eget notat - Universitetet i Tromsø

Tillegg til forelesningsnotater i fysikk.Mer om varmeledning. Side 1Mer om varmeledning.1. Innledning.Vi vet at når det er en temperaturforskjell Δ T = TH − TCmellom denvarme og den kalde siden av ei plate med tykkelse L og areal A, såer varmestrømmen gjennom legemetΔQ Tk A H−T = ⋅ ⋅ C .ΔtLVarmestrømmen måles i Watt ( J/s ).Størrelsen k er den termiske konduktiviteten (også kalt varmeledningsevnen).Dersom plata er laget av et stoff som leder varmengodt, er k stor. For varmeisolerende stoffer er k liten. BenevningenK 2W/ ⋅ m = W/ K ⋅ m .for k er ( ) ( )mDersom plata er svært tynn, og temperaturforskjellen også er liten, skrives gjerne dennelikningendQ dT=−k⋅A⋅dt dxder dT er temperaturforskjellen mellom de to sidene og dx er tykkelsen. Minustegnet skyldesat varmen strømmer fra den varme til den kalde siden, slik at en positiv varmestrømforutsetter en negativ dT.Varmeledning er svært viktig innen mange tekniske fagområder, for eksempel bygningsteknikk.Da er det hensiktsmessig å operere med varmestrøm pr kvadratmeter flate. I dettenotatet skal jeg gjøre det samme, og definerer derfor varmestrøm pr kvadratmeter somΔQΔt TH− TCH = = k⋅ .A LVi skal nå sette opp en del likninger for varmestrøm. Det morsomme er at disse likningenekan sammenliknes med tilsvarende likninger for elektrisk strøm. Vi starter med å omformelikningenTH− TCH = k⋅LtilLTH− TC= ⋅ H .kDette kan sammenliknes med Ohms lov:U = R⋅I.Her kan varmestrømmen H sammenliknes med den elektriske strømmen I. Siden det ertemperaturforskjellen Δ T = TH − TCsom driver varmestrømmen, kan Δ T sammenliknes medspenningen U. Da må faktoren L kunne sammenliknes med resistansen R. Vi kaller derforkstørrelsenLR = kfor termisk resistans. Med disse begrepene får vi atBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.

1TH − TC = R⋅H ⇔ H = ( TH− T C ).RTillegg til forelesningsnotater i fysikk.Mer om varmeledning. Side 2Innen bygningsteknikk er det vanlig å operere med en U-verdi, som er varmestrømmen prkvadratmeter gjennom et bygningselement når temperaturforskjellen over elementet er 1 K.Vi har altså atU H 1 k= = = .T T R LH−C(må ikke forveksles med spenningen U i en elektrisk krets).2. Varmeledning gjennom sammensatte plater.Det er vanlig at varme må strømme gjennom plater som er bygd opp av flere lag. En vanligyttervegg i et hus består i hovedtrekk av tre lag: Et ytterpanel, et isolasjonslag, og et indre lagav panel ellet plater. Maling, papp, dampsperre og tapet ser vi bort fra i denne sammenhengen.Vi skal først se på varmeledning gjennom ei to-lags plate.Temperaturen på den varme siden er TH, mens temperaturenpå den kalde siden er T C. Temperaturen på grensen mellomplatene skal vi kalle T. Siden varmestrømmen er like storgjennom begge platene, må vi ha at1H = ( TH−T) ⇔ TH− T = R1HR1og1H = ( T −TC) ⇔ T − TC= R2H .R2Her er R1og R2den termiske resistansen i hver av de to platene. Vi legger sammen disse tolikningene, og fårT − T = RH + R H = R + R H .HC( )1 2 1 2Men dette innebærer jo at den termiske resistansen i vår to-lags plate er lik summen av determiske resistansene i hver av platene. Helt tilsvarende resultater får vi dersom vi har platersom er satt sammen av flere lag: Den samlede termiske resistansen er lik summen av determiske resistansene i hvert lag. Vi summerer opp:2Dersom en varmestrøm H (målt i W/m ) går gjennom flere plater, og der plate nr. i hartermisk konduktivitet k og tykkelse L , er( ∑ )T − T = R ⋅HH C ider den termiske resistansen erLiRi=kog THogiT Ciier temperaturene på henholdsvis den varme og den kalde siden av platene.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.

Tillegg til forelesningsnotater i fysikk.Mer om varmeledning. Side 3Vi kan finne temperaturforskjellen ΔT imellom de to sidene av ei av platene slik: Sidenvarmestrømmen H er like stor gjennom alle platene, har vi atT − T = R ⋅H( ∑ )H C iogΔ Ti= Ri⋅H.Vi deler disse to likningene på hverandre og forkorter bort H. Da får viΔTRi=T − T ∑ R.H C iEksempel 1: En vegg består av to lag trepanel med isolasjonsmatte mellom. Hvert av panellageneer 3.0 cm tykke, mens isolasjonsmatta er 10 cm tykk. Treet har k = 0.12W/ m ⋅K,mens isolasjonsmatta har 0.040W/ ( m K)mens temperaturen på yttervegg er −10 C.isotre( )k = ⋅ . Anta at temperaturen på innervegg er 20 C ,2a) Hvor stor er varmestrømmen gjennom 1 m av veggen?Hvor stor er veggens U-verdi?b) Hvor stor er temperaturforskjellen mellom de to sidene av isolasjonsmatta?Hva er temperaturen på hver side av isolasjonsmatta?Løsning:a) Den termiske resistansen i hvert av trelagene erLtre0.03m2Rtre= = = 0.25K ⋅m /W .k 0.12W/ m ⋅ Ktre( )Den termiske resistansen i isolasjonsmatta erLiso0.10m2Riso= = = 2.50K ⋅m /W .k 0.040W/ m ⋅ Kiso( )Den samlede termiske resistansen i veggen blir2 22R = 2 ⋅ R + R = 2 ⋅0.25K ⋅ m /W + 2.50K ⋅ m /W = 3.00K ⋅m /W .treisoDa er varmestrømmen H gitt vedT 20 C ( 10 C) H− T − −C2H = = = 10.0W/m .2R 3.00K ⋅ m /W(I praksis må vi ta hensyn til at isolasjonen er brutt av bjelkelag og lignende, slik at deneffektive varmestrømmen blir større enn disse beregningene viser).U-verdien til veggen er1 12U = = = 0.33W/2( m ⋅KR).3.00K ⋅ m /Wb) Temperaturforskjellen ΔT mellom de to sidene av isolasjonsmatta er gitt vedΔTRiso=T − T RHC( )2Riso 2.50K ⋅ m /W⇔ Δ T = ( TH−TC) ⋅ = 20 C −( −10 C)⋅ = 25.0K2R3.00K ⋅ m /WBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.

