Föreläsning 14

Lagrangedualitet och Lagrangerelaxation• En dualitetsteori som fungerar även förheltalsproblem (och olinjära problem)• Lagrangerelaxation bygger på att:– bivillkor relaxeras (bortses från), samtidigtsom att målfunktionsvärdet ”straffas” omdessa villkor inte uppfylls.– ett Lagrangedualt problem skapas– optimum till det Lagrangeduala problemet geross en optimistisk skattning av det optimalamålfunktionsvärdet till det ursprungligaproblemet.TNK041 Optimeringslära, 5p• Baserat på Lagrangerelaxation kannXj=1nXmXcjx (1)j + vij=1i=1nXj=1cjx (2)j + ...nXj=1c jx (3)j + ...⎛⎞nX⎝bi − aijx (1) ⎠jj=1Duala funktionenLåt X definieras av P stycken diskreta punkter X = {x (1) ,x (2) ,...,x (P ) },t.ex.P stycken heltalspunkter. Då är⎧⎛⎞⎫⎨ nXmXnX ⎬h(v) = min c j x j + v i⎝b i − a ij x j⎠x∈X ⎩⎭j=1 i=1j=1⎧⎛⎞⎫⎨ nXmXnX ⎬= min c j x (p)j+ v i⎝b i − a ij x (p) ⎠jp=1,...,P ⎩⎭cjx (4)j + ...j=1i=1h(v)TNK041 Optimeringslära, 5pj=1dvs h är punktvis minimum av P stycken linjära funktioner.vh(v) konkav!Duala problemetLösningsstrategi: Lagrangerelaxation(s. 545)(HP)(LD)maxv≥0min z =nXc j x jj=1nXa ij x j ≥ b i , i =1, ..., mj=1j=1x ∈ Xh(v)⎧⎨ nXmXh(v) = min c j x j +x∈X ⎩i=1v i⎛⎝b i −⎞⎫nX ⎬a ij x j⎠⎭j=1Steg 0 Bestäm vilka villkor som ska relaxeras och välj initiala värden på v (0) .Sätt k =0,LBD = −∞ och UBD =+∞.Steg 1 Lös Lagrangesubproblemet för givet v (k) ⇒ en lösning x (k) samt en optimistiskskattning.Steg 2 Om x (k) är tillåten ⇒ pessimistisk skattning.Steg 3 Kontrollera avbrottskriterierSteg 4 Uppdatera dualvariablerna enligt v (k+1) = v (k) + t (k) d (k) där d (k) är ensökriktning och t ( k)är en steglängd. Sätt k = k +1ochgåtillSteg1.Om d (k) och t (k) väljs rimligt så leder proceduren till att en punkt v ∗ som löserlagrangeduala problemet hittas. Tyvärr hittar vi oftast inte någon optimallösning, x ∗ , till det ursprungliga heltalsproblemet.TNK041 Optimeringslära, 5pTNK041 Optimeringslära, 5p