tangenten 1 2006.indd - Caspar Forlag AS

Marit Lahn-JohannesenIndisk algebraI India kan vi finne spor av matematikk helt tilbaketil ca. 2500 f. Kr., men det var først i denklassiske perioden, 500 e. Kr–1200 e. Kr. det foralvor ble fart i den matematiske utviklingen ilandet. Matematikken fikk etter hvert plass somet eget fag og der ble grunnlagt egne læresteder.Kommunikasjonen bedret seg betydelig, førstog fremst mellom de forskjellige lærestedene iIndia, men også til nabolandene Persia og Kina.Herfra ble den indiske matematikken spredtvidere til vesten, mens inderne også selv kunnemotta tanker og ideer fra andre kulturer.To av de mest sentrale matematikerne i Indiapå denne tiden var Brahmagupta, (598–665e.Kr) og Bhaskara (1114–1185 e. Kr). Begge vari utgangspunktet astronomer og tilhørte Ujjainskolen, men de var også blant de mest kjentematematikerne ved dette lærestedet.Brahmaguptas viktigste arbeid er BrahamaSputa Siddhanta som han skrev i 628.Dette verket inneholder bl.a. løsninger av 1. og2. gradsligninger og ligninger med flere ukjente.Noen av de mest bemerkelsesverdige resultatenevi har fra Brahmagupta er ”oppdagelsen” av nullog hans behandling av negative tall.Bhaskara skrev to matematiske arbeider,2Marit Lahn-Johannessen arbeider påÅsane Videregående skolemarlah@hfk.noLilavati og Bijaganita. I Bijaganita bygger Bhaskaravidere på Brahmaguptas arbeid og behandlerbåde positive og negative tall, null og irrasjonaletall, men i hovedsak dreier Bijaganita segom ukjente størrelser.En stor del av eksemplene og oppgavene pådenne tiden dreide seg naturligvis om astronomi,men spesielt hos Bhaskara ser vi en mervariert oppgavetype. Mange av oppgavene haringen praktisk verdi, og ble åpenbart kun bruktsom ren fornøyelse. Det er i disse oppgavene vifinner den innbydende poetiske formen som erspesielt for flere av de indiske matematikerne.En typisk oppgave begynner slik:”Min kjæreste pike, ti ganger kvadratroten avantallet svaner i en bestemt sjø fløy sin vei tilManasa Sarovar når regnet kom med monsunen…” [6, s. 132]Formålet med denne fremstillingen har sannsynligvisførst og fremst vært å fange elevensoppmerksomhet.Når Bhaskara skal demonstrere hvordan hanløser en 1. grads ligning med brøk kommer hanmed følgende problem:Av en sverm bier, setter en femtedel seg påen nauclea blomst, og en tredjedel seg på ensilindhri; tre ganger differansen mellom disse1/2006 tangenten

aritmetiske opperasjoner på ukjente størrelser.I dette eksempelet tar Bhaskara for seg enordinær ligning av 1. grad. Han gir følgendeproblem:4En person har tre hundre mynter og seks hester.En annen har ti hester til samme pris, men hanhar en gjeld på ett hundre mynter. De er beggelike rike. Hva er prisen på en hest? [2, s. 188]Oppgaven løser han på følgende måte:Prisen på en hest er den ukjente. Verdiensettes til ”så mye som” (yavat-tavat) ya1.Seks hester har da verdien ya6. Tre hundremynter blir lagt til, formuen til den første personenblir ya6ru300. På samme måte er prisenpå ti hester ya10. Til disse blir det lagt til hundredekjente mynter som er negative, formuentil den andre personen er ya10 ru100∑. Disse topersonene er like rike. De to sidene er derforselv like. Utsagnene blir da:ya6 ru300ya10 ru100Regelen Bhaskara har gitt sier da at den ukjentepå den første siden blir subtrahert fra denukjente på den andre, resten er ya 4. Og detkjente tallet på den andre siden blir subtrahertfra det kjente tallet på den første, resten er 400.Resten til det kjente tallet 400, blir dividert medresten til den ukjente ya 4, kvotienten er verdieni kjente mynter av en ”så mye som” (yavattavat),nemlig 100. Hvis dette er verdien for enhest, hva er den da for seks? Med dette forholder prisen på seks hester funnet, 600; til detteadderes tre hundre med kjente mynter, formuentil den første personen er funnet, 900. På sammemåte finnes den til den andre, 900.Med våre symboler og Bhaskaras metode blirløsningen:Verdien til en hest er x. Verdien til sekshester blir da 6x. Legger vi til 300 mynter, harden første en formue på 6x + 300.∑Verdien til ti hester er 10x. Formuen til denandre personen blir da 10x – 100Vi får da utrykket 6x + 300 = 10x – 100Ved å følge reglene som Bhaskara har gitt fårvi 400 = 4x.Verdien til x blir 100. En hest er altså verdt100 mynter. Seks hester er da lik 600 mynter. Vilegger til 300 mynter og får at formuen til denførst personen er 900 mynter. Ti hester har enverdi på 1000 mynter. Når vi trekker fra de 100mynter som den andre mannen skylder får ogsåhan en formue på 900 mynter.I Bijaganita løser Bhaskara flere av oppgavenebåde aritmetisk og ved hjelp av sin symbolskealgebra. Bhaskara stiller spørsmålet :”Hvilken grunn er der så for å sette et symbol forden ukjente, yavat-tavat?” [2, s. 206]. Begrunnelsenhans er at: ”Den intelligente vil, med enpassende metode, i mange tilfeller kunne løse problemeneved å resonnere. Men den absolutt besteoperasjonen er å sette et symbol for den ukjente.”[2, s. 226]. Ved å løse problemene først aritmetiskog så symbolsk vil han trolig vise hvormye enklere et problem kan løses ved å innføresymboler for den ukjente.Sammenligner vi indernes symbolbruk på dennetiden med det vi hadde i Europa er det klartat inderne var kommet et godt stykke lenger idenne utviklingen. Deres bruk av symboler ogaritmetiske operasjoner på ukjente størrelser låsom nevnt langt foran andre kulturers behandlingav ukjente størrelser. Dessverre fikk ikkedette utvikle seg videre utenfor India.I Europa må vi helt til 1500-tallet før manbegynner å bytte ut ord med symboler. FrancoisViete (1540–1603) regnes som den viktigstebidragsyteren til vår symbolske algebra. I Canonmathematicus fra 1579 innfører han bokstaverfor tall vi ikke vet. Her sier han også at denukjente størrelsen følger de samme regnereglenesom tall selv om vi ikke vet størrelsen. Her sier(fortsettes side 41)1/2006 tangenten

Henning BueieVedisk multiplikasjon – en nyinnfallsvinkelHenning Bueie arbeider ved Årettaungdomsskole, Lillehammer.Henning_bueie@hotmail.comArtikkelen besvarer spørsmålet fra ElseAarø i Tangenten 4/2005 om hvorfor hennesmetode for å multiplisere tall mellom 10 og 20fungerer.Mange elever strever med å lære seg multiplikasjonstabellen.De fleste elever klarer som regel ålære seg den lille multiplikasjonstabellen, menveien over til den store forvolder ofte en goddel mer bry. Den indiske matematikken har endel algoritmer som er ganske ulike våre egne,dette gjelder også multiplikasjonsalgoritmene.En av disse algoritmene er mest effektiv når tallenesom skal multipliseres er nær en tierpotens,altså for eksempel 10, 100 eller 1000. I multiplikasjonstabellensom vi vil elevene skal læreseg, er tallene som skal multipliseres alltid nærtierpotensen 10.Den første indiske sivilisasjonen der vi finnerspor av matematikk var rundt 2000 f.Kr. Menfra 800 f.Kr skjøt utviklingen fart på grunn avopprettelsen av stater, økt byråkratisering, ogutbygging av vanningsanlegg. Rundt 800 f.Krvar det flere monarkiske stater som vokste framrundt elva Ganges. Bygging av fort, alter ogenorme vanningsanlegg var arbeid som fremtvangbehov for mer avansert matematikk iområdet. Mye av matematikken ble brakt viderefra generasjon til generasjon muntlig fram tilca. 600 f.Kr, da de ble skrevet ned i religiøseskriftruller kalt Vedas. I disse Vedaene var deten egen avdeling som behandlet matematikksom kalles Sulbasutra. Det er her vi har begrepetvedisk og videre vedisk multiplikasjon fra.Se også [2], [3] og internettadressen nederst pålitteraturlisten.La oss utføre den vediske algoritmen på noeneksempler.8 × 7Eksempel uten mente.8 er 2 lavere enn 10 og 7 er 3lavere enn 10.Svaret blir 56.Subtraher på kryss 8 − 3875236(eller 7 − 2) for å få 5, altså første siffer i svaret.Multipliser så verti kalt 2 × 3 for å få 6, som erdet siste sifferet i svaret.7 × 6Eksempel med mente.7 er 3 lavere enn 10, 6 er 4lavere enn 10.Svaret blir 42.Subtraher på kryss 7 – 47633412(eller 6 – 3) som gir 3. Så ganger vi 3 × 4 somtangenten 1/2006 5