Tillegg til forelesningsnotater i fysikk.Mer om varmeledning. Side 4For hvert av trelagene er det en temperaturforskjell på130K − 25.0K = 2.5K .2( )Temperaturen på den varme siden av isolasjonen er derfor20 C − 2.5 C = 17.5 C ,mens temperaturen på den kalde siden av isolasjonen er − 10 C + 2.5 C =−7.5 C .Eksempel 2: Vi fortsetter med veggen ovenfor, og antar at den består av2ovenfor med en U-verdi på 0.33W/ ( m K)21.20W/ ( m ⋅ K)28.5m2⋅ , og 1.5m vindu med en U-verdi på. Hva er den samlede U-verdien for vegg med vindu?Løsning: Den samlede varmestrømmen pr Kelvin gjennom vegg og vindu er2 2 2 20.33W/ m ⋅K ⋅ 8.5m + 1.20W/ m ⋅K ⋅ 1.5m = 4.6W/K .( ) ( )U-verdien blir4.6W/K2U = = 0.46W/2 2 ( m ⋅ K)8.5m + 1.5m(som er alt for dårlig etter dagens standard).av veggen3. Varmestrøm gjennom rørvegg.Hittil har vi holdt oss til varmestrøm gjennom plane flater. Vi skal nå se på varmestrømgjennom en rørvegg (som ikke er en plan flate).RR HR CFiguren viser et snitt gjennom et rør med indre radiusRHog ytre radius RC. Vi antar at temperaturen innirøret er THog at temperaturen utenfor er T C. Det erogså vist et tynt utsnitt (et tynt skall) av rørveggen iavstand R fra sentrum. Dette skallet har tykkelse Δ R .Arealet av utsnittet blirA= 2πR⋅Lder L er rørets lengde. Anta at temperaturforskjellenmellom inner- og ytterside av skallet er ΔT . Den totalevarmestrømmen gjennom røret skal vi kalle H. Dennevarmestrømmen må også gå gjennom vårt skall, slik atΔTΔTH =−k⋅A⋅ =−k⋅2πRL⋅ΔRΔ R.Vi antar nå at skallet blir så tynt at vi kan erstatte Δ R med dR og Δ T med dT. Da blirdT dRH =−k⋅2πRL⋅ ⇔ H ⋅ =−2πLk⋅dT .dR RSiden både H og k er konstante, får vi ved integrasjon atBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.

Tillegg til forelesningsnotater i fysikk.Mer om varmeledning. Side 5RC dRTC RC TCH∫=−2πLk dT H[ lnR] 2 Lk[ T]RRHTHHTHR∫ ⇔ =− π⎛ R ⎞H RC RH Lk TC TH H ⎜ ⎟ Lk THT⎝RH⎠2πLk ( TH− TC)H =lnC( ln − ln ) =−2π( − ) ⇔ ln = 2π( − )RC( R )HVi kan se på et spesialtilfelle: rørveggen er så tynn at RC= RH+Δ R der ΔR RH. Da blirCH( ) = ( ) =R R ( +R )R R +ΔR ΔR ΔRH H H R Hln ln ln 1≈ .For å forstå den siste tilnærmingen må du kunne litt om Taylor-rekker. Da vil du vite atln 1+ x ≈ 1+ x når x 1.( )(Hvis du ikke har vært borti Taylor-rekker, får du godta påstanden eller sjekke på kalkulatorenat påstanden virker rimelig). Innsetting av denne tilnærmingen girC( )R( R )( )2πLk T −T 2πLk T −T T − TH = ≈ = k⋅2πRRH⋅L⋅ΔΔRH C H C H Cln C RHH.Men dette er samme uttrykk som for en plan flate med areal A = 2πRH⋅ L og tykkelse Δ R ,noe som tyder på at våre beregninger er korrekte.Det er ikke enkelt å benytte denne formelen i praksis. Jeg skal kort nevne to forhold somkompliserer bruken:• Størrelsene THog TCforskjellig fra temperaturen til fluidet inni røret, ogtemperaturen utenfor røret.THvære littvil være forskjellig fraer temperaturene på overflaten av røret. I praksis vil• Når fluidet strømmer gjennom røret, og det går en varmestrøm gjennom røret, vil ikkeTHvære konstant i hele rørets lengde. I en mer detaljert analyse må vi derfor tahensyn til at varmestrømmen vil avkjøle eller varme opp fluidet mens det strømmergjennom røret. For å gjennomføre en slik analyse, må vi kjenne den gjennomsnittligestrømningshastigheten og den spesifikke varmekapasiteten til fluidet.T CBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.