Integralregning 1. del

Integralregning 

( 2) 

1 

1. del 

M 

f 

1 

l 

( 1) 

2006 Karsten Juul

Indhold 

1. Stamfunktion...............................................................................................................1 

1.02 OplÄg om stamfunktion ...........................................................................................1 

1.04 Definition af stamfunktion .......................................................................................2 

1.06 Kontrol af stamfunktion ...........................................................................................2 

1.09 SÄtning om stamfunktionerne til en funktion ..........................................................3 

1.11 Definition af ubestemt integral.................................................................................4 

1.13 Kontrol af ubestemt integral.....................................................................................4 

2. Bestemme stamfunktion.............................................................................................5 

2.02 Oversigt over stamfunktioner ...................................................................................5 

2.06 Regneregler for stamfunktioner................................................................................7 

2.11 Bestemme stamfunktion pÅ TI-89's hovedskÄrm.....................................................8 

2.13 Finde en bestemt af stamfunktionerne til en funktion ..............................................9 

2.16 Kontrol pÅ TI-89 af resultat fra ramme 2.13 .........................................................10 

3. Stamfunktion og areal..............................................................................................12 

3.02 Arealfunktion. Definition og sÄtning....................................................................13 

3.03 Bestemme areal med stamfunktion ........................................................................14 

4. Bestemt integral ........................................................................................................15 

4.01 Bestemt integral. Definition og geometrisk fortolkning........................................15 

4.02 Beregne bestemt integral ........................................................................................16 

4.05 Udregne bestemt integral pÅ TI-89's hovedskÄrm .................................................17 

4.07 Besvare opgave med fortolkning af integral...........................................................17 

4.10 Bestemme integral ud fra arealer............................................................................18 

5. Bestemme areal.........................................................................................................20 

5.01 Areal mellem graf og 1.akse. Graf vist, grÄnser oplyst ........................................20 

5.04 Areal mellem graf og 1.akse. Graf vist, grÄnse ej oplyst......................................21 

5.06 Areal mellem graf og 1.akse. Graf ej vist, grÄnser ej oplyst ................................22 

5.09 Areal mellem to grafer. Beskrivelse af metoden ...................................................24 

5.10 Areal mellem to grafer. Graf vist, grÄnser oplyst .................................................25 

5.11 Areal mellem to grafer. Graf ej vist, grÄnser ej oplyst .........................................26 

Nyere hÄfter m.m.: Klik pÄ sidste del af linket! 

http://mat1.dk/integralregning_med_oevelser_for_b-niveau_i_gymnasiet_og_hf.pdf 4/12-11 

http://mat1.dk/integration_uden_hjaelpemidler_for_stx-matB_og_hf-matB.pdf 10/9-11 

http://mat1.dk/integralregning_for_gymnasiet_og_hf.pdf 1/5-11 

http://mat1.dk/integralregn2del.pdf 7/1-7 

Integralregning 1. del, 1. udgave 2006, Ç 2006 Karsten Juul 

Dette hÄfte kan downloades fra 

www.mat1.dk 

HÄftet mÅ benyttes i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail til 

kj@mat1.dk som oplyser at dette hÄfte benyttes (skriv filnavn), og oplyser om hold, 

niveau, lÄrer og skole.

1. Stamfunktion 

1.01 Åvelse 

Bestem ved aflÄsning pÅ figur 1a: 

(1) g�( 4) 

og f ( 4) 

. 

(2) g�( 0) 

og f ( 0) 

. 

1.02 OplÇg om stamfunktion 

Figur 1a viser graferne for funktionerne f (x) 

og g (x) 

. 

Da l 's hÄldningskoefficient er 1, er 

g �( 

2) 

� 1 . 

Da P 's andenkoordinat er 1, er 

f ( 2) 

� 1 . 

NÅr x� 2 gÄlder altsÅ 

( * ) g� ( x) 

� f ( x) 

. 

Hvis man foretager tilsvarende aflÄsninger for 

en anden vÄrdi af x , vil man finde at ( * ) ogsÅ 

gÄlder for denne vÄrdi af x . 


(a) Angiv to funktioner hvis differentialkvotient er 2 x . 

(b) Angiv to funktioner hvis differentialkvotient er 2x �1. 

Figur 1a 

Integralregning Side 1 2006 Karsten Juul

1.04 Definition af stamfunktion 

(1b) Definition 

At 

Eksempel 

betyder et 

F(x) er en stamfunktion til f (x) 

F� ( x) 

� f ( x) 

. 

Differentialkvotienten af 3 

x er 

3 

differentialkvotienten af x � 5 er 

bÅde 3 

3 � 

2 

3x , og 

2 

3x , sÅ 

x og x 5 er stamfunktioner til 


2 

3x . 

Figur 1c viser graferne for fire funktioner. Det oplyses at enhver af funktionerne f , g 

og h er stamfunktion til en af funktionerne f , g , h og p . AfgÉr for hver af 

funktionerne f , g og h hvilken funktion den er stamfunktion til. 

(2) (2) (2) (2) 

f 

1 

1 

g 

(1) 

h 1 

1 

p 

1 

1 

(1) 

1 

1 

(1) 

1.06 Kontrol af stamfunktion 

Figur 1c 

1 2 3 

x 

6 

Vi vil undersÉge om g( x) 

� ( 3x 

� 2 ) er en stamfunktion til 

Integralregning Side 2 2006 Karsten Juul 

2 

f ( x) 

� x� 

x . 

IfÉlge definition (1b) skal vi bestemme differentialkvotienten af g(x) og se om 

resultatet er lig f (x) 

: 

g� ( x) 

� 1 ( 3� 

2x� 

2� 

3x 

) � 1 ( 6x� 

6x 

) . 

6 

Ved at gange 1 ind i parentesen ses at dette er lig f (x) 

, sÅ 

6 

g(x) er en stamfunktion til f (x) 

. 

2 

6 

2 

(1)


Brug metoden fra ramme 1.06 til at besvare fÉlgende tre spÉrgsmÅl: 

(a) UndersÉg om 

4x 

x� 

e 

g( 

x) 

� er en stamfunktion til 

4 

(b) UndersÉg om g x � � x 

x 

1 

( ) er en stamfunktion til 

(c) GÉr rede for at g( x) 

� x� 

ln x er en stamfunktion til 



4x 

f ( x) 

� 1� 

e . 

2 

�1 

2 

x 

f ( x) 

� . 

x 

x� 

1 

f ( x) 

� . 

x 

GÄt en stamfunktion til hver af fÉlgende funktioner, og brug metoden fra ramme 1.06 

til at kontrollere om du har gÄttet rigtigt: 

3 

f ( x) 

� x , 

4 

g( x) 

� x og 

n 

h( x) 

� x . 

1.09 SÇtning om stamfunktionerne til en funktion 

(1c) SÇtning 

Lad F(x) og f (x) 

vÄre funktioner hvis definitionsmÄngde 

er et interval I . 

Hvis 


gÄlder for enhver konstant k at 

og 

F( x) 

� k er en stamfunktion til f (x) 

f (x) 

har ikke andre stamfunktioner end disse. 

SÇtning (1c) kan ogsÄ formuleres sÄdan: Graferne for stamfunktionerne 

til en funktion er de grafer der kan fÅs ved lodret 

forskydning af Ñn af stamfunktionernes grafer. 

PÅ figur 1d er vist graferne for nogle af stamfunktionerne til 

funktionen f ( x) 

� 3� 

1 x . 


2 

2 

Lad m , n , p og q vÄre funktionerne fra ramme 1.09. Bestem uden at regne tallene 

17 n 17 

2 2 

m ( 3) 

, n( 3) 

� m( 

3) 

, n( 8) 

� m( 

8) 

og p( ) � ( ) . 

Figur 1d 

q 

p 

n 

m

1.11 Definition af ubestemt integral 

(1e) Definition af ubestemt integral 

Stamfunktionerne til en funktion f (x) 

betegnes 

f ( x) 

dx � 

og kaldes det ubestemte integral af f (x) 

. Funktionen der stÅr mellem det lange s 

og dx kaldes integranden. 

Eksempler 

3 

x dx � 1 4 

x � k � 4 

1 

dx � ln x� 

k � x 

. 

, x � 0 . 

1.12 Åvelse (uden hjÄlpemidler) 

Brug metoden fra ramme 1.06 og sÄtning (1c) til at gÉre rede for at 

� 

3 

1 

2 

( 2x 

� 4) 

dx � x � 4x� 

k 

1.13 Kontrol af ubestemt integral 

Vi vil undersÉge om 

( * ) x� 

( 1� 

x) 

dx � x � x � k . � 

1 

2 

2 

4 

1 

3 

3 

IfÉlge metoden fra ramme 1.06 og sÄtning (1c) gÄlder ( * ) hvis differentialkvotienten 

af hÉjresiden er lig integranden. Af reglerne for at bestemme differentialkvotient fÅs at 

hÉjresidens differentialkvotient er 

1 � 1� 

3 

2 3 

2 

� 2 x x � x� 

x . 

SÄttes heri x uden for en parentes fÅs integranden, sÅ ( * ) gÄlder. 


Brug metoden fra ramme 1.13 til at kontrollere om 

� 

�2 

( 

2 

� 

2 

) dx � 2ln 

x� 

x � k , x � 0 . 

x x3 

2 

. 


2. Bestemme stamfunktion 

2.01 Åvelse 

(a) Bestem differentialkvotienten af 

4 

4x 

1 e � 


3 

2 

og af 

1 �0, 

2x 

e 

0, 

2 

� . 

(b) I (a) har du vist at de to givne funktioner er stamfunktioner til to andre funktioner 

(se definition 1b). Ud fra dette skal du gÄtte og formulere en regel til at bestemme 

stamfunktioner til en bestemt type funktioner. 

2.02 Oversigt over stamfunktioner 

I skemaet er k og c konstanter. 

1 

x 

1 

x 

Funktion Stamfunktionerne 

, 

, 

0 c 

k k�x � c 

1 

2 

x x � c 

1 

x� 

0 

x� 

0 

x 

x 

a 

x 

x 

a 

x 

2 

ln x � 

ln( � x) � 

c 

2 x x � 

3 

2 

x � 

x a 1 �1 

a�1 

a x 1 

lna 

x � 

e e c 

k x 

e 

1 

k 

e 

k x 

ln x 

x ln x� 

x � c 

cos x 

sin x � c 

sin x 

� 

� 

c 

� 

� cos 

x � 

c 

c 

c 

c 

c 

c

2.03 Åvelse 

Omskriv x til formen a 

x . Brug sÅ reglen for stamfunktion til a 

x (se ramme 2.02) til 

at bestemme stamfunktionerne til x , og vis at de kan skrives pÅ den form som er 

angivet i ramme 2.02. 

2.04 Åvelse 

GÉr rede for hvordan reglerne i ramme 2.02 kan bruges til at bestemme 

stamfunktionerne til fÉlgende tre funktioner: 

1 

f ( x) 

� , 

2 

2.05 Åvelse 

(a) Som bekendt gÄlder at 

og at 

(b) ReducÑr 

�x 

2 

x er en stamfunktion til 2x 

3 

x er en stamfunktion til 

2 

g( 

x) 

� e og h( x) 

� e . 

2 

3x . 

2 3 

x � x , og brug metoden fra 1.06 til at gÉre rede for at der gÄlder 

2 3 

x � x er IKKE en stamfunktion til 

(c) Brug metoden fra 1.06 til at gÉre rede for 

om 

2 3 

x � x er en stamfunktion til 

(d) Brug metoden fra 1.06 til at gÉre rede for 

om 

x 

x 

2 

3 

er en stamfunktion til 

(e) Brug metoden fra 1.06 til at gÉre rede for 

om 

2 x 

2 

x� 3 . 

2 x 

2 

x� 3 ? 


2x 

3x 

2 3 

x � x er en stamfunktion til 

2 

? 

2 x 

x 

2 

x� 3 ?

2.06 Regneregler for stamfunktioner 

SÇtning 

Hvis f (x) 

og g(x) har stamfunktionerne F(x) og G (x) 

, sÅ gÄlder: 

(2a) f ( x) 

� g( 

x) 

har stamfunktionen F( x) 

� G( 

x) 

. 

(2b) f ( x) 

� g( 

x) 

har stamfunktionen F( x) 

� G( 

x) 

. 

(2c) k� f (x) 

har stamfunktionen k� F(x) 

. 

Advarsel: Hvis man i (2a) erstatter plus med gange eller med dividere, sÅ fÅs en regel 

der i de fleste tilfÄlde vil give et forkert resultat. 

Eksempel 

sÅ af (2a) fÅs at 

2 

x og 

x 

Af (2b) og (2c) fÅs: 

2 

2.07 Åvelse 

2 

4x 

4x 

4x 

e har stamfunktionerne 

� e har stamfunktionen 

6 x � e har stamfunktionen 


3 

3 

1 x og 

1 3 4x 

x 1 e 

3 4 

� . 

4 

4x 

1 e , 

1 3 4x 

3 4x 

x � 1 e � 2x 

1 e 

3 4 

4 

6� � . 

(a) Brug reglerne i 2.02 og 2.06 til at finde en af stamfunktionerne til hver af fÉlgende 

funktioner: 

(1) 

(5) 

2 x 

x 

x � e (2) 4e � 9 

2x 

1� 3e 

(6) 

(3) 

2 3 x 

x � x (7) 

2 

2 

8 x (4) 

2 

(8) 

2 

2 

1 x � 2x� (b) Brug reglerne i 2.02 og 2.06 til at finde alle stamfunktionerne til funktionen 

2.08 Åvelse 

f ( x) 

� x� 

1 

, x � 0 . 

x 

(a) Brug reglerne i 2.02 og 2.06 til at finde en af stamfunktionerne til hver af fÉlgende 

funktioner: 

3x 

� 

3 

�2x (1) 2 e x (2) 2x 

� e � 2 (3) 4e 

x 4x 

. 

1 

x3 

. 

x �4 

� � 

2 

3

2.09 Åvelse (uden hjÄlpemidler) 

(a) Bestem x � 6x� 

2) 

dx . � 

( 2 

2x 

(b) Bestem ( 4e 

� x) 

dx . � 

(c) Bestem � 

�3 x dx 

2 , x � 0 . 


2 

3x 

(a) Bestem ( 6x 

� 3e 

� ) dx . � 

(b) Bestem � 

�x 

1 

2 

( � e ) dx 

1 , x � 0 . 

(c) Bestem ( 2x 

� x �1) 

dx . � 

x 

3 

2 

2.11 Bestemme stamfunktion pÄ TI-89's hovedskÇrm 

PÄ hovedskÅrmen, der fÄs frem ved at taste HOME, kan en stamfunktion 

bestemmes ved hjÅlp af det integraltegn der stÄr over 

7-tasten. 

x 

Fx kan en stamfunktion til x� e bestemmes ved at taste som 

vist pÄ figur 2d. BemÅrk at man efter forskriften skal taste et komma 

efterfulgt af den uafhÅngige variabel. 

PÅ figur 2d er bestemt Ñn af stamfunktionerne 

x 

til x� e . Det ses at 

stamfunktionerne til 

Dette kan ogsÅ skrives sÅdan: 

x 

x 

x� 

e dx � ( x� 

1) 

�e 

� k . � 

2.12 Åvelse 

x 

x 

x�e er ( x� 

1) 

�e 

� k . 

(a) UdfÉr det der er beskrevet i ramme 2.09 . 

2 

(b) Bestem stamfunktionerne til x � ln x . 

Figur 2d 


2.13 Finde en bestemt af stamfunktionerne til en funktion 

Opgave 1 (Punkt pÅ stamfunktions graf er kendt) 

Bestem den stamfunktion F til f ( x) 

� 2x� 

3 hvis graf gÅr gennem punktet ( � 1, 

�6) 

. 

Besvarelse 

Da F er en stamfunktion til f ( x) 

� 2x� 

3 , findes en konstant k sÅ 

2 

F( x) 

� x � 3x� 

k . 

Da grafen for F gÅr gennem punktet ( � 1, 

�6) 

, mÅ 

2 

( �1) � 3�( 

�1) 

� k 

sÅ k �� 

4 , dvs. 

2 

F( 

x) 

� x � 3x� 

4 

� 

�6 

med alle reelle tal som definitionsmÄngde. 

Opgave 2 (Tangent til stamfunktions graf er kendt) 

Bestem den stamfunktion F til f ( x) 

� 2x� 

3 hvis graf har linjen med ligningen 

y� x� 

5 som tangent. 

Besvarelse 

Da F er en stamfunktion til f ( x) 

� 2x� 

3 , findes en konstant k sÅ 

2 

F( x) 

� x � 3x� 

k . 

Tangenten med ligningen y� x� 

5 har hÄldningskoefficienten a � 1. 

FÉrstekoordinaten x0 til rÉringspunktet for tangenten bestemmes: 

F� x ) � 

2x0 x 

0 

( 0 

� 3 � 

� 

�1 

a 

1 

Da rÉringspunktet ligger pÅ linjen med ligningen y � x� 

5, 

er dets andenkoordinat 

y � x � 5 � ( �1) 

� 5 � �6 

. 

0 

0 

Da rÉringspunktet ligger pÅ grafen for F , kender vi nu et punkt pÅ grafen for F , sÅ vi 

kan bestemme F ved hjÄlp af metoden fra opgave 1. 


2.14 Åvelse (Uden hjÄlpemidler) 

En funktion f er bestemt ved 

2 � 

f ( x) 

� 3x 

1 . 

Bestem den stamfunktion F til f som opfylder F ( 1) 

� 0 . 

2.15 Åvelse 


f ( x) 

� 4x� 

8 . 

Bestem den stamfunktion F til f hvis graf har linjen med ligningen y� 3 som 

tangent. 

2.16 Kontrol pÄ TI-89 af resultat fra ramme 2.13 

2 

I ramme 1 fandt vi at F( x) 

� x � 3x� 

4 var den stamfunktion til f ( x) 

� 2x� 

3 hvis 

graf gÅr gennem ( � 1, 

�6) 

. Vi fÅr tegnet grafen for F pÅ lommeregneren og anbringer 

markÉren i grafpunktet med fÉrstekoordinat �1 som vist pÅ figur 2e. Det ses at punktets 

andenkoordinat er � 6 , som det skulle vÄre. 

Man fÄr anbragt markÇren i grafpunktet med fÇrstekoordinat -1 ved at vÅlge Math/Value og taste -1 ENTER . 

2 

I ramme 1 fandt vi at F( x) 

� x � 3x� 

4 var den stamfunktion til f ( x) 

� 2x� 

3 hvis 

graf har linjen med ligningen y� x� 

5 som tangent. PÅ lommeregneren tegner vi fÉrst 

grafen for F . Da fÉrstekoordinaten til tangentens rÉringspunkt viste sig at vÄre � 1, 

fÅr 

vi tegnet tangenten i grafpunktet med fÉrsteko1ordinat � 1. 

Som vist pÅ figur 2f ses at 

tangentens ligning er y � x� 

5, 

som den skulle vÄre. 

Man fÄr tangenten i grafpunktet med fÇrstekoordinat -1 ved at vÅlge Math/Tangent og taste -1 ENTER . 

Figur 2e Figur 2f 


2.17 Åvelse 


(b) KontrollÑr dine resultater i Évelserne 2.14 og 2.15 pÅ den mÅde som er beskrevet i 

ramme 2.16 . 



3 

f ( x) 

� x . 

Bestem den stamfunktion F til f hvis graf gÅr gennem punktet ( 2, 

9) 

. 

2.19 Åvelse 


f ( x) 

� �2x 

. 

Bestem den stamfunktion F til f hvis graf har linjen med ligningen y� 4x 

som 

tangent. 


3. Stamfunktion og areal 

3.01 Åvelse 

( 2) 

1 

1 

PÅ figur 3a vokser det skraverede areal A(x) nÅr vÄrdien af x Éges ved at trÄkke xpunktet 

mod hÉjre. 

(a) Hvad er A(x) nÅr x er 8, og nÅr x er 10? 

(b) Hvor meget Éges A(x) nÅr x Éges fra 8 til 10, og hvilken vÄksthastighed 

(arealenheder A(x) Éges med pr. enhed x Éges) svarer dette til? 

(c) Bestem vÄksthastigheden i hvert af intervallerne [ 8, 

5 ; 9, 

5] 

og [ 8, 

9 ; 9, 

1] 

. 

(d) GÄt vÄksthastigheden A�(x) i x � 9 . 

(e) Hvad er f ( 9) 

? 

(f) GÄt vÄksthastigheden A� ( 18) 

. 

(g) Hvad er f ( 18) 

? 

(h) Er A(x) voksende, og er A�(x) voksende? 

(i) Tegn grafen for en funktion g(x) i intervallet [ 0; 

8] 

hvor den tilhÉrende 

arealfunktion A(x) opfylder fÉlgende: 

(1) A �( 

2) 

� 3 . 

(2) A�(x) er voksende. 

A(x) 

3 x 

Figur 3a 

19 


f 

( 1)

3.02 Arealfunktion. Definition og sÄtning 

( 2) 

1 

1 

3 9 x 

Lad A(x) betegne arealet under f-grafen svarende til intervallet [ 3; 

x ] pÅ fÉrsteaksen. 

A(x) kaldes arealfunktionen. (Hvis grafen fx var tegnet i et interval der startede i 5, sÅ 

ville A(x) betegne arealet under f-grafen svarende til intervallet [ 5; 

x ] ). 

Den skraverede strimmel ved x� 9 har ca. samme areal som et rektangel med 

grundlinje 1 og hÉjde f ( 9) 

, sÅ omkring x� 9 vokser arealet A(x) med en hastighed pÅ 

ca. f ( 9) 

enheder pr. x-enhed: 

Med symboler kan dette skrives 

Vi vil senere bevise fÉlgende sÄtning: 

(3b) SÇtning om arealfunktion 

(vÄksthastigheden for A(x) i 9) � f ( 9) 

. 

A� ( 9) 

� f ( 9) 

. 

Om arealfunktionen A(x) for en funktion f (x) 

gÄlder: 

A� ( x) 

� f ( x) 

. 


f 

( 1)

3.03 Bestemme areal med stamfunktion 

(3c) SÇtning om areal og stamfunktion 

Hvis 

f ( x) 

� 0 for alle x i [ a; b] 

og 


, 

sÅ kan arealet S mellem 1.aksen og grafen i 

intervallet [ a ; b] 

(se figur 3d) beregnes sÅdan: 

Bevis for (3c) 

S � F( 

b) 

� F( 

a) 

. 

Lad A(x) vÄre arealfunktionen for f (x) 

. 

Da A(x) og F(x) er stamfunktion til samme funktion, findes en konstant k sÅ 

( * ) A( x) 

� F( 

x) 

� k . 

Nu fÅs 

S � A(b) 

IfÉlge definitionen pÅ arealfunktion. 

� A( b) 

� A( 

a) 

Da A ( a) 

� 0 . 

�F b) 

� k�� 

F( 

a � k� 

� ( ) 

IfÉlge ( * ) . 

� 

F( b) 

� F( 

a) 

Hermed er sÄtning (3c) bevist. 

3.04 Åvelse 

Figur 3e viser grafen for funktionen 

2 

f ( x) 

� 4� 

x , � 2� x � 2 . 

(a) Bestem en stamfunktion til f (x) 

. 

(b) Brug sÄtning 3c til at bestemme arealet 

af punktmÄngden der begrÄnses af 

grafen for f (x) 

og fÉrsteaksen. 

(c) Brug sÄtning 3c til at bestemme arealet 

af punktmÄngden der begrÄnses af 

grafen for 

2 

g( x) 

� 1� 

x og fÉrsteaksen. 


( 2) 

a b 

Figur 3d 

( 2) 

1 

S 

1 

Figur 3e 

f 

f 

( 1) 

( 1)

4. Bestemt integral 

4.01 Bestemt integral. Definition og geometrisk fortolkning 

(4a) Definition af bestemt integral 

Antag at f (x) 

er defineret i [ a; b] 

og har stamfunktionen F (x) 

. 

Tallet 

kaldes 

F( b) 

� F( 

a) 

integralet fra a til b af f (x) 

og betegnes med symbolet 

� b 

a 

f ( x) 

dx . 

f (x) 

kaldes integranden. 

BEMÖRK: Det er ikke krÄvet at f ( x) 

� 0 . 

(4b) SÇtning om areal og bestemt integral 

Hvis f (x) 

har en stamfunktion og 

sÅ gÄlder 

f ( x) 

� 0 for alle x i [ a; 

b] 

� b 

a 

( * ) f ( x) 

dx � arealet af M 

hvor M er omrÅdet mellem fÉrsteaksen 

og f-grafen i intervallet [ a ; b] 

(se figur 4c). 

Bevis for sÄtning (4b) 

Da 

og 

areal af M � F( b) 

� F( 

a) 

ifÉlge sÄtning (3c) 

� 

b 

f 

a 

( x) 

dx � F( 

b) 

� F( 

a) 

ifÉlge definition (4a) 

mÅ ( * ) gÄlde da de to tal der pÅstÅs at vÄre ens, begge er lig F( b) 

� F( 

a) 

. 


( 2) 

M 

a b 

Figur 4c 

f 

( 1)

4.02 Beregne bestemt integral 

Bestemme integral ved hjÇlp af definitionen f ( x) 

dx � F( 

b) 

� F( 

a) 

Vi vil beregne tallet 

4 

( * ) �� 1 

2 

( 6x 

� 5) 

dx . 

Da integranden har stamfunktionen 

2x 5x 

3 � 

fÅs af definitionen pÅ bestemt integral at ( * ) er 

3 

3 �2 4 �5�4�� 

�2�( �1) 

�5�( 

�1) 

� � 105 

� . 

b Skrive ovenstÄende ved hjÇlp af symbolet [ F( x)] 

a � F( 

b) 

� F( 

a) 

OvenstÅende kan skrives mere overskueligt ved at bruge symbolet � �b F x) 

betegner differensen F( b) 

� F( 

a) 

. SÅ kan udregningen skrives sÅdan: 

� 

4 

�1 

2 


� 

b 

a 

( som 

3 4 3 

3 

�2x �5x� 

� �2�4 �5�4�� 

�2�( �1) 

�5�( 

�1) 

� � 105 

( 6x 

� 5) 

dx � �1 

. 

Man kan evt. indfÉje to linjeskift i ovenstÅende formellinje sÅ den kommer til at se 

sÅdan ud: 

4 

��1 2 

x � � � 4 3 

2x �5x �1 

( 6 � 5) 

dx 

4.03 Åvelse 

3 

3 

� �2�4 �5�4�� 

�2�( �1) 

�5�( 

�1) 

� 

� 105 . 

Brug metoden fra ramme 4.02 til at bestemme fÉlgende tal: 

2 

(1) ( 2 � 

1 

) dx � x 

1 

x (2) � 1 


Bestem fÉlgende tre tal: 

(1) � 

0 

2 

�x 

( 3� 

e ) dx 

0 

1 

2x 

6e dx 

1 

3 2 

(3) ( x � 3x 

� 

3 

) dx . � 4 

2 

(2) ( 6x 

� 4x� 

1) 

dx (3) � � 

0 

0 

1 

2 

a 

�2 

dx 

x .

4.05 Udregne bestemt integral pÄ TI-89's hovedskÇrm 

PÄ hovedskÅrmen, der fÄs frem ved at taste HOME, kan en stamfunktion 

bestemmes ved hjÅlp af det integraltegn der stÄr over 

7-tasten. 

PÅ figur 4d er vist hvordan man kan taste for at fÅ 

bestemt tallet 

0 

��1 2 

x 

x 

e 

dx 

Det ses at dette tal er e� 2 . 

4.06 Åvelse 

. 


(b) Bestem tallet x �ln( 

x) 

dx . � 

1 

e 

4.07 Besvare opgave med fortolkning af integral 

Opgave 

Bestem integralet �� 

Besvarelse 

0 

��1 0 

1 

( �3 

� x dx 

2 ) 

( �3x 

� x dx , og giv en geometrisk fortolkning af resultatet. 

2 2 3 0 

x ) � �� 3 x � 1 x � 2 3 �1 

2 3 

2 3 

� �� 3 �0 

� 1�0 

�� 3�( 

�1) 

� 1�( 

�1) 

� 

� 

2 

7 

. 

6 

PÅ figuren er skitseret grafen for funktionen 

2 

f ( x) 

� �3x� 

x . 

Da f ( x) 

� 0 for alle tal x i [� 1, 

0] 

, gÄlder: 

Resultatet 7 er lig 

6 

arealet af det skraverede omrÅde . 

3 


2 

f 

3 

Figur 4d 

�1 

( 2) 

1 

1 

( 1)


Bestem integralet �� 


2 

2 

2 

2 

x dx , og giv en geometrisk fortolkning af resultatet. 

Bestem integralet ( 4� 

x dx , og giv en geometrisk fortolkning af resultatet. � 

0 

4.10 Bestemme integral ud fra arealer 

Opgave 

2 ) 

PÅ figur 4e ses grafen for en funktion f 

der har nulpunkter � 6 , �2 og 2 . 

Sammen med 1.aksen afgrÄnser grafen 

en punktmÄngde 1 M der har arealet 2 

Sammen med 1.aksen og 2.aksen 

afgrÄnser grafen i 2. kvadrant en 

M som har arealet 6 . 

punktmÄngde 2 

Bestem �� 

Besvarelse 

0 

6 

f ( x) 

dx . 

Da f ( x) 

� 0 for alle tal x i [� 6; 

0] 

, gÄlder 

0 

��6 7 . 

f ( x) 

dx er lig arealet mellem 1.aksen og grafen i [� 6; 

0] 

. 

Dette areal er summen af arealerne af 1 M og M 2 , dvs. 

sÅ 

0 

��6 7� 6� 

2 

19 

2 

19 

f ( x) 

dx � . 

2 


M1 

�6 �2 

M 2 

( 2) 

1 

Figur 

4e 

1 

( 1)

4.11 Åvelse 

PÅ figur 4f ses grafen for en funktion f 

der har nulpunkterne 2 og 7 . Sammen 

med akserne afgrÄnser grafen to omrÅder 

hvis arealer er hhv. 3 og 11 . 

2 2 

7 

7 

Bestem f ( x) 

dx og �2 �0 4.12 Åvelse 

f ( x) 

dx . 

Grafregnervinduet pÅ figur 4g viser grafen 

for en funktion f og en linje l der skÄrer 

grafen i punkterne (�2, 4) 

og ( 2, 

4) 

. 

Grafen for f afgrÄnser sammen med linjen 

l den skraverede punktmÄngde der har 

arealet 6. 

Bestem �� 

2 

2 

4.13 Åvelse 

f ( x) 

dx . 

Figur 4h viser grafen for en funktion f 

hvis nulpunkter er �6 og 2 . Grafen 

afgrÄnser sammen med fÉrsteaksen en 

punktmÄngde der har arealet 64 . 

3 

Andenaksen deler denne punktmÄngde 

i to punktmÄngder 1 M og M 2 . Det 

oplyses at 

Bestem �� 

0 

2 

f ( x) 

dx � 10 . � 3 

0 

6 

f ( x) 

dx . 


( 2) 

3 

2 

f 

f 

11 

2 

2 7 

Figur 4f 

M1 

Figur 4g 

( 2) 

1 

Figur 

4h 

M2 

1 

( 1) 

( 1)

5. Bestemme areal 

5.01 Areal mellem graf og 1.akse. Graf vist, grÄnser oplyst 

Opgave 

PÅ figur 5a ses grafen for funktionen 

1 3 1 2 

� 

2 2 

f ( x) 

� x � x � 2x 

2 . 

Grafen skÄrer fÉrsteaksen i punkterne P (�2, 

0) 

, 

Q( 1, 

0) 

og R ( 2, 

0) 

. I fÉrste og anden kvadrant 

afgrÄnser grafen for funktionen sammen med 

fÉrsteaksen en punktmÄngde M som har et areal. 

Bestem arealet af M . 

Besvarelse 

Man skal finde arealet af omrÅdet M mellem fÉrsteaksen og grafen for f i intervallet 

[� 2; 

1] 

. Da f ( x) 

� 0 for alle x i dette interval, er arealet lig 

� 

� 

1 

�2 

� � � � 1 

1 3 1 2 

1 4 1 3 2 

x � x � 2x� 

2 dx � x � x � x � 2x 

2 

2 

� 1 4 3 2 

4 3 2 

�1 

� 1�1 

�1 

� 2�1� 

� � 1�( 

�2) 

� 1�( 

�2) 

� ( �2) 

� 2�( 

�2) 

� 

8 

� 45 . 

8 

Arealet af M er 45 . 

8 

6 


En funktion er givet ved 

1 

3 

2 

4 

3 

7 

3 

f ( x) 

� x � x� 

. 

En punktmÄngde M begrÄnses af grafen, 

fÉrsteaksen, andenaksen og linjen med 

ligningen x � 3 (se figur 5b). 


8 

8 


6 

6 

�2 

( 2) 

1 

( 2) 

1 

1 

Figur 5a 

1 

M 

Figur 5b 

x� 

3 

f 

( 1) 

f 

( 1)


Funktionen f (x) 

er bestemt ved 

3 

f ( x) 

�� x � 2x 

� x� 

2 . 

2 

PÅ figur 5c ses grafen for f (x) 

. Grafen skÄrer 

fÉrsteaksen i punkterne P (�2 

, 0) 

, Q(�1, 

0) 

og R ( 1, 

0) 

. Sammen med fÉrsteaksen afgrÄnser 

grafen i fÉrste og anden kvadrant en punktmÄngde 

M som har et areal. 

Bestem arealet af denne punktmÄngde. 

5.04 Areal mellem graf og 1.akse. Graf vist, grÄnse ej oplyst 

Opgave 

PÅ figur 5d er vist grafen for funktionen 

2 � 

f ( x) 

� �x 

3x 

. 

En punktmÄngde M er pÅ figuren angivet som 

et prikket omrÅde der begrÄnses af grafen, 

fÉrsteaksen og linjen med ligningen x �� 

1 . 


Besvarelse 

Da ligningen f ( x) 

� 0 har lÉsningerne �3 og 0 , 

er �3 fÉrstekoordinat til det venstre af grafens 

skÄringspunkter med fÉrsteaksen. 

Da f ( x) 

� 0 for alle x i [ � 3; 

�1] 

, er arealet af M lig 

� � 1 

�1 

2 

1 3 3 2 � 

( �x 

� 3x) 

dx � � x � x � 

3 2 

�3 

�3 

3 2 

3 2 

� �� 1 ( �1) 

� 3 ( �1) 

�� 1 ( �3) 

� 3 ( �3) 

� 

� 

10 

3 

Arealet af M er 10 . 

3 

3 

2 

3 

2 

Figur 5d 

Her skal indfÉjes en redegÉrelse 

for hvordan lÉsningerne 

er bestemt. 


f 

Figur 

5c 

�1 

( 2) 

( 1)

5.05 Åvelse 

Figur 5e viser grafen for funktionen 

5 

2 

2 

f ( x) 

� x� 

x . 

Grafen og fÉrsteaksen afgrÄnser en 

punktmÄngde M som har et areal. 


5.06 Areal mellem graf og 1.akse. Graf ej vist, grÄnser ej oplyst 

Opgave 

3 

Grafen for funktionen f ( x) 

� 4x� 

x afgrÄnser sammen med 1.aksen i fÉrste kvadrant 

en punktmÄngde som har et areal. 


Besvarelse 

Skitse af lommeregnerens grafvindue: 

Figur 5f 

Da forskriften er et 3.gradspolynomium kan grafen ikke have flere sving end de viste, 

sÅ det er det prikkede omrÅde vi skal finde arealet af. 

For at bestemme nÉjagtigt hvor grafen skÄrer fÉrsteaksen, lÉser vi ligningen 

f ( x) 

� 0 . 

LÉsningerne er � 2 , 0 og 2 . 

Vi skal altsÅ finde arealet af omrÅdet mellem fÉrsteaksen og grafen i [ 0; 

2] 

. 

Da f ( x) 

� 0 for alle x i dette interval, er arealet 

� �2 2 

3 

2 1 4 

2 4 2 4 

( 4x� 

x ) dx � 2x 

� x � �2�2 � 1�2 

� � �2�0 � 1�0 

� 

4 0 

4 

4 

0 

( 2) 

1 

1 

f 

Figur 5e 

� � 4 . 

PunktmÄngden der afgrÄnses af 1.aksen og grafen i fÉrste kvadrant har arealet 4 . 


( 1) 

( 2) 

1 

1 

f 

( 1) 

Her skal indfÉjes en redegÉrelse for 

hvordan lÉsningerne er bestemt.

5.07 Åvelse 

1 3 

� 

2 

Grafen for f ( x) 

� x 4 afgrÄnser sammen med fÉrsteaksen og andenaksen i anden 

kvadrant en punktmÄngde der har et areal. 


5.08 Åvelse 

Grafen for funktionen 

4 

9 

punktmÄngde M der har et areal. 


2 

f ( x) 

� � x afgrÄnser sammen med fÉrsteaksen en 


5.09 Areal mellem to grafer. Beskrivelse af metoden 

PÅ de tre figurer nedenfor er vist graferne for to funktioner f og g samt tre arealer A , 

A1 og A 2 : 

Vi vil angive en metode til at bestemme A . 

Det ses at vi kan fÅ A ved at trÄkke A1 fra A 2 : 

A A A � � . 

2 

1 

Hvert af arealerne A1 og A2 er arealet mellem fÉrsteaksen og en graf over fÉrsteaksen, 

sÅ de kan bestemmes ved hjÄlp af sÄtning (4b) : 

( 2) 

b 

1 � g( 

x dx og � 

2 �� 

A ) 

a 

b 

A f ( x) 

dx . 

a 

PÅ de tre figurer nedenfor er vist graferne for to funktioner f og g samt tre arealer A , 

A1 og A 2 . 

Vi vil angive en metode til at bestemme A . 

Det ses at 2 1 A A A � � , sÅ 

A 

a b 

( 2) 

� 

A 

k 

f ( x) 

dx � g( 

x) 

dx . � � 

0 

f 

g 

( 1) 

g 

f 

0 

k 

( 2) 

a b 

( 2) 

A2 

A2 


f 

g 

( 1) 

( 2) 

g 

a b 

A 

A1 

( 1) 

( 1) 

0 0 k 

0 k 

g 

f 

( 2) 

A1 

f 

( 1) 

g 

f 

( 1)

5.10 Areal mellem to grafer. Graf vist, grÄnser oplyst 

Opgave 

Grafen for funktion 

2 

f ( x) 

� x � 4x� 

7 

afgrÄnser sammen med linjerne med ligningerne 

x � 1 , x� 4 og y� 

2 

en punktmÄngde M som har et areal (se figur 5g). 


Besvarelse 

Arealet mellem 1.aksen og grafen i [ 1; 

4] 

er 

4 

2 

( � 4x� 

7) 

dx � 

1 

x � � �4 1 3 2 

x � 2x � 7x 

3 


1 

� � 1 3 2 

3 2 

�4 

� 2�4 

� 7�4� 

� � 1�1 

� 2�1 

� 7�1� 

3 

� 12 . 

Arealet mellem 1.aksen og linjen med ligningen y� 2 er 

4 

4 

2 dx � �2x�1 � 2�4� 

2�1 

� 6 . � 

1 

Arealet af M er 12� 6 � 6 . 

BemÇrkning 

Arealet mellem 1.aksen og linjen med ligningen y� 2 kunne ogsÅ vÄre bestemt ved at 

bruge formlen for areal af rektangel: Areal lig hÉjde gange grundlinje. 

5.11 Åvelse 

PÅ figur 5h ses grafen for funktionen f ( x) 

� x og linjen l 

med ligningen y � 2x� 4 . Grafen og linjen skÄrer hinanden 

i punktet ( 2, 

8) 

. Grafen og linjen afgrÄnser sammen med 

y-aksen en punktmÄngde der har et areal. 


3 

3 

( 2) 

x� 1 x� 

4 

1 

1 

Figur 

5h 

f 

M 

Figur 5g 

( 2) 

1 

l 

1 

f 

y� 

2 

( 1) 

( 1)

5.12 Areal mellem to grafer. Graf ej vist, grÄnser ej oplyst 

Opgave 

2 


�� x � 2x� 

4 afgrÄnser sammen med linjen med ligningen y� 2� 

x 

en punktmÄngde M som har et areal. 


Besvarelse 

Ud fra lommeregnerens vindue skitserer vi grafen for f (x) 

og linjen l med ligningen 

y� 2 � x , og vi skraverer punktmÄngden M . (Se figur 5i). 

FÉrstekoordinaterne til skÄringspunkterne mellem grafen og linjen er lÉsningerne til 

ligningen 

2 

� x � 2x� 

4 � 2� 

x . 

Vi finder lÉsningerne �1 og 2 . 

Disse tilfÉjer vi pÅ skitsen (Se figur 5j). 

Arealet mellem 1.aksen og grafen for f (x) 

i [�1; 2] 

er 

2 

��1 2 

( �x 

� 2x� 

4) 

dx � 12 . 

Arealet mellem 1.aksen og linjen y� 2� x i [�1; 2] 

er 

2 

��1 ( 2� 

x ) dx � 15 . 

2 

(Dette areal kunne ogsÅ vÄre bestemt ved at bruge formlen for areal af trapez). 

Nu fÅs at 

areal( M ) � 12� 

15 � 9 . 

2 2 

( 2) 

1 

M 

f 

1 

l 

( 1) 

Figur 5i Figur 5j 

Her skal indfÉjes en redegÉrelse 

for hvordan lÉsningerne 

er bestemt. 

Der skal indfÉjes redegÉrelser 

for hvordan 

integralerne er bestemt. 


�1 

( 2) 

1 

M 

f 

1 

l 

2 

( 1)

5.13 Åvelse 

2 


� 3� 

x afgrÄnser sammen med linjen med ligningen y� �x� 

3 en 

punktmÄngde M som har et areal. 


5.14 Åvelse 

En funktion f (x) 

er bestemt ved 


2 

f ( x) 

� x . 

En ret linje l skÄrer grafen for f (x) 

i punkterne 1( 3, 

9) 

� S og ) 4 , 2 ( S 2 . Grafen for 

f (x) 

afgrÄnser sammen med linjen l en punktmÄngde M som har et areal. 


5.15 Åvelse 

2 

Grafen for funktionen f ( x) 

� x � 2x� 

3 afgrÄnser sammen med linjen med ligningen 

y� 3 et omrÅde der har et areal. 

Bestem arealet. 

5.16 Åvelse 

Grafen for funktionen f med forskriften f ( x) 

� e afgrÄnser sammen med linjerne 

med ligninger y� x , x� 0 og x� 1 et omrÅde der har et areal. 

Bestem dette areal. 

5.17 Åvelse 

Grafen for funktionen f med forskriften f ( x) 

� 1 

x 

afgrÄnser sammen med linjerne 

med ligninger y� 2x 

og x� 2 et omrÅde der har et areal. 

Bestem arealet. 

2x

Integralregning 1. del

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?