtips om differensierings-muligheterer noe man bør få mer av,hvis mulig. «Gleder meg til nestenummer av Tangenten» sies ogsåav flere.Spørsmål 3 «Synes du etableringav lokallag bør være en prioritertoppgave?35 % svarer ja23 % svarer nei42 % svarer vet ikkeKommentarene som går igjen herer at dette er sterkt avhengig avildsjeler som kan risikere åbrenne ut.Det bør kanskje begrenses tilstørre steder hvor konsentrasjonenav matematikklærere errelativt høy.Noen kommenterer at en møteplassfor matematikklærerehadde vært fint å ha.Spørsmål 4: «Hva slags aktivitetersynes du et lokallag skal prioritere?»Av de som svarte her mente63 % at lokallaget skulle ha kursfor alle interesserte og ikke baremedlemmene.Like mange mente at det skullearrangeres medlemsmøter medmatematikkaktiviteter34 % krysset av for at debattmøterhadde vært interessant.PS! For den våkne matematikernevnes bare at man her kunnekrysse av ved flere alternativer.Spørsmål 5 gikk på om medlemmenesynes at arbeidet om åutarbeide et lite oppgavehefteburde være en prioritert oppgaveder styret også ber om innspill framedlemmene. Dette oppgavehefteter da tenkt å kunne brukespå flere nivå.Her svarer 82 % at de synesdette er en god ide3 % svarer nei15 % vet ikkeKommentarer her gikk på; flottide, håper mange kommer medoppgaveforslag, kanskje et forlagburde ta på seg jobben, hva omLAMIS og SUE kunne samarbeidether, et godt supplement somvil være å ta L-97 på alvor.LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 53

Inntrykk fra IslandMarianne Thorrud VikeJeg har aldri vært påmatematikkonferanse før, menvar en av de heldige som fikkstøtte fra LAMIS til å være medpå denne konferansen. Forventningeneom både faglig utbytteog natur- og kulturopplevelser fraIsland ble oppfylt.Arrangørene hadde tenkt påbegge deler fra begynnelse tilslutt. Jeg sitter igjen med mangeopplevelser fra Island, mye matnyttigfaglig påfyll og mer kunnskapom hva de andre nordiskelandene foretar seg påmatematikkfronten.Konferansen ble holdt i en litenby, Borgarnes, med historisk susfra sagatiden.Faglig delHer var det lagt opp til en variasjonmed foredrag, diskusjonerog verksteder. Jeg for min delhadde mest utbytte av verkstedenejeg valgte å være med på.Programmet var lagt opp slik at vihadde muligheter til å velge. Detvar flott, men jeg fikk ikke medmeg alt jeg hadde lyst til. Variasjonenav temaer som ble tattopp på de ulike verkstedene varstor. De faglig ansvarlige for detteprogrammet hadde vært flinke tilFoto: Kurt Klunglandå treffe temaer, og jeg fikk stortutbytte av å delta på verkstederom for eksempel algebra ogsannsynlighet og statistikk. Detga meg mye å reflektere over iforhold til L 97 og mye som jegkan bruke rett inn i undervisningenmin. Det er slik vi fotfolket(jeg er matematikklærer på ungdomsskolen)liker å ha det når vier på «kurs». Jeg fikk også bekreftelsepå at andre har prøvd utog kommet til samme konklusjonsom meg: Det er viktig med utforskingog andre type oppgaver itillegg til tradisjonellematematikkoppgaver vi kjennerfra før for å få med oss flere avelevene. Kanskje de også vilsynes at matematikk er GØY.Det var også fokusert påorganiseringsformer, hvordankomme bort fra lærerrollen og gåinn i veilederrollen? Her fikk jegmange ideer og tips under konferansen.Det var også god tid til diskusjonerbåde innenfor programmerteposter og utenom disse.Kulturell delDen kulturelle biten var også54 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

nøye gjennomtenkt, og disseinntrykkene vil sitte for bestandig.Jeg som alltid har drømt om åreise til Island fikk med megmange av severdighetene landeter kjent for. Noen fikk til og medoppleve jordskjelv. Jeg kom endag for sent til denne opplevelsen.Men åpningssermonien påÞingvellir fikk jeg med meg, enflott start på det hele. Andre opplevelservar å få besøke hjemstedettil Snorri Sturlason. Her fikk vien fyldig innformasjon om dettestedets historie av presten oghans fru som nok var svært såglade i og stolte av stedet sitt.Varme kilder ble besøkt og vi fikkogså smake vann med CO 2rettfra kilden. Jeg og mange andrebenyttet også anledningen til å tamed oss noen biter av Island. Detble plukket lava i stor stil på enav våre utflukter som et bevis påat vi hadde vært der. Sankthansdagenbød på mange opplevelsersom skjerpet flere av sansenevåre. Det å smake på råtten haivar en av dem, en selsom rettsom ble servert på en gård utmot Breiðarfjörður. Den vil blihusket, men jeg er ikke sikker påom den opplevelsen blir gjentatt.På samme sted fikk vi ogsåFoto: Kurt Klunglandbesøke denlille gårdenskirke. Bondensom eidekirken varomviser.Mange gamlegjenstanderble vist frammens eierenfortalte historienom dem.Samme kveldfikk vi en flottnaturopplevelsemed båtpå Breiðarfjörður.Vi fikk se havørn, lundefuglog mange slags blomstersom vokste på øyene i fjorden.Senere på kvelden var det etfantastisk måltid med alt somhavet kan by på. Det mest spesiellevar det å få smake på lundefugl.Denne sankthansdagen vilbli et godt minne for livet. Til ogmed solen var med oss underhele oppholdet. Islendingene varlike overrasket som oss over såmye fint vær.Festmiddagen den siste kveldenble slik det sto i programmet,underholdning fra deltagere, fraden lokale folkedansgruppen ogdans og moro til langt på natt.Det jeg sitter igjen med fra dennekonferansen er rikt utvalg avideer til min egen matematikkundervisningog bedre grunnlagtil å forbedre denne. Det varutrolig morsomt å få være med iet nordisk matematikkmiljø. Detga meg også enorm lyst til åengasjere meg mer for dettefaget. Det blir nok ikke sistegang dere ser meg.Hilsen en heldig lærer som fikkvære med på dette.LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 55

Med 7. klasse til NordfjordeidTurid Nørving7. klasse på Kirkebygden skole iVåler, Østfold var heldige ogskulle få prøve et leirskoleoppholdved Sophus Lie-senteret/Fjordanefolkehøgskole. 20spente elever, to foreldre ogklassens lærer dro med buss fraskolen mandag 4. juni om morgenen.En lang busstur ventet.Denne gikk mye bedre enn noenkunne tro på forhånd. En behageligbuss, en grei sjåfør, trevideofilmer og bra vær bidro tildette. Framme i Nordfjordeidventet en god middag, alle varfornøyd med både mat og rom.Neste dag, tirsdag, begynte «alvoret»,selve leirskolen. Klassenble delt i grupper, den enegruppa arbeidet med planetene ivårt solsystem, de lagde også etfint solur. Den andre gruppajobba med hemmelige koder/kryptogrammer. Etter lunch gikkturen til Bjørkevika der det blirbygd vikingskip. Her fikk alle ut åro. Fem par årer i hvert skip, detvar ikke helt lett. Bading ble detogså tid til før vi skulle hjem igjentil middag. På kvelden var detsamling ved sjøen, bading, leirbålog allsang. Alle syntes de haddehatt en fin dag.Onsdag var det dragebygging,Pytagoras og kalkulatorlek somsto på planen. Etter lunch kunneelevene ri. Her hadde vi en avtalemed hestesenteret. De somikke skulle ri kunne velge fotball,dragebygging eller modellflybygging.De fleste guttene valgtefotball. Middagen i dag var grillingute i atriet. Her var vi sammenmed ti engelske elever som ogsåbodde på skolen denne uka.Ulike gruppeoppgaver ute, enliten samling inne, bra med fritidfør leggetid og oppholdet vårt varsnart over.Hjemover gikk turen overValdresflya, snø og nydelig vær.Alle elevene var godt fornøydmed turen og ganske trøtte ogslitne på skolen fredag.Til slutt noen betraktninger fraklassens lærer. I forkant av leirskolenhadde elevene arbeidetmed et prosjekt om Sophus Lie.De hadde også hatt besøk påskolen av Kristian Ranestad ogGeir Ellingsrud fra Universitetet iOslo.Turen Våler–Nordfjordeid er lang,ca 10–11 timers busstur, menden gikk veldig bra. Fjordanefolkehøgskole er fint egnet til etslikt opphold, men vi burde kanskjehatt noen regler om hvor ognår elevene kunne forlate skolen.Kanskje 7. klasse på våren ikkeer den helt «rette» klassen.Mange elever ser seg ferdig medskolen, og er mer interessert iskoletur enn i leirskole. Men - detvar ingen av elevene som villevært foruten denne turen. Tilturen fikk vi pengestøtte fra OddFellow Fondet, Moss, NorskeSivilingeniørers Forening og NITOØstfold. Vi fikk fire filmer plussframkalling av Moss Dagblad.Tusen takk til dem alle. En stortakk også til Henrik Kierkegaard,Bjørn Bjørneng og KristianRanestad som alle var flotte lærerefor oss.56 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN