Notat 5: Kompleks impedans

Inst. for fysikk 2012TFY4155/FY1003 Elektr. & magnetismeNotat 5: Kompleks impedansLærebøkene Young & Friedman (kap. 31) og Lillestøl, Hunderi og Lien (Kap 27) bruker ikke kompleks notasjon for ACkretser,kun sinus-cosinus-notasjon. Men begge presenterer fasediagram for harmoniske signal, så de er ganske nær kompleksnotasjon. Her følger en kort oppsummering av det som er presentert i forelesning om kompleks notasjon ifb. med harmoniskesignal, også kalt AC-signal. A.Mikkelsen 10. april 2012.Den komplekse størrelsene iωt =cosωt + i sin ωt (1)kan representeres med en viser i kompleksplanet. Kompleksplanet har realdel som abscisse (x-akse) og imaginærdelsom ordinat (y-akse). Viseren for (1) har lengde lik 1 og roterer rundt med vinkelfart ω. Realdelen varierer da somen cos-funksjon og imaginærdelen som en sin-funksjon som gitt i (1). Istedenfor V (t) =V 0 cos ωt osv. kan vi daenkelt bruke følgende uttrykk for harmonisk varierende signal:V (t) = V 0 e iωt (2)I(t) = I 0 e iωt . (3)Her må vi tillate amplitudene V 0 og I 0 å være komplekse størrelser,V 0 = |V 0 |e iα , (4)I 0 = |I 0 |e iβ . (5)Viserne for V 0 og I 0 framkommer i figuren til høyre. Viserne for V (t) ogI(t) roterer rundt med vinkelfart ω, ogposisjonenvedt =0ervistmedhenholdsvis V 0 og I 0 ifiguren.Im . .✁ ✁✕ V 0|V ✁ ✁ 0 |✁|I 0 | I 0✁ ✁ .α✏✁✏✏✏✏✏✏✏✶ .β..ReKretsens impedans Z blir uavhengig av tida og er en kompleks størrelse:Z def = V (t)I(t) = V 0= |V 0|I 0 |I 0 | ei(α−β) = |Z|e iφ . (6)Dvs. den komplekse impedansen har innebygd informasjon om både forholdet mellom strømmens og spenningensamplitude |Z| = |V 0 |/|I 0 |, og faseforskyvningen φ = α − β mellom påtrykt spenning og resulterende strøm! Smart!Vi velger ofte α =0(bekvemthvisV er pådraget), men vi kan alternativt velge β =0(hvisI er pådraget).Regneteknisk: Poenget er at den deriverte av eksponentialfunksjonen er eksponentialfunksjonen selv. Dermed vilalle ledd i ligningen(e) som følger når vi anvender Kirchhoffs regler, ha samme tidsavhengige faktor e iωt ,somdermed kan forkortes uten videre. Vi slipper å styre og herje med å skrive om trigonometriske funksjoner for åbestemme |Z| og φ.Eksempel: RLC-krets med vekselspenningskilde V (t) =V 0 e iωt :For RLC-kretsen er spenningen over de ulike komponenter:IRV R (t) =RI(t) ⇒ Z R = V RI= RV ~L(3)V L (t) =Lİ(t) = LiωI(t) ⇒ Z L = V LCI= iωLV C = Q C /C ⇒ Z C = V CI=1/iωC.Siste uttrykk har vi fått ved bl.a. derivasjon:˙V C = ˙Q C /C = I/C (2)⇒ iωV C = I/C ⇒ Z C = V CI=1/iωC.Kirchhoffs spenningslov for kretsen girV (t) =V R (t)+V L (t)+V C =(R + iωL +1/iωC)I(t) =ZI(t)hvor den komplekse impedansen erZ = Z R + Z L + Z C = R + iωL +1/iωC = R + i (ωL − 1/ωC) (7)√( )med |Z| = R 2 +(ωL − 1/ωC) 2 ωL − 1/ωCog φ =argZ =arctan. (8)R(forts.)TFY4155/FY1003 – s.1

Strømmens komplekse amplitude erellerI 0 = V 0Z = V 0R + iωL +1/iωC , (9)I 0 = |V 0|e iα|Z|e iφ = |V 0 |√R 2 +(ωL − 1/ωC) 2 e i(α−φ) = |I 0 |e iβ (10)Oppsummert:Impedans for motstand R:Impedans for induktans L:Impedans for kapasitans C:Z R = RZ L = iωL = e iπ/2 ωLZ C =1/iωC = e −iπ/2 /ωC.Strøm gjennom induktans (I = V L /Z L )eraltså faseforskjøvet π/2 etter spenningen og |I 0 |→0når ω →∞.Strøm gjennom kapasitans (I = V C /Z C ) er faseforskjøvet π/2 foran spenningen og |I 0 |→0når ω → 0.Disse uttrykkene kan du selv overbevise deg om ved åsepå tre kretser hver for seg, med en spenningskilde V 0 e iωtkoblet til hhv. en motstand, en induktans og en kapasitans.Seriekopling: Merk at den komplekse impedansen (7) ganske enkelt er en sum av enkeltimpedansene Z R , Z Log Z C . Dvs: Samme regel for seriekobling av komplekse impedanser i AC-kretser som for seriekoblede resistanser iDC-kretser!Parallellkopling: Da er det nok ingen overraskelse at vi også har samme regel for parallellkobling av komplekseimpedanser i AC-kretser som for parallellkobling av vanlige resistanser i DC-kretser. Eksempel: Total impedans ien krets med en R, L og C koblet i parallell er gitt ved1Z = 1 + 1 + 1 = 1 Z R Z L Z C R + 1iωL + iωCMerknad: Idet vi slår på spenningen V (t) (medenbryter)får vi et “innsvingningsforløp” som ikke er harmonisk. Vi ernormalt ikke interessert i dette, og betrakter derfor kun den harmoniske løsningen. Som kjent er en løsning av en diff.likning,som Kirchhoff 2 er, sammensatt av av en partikulær og en homogen løsning. Vi er her bare interessert i den partikulæreløsningen med V (t) = V 0e iωt som pådrag. Dvs. vi betrakter kun “tvungne” svingninger, dvs. svingninger med samme(vinkel-)frekvens som påtrykt spenning.Resonans i RLC-kretsenRLC-kretsen beskrevet over gir resonans ved en bestemt frekvens ω 0 for pådraget. Denne frekvensen er bestemt avat strømamplituden |I 0 | blir veldig stor, som vi finner fra likn. (10):I 0 maksimum ⇒ R 2 +(ωL − 1/ωC) 2 = minimum ⇒ ω = √ 1/LC = ω 0 (11)I 01/ LCstor Rmiddels Rliten RωFiguren viser hvordan |I 0 | varierer med ω ifølge likn.(10) for hhv. stor, middels og liten verdi for resistansenR. Ved ω = ω 0 får vi maksimal amplitudepå strømmen med |I 0 | = |V 0 |/R. Vihardaresonans.Frekvensen til den påtrykte spenningen ”matcher” daden elektriske kretsens “naturlige frekvens” ω 0 .For riktig lave frekvenser (ω ≪ ω 0 ) representerer kondensatoren et brudd i en tilnærmet likestrømkrets. Da er detikke urimelig at I 0 → 0. For riktig høye frekvenser (ω ≫ ω 0 ) blir indusert motspenning i induktansen L stor selvuten strøm av betydning. Da er det heller ikke urimelig at I 0 → 0 i denne grensen.TFY4155/FY1003 – s.2