Galilei transformationen - Danmarks Tekniske Universitet

Verden i Naturvidenskabeligt PerspektivDet Fysiske Grundlag:Elektromagnetisme og relativitetsteori13. april 2010Jesper MygindInstitut for FysikDanmarks Tekniske UniversitetE-mail: myg@fysik.dtu.dkURL: http://dcwww.fys.dtu.dk/~myg/Folkeuniversitetet 2010

Plan for i dag 13/4-2010Kvantemetrologi• superledning, flux kvantisering, Josephson effekt• metrologi, fundamentale enheder, SET og QHE• kvante Δ-en, SI-systemet vaklerGalilei transformationen (GT).• Relativitet, i skib og på Jorden, 30 km/s, Newtons love, absolut rum og tid,• GT, henførelsessystem og inertialsystem• alle fysikkens love skal være invariante ved en GT• Lorentz-kraften igen, Maxwells ligninger følger ikke GTLorentz transformationen (LT)• LT på B- og E-feltet• “æterteorien”, Michelson-Morleys forsøgEinsteins Specielle Relativitetsteori• de 2 postulater• samtidighed og længdeforkortningen• tidforlængelsen, ure kan synkroniseres• firvektorer og rum-tid diagrammer, verdenslinier• ækvivalens mellem masse og energi, hvileenergien E = mc 2Einsteins Generelle Relativitetsteori• ækvivalens mellem gravitation og acceleration• accelererede koordinatsystemer, lokale inertialsystemer• “træg” og “tung” masse er ens• krumme flader, Riemann-geometri• forholdet G M / (R c 2 ), undslippelseshastighed.• sorte hullerFolkeuniversitetet 2010

KvantemetrologiFolkeuniversitetet 2010

SuperconductivityHistory:• 1911 ρ = 0,i.e. W = R I 2 = 0• 1933 Meissner effecti.e. B = 0• 1986 High-T c superconductors (Y-Ba-Cu-O)• 2006 T c = 138 (164) K (Hg 12 Tl 3 Ba 30 Ca 30 Cu 45 O 125 )• 2008 LaOFeAs with B c2 > 64TFolkeuniversitetet 20102009 USO: 164 K, high pressure

Three types of Josephson junctionsSISJosephson effectand equationsI = I C sin φ φ / t = (2π/Φ 0 )VSNSScSFolkeuniversitetet 2010DC I-V curve for SIS junction(current biased, idealized)

Josephson effekt• Effekt forudsagt 1962 af Brian Josephson• Frekvenslåsning af tunnellering af Cooper-par• Konstant-spændingstrin ved U = n f ( h / 2 e )• Array af 18-20 000 serieforbundne dioder påtrykt76 GHz giver spændinger ≈10 V• I SI-systemet (BIPM) anvendesi stedet for 2e / h,K J-90 = 483 597,9 GHz/VJosephson-konstanten. CODATA 06,konventionel værdi uden usikkerhedFolkeuniversitetet 2010

DC-SQUIDCombines flux quantizationand Josephson effectMagneticdiffractionpattern forL=0 i.e. noflux fromcirculatingcurrentsFolkeuniversitetet 2010

Magnetiske signaler:Hjernen (MEG):synkronisered neuroner: 10 fTalfa-rytmen: 1000 fTHjertet (MCG): ≈ 10 5 fTMagnetisk støj fraomgivelserne: 10 μT (10 8 fT)Magnetoencephalography (MEG)Opløsning med SQUID magnetometer:(MEG)Felt: ≈ 1 fTSted: < 10 mm ØTid: < 10 msKombineres med: PET, MRI, EEGFolkeuniversitetet 2010

Energiindhold i enkondensator:Single Electron Tunnelling (SET)W = Q 2 / (2 C)Ændres ladningen med enenkelt elektron bliverenergiændringen: W = e 2 / (2 C) (“charging” energien) W > k B T (den termiske energi)Folkeuniversitetet 2010

SETenkelt elektron tunnelering• Udnytter Coulomb-blokade i ultra-småtunneldioder• Kan pumpe elektroner én ad gangenC ~ 1 fFE c ~ 80 µeV~ 1 K k BU g1U g2U g1U g2Folkeuniversitetet 2010

SET prøvestykke fremstillet med “shadow evaporation”Folkeuniversitetet 2010

Kvante Hall Effekt(heltallig, 2DEG)g xy = (1/i) (e 2 /h)i = 2, 4, …..h/e 2→ R K-90 = 25.812,807 Ω (konventionel værdi)Folkeuniversitetet 2010

Den elektriske kvantetrekantHzFrekvensfJosephson effektenU=(n h/2e)·fn ~ 65000Enkelt elektron tunnelleringI = e·fVSpændingsforskelUKvante Hall effektenU = (h/e 2 i)·Ii = 2,4,6AStrømstyrkeIFolkeuniversitetet 2010

Realisering af kvantetrekantenf 2f N1e·f 1 ·N ·h/(i·e 2 ) =? n·f 2 h/2eFolkeuniversitetet 2010

Newton og GalileiFolkeuniversitetet 2010

Galileo GalileiFødt: 15. februar 1564, Pisa, ItalienDød: 8. januar 1642, Arcetri, ItalienGengravsat: Santa Croce, FirenzeItaliensk fysiker, astronom,astrologogfilosof• Galileis relativitetprincip• Galilei transformationen• jævnt accelererede systemer• forbedring af teleskopet• astronomiske observationer• “far” til moderne fysik og astronomi• støttede Copernikus• husarrest 1633 efter strid med paven• rehabiliteret endeligt 1992Portræt af Galileo GalileiMaleri af Giusto SustermansFolkeuniversitetet 2010

InertialsystemerHenførelsessystem, hvori vi angiver position (x,y,z) og tiden tEt inertialsystem er et henførelsessystem, hvori Newtons 1ste lov gælderNewtons 1ste lov (Inertiens lov): Et legeme, som ikke er påvirket afydre kræfter, ligger stille eller bevæger sig retlinet med jævn hastighedVi vælger følgende to inertialsystemer S og S’:Folkeuniversitetet 2010

Galilei-transformationenGalilei-relativitet“Galilei i kahytten”Relativitet (det stærke krav!!):Alle fysikkens love skal være invariante overfor en GTGalilei-transformationen (GT):x = x’ + u ty = y’z = z’og deraf hastigheden:v x = dx/dt = dx’/dt + u = v’ x + udvs. vi adderer hastighederene!Bemærk: vi bruger samme tid og tidsskala t og t’ i S og S’ systemerne!Folkeuniversitetet 2010

RelativitetFysikkens love er de samme i ethvert inertialsystemDer induceres samme EMK, når (a) magneten bevæges ind i spolen,og når (b) spolen bevæges op omkring magneten.Folkeuniversitetet 2010

James Clerk MaxwellFødt: 13. juni 1831, Edinburg, ScotlandDød: 5. november 1879, Cambridge, EnglandSkotsk matematiker og teoretisk fysiker• Ligninger for det elektromagnetiske felt• EM-bølgeudbredelse• Maxwell-Boltzmann fordeling i kinetisk gasteori• Grundlaget for relativitetsteorien• Grundlaget for kvantemekanikkenFolkeuniversitetet 2010(The work of Maxwell) ... the mostprofound and the most fruitful thatphysics has experienced since thetime of Newton.”—Albert Einstein,The Sunday Post

Maxwells love (differentiel form)Gauss' lov - elektrostatikGauss' lov - magnetostatikFaradays lovAmpère-Maxwells lovMaxwells love er ikke invariante ved en GTFolkeuniversitetet 2010

Hendrik Antoon LorentzFødt: 18 juli 1853, Arnhem, HollandDød: 4. februar 1928 , HaarlemHollandsk fysikerDelte Nobelprisen 1902 med Peiter Zeeman• Lorentz-kraften• Lorentz transformationen• Relativitet og samtidighed• Relativistisk længdekontraktionMaleri afMenso Kamerlingh Onnes) er Lorentz-faktoren (altid > 1)Folkeuniversitetet 2010Noget galt??Kraft på entestladning i togi Jordens magnetfelt

- faktorenHastighed u i % af lyshastigheden cFolkeuniversitetet 2010Lorentz-faktoren er altid > 1

Lorentz transformationen(koordinat transformationen)Sammenlign medGalilei-transformationenmed Lorentz-faktorenHastigheder og accelerationer transformerer ogsåFolkeuniversitetet 2010

LT af EM felterVed Lorentz-transformation af E-feltet fås et led,(1)som vi kalder B-feltet, v er ladningens hastighed.B-feltet giver en kraft på den bevægede ladningKraften er forskellig i forskellige inertialsystemer, og B-feltet transformerer helteller delvis til et E-felt ved en LT. Dette svarer til Faradays induktionslov.E-feltet fra en punktladning i hvile er:Indsættes dette i (1) fås Biot-Sawarts lov:LT-transformation af E- og B-felt:Folkeuniversitetet 2010

Æter-teorien, Michelson-Morley eksperimentet 1887Michelson interferometerÆterteorien: lys bevæger sig i et absolut rum (æteren) ogJorden bevæger sig også gennem æteren, men90 o drejning gav ingen forskel!! dvs. jorden må være i hvile i æteren!Folkeuniversitetet 2010

Den specielle relativitesteoriFolkeuniversitetet 2010

Albert Einstein (1879-1955)Folkeuniversitetet 2010• Viste 1905 at kravet om, atde elektromagnetisk love erde samme i ethvertinertialsystem leder til nyetransformationer, somblander rummet og tiden -relativitetsteorien.• De to postulater:1) Relativitet (Galilei)2) Største fart er c (lys ivakuum)• Viste, at lys består afpartikler (fotoner)

Addition af hastighederGT:v = v’ + uHvad, hvishastighedernenærmer siglysetshastighed??Konflikt med dagligdagens erfaring = vor “sunde fornuft”!! ??Folkeuniversitetet 2010

Relativitet af samtidighedFolkeuniversitetet 2010

Vi kan synkronisere vore ure ved at sende lyssignaler!!Folkeuniversitetet 2010

Relativitet af tidsintervaller(tidsforlængelsen)Pythagoras: ( ½ u t ) 2 + d 2 = l 2målt i hvilesystemet(egentiden) t 0= 2 d / cI det bevægede system: t = 2 l / chvoraf fås t = t 0 > t 0går langsommere i detbevægede systemtiden forlænges ie. uretFolkeuniversitetet 2010

Længder, som erparallelt med denrelative bevægelse:LængdeforkortelseI S’ er egentiden t 0= 2 l 0/ cI S bevægerlyspulsen sigd = l + u t 1= c t 1ie t 1= 1/(c-u)På tilbagevejen fåstilsvarende t 2= 1/(c+u)Den samlede flyvetid er: t = t 1+ t 2= t 0/ Ellimineres t fåsl = l 0 / , altså den bevægede målestok forkortesFolkeuniversitetet 2010

Vinkler oglængder vinkelret på den relative bevægelseMålestokkene i S’ og S erbegge vinkelrette påbevægelsen, og længdenforbliver uændretLængden l 0i S’ kaldes egenlængden eller hvilelængdenVinkler transformerer, idet vinkler kan angives som forholdet mellemlængder parallel og vinkelret på den relative bevægelseFolkeuniversitetet 2010

Rum-Tid beskrivelse, 4-vektor og VerdenslinierRum-tid beskrivelsen, 4-dimensionalt rum (Minkovski rum) af en begivenhedKoordinat 4-vektor: X: = (ct, x, y, z) = (ct, r)Afstanden i rum-tid(sfærisk udbredelse af lysglimt i S’ og S)i S: r 2 = c 2 t 2 eller s 2 = c 2 t 2 –r 2i S’: r’ 2 = c 2 t’ 2 eller s’ 2 = c 2 t’ 2 –r’ 2og da lyshastigheden er c i både S og S’,er s 2 = s’ 2 , ie.Der findes andre 4-vektorerer invariant ved en LT. Dette gælderogså intervallet mellem tobegivenheder s 2 = c 2 t 2 - r 2 langsen verdenslinieBemærk: s 2 kan være bådepositiv, nul og negativ.Folkeuniversitetet 2010

4-dimensionalt rum-tid-diagramEt lysglimt bevæger sig pålyskeglen (grøn konus).Koordinatakserne er ortogonalei S, kun fordi vi har valgtdem sådan! Derfor harlyskonus enåbningsvinkel på 45 0←masseløsepartikler(fotoner) medhastighed cDiskuter:NuFortidFremtidKausalitetFolkeuniversitetet 2010

Relativistisk impulsTre-vektorimpulsp = m v ,hvor mv er densædvanligeNewton impulsFolkeuniversitetet 2010

Energi-impuls og masseRelativistisk energi-impuls:hvor E er partiklens totale energi, p er 3-vektor impulsen, og m er hvilemassen.Separat energi– og impulsbevarelse kommer i problemer.For fotoner med m = 0 gælder: E = p cNoget misledende bruges ofte den relativistiske mass M = m. Dereringenforskel på træg (Newton) og tung (gravitation) masse.For partikler i hvile (p = 0) gælder: E = m c 2 ( hvileenergien)Ved små hastigheder rækkeudvikles:altså hvileenergien + den sædvanlige kinetisk energi KFolkeuniversitetet 2010

Relativistisk energiE = K + m c 2Total energi = kinetiskenergi + hvileenergiSammenstød mellemrelativistiske partikler.CERN, LHC.En elektron accelereretmed 5 MV har = 10.8og v = 0.996 c. K = 5 MeV,mens restenergien mc 2 =0.511 MeV.Folkeuniversitetet 2010

Generel relativitetsteoriFolkeuniversitetet 2010

Generel relativitetsteoriEinsteins ækvivalensprincipAstronauten, som taber sit ur (a), kan ikke skelne mellem (b)acceleration (homogen) og (c) gravitation (homogen).Folkeuniversitetet 2010Vægtløshed

En genstand, som bevæger sig gennem rummet, vil følge rum-tidenskrumning, som om den var en fri genstand upåvirket af gravitationskræfterfra omgivende masser. I Einsteins almene relativitetsteori forekommer dersåledes ikke gravitationskræfter i newtonsk forstand; de er erstattet af denkrumme rum-tid. Illustrationen indikerer, hvorledes rette linjer krummesomkring tilstedeværende masser; jo større masse, des større bliverkrumningen omkring den.Folkeuniversitetet 2010

Det sidste “langskud”Accelererede koordinatsystemer,lokale inertialsystemeregentidGravitationen deformererrummets geometriKrumme flader,Riemann-geometriForholdet G M / (R c 2 ),undslippelseshastighed.Sorte hullerFolkeuniversitetet 2010

Konsekvenser af generel relativitetsteoriDeflection of light (sent out fromthe location shown in blue) neara compact body (shown in gray)Schematic representation of thegravitational redshift of a light waveescaping from the surface of amassive bodyFolkeuniversitetet 2010

Konsekvenser af generel relativitetsteoriNewtonian (red) vs. Einsteinian orbit (blue)of a lone planet orbiting a star(Merkur periheliet)“Einstein cross” fourimages of the sameastronomical object,produced by agravitatonal lens.(Hubble telescope)Folkeuniversitetet 2010

FINFolkeuniversitetet 2010