gir 12. Vi fører 1 i mente over til tierplassen.Dette betyr at vi får 1 + 3 som gir 4. Dermedblir svaret 42.Hva om vi ønsker å multiplisere tall som er nær100?88 × 9888 12Her kan en bruke sammealgoritme, men ta utgangspunkt98 2i 100 som base.86 24 Som i sted så kommer86 fra 88 − 2 = 86 (eller98 − 12 = 86). Og 24 i svaret er ganske enkelt12 × 2. Så 88 × 98 = 8624.103 × 10410310434Vi bruker igjen samme algoritme,men nå er tallenestørre enn 100.107 12 107 blir 103 + 4 (eller 104 + 3)og 12 er ganske enkelt 3 × 4.103 × 104 = 10712.Vedisk multiplikasjon kan være passende forelever som strever med å lære seg multiplikasjonutover den lille multiplikasjonstabellen. Deteneste elevene må kunne for å finne for eksempel9 × 6 er den lille multiplikasjonstabellen ogenkel subtraksjon. Den vediske multiplikasjoner også fin når en vil finne produktet av relativtstore tall, så sant tallene er nær en tierpotens.Mange vil selvsagt spørre hvorfor ”trikset”fungerer. Det kan også være kjekt å sebegrensningene av ”trikset”. Når fungerer detikke lenger? Vi tenker igjen på eksempelet 8·7.Her var det viktig å finne ”tiervennene” 2 og3. Kaller vi tiervennene våre for a og b så blirutgangstallene 10 − a og 10 – b. Oppgaven ågange utgangstallene med hverandre blir daslik:(10 − a) · (10 − b) = 10 · (10 − a − b) + a · b6Vi ser at svaret er satt sammen av to ledd. Førstfår vi 10 minus tiervennene, og så får vi produktetav tiervennene.På samme måten kan en også skrive(100 – a) · (100 – b) = 100 · (100 – a – b) – a · bnår utgangstallene er litt under 100. Det sommangler opp til 100 kaller vi for a og b. Her villebetegnelsen ”hundrevenn” ha passet. Det førsteleddet i svaret 100 · (100 − a − b) er 100 minusde to hundrevenner a og b ganget med hundre,eller den nevnte differansen med to nulltallbak. Så lenge produktet a · b er under 100 kandet bare legges i de to siste sifrene. Problemerdukker opp når produktet a · b overstiger 100 ogbegynner å ”blande seg inn” i den første delenav resultatet (tusen- og hundreposisjon).Når tallene ligger litt over en passende tierpotens,f.eks. 100, kan vi skrive (100 + a) · (100 + b) =100 · (100 + a + b) + a · b. Igjen er denne regelenenklest å bruke når produktet a · b er under 100.Vi ser også at tall over en tierpotens medfører atvi må addere for å finne de første sifrere, menstall under tierpotensen krever subtraksjon. Desiste sifrene a · b legges alltid til.Temaet multiplikasjon har vært behandlet iTANGENTEN ved flere anledninger. (RichardHarvey: Klar ferdig gå! Tretten måter å gange på!og Terje Myklebust, Hjelp til gangetabellen. [1],[4]. Begge artiklene har slik som denne artikkelenen slags spesialpedagogisk vinkling.Litteratur[1] Harvey, Richard: Klar ferdig gå! Tretten måter ågange på!, TANGENTEN 1 (2002)[2] Joseph, G. (1991). The Crest of the Peacock.The Non-European Roots of Mathematics.England: Clays Ltd.[3] Katz, V. (2004). A History of Mathematics.London: Addison Wesley.[4] Myklebust, Terje: Hjelp til gangetabellen, TAN-GENTEN 1 (2003)Internet: www.indiainfoline.com/bisc/vedi.html1/2006 tangenten

Reinert A. RinvoldRegneoperasjoner i utvidelserav tallområdetBåde blant studenter og elever finnes det noensom er nysgjerrige og vitebegjærlige. Hvorfor er(–1)·(–1) = 1, hvorfor er 0! = 1 eller hva er 2 –1 ?Denne artikkelen tar for seg hva slags svar vi kangi på slike spørsmål. Nærmere bestemt skal vise på hvordan regneoperasjoner eller funksjonersom i utgangspunktet er definert for positivehele tall, kan utvides til nye tall områder. Bådemultiplikasjon, potenser og fakultetsfunksjonenkan modelleres av virkelige situasjoner sålenge vi holder oss til de positive hele tallene.I de nevnte eksemplene kan regne operasjonenedessuten defineres i form av operasjoner somoppfattes som mer grunn leggende. Multiplikasjonkan ses på som gjentatt addisjon og potensersom gjentatt multi plikasjon. En sentral grunntil elevenes spørsmål er at både disse definisjoneneog de virkelig hets nære modellene brytersammen når vi utvider tallområdet.”Det er bare sånn …”Noen allmennlærerstudenter har enten direkteeller indirekte fått dette svaret fra lærere de harhatt. Lærerne deres kan ha sagt at ”Dette er forvanskelig for deg å forstå nå.” eller ”For å forståReinert Rinvold arbeider vedNorsk Lærerakademi Lærerhøgskolen.rar@lh.nla.nodette må du ta et kurs i matematikk på universitetet.”.Gjennom slike uttalelser kan eleven halært at matematikk ikke kan forstås, men baremå godtas. En indirekte variant av det sammeer at læreren gir en forklaring som opplevesmeningsløs av eleven. La oss bruke utvidelserav fakultetsfunksjonen til å illustrere dette.Denne funksjonen regnes ut ved å multipliserealle de positive hele tallene opp til tallet vi skalta fakultetet av. For eksempel er3! = 1 · 2 · 3 = 6 og 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720Vi leser n! som ”n fakultet”. Så lengde vi holdeross til positive hele tall, er n! antallet muligerekkefølger n personer kan stille seg opp i en køpå. De tre personene A, B og C kan for eksempeldanne disse mulige køene:ABC, ACA, BCA, BAC, CAB og CBA.Det er tre mulige personer som kan stå først.For hvert av disse valgene er det to som kanvære nummer to. Når de to første er plassert, erdet bare en måte å plassere den siste på.Definisjonen basert på multiplikasjon er heltklart til ingen hjelp hvis en elev lurer på hva 0!er. Neste forsøk er å se om den praktiske modellenkan brukes. Hvor mange rekke følger kan 0personer stille seg opp i en kø på? En, for vi kanikke stokke om rekkefølgen når det er ingenpersoner! Dette vil imidlertid temmelig sikkerttangenten 1/2006 7

li oppfattet som søkt. Mange av elevene viltrolig si at svaret er null. Ingen personer; helleringen kø! Den ”praktiske” for klaringen er enmisforstått popularisering av en ide fra avansertmengdelære. Som vi skal se, er det imidlertidmulig å gi mer overbevisende argumenter forat 0! = 1.Tenk deg så en elev som vil vite hva 1_ 2 ! er.Hva gjør du da som lærer? Du kan ringe enmatematiker! Han vil svare at det finnes noesom heter gammafunksjonen. Den er definertved8•x -tG( x + 1)= t e dt .ÚGammafunksjonen er kontinuerlig, og vi harn! = Γ(n + 1) når n er et positivt helt tall. Foreksempel er 3! = Γ(3 + 1) = Γ(4). Det kan regnesut at1 3 12! = (2) = ª ,0G2p 0 886 .Dette er matematikk som virker uforståelig forelevene og for mange lærere. Det er nok riktig atnoen spørsmål ikke kan forstås fullstendig føreleven har lært seg avansert mate matikk. Likevelhar læreren i mange tilfeller mulige utveiersom gir eleven en viss innsikt.Grafisk tilnæringDette er en mulighet innenfor grunnskoleeleversrekkevidde. Til høyre ser vi grafen til fakultetsfunksjonen.En utvidelse av definisjonentil brøker eller desimaltall innebærer at vi måkunne gå fra enkeltpunkter til en sammenhengende,glatt kurve. Elever som prøver å tegne enslik kurve, vil kunne innse at en utvidelse ermulig, selv om de ikke kan finne en formel forden. Dessuten vil de neppe oppleve det opplagtat det bare er en naturlig måte å foreta utvidelsenpå. Mange forskjellige pene, glatte kurver kantegnes gjennom de fem punktene. Skal vi ivaretaden algebraiske egenskapen n! = n·(n – 1)!også når n er en brøk, reduserer vi imidlertidmulighetene betraktelig. En mulighet er å brukefiguren til å gjette på hva 3 _2! og 5 _2! er for å se omden ønskede regelen gjelder.3025201510500 1 2 3 4 5Typiske kjennetegn ved utvidelserGammafunksjonen illustrerer godt hva en utvidelseav en funksjon eller operasjon til et nytttallområde innebærer. For det første videreføresnoen egenskaper, men ikke alle. Her videre føresegenskapenn! = n ·(n – 1)!Når vi utvider til en ny type tall, behøver ikkesvaret være av samme type. Som vi så ovenfor,gir utvidelse til brøker svar som er irrasjonaletall. Et siste poeng er at den utvidede funksjonener basert på et helt annet språk og en annenmatematikk enn den opprinnelige. Her er detsvært tydelig, men for elevene er problemet stortogså når vi for eksempel går fra multiplikasjonav positive hele tall til multiplikasjon av desimaltall.1/2006 tangenten

Tallmønstre som begrunnelseI mange tilfeller kan tallmønstre eller tallfølgervære en lovende måte å gi mening til regneoperasjonerpå utvidelser av tallområdet. Tallfølgen120, 24, 6, 2, 1, …kan brukes til å rettferdiggjøre at 0! = 1. Eleverkan oppdage at vi først har delt med 5, så med 4,deretter med 3 og så tilslutt 2. Da er det naturligå følge opp med divisjon med 1, slik at det nestetallet blir 1. Dette kan også skrives som5! = 120, 4! = 24, 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1, 0! =…For å gi elevene mer hjelp underveis kan vi tenkeoss en tallfølge hvor vi kan bevege oss både mothøyre og venstre.…, 1, 2, 6, 24, 120Vi kan først spørre etter regelen for å bevege segett skritt til høyre. Når den er etablert, kan eleveneutfordres videre til å finne regelen for å gåett skritt til venstre. Regelen for å gå mot venstreviser dessuten at det ikke er mulig å definerefakultetsfunksjonen for -1.Når operasjoner har to variable, kan vi imidlertidkomme opp i vanskeligheter. De to følgene…, 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0 4 , 0 5 , 0 6…, 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0gir nemlig to ulike kandidater for 0 0 . Dermed erdenne utvidelsen umulig å definere. Et mønsterkan altså motsies av et annet mønster!Ikke alle multiplikasjoner av negative tall kanforklares ut fra noen virkelig situasjon, se Rinvold[4]. Tallfølger egner seg på den annen sidegodt til å illustrere situasjonen (se tabell 1).Dette viser et system som gir svarene påmulti plikasjonene om disse er mulige. Akkuratsamme type tabell kan settes opp om 3 byttes utmed et annet positivt helt tall. Når det på pekes,formidles en generell sammenheng gjennom detspesielle. Slike mønstre og systemer forberederelevene på algebra.Algebraisk og formell begrunnelseFor noen elever, og ikke minst for læreren, erdet mulig å komme litt lenger enn det intuitive.Et slikt poeng er ønsket om at de samme formleneskal gjelde for utvidelsen som for de positivehele tallene. Regelen for multiplikasjon avto negative tall kan begrunnes ut fra at(x – a)(y – b) = xy – ay – bx + abgjelder for alle positive tall a, b, x og y slik atx > a og y > b. Hvis formelen også skal gjeldefor 0 og negative hele tall, må den spesielt gjeldefor x = 0 og y = 0. Når x og y erstattes med 0,får vi (–a)·(–b) = ab. Denne regelen for regningmed negative tall er altså en konsekvens avønsket om å videreføre de formlene som gjelderfor positive hele tall. I dette tilfellet ønsker vi åbevare gyldigheten av formler som inneholder+, – , · , =, parenteser og variable. En presiseringav dette hører hjemme i den matematiske disiplinensom kalles matematisk logikk. Eksempletmed umuligheten av å definere 0 0 viser at detkan gå galt selv om vi har sjekket at en formel3 + 2 = 5 3 – 2 = 1 3 · 2 = 6 (–3) · 2 = –63 + 1 = 4 3 – 1 = 2 3 · 1 = 3 (–3) · 1 = –33 + 0 = 3 3 – 0 = 3 3 · 0 = 0 (–3) · 0 = 03 + (–1) = … 3 – (–1) = … 3 · (–1) = … (–3) · (–1) = …3 + (–2) = … 3 – (–2) = … 3 · (–2) = … (–3) · (–2) = …Tabell 1: Freudenthal [2], s 281tangenten 1/2006 9

lir videreført. Ikke bare en, men alle muligeformler må videreføres. Abstrakt algebra ogmatematisk logikk kan brukes til å bevise dettenår utvidelsen er mulig.Utvidelse til brøker gjennom forfining avmønstreRegler for potensregning med negative eksponenterkan intuitivt innføres ved å fortsette tilvenstre tallfølger som2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 62 4 8 16 32 64Et skritt til høyre svarer til multiplikasjon med2. Divisjon med 2 fører oss ett skritt til venstre.Derav må 2 0 = 1 og 2 - 1 = 1 2. Brøkeksponenterkrever en annen type tenkning. For eksempelligger 1 midt mellom 0 og 1, og 3 2 2midt mellom1 og 2. Definisjonen av 2 3/ 2 krever en regel forå gå et halvt skritt til høyre. Operasjonen somutført to ganger i rekkefølge gir samme resultatsom å multiplisere med 2 en gang, er multiplikasjonmed 2 . Du ser den forfinede tallfølgeni tabell 2.7060504030201000 2 4 6 8Den grafiske fremstillingen sannsynlig gjør atvidere forfining vil gi en jevn og pen kurve sometter hvert vil se sammen hengende ut.I musikk finnes et eksempel på en slik forfining.En tone som er en oktav høyere enn enannen tone, har dobbelt så stor frekvens. I temperertstemming er det 12 like store halvtonesprangi en oktav. Vi går en tolvtedels enhet til12høyre ved å multiplisere med 2 . Mer om dettekan du finne i Skorpen [5], s 24–25 og Garland& Kahn [3], s 40–43.En utfordring til leseren er å bruke forfiningav tallmønstre til å studere og rettferdiggjørereglene for multi plikasjon av brøk. Utgangspunkteter at 1 · 1_ 2 , 2 · 1_ 2 , 3 · 1_ 2osv. svarer til gjentattaddisjon, men at det ikke er tilfelle for eksempelmed 1_ 2 · 3 og 1_ 2 · 1_ 3. God utforskning!Noter1 I matematikken er det ikke vanlig å bruke notasjonen! for annet enn positive hele tall og null.Dette kunne imidlertid vært gjort!2 Dette kan begrunnes geometrisk eller gjennominduksjonsbevis. Formelen er en variant av enPeacock brukte i 1845, se Daland [1], s 19.3 Dette kalles et relativt konsistensbevis for utvidelsenav addisjon og multiplikasjon fra positivehele tall til alle hele tall.4 Ideen er gammel. I boka Arithmetica Integrafra 1544 gjorde M. Stifel denne fortsettelsen,se Thomaidis [6], s 75 og Daland [1], s 23. Denegative tallene var imidlertid langt fra ferdigutviklet og etablert på den tiden.(fortsettes side 20)Tabell 2: Forfinet tallfølge2 1 2 3/2 2 2 2 5/2 2 3 2 7/2 2 4 2 9/2 2 5 2 11/2 2 62 2 2 4 4 2 8 8 2 16 16 2 32 32 2 64101/2006 tangenten

Svein H. TorkildsenVeier til algebraI møte med mange matematikklærere på ungdomstrinnethar jeg registrert to klare valgpå hva det er vanskelig å få skikkelig sving påi matematikkundervisningen: Sammensattekonstruksjonsoppgaver og algebra. Det skal herdreie seg om algebra, og vi tar da utgangspunkti den algebraen elevene møter til avgangsprøvenei matematikk. Det er også den type algebrasom dominerer de fleste læreverkene. Dener først og fremst kjennetegnet ved omformingav uttrykk (identiteter) og løsning av ferdigoppstilte likninger. Mange elever har glede avå arbeide med slike rene algebraiske uttrykk ogklarer seg rimelig godt. Men enda flere forstårikke vitsen med denne type aktivitet, og arbeidenederes bærer også tydelig preg av at de ikkebegriper hva de holder på med. De fleste medsensorerfaring vil nok kunne bekrefte at situasjonener slik.For snevert syn på algebra?Spørsmålet vi kan stille oss som et utgangspunkt,er om den tradisjonelle undervisningeni algebra er for smal. Dreier algebra seg i førsteSvein H. Torkildsen arbeider vedSamfundets skole, Kristiansandh-torkil@online.norekke om å omforme ferdig oppstilte algebraiskeuttrykk eller løse ferdig oppstilte likninger? Erdet slik at elevene først må lære seg å omformeuttrykk før de kan bruke algebraen til noe? Jegsvarer nei på begge disse spørsmålene og vilbegrunne det nærmere i denne artikkelen. Jeggjør det med et mer helhetlig syn på algebra,der algebra blir betraktet som et språk å utrykkeseg i og et språk å resonnere i. Går vi til sakenskjerne er det jo snakk om å bruke symbolerfor variable eller ukjente størrelser. Bruken avbokstaver for tall har en opplagt hensikt for densom først har sett fordelen med det. Jeg ser detsom viktig at elevene allerede fra første gang demøter bokstaver eller andre symboler for tall,opplever det i en sammenheng der symbolbrukenkan virke meningsfull.Historisk utviklingFørste setning i Euklids Elementer, Bok II:”Hvis vi har to rette linjer (som står vinkelrettpå hverandre) og en av dem deles i et antall linjestykker,er rektanglet som bestemmes av deto linjene lik summen av de rektanglene sombestemmes av den udelte linjen og hvert av linjestykkene”.Dette er et eksempel på retoriskalgebra, en generell sammenheng uttrykt i ord.Det er også et eksempel på geometrisk algebra ogsammenhengen er lett å illustrere.tangenten 1/2006 11

høydeA B Cinntil elevene blir fortrolige med det algebraiskesymbolspråket.12breddeSammenhengen kan selvsagt uttrykkes retoriskpå andre måter. Våre elever ville kanskje letterekunne forholde seg til dette uttrykket: ”Arealetav rektanglene A, B og C er til sammen likestort som arealet av det store rektanglet.” Dennemåten å uttrykke seg på forutsetter at en har entegning av figuren foran seg.Setter vi navn på sidelengdene, kan ogsåuttrykke denne sammenhengen ved beregningersom er uttrykk for arealet. Kaller vi høydeni de tre rektanglene for h og breddene hhv a,b og c, får vi h(a + b + c) = ha + hb + hc. Ensammenheng vi kjenner som den distributivelov. Denne måten å uttrykke sammenhenger påstartet på 1600-tallet. Vi har nådd fram til detmest avanserte nivået, symbolsk algebra. Om vinå tar med at som et skritt i utviklingen snakkervi også om synkopert algebra – en blanding avord og symboler – så har vi et godt grunnlag forå finne en pedagogisk vei fram til en grunnleggendeforståelse av algebra i vid forstand.Tre innfallsvinkler til variableMed utgangspunkt i den historiske utviklingenkan vi invitere elevene inn i algebraens verdenvia fire inngangsporter: Generalisert aritmetikk,formler, funksjoner og likninger. Vi tar her foross de tre første som handler om variable, oglar likningens ukjente ligge. Å ta utgangspunkti den historiske utvikling som ender opp i densymbolske algebraen, vil i en pedagogisk sammenhengbety at en f. eks. ikke starter med enformel, men lar den være sluttproduktet i enprosess der matematisk resonnering har spilten sentral rolle. Vi bør la den retoriske, synkoperteog symbolske algebraen leve side om sideFormler – komprimerte beregningsforskrifterLa oss bruke formler for areal og omkretsav enkle geometriske som eksempel. Tar viutgangspunkt i begrepene areal og omkrets, kanvi la elevene få to figurer å undersøke:Finn areal og omkrets. I etterkant kan vi snakkeom strategi. Den minste figuren får vi rasktoversikt på, men hva gjør vi med den største?Måten vi teller opp ruter (arealenheter) på, kanuttykkes på mange måter:– Ruter i hver rad gange radene.– Lengde ganger bredde– Lengde · bredde– l · bHer ser vi en prosess som går fra retorisk algebravia synkopert til symbolsk algebra.En annen måte å angripe problemet på, er atvi en stund holder oss på det retoriske planet.Alle sammenhenger blir uttrykt med ord. Såintroduserer vi den symbolske algebraen gjennomet utvalg uttrykk som presenteres for eleveneuten nærmere forklaring enn at uttrykkenehar noe med kvadrater og rektangler å gjøre.s · s · s · s s · s l + l + b + b2 · l + 2 · b 4 · b 4 · s2 · (l + b) 2 · s + 2 · s b + l + b + ll · b 5 · s b · lErfaringen min er at de fleste elevene da straksser hva uttrykkene forteller noe om. Siden flereav uttrykkene viser samme sammenheng, f. eks.omkrets av rektangel, har vi en god innfallsvinkeltil identiteter. Vi kan f. eks. se på identiteten1/2006 tangenten

2 · (l + b) = 2 · l + 2 · b og finne begrunnelser forat den må gjelde. Regneregler for parenteser fåren logisk begrunnelse i en situasjon der elevenelett finner støtte for tanken.Det fins en rekke muligheter for å lage identitetergjennom å skape uttrykk som viser sammenhenger.Vi bruker en bærebjelke i stål someksempel. Bjelken består av likesidete trekanterder siden er ett stålrør.lengde 3 lengde 511 stålrør 19 stålrørElevene skal finne en sammenheng mellomlengden på stålbjelken og antall stålrør. I enklasse kom det fram fire forskjellige forslag. Forslageneble uttrykt både retorisk og symbolsk(tabellen i faget boks).Det er kanskje unødvendig å si at klassenhadde arbeidet litt med at det noen ganger ernødvendig å bruke parenteser. I begynnelsen vilmange erfaringsmessig overdrive bruken. Menpoenget her er at vi igjen har en mulighet for åbruke uttrykk elevene har laget til å se på identiteter.Det skjer da i en kontekst elevene har sattseg inn i og som de kan argumentere ut fra. Detkan f. eks. være et mål å se på hvordan hvert avde tre andre uttrykkene kan omformes slik at deblir som det enkleste uttrykket, 4 · l – 1.Generalisert aritmetikkStøtten i geometri er nyttig i starten. I eksempleneover har vi allerede vist hvordan vi kanfinne identiteter med støtte i geometri. Men jeghar erfart at skal en utvikle forståelse for krafteni ren symbolsk algebra, må en også arbeidemye med situasjoner der en ikke har støtte igeometri. En av mine favorittaktiviteter er da ålokke noen personlige opplysninger ut av folk.En overheadkalkulator er god å ha. Jeg snurryggen til klassen og ber en elev slå inn tall ettermine instrukser:– Slå inn skonummeret ditt – et helt tall– Multipliser med 2– Adder 5– Multipliser med 50– Adder 1756– Subtraher året du er født i (fire siffer)– Avslutt med å trykke =(på noen kalkulatorer må en slå inn = forhver operasjon)Elever i 9. klasse kan godt prøve å komme oppmed en forklaring på hvorfor tallet i kalkulatorvinduetviser både skonummer og alderen dunår dette året.Etter å ha gått gjennom sekvensen noenganger, kan vi prøve å uttrykke oss algebraisk:(s · 2 + 5) · 50 + 1756 – fder s står for skonummeret og f står for fødselsåret.Før vi ser på dette utrykket har elevenegjerne argumentert for at ”dette har noe medårstallet i år å gjøre, for 50 · 5 + 1756 er 2006”eller at ”skonummeret blir først ganget medto og så med femti, og det er hundre gangerskonummeret”. Disse refleksjonene er ettermitt skjønn nyttige når vi skal snakke om regnereglenesom fører uttrykket over fram til100s + 2006 – f.lengden ganger tre pluss lengden minus en l · 3 + (l – 1)fire ganger en mindre enn lengden, og så pluss tre 4 · (l – 1) + 3fire ganger lengden, og så minus en 4 · l – 1lengden pluss to ganger lengden pluss lengden minus en l + 2 · l + (l – 1)tangenten 1/2006 13

Det artige er at det ofte er elever som kantilsvarende regneforskrifter som fører fram tiloverraskende resultater. De har gjerne undretseg over hvorfor det fungerer, og da er det bareå ta matematikken i bruk og finne en begrunnelseeller et bevis for at sammenhengen alltidmå gjelde. Samtidig som elevene får erfaringmed omforming av uttrykk, får de også oppleveen av algebraens klare fordeler. Vi beviser at noealltid må gjelde.Skal vi bruke algebra effektivt, trengs dettrening. På samme måte som vi trenger treningfor å bli stødige i de fire regningsartene. Dentradisjonelle omformingen av uttrykk vi drivermed i skolen, tjener en slik hensikt. Men det ernok ikke alltid elevene har oppfattet det! Ogda vil jeg hevde at de mangler en viktig kompetanse.Så her er det bare å jakte på de godesituasjonene som gir dobbel effekt: Trening iå omforme uttrykk, og erfaring med å skapeog tolke uttrykkene i en sammenheng. Det erspesielt dette siste som lider i det vi kan kalletradisjonelt arbeid med algebra.FunksjonerIgjen jakter vi på situasjoner som er enkle forelevene å forholde seg til. Og så kan vi jo slå tofluer i en smekk og se på volumet og overflatenav esker med like stor bunn men forskjelligehøyder. Melkekartonger er velegnet til formålet.Vi kan kutte melkekartonger i ulike høyderog beregne volumet av eskene vi får. Om nå eleveneikke for lengst er bundet opp i at det mesteav beregninger tar utgangspunkt i en formelnoen har gitt dem, kan vi gjennom samtale selvskape uttrykkene. Vi får her en enkel sammenhengsom kan uttrykkes med y = 49x. Eleverser sammenhengen med et retorisk uttrykksom f. eks. kan være ”volumet er like 49 gangerhøyden”.Hvordan varierer overflaten med høyden påesken? Har en tatt seg bryet med å lage noenesker, kan de enkelt kuttes opp og brettes ut slik14at en ser flaten for seg. Det er da en grei sak åberegne overflatene.Bunnen er like stor i alle eskene, 7×7 cm i enliters melkekartong. Det rektanglet som utgjørde utbrettede sidene på figurene har alle enside som er 4 ganger 7 cm, mens den siden somutgjør høyden i esken vil variere. Vi kan setteresultatene inn som tre tallpar i en tabell og trepunkter i et koordinatsystem. Høyden blir x-verdi og arealet y-verdi. Har vi flere esker blirdet flere tallpar og punkter. Igjen kan eleveneutrykke sammenhengen på flere nivå:– Retorisk: Overflaten er lik 49 pluss 28gange høyden– Synkopert: Overflate = 49 + 28 · høyden– Symbolsk: O = 49 + 28hOm nå elevene blir introdusert for den vanligemåten å uttrykke funksjoner på, y = 28x + 49 vilde neppe ha problemer med å tolke uttrykket.Først når det er etablert en forståelse for atfunksjoner har mange representasjoner, kantiden være inne for å studere rene funksjonssammenhenger.Jeg har da erfaring for at elevenevurderer det mer generelle uttrykket forlineære funksjoner – y = ax + b – med basis ide konkrete erfaringene de har fått anledningtil å dvele ved. Har vi arbeidet med kontekstenveksle valuta, vil vi kunne høre elever snakkeom at ”b er jo akkurat som da vi hadde vekslegebyr,da hoppet grafen oppover når gebyret(fortsettes side 20)1/2006 tangenten

Reinert A. RinvoldUlikheter og metaforerLineære ulikheter er et tema som har fått økendeoppmerksomhet i læreplanene for grunnskolen.Emnet fantes ikke i M87, men i L97 er ulikhetermed en ukjent tatt med i 9. klasse. I den nyelæreplanen kunnskapsløftet, [7] er ulikheter avførste grad et læringsmål for ungdomstrinnet ogVg1T. Begrensingen til en ukjent er ikke lengerfremhevet, men systemer av lineære ulikheterer heller ikke nevnt. Det siste tas likevel med iartikkelen for å gi en helhetlig behandling avtemaet. Løsings metodene for lineære ulikheterer de samme som for lineære ligninger bortsettfra ett viktig unntak. Ulikhets tegnet må snusnår vi multipliserer med et negativt tall på beggesider av ulikhets tegnet. Vi skal bruke denne forskjellensom et vindu inn til en dypere innsikti lineære ulikheter og ulikhets tegnene. Dessutenskal vi se på de begrepsmessige forskjellenenår tallbegrepet utvides eller det er mer enn enukjent. Som analyseredskap benyttes metaforteori,en retning innen matematikk didaktikkensom inter nasjonalt har fått mye oppmerksomhet.Reinert Rinvold arbeider vedNorsk lærerakademi Lærerhøgskolen.rar@lh.nla.noUlikhetstegnets symmetriegenskapNoen elever og studenter har problemer med ågodta at hvis 2 = x, så er x = 2. Jeg har sett studentersom har gått fra likheten 2 = x tilsom så omformes til2 – 2 – x = x – 2 – x–x = –2.Deretter multipliserer de med –1 på beggesider av likhetstegnet og får x = 2. En forklaringer at likhetstegnet blir tolket asymmetrisk.Utregninger har gjerne en retning fra venstremot høyre hvor likhetstegnet markerer at talleteller uttrykket på høyre side er en forenkling avdet venstre eller forrige. Derfor aksepteres ikke2 = x som et svar. Andre forbinder ligningermed omformingsregler, se [5, s 19]. Ligningerer noe som gjøres, et spill hvor det gjelder å følgespillereglene. Studentene har imidlertid ikkehørt om noen regel som tillater direkte omformingav 2 = x til x = 2.Også ulikhetstegnet har en form for symmetri,selv om den er litt mer raffinert enn denfor likhetstegnet. Symmetrien går på at vi likegjerne kan si at det første tallet er mindre enndet andre, som at det andre er større enn detførste. Et eksempel er:2 < 5 er likeverdig med 5 > 2tangenten 1/2006 15

fatningen av likhetstegnet som en asymmetriskkommando eller et omformings tegn. Her svarertall til vekter, større enn til tyngre og mindreenn til lettere. Ulikheten8 < x + 5spør i dette språket etter hvor tungt et ukjentlodd på høyre side kan være dersom det og etlodd på 5 kg til sammen er tyngre enn et loddpå 8 kg.Ulikhetstegnets symmetriske egenskap kanknyttes til det som skjer ved en 180 graders rotasjonav skålvekta om en akse gjennom balansepunktet.Modellen forklarer også at det kanlegges til eller trekkes fra like mye på begge siderav ulikhetstegnet. Når det tas vekk like mangekilolodd fra hver skål, påviker det ikke balansen.Det er også lett å se at det finnes flere løsninger.En skål som har vippet ned, forblir nede ved ålegge på flere lodd i den skåla. En begrensingved metaforen er imidler tid at lodd ikke kanha negativ vekt. Det eksem pli fiserer et genereltfenomen. Metaforer forklarer og tydeliggjørnoen egenskaper, men ikke alle. En av fallgruveneved meta forer er at de kan overskygge detmatematiske begrepet i stedet for å belyse det.Arbeid med konkreter garan terer heller ikke atelevene ser noen sammenheng mellom aktivitetenog symboler på et ark. Metaforteori erikke et nytt navn på konkretisering og aktivitetspedagogikk,men sikter til bevisst og aktiv brukav språket for å bygge bru mellom erfaringer ogabstrakte ideer.Aritmetikk som geometriDenne metaforen er hentet fra Lakoff og Nunezsom bruker uttrykket ”The Arithmetic Is GeometryMethapor.”, [2, s 49]. Begreper fra plangeometrienoverføres her til tallenes verden. Taller punkter på en linje, null er origo og størrelserer avstander fra origo til punkter. Større enner ”til høyre for” når linja er horisontal, eller”over” dersom linja er vertikal. Denne måten åtenke på er svært fruktbar for å forstå ulikheter.Nå spør ulikheten8 < x + 5etter startpunktet x, hvis vi beveger oss 5 enhetertil høyre og havner til høyre for punktet 8.Vi kan trekke fra like mye fra hver side av ulikheten,for eksempel 7, uten å endre de muligestartpunktene. Hvert valg av x svarer da til atde to sluttpunktene 8 og x + 5 parallellforskyves7 enheter mot venstre. Det påvirker selvsagtikke punktenes ordnings forhold. Negative taller også godt ivaretatt. Multiplikasjon av a med–1 gir -a; punktet a speilet om origo. En ulikhetsom8 < 13tolkes som at punktet 13 ligger til høyre for 8.Multiplikasjon med –1 på begge sider gir vedspeiling om origo at –13 ligger til venstre for–8.–8 > –13.Dermed gir metaforen en begrunnelse for atlikhetstegnet må snus i denne omformingen.En annen fordel er at metaforen muliggjør enhelhetlig tolkning av løsningene til en ulikhet.Løsningene utgjør en stråle eller et intervall. Eteksempel på beskrivelse av en løsning er ”allepunktene til høyre for punktet 3”.Metaforer og det fysiskeGeometri som metafor fører oss ikke direktetil hverdagserfaringer. Lakoff og Nunez kallerdet en ”linking metaphor” i motsetning tilen ”grounding metaphor”, [2, s 38]. På norskkan vi si at ”Aritmetikk som geometri” er enforbindelses metafor. Den skaper mening vedhjelp av en annen del av matematikken. For åkomme til fysiske erfaringer må vi se på grunnmetaforenetil den andre matematiske disiplinen.Tallinja bygger på erfaringer med tegningav linjer og telling. Meta foren inneholder imidlertidogså symboler for hele tall. English hevderat blandingen av visuell og symbolsk informa-tangenten 1/2006 17

sjon gjør metaforen så kompleks at eleven vanskeligser forbindelser mellom kroppslige erfaringerog det abstrakte. Hvis eleven må brukeenergi på tolkning av selve metaforen før denkan brukes til å forstå et abstrakt matematiskbegrep, vil eleven ofte se på metaforen og detmatematiske begrepet som to atskilte ting,[2, s 8].Elever tror ofte det er endelig mange punktermellom to heltall som 1 og 2. En grunn kanvære at tallinja ofte er tegnet med bare heltalligepunkter. Det kan føre til at elever ser tallinjasom steiner med hull mellom hver stein, [2, s 8].Tom rommet kan også tolkes som plass til eneller noen få steiner til. Andre vanlige metaforerfor et punkt er en prikk, et kryss, et merke elleret sted. Alle disse metaforene gir oss assosiasjonertil noe som har utstrekning. De gir dermedet dårlig grunnlag for den matematiske ideenom at punkter bare har posisjon. En løsning kanvære å påpeke at vi i prinsippet kan tegne såsmå prikker vi bare vil. Mate matisk svarer dettil å definere et punkt som en grense for sirklerhvor dia meteren går mot null. Metaforteorienkan altså gi kritiske innspill som kan påvirkeselve matematikken! En annen lærdom er atmetaforer må velges med omhu for å oppnå godlæringseffekt.Relasjoner på utvidelser av tallområdet”Er lik”, ”større enn” og ”mindre” enn ereksempler på relasjoner mellom tall. Relasjonerpå utvidelser av tallområdet gir elevene utfordringer,slik også utvidelser av funksjoner ogoperasjoner gjør, se [4]. I noen tilfeller kreverutvidelsen nye algoritmer, men enda viktigereer skiftene av de meningsbærende metaforene.Utvidelsen fra hele tall til brøk krever en nyregnemetode for å sammenligne størrelse. Forståelseav posisjonssystemet er ikke nok for åavgjøre hvilken av brøkene 3/7 og 5/11 som erstørst. Overgangen til desimaltall er regnetekniskikke så stor, men mange elever gjør feilnår de sammenligner 3,12 og 3,8. De oppfatter18desimaltallene som par av tall og tror 3,12 > 3,8fordi 12 > 8.Bruken av samme matematiske sammenligningstegntilslører den store begrepsmessige forskjellenmellom antall og størrelser. Et eksempelkan klargjøre dette:Hvilket tall er størst, 3 eller 8?Vi sier til elevene at 8 er større enn 3, men størreog mindre henspeiler egentlig på ut strekningeller omfang. I sistnevnte forstand er tallet 8minst. I forbindelse med positive hele tall ersamlinger av samme slags fysiske objekter denrelevante metaforen. Sammenligningsordene er”flere” og ”færre”. Om Kari har 8 epler og Olahar 3 epler, så har Kari flere epler enn Ola, mendet er godt mulig at Ola har de største eplene!Størrelser som lengde, høyde, beløp og vekter forholdsvis greie å forholde seg til. Dermeder de egnet til å skape forståelse for ”større enn”og ”mindre enn”. Matematiske størrelser somareal, volum, vinkelmål og sannsynlighet ermer krevende. I disse tilfellene krever størrelsessammenligningen både abstrakt begrepsinnsiktog kjennskap til regne- eller målemetoder.Hvilken av disse vinklene vil en elev tro erstørst? Sammenligningen krever uten tvil noemer enn hverdagsforestillingene om hva somer stort. Det kan derfor også være på sin plasså si at den venstre vinkelen har størst vinkelmål,snarere enn å si at den venstre vinkelen erstørst.Lineære ulikheter med to variableSystemer av lineære ulikheter med to variablehar en rekke anvendelser som kan øke meningentil temaet ulikheter for elevene. Det er lite nyttregneteknisk sett i forhold til en variabel, mengrafisk fremstilling innebærer en begrepsmes-1/2006 tangenten

En baker har 150 kg mel, 22 kg sukker og 25 kg smør. Han har to oppskrifter, en på kaker ogen på lefser. For å bake et dusin kaker trengs det 3,0 kg mel, 1,0 kg sukker og 1,2 kg smør. Til etdusin lefser trengs det 5,0 kg mel, 0,5 kg sukker og0,5 kg smør. Hvor mange dusin kaker og lefser kanlages med disse råvarene?Settes x til antall dusin kaker og y til antall dusinlefser, får vi disse tre ulikhetene for henholdsvis mel,sukker og smør:3x +5y ≤ 150x + 0,5y ≤ 21,2x +0,5y ≤ 25Dessuten er x ≥ 0 og y ≥ 0. Hvert punkt i det skraverteområdet i figuren til venstre er en mulig løsning.Et punkt representerer et par av tall, et tall forhver variabel.sig utvidelse. Hver ulikhet svarer nå til en rettlinje i planet. Disse linjene avgrenser områderavhengig av retningen på ulikhetene. Eksempeleti rammen på neste side er basert på [6] 1 .I et koordinat system i planet trenger vi bådeordparet høyre/venstre og opp/ned. Vi kanutforske ulikheten ved å forestille oss at entenkt aktør 2 forflytter seg i planet. Vann rettforflytning svarer til at verdien av y holdes fastog loddrett til at verdien av x fastholdes. Denøverste ulikheten over er knyttet til den rettelinja m med ligning3x + 5y = 150Starter vi med et punkt på linja, for eksempelx = 30, y = 12, holder verdien av x fast ogsenker verdien på y, blir 3x + 5y < 150. Altså ersistnevnte ulikhet oppfylt av punktene underlinja m. Ved å holde y fast og senke x får vi atm er oppfylt av punktene til venstre for linja.Under og til venstre for linja innebærer altså detsamme. Forflytningen til aktøren kan visualiseresgjennom et dynamisk geometriprogram somCabri geometri. Der kan et punkt plasseres påen linje i et koordinatsystem. Det er mulig å lakoordinater og verdien av 3x + 5y oppdateres isann tid mens punktet flyttes langs for eksempelen loddrett linje.Holder vi oss borte fra systemer og nøyer ossmed en ulikhet med to ukjente, vil forståelsen avden grafiske fremstillingen kunne styrke elevenesarbeid med funksjonssammenhenger. For åforstå når 3x + 5y er lik 150, er det klargjørendeå se når uttrykket er større eller mindre enn 150.En god begrepsmessig behandling av ulikhetermed en ukjent vil også bidra positivt til at eleveneutvikler en symmetrisk forståelse av likhetstegnet.Metaforteorien er et hjelpemiddel for åklargjøre begrepsmessige forskjeller som ikkeses i den formelle matematikken. Settes fokusetbare på regneteknikk, kan imidlertid de småforskjellene mellom ligninger og ulikheter væreforvirrende. Den gunstige samvirkning avhengerav at du som lærer ser ulikhetene mellomlikhet og ulikhet og ulikheter i mellom!tangenten 1/2006 19

Noter1 Datamaskiner blir brukt til å maksimere enlineær funksjon av de to variablene når devariable også skal løse et system av lineæreulikheter. Dette blir kalt for lineær programmering.2 I metaforteorien benyttes betegnelsen ”Mathematicalagents”, se [2, s 33].ReferanserDaland, E (2000). Negative tall – en historisk tilnærmingtil dagens undervisning. ProsjektoppgaveHiA, våren 2000.English, L D (1997). Mathematical reasoning.Analogies, Metaphors and Images. LawrenceErlbaum Publishers.Lakoff, G (1987). Women, fire and dangerous things.The University of Chicago Press.Rinvold, R A (2006). Regneoperasjoner i utvidelserav tallområdet. Tangenten 1/2006.Sfard, A & Linchevski, L (1994). Between arithmeticand algebra: In the search of a missing link: thecase of equations and inequalities.Sydsæter K & Øksendal B (1977) Lineær algebra.Med en innføring i lineær programmering. Universitetsforlaget.Utdanningsdirektoratet 2005. Læreplaner for kunnskapsløftet.(fortsettelse fra side 14)ble større”. Eller ”a er som kursen, kurven blebrattere når den økte”.KonklusjonAlgebra kan med fordel introduseres i konkretesammenhenger, og et grundig arbeid med åskape omforme og tolke uttrykk bør dannebasis i grunnskolens algebra. Først da vil øvingenpå omforming av rene algebraiske uttrykkvirke meningsfull.Referanser[1] Breiteig/Venheim: Matematikk for lærere 2,Tano-Aschehoug 1999[2] Nämnaren Tema: Algebra för alla[3] Bednarz m fl: Approaches to Algebra, KluwerAcademic Publishers 1996 ·(fortsettelse fra side 10)Referanser[1] Daland, E. (2000). Negative tall – en historisktilnærming til dagens undervisning. ProsjektoppgaveHiA, våren 2000.[2] Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an EducationalTask. D. Reidel publishing company.[3] Garland T. H. & Kahn C. V. (1995). Math andMusic. Harmonious Connections. Dale SeymourPublications.[4] Rinvold, R. A. (2001). Negative tall og algebra.Tangenten 1/2001, s 11–14.[5] Skorpen, L. B. (2004) Å uttrykke musikk vedhjelp av tal. Tangenten 4/2004, s 19–25.[6] Thomaidis Y. (1993) Aspects of NegativeNumbers in the Early 17th Century. Scienceand Ecucation, 2, s 69–89. Kluwer AcademicPublishers.201/2006 tangenten

Janne Hellenes, Gunn Hege KarlsenMysteriet med det skjulte kortVi sitter på ei hytte på fjellet og imponerer folkmed korttrikset vårt. Men det tar ikke så langtid før ni stykker er lei av det samme korttrikset.Og til slutt begynner vi å lure på hvorfor dettetrikset egentlig virker. Vi sitter og grubler pådette, på ei hytte langt inne på fjellet, og til sluttkommer vi også fram til et slags svar. Men nårvi reiser, blir svaret liggende igjen etter oss.Da vi så fikk en fri oppgave på skolen,begynte vi igjen å gruble: Hvordan var det nåegentlig det korttrikset virket? Vi kunne jo ikkegå opp på fjellet og hente svaret som kanskje varKorttriksetVi bruker en vanlig kortstokk med 52 kort.1. Legg et kort åpent på bordet og se på verdien. Eks: 8.2. Legg nye kort oppå det første kortet med billedsiden opp. Tell kort opp til tretten (som er dethøyeste kortet i bunken). Eks: (8)–9–10–11–12–13. Fem kort oppå åtteren.3. Legg et nytt kort åpent på bordet. Eks: 10. Gjenta det samme som du gjorde under punkt 2,men nå må du begynne å telle på 11 i stedet for 9. Eks: (10)–11–12–13. Tre nye kort oppå tieren.4. Fortsett slik til kortstokken er oppbrukt. Blir det noen ekstra kort på slutten, slik at bunken ikkegår opp til tretten, legger du disse kortene vekk.5. Lukk øynene og be en annen snu tre av bunkene med baksiden opp og samle sammen restenav kortene i ei bunke. (Også den bunken som eventuelt ikke gikk opp til tretten.)6. Be ham nå snu det øverste kortet i to av bunkene som ligger med baksiden opp. Eks. på åpnekort: 5 og 3.7. Ta alle kortene som han samlet i en bunke og begynn å telle: Verdien av de to åpne kortenepluss ti. (5 + 3) + 10. Legg fem kort på bordet, tre kort og ti kort på bordet.8. Antall kort du nå har igjen på hånda, er det samme som verdien på det øverste kortet i den sistebunken. Bare snu og se!Denne artikkelen er hentet fra boka Matematikk & undervisning - Norden 2000. Janne Hellenes ogGunn Hege Karlsen var dengang elever i 9. klasse ved Samfundets skole Kristiansand.Gunn Hege studerer nå ved Høgskolen i Agder, gunnhe04@stud.hia.noJanne studerer ved Høgskolen i Sør-Trøndelag, fastball_6@hotmail.comtangenten 1/2006 21

orte, så vi måtte begynne på nytt. «Hvordan?»og «Hvorfor?» var de store spørsmålene.Og så var vi i gang igjen.Finn fram kortstokken og bli med oss i jaktenpå svarene!Vi satt og studerte korttrikset. Spesielt lurte vipå hvorfor vi måtte telle til ti når vi skulle finneverdien av det skjulte kortet. Man må jo telleopp så mange kort som verdien av de to åpnekortene, og så telle opp ti kort ekstra. Hvorforti?Janne får en idéVi drev og forsket litt på dette, og plutselig fantJanne ut en annen måte å gjøre korttrikset på.I stedet for å telle til tretten på begynnelsen nårman legger ut bunker, så kan man telle til tolv.Blir det første kortet i bunken 13, må man bareputte kortet inn i kortstokken igjen og ta et nyttkort. Deretter må man snu fire bunker i stedetfor tre. Og når man skal finne verdien av detskjulte kortet, slipper man å telle opp ti kortekstra. Man kan bare telle opp så mange kortsom verdien av de tre åpne kortene.For å gjøre korttrikset enda lettere å arbeidemed, fant vi ut at vi kunne ta ut alle billedkortene(konge, dronning og knekt). Da ble detfærre kort, og mindre tall å forholde seg til. Nåer det høyeste kortet i bunken altså 10, og nårman legger ut kortene i bunker på begynnelsenmå man telle til ni. Blir det første kortet i enbunke 10, må man bare putte kortet inn i kortstokkenigjen og ta et nytt kort.Når du har tatt ut og snudd fire bunker ogåpnet tre kort, sitter du og ser på tre åpne kortog et lukket. Hva skjuler seg under det lukkedekortet?Dette kan vi finne ut med å telle på måten viskrev over. Men hvorfor stemmer dette?Vi forteller med tallVi begynte å forklare læreren korttrikset for å fånoe hjelp, men på grunn av hans lettere rustne22hjerne tok dette litt lang tid. Etterhvert somhan skjønte mer av det vi gjorde, ga han oss dengode ideen å skrive opp hva vi gjorde – hvilkeregnestykker som egentlig blir gjort i korttriksetmed 40 kort.· Vi skrev opp tallene på de åpne kortene.Første kolonne i tabellen under.· Vi telte oss frem til hvor mange kort detvar i hver av bunkene, og skrev opp tallene.Andre kolonne.· Vi fant også ut at for å finne ut antall kort,kan vi ta 10 – som er det høyeste korteti kortstokken – minus tallet på det åpnekortet (7, 5 eller 2). Siste kolonne.Tall pååpnekortAntallkort ibunkenFormelfor antallkort ibunken7 3 = 10 – 75 5 = 10 – 52 8 = 10 – 2Så skal vi begynne å telle for å finne ut hva somskjuler seg bak det fjerde kortet.· Hele kortstokken inneholder nå 40 kort,siden vi har tatt vekk bildene.Hvor mange av disse 40 kortene sitter vi igjenmed på hånda og i den skjulte bunken?Vi ser på hva vi har tatt bort:· I bunken med kort 7 øverst, er dettil sammen 10 –7 kort· I bunken med kort 5 øverst er dettil sammen 10 – 5 kort· I bunken med kort 2 øverst er dettil sammen 10 – 2 kort· Når vi teller og legger ned kort, trekkervi vekk syv, fem og to kort. Vi teller vekksamme antall kort som verdien av de åpnekortene.1/2006 tangenten

Vi forteller det samme med tall og regnetegn:40 – (10 – 7) – (10 – 5) – (10 – 2) – 7 – 5 – 2Vi tar vekk parentesene:40 – 10 + 7 – 10 + 5 – 10 + 2 – 7 – 5 – 2Siden vi tar + 7 + 5 + 2 og – 7 – 5 – 2 er dettelik null.40 – 10 – 10 – 10 = 10Det vi egentlig har gjort nå er å trekke bortkort slik at det vi sitter igjen med på håndapluss kortene i den skjulte bunken er ti kort tilsammen.På hånda har vi nå til slutt tre kort. Detvil si at det er syv kort i den skjulte bunken. Ien bunke med syv kort er en treer det øverstekortet i bunken. Helt i starten må vi ha lagt utog telt slik på den bunken:(3) – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 i alt syv kort.Eller: 10 – skjult kort = 7Mysteriet om det skjulte kortet er løst.Slik blir det alltidFormelen for antall kort i en bunke: 10 minustallet på det åpne kortet. Eks: 10 – 7 = 3Formelen for å finne verdien av det øverstekortet er da: 10 minus antall kort. Eks:10 – 3 = 7Tall pååpne kortabcAltså tar vi bare nå:Formelfor antallkort ibunken= 10 – a= 10 – b= 10 – c10 – kortene på hånda= antall kort i den skjulte bunken.10 – antall kort i den skjulte bunken= verdien av det øverste skjulte kortet.Dette stemmer uansett hvilke tall de åpne korteneviser. De åpne kortene er altså variable.40 – (10 – a) – (10 – b) – (10 – c) – a – b – c40 – 10 + a – 10 + b – 10 + c – a – b – cSiden vi tar + a + b + c og – a – b – c er dettelik null40 – 10 – 10 – 10 = 10Nå har vi altså trukket bort kort slik at det visitter igjen med på hånda pluss kortene i denskjulte bunken er ti kort.Det øverste kortet i skjult bunke har verdien d.Antall kort i skjult bunke: 10 – d.Antall kort på hånda er e.Antall kort på hånda:10 – (10 – d) = eVi løser opp parentesene:Tall pååpne kortab10 – 10 + d = ed = eFormel forantallkort i bunken= 14 – a= 14 – bDet øverste kortet i bunken har samme verdisom antall kort på hånda.Det egentlige korttriksetVi skal nå med variable forklare korttrikset slikdet egentlig er.(fortsettes side 27)tangenten 1/2006 23

Else AarøKort som hjelpemiddeli begynneropplæringi algebra og likningerI en utstyrsfattig skole fant jeg ut at kort var etgodt hjelpemiddel i undervisningen. I tilleggtil vanlige spillkort har jeg kjøpt blanke kortsom jeg enten bruker blanke eller skriver påetter behov. Hvis en deler elever inn i grupperetter matematikkinteresse/evner, er det lettereå bruke ”konkretiseringsmateriell”, og de forskjelligeelevgruppene får jobbe med kort sålenge de har behov for det. Et år hadde jeg et3-timers repetisjonskurs i algebra og likningerfor de som ”ikke skjønte noe”. Det var 32 gladeelever som gikk ut fra det kurset!Jeg bruker kort i begynnerinnlæringen ialgebra og likninger. Jeg har selvsagt ark medpassende regnestykker parat innimellom all”leken”, og vi har mange diskusjoner om hvilkestrategier vi bruker. Det er veldig motiverendemed en drops eller kjærlighet som premie der viklarer å lage konkurranse av det. Mange ”svake”elever synes det er godt å se at de faktisk harbrukt algebra i årevis. Det er viktig at de ogsåmestrer enkel algebra. Det gjør noe med selvtilliten.Det er utrolig fint å se hvor mye disseelever får til når de blir motivert og når de serat de kan.Else Aarø underviser vedStoretveit ungdomsskole i Bergenelse.aaro@bergen.kommune.no24AlgebraAritmetikk (regnestykker, erstatte variabler)Jeg deler ut noen kort til hver elev/elevpar,og sørger for at alle får noen billedkort, noerøde, noen svarte og at de har minst 2 like kort.Jokerne er også med. Først har vi konkurranseom hvem som har flest poeng. Vi blir enige omhvor mye bildekortene og jokeren skal væreverdt, og deretter må elevene legge sammenverdien av alle kortene sine. Når vi har funneten vinner, spør jeg: Hvordan talte dere? Elevenebruker gjerne flere strategier som kan diskuteres.Hva er mest hensiktsmessig i forskjellige tilfeller?Jeg påpeker for elevene at de faktisk harregnet algebra i mange år, for det er det de gjørnår de f. eks. erstatter A med 14 eller 1 poeng.Nå skal vi gjøre det samme, men dennegangen skal de svarte kortene ha positiv verdiog de røde negative. Vi kårer en vinner, og diskutererstrategier igjen. De fleste har sortertkortene i en bunke svarte kort og en med rødekort. Noen elever vil for eksempel pare en rød3-er med en svart 3-er da summen blir 0. Viskriver ned regnestykkene våre. Heretter vil defleste elevene finne det hensiktsmessig å sorteretallene før de regner og finner differansen.Har de flest negative tall, er svaret negativt ogomvendt.Tidligere var denne måten å føre på en formfor kladd, men nå lar jeg dem føre stykkene1/2006 tangenten

slik. Når vi senere tegner slike +/– skjema forflere bokstaver, kaller vi det gjerne for en kirkegård,da det ser slik ut med alle korsene. Desorterer tallene og fører dem opp på +/– sidenav ”korset”. De summerer + og – siden hver forseg. De finner så differansen mellom det som erpå +siden og det som står på – siden.bruker gjerne terning til å bestemme verdien ava, b og c. Elevene ser fort at dette er det sammesom de har gjort før (og synes dette er lettere,fordi vi alltid velger små, positive verdier først.)Når dette går greit, kan vi bruke negative tallogså. Etterpå finner vi lignende oppgaver ibøkene og regner dem.LottokupongHver elev skriver opp sin personlige kortrekke ipermen på kladdeboken. Vi blir enige om hvormange kort vi kan ha, og vi setter begrensningerpå hvor mange billedkort vi har. De kan f.eks.ha: 2 konger, 1 ess og 10, 9 og 8. Hver matematikktimestarter med at elevene tar fram sinfaste ”kupong”, og jeg skriver opp hvilke kortsom skal være positive og negative, og hvilkenverdi ess og joker skal ha denne dagen. Så servi hvem som har høyest sum. Dette er en greianledning til å bruke uttrykkene: oddetall,partall og primtall og eventuelt tall i sammegangetabell. Vi kaller kortkombinasjonen våren formel.De første formleneNå får elevene oppgaver der jeg bruker bokstavenea, j, d og k av typen: 3k + 2d + 8 =. Herbetyr a: ess, j: knekt, d: dame og k: konge.Verdien av a bestemmer vi sammen. Eleveneregner nå ut hva svaret blir når k = 13, d =12og j = 11. Elevene kan godt skrive 13 + 13 + 13istedenfor 3 · 13 når de regner ut svaret. De somtrenger det kan bruke kort for å ”illustrere”stykket.Så viser jeg noen kort med andre bokstaverpå, for eksempel a og b, og jeg skriver en nyoppgave på tavlen: 4a + 3b = Jeg opplyser omhvor mye a og b er verdt, og klassen finner utsvaret. Hvis a = 2 og b = 3, har jeg gjemt vanligetallkort med disse verdiene bak bokstavkortene.Når elevene tror de vet svaret, snur jeg korteneog de får se tallkortene og kan sjekke om dehar regnet riktig. Så deler jeg ut kort der jeg harskrevet a, b eller c sammen med tallkortene. ViNå lar jeg elevene sitte i par eller små grupper,og hver gruppe får en bunke kort som inneholderomtrent like mange svarte (positive)som røde (negative) kort, Gruppene deler utlike mange kort til hver elev, alle regner ut hvormange poeng de har og skriver dette ned. Så skalde trekke kort hos hverandre. Hvilke regneoperasjonblir dette for den som mottar kortet?Hvilke regneoperasjon blir for den som misterkortet? Spiller det noen rolle om det er et svartkort (positivt) eller rødt kort (negativt)? Eksempel:En elev trekker en rød 3-er fra en annen.Hvis eleven har summen –8 fra før, og trekker–3, ser regnestykket hans slik ut:–8 + (–3) = –8 – 3 = –11,og hvis den som har summen 4 mister –3, sertangenten 1/2006 25

hans regnestykke slik ut:264 – (–3) = 4 + 3 = 7.Jeg pleier å gå igjennom dette grundig før vibegynner, og da bruker jeg store kort (A4 ark)på tavlen. Elevene blir veldig lei seg når de fåret negativt tall og veldig glad når de mister etnegativt tall, og de husker ganske fort at minus(å kvitte seg med) et negativt tall er et pluss. Jeglar gjerne elevene ta mange runder med dette.De passer på hverandre slik at alle får riktigpoengsummen. Hvis det går i ball, kan de jotelle kortene sine og komme a jour igjen. Deavtaler på forhånd hvor mange runder de skalha i hvert spill. Det er viktig å fokusere på hvasom er regnetegn og hva som er fortegn. Elevenefår så utlevert regnestykker, men de kan brukekort hvis de trenger.Plastlomme-parenteserJeg har også små plastposer med lås. Jeg leggernoen kort i hver og passer på å legge nøyaktigde samme kortene i hver pose. Man kan ogsåbruke like esker eller konvolutter, men posenetar mindre plass og er greiere å håndtere. Hverpose skal nå illustrere en parentes. Om du girelevene et par poser, vil de fort finne ut hvormange poeng de har uten at de trenger å åpnealle posene. Nå kan vi også skrive symbolerfor billedkortene. Da er det lurt å bruke k forkonge og d for dame. Får eleven 3 poser somhver inneholder en svart konge og en rød 4, serregnestykket slik ut: 3(k – 4) og de lærer rasktat de da har 3k – 12. De kan også åpne posene,sortere kortene og sjekke svaret.Mange elever synes det er best å føre slik:3(2k + 5) =2k + 52k + 52k + 5= 6k + 15Denne måten å løse slike regnestykker på,bruker mange elever når de regner algebra. Litttungvint, men de skjønner godt hva de gjør. Jegbruker til slutt også kort med andre bokstaver.Vi diskuterer også hvordan en må skrive dethvis en gir fra seg poser.Flere formlerJeg lar elevene ha mange kort foran seg (gjernesortert etter farge og størrelse). Elevene lager nåegne regnestykker: for eksempel 4(k + 5) = .Nå skal de finne kort som illustrerer regnestykket.De kan godt bare legge kortene i bunkereller bunte dem sammen med gummistrikk,stor binders eller lignende. Nå kan de ogsåbruke andre bokstaver enn a, j, d og k. De leggerbunkene foran seg, og skriver det de ser i kladdeboken.Elevene får nå lage oppgaver som –3(Q – 7) =og jobber en stund med dette. Det er viktig åfokusere på regneoperasjonen å ta bort noenegativt. Verdien av Q avtaler vi i felleskap. Någår vi også over til å bare bruke andre bokstaver,f.eks. a, b og c. Elevene lager oppgaver av typen4(a + 5), bruker kort og finner svaret. Vi samtalerhele tiden om det vi gjør og kommer framtil at fortegnet foran parentesen viser regneoperasjonen,tallet foran parentesen viser antallposer og det som står inne i parentesen er detsom er i posene. Siden er det lett å klare å regnesammensatte oppgaver av typen:2(3a + b) + 3 – 3(b – 4) + 2(3b – 2a) =Elevene regner hvert ledd for seg, og bruker”kirkegården” til slutt. De svakeste elevenejobber bare med dette mens de flinkeste kan gåvidere og regne med potenser. Det tar tid å gjørealt dette, men fordelen er at de skjønner hva degjør, det er ikke noe ”hokuspokus” her.LikningerKort er et greit supplement til pinner, esker ogvekter. Det kan være greit å lage store kort nåren gjennomgår opplegget i full klasse. Vanskelighetsgradenkan lett varieres, og elevene kanlage oppgaver til hverandre.1/2006 tangenten

Hva mangler?Vi starter meget lett, og her er et eksempel påhva vi gjør: Ha to bunker med like kort i hver,en bunke i hver hånd. Vis kortene, men snu etkort i ene bunken så elevene ikke kan se verdienav det. De ser fort hvilket kort som mangler.Gjett et kortHa to bunker som har like stor sum, men ikkenødvendigvis samme kort. Snu et kort i den enebunken. Hold kortene opp og la elevene finneverdien til det snudde kortet. Diskuter hvordande kom fram til rett svar. Så er det bare å fortsette.En kan ha flere snudde kort på sammehånd, og kanskje noen på begge hender. En måselvsagt understreke tydelig at når det er fleresnudde kort har alle samme verdi. Det er utrolighva elevene klarer hvis de har noe litt merkonkret enn regnestykker. Til slutt har jeg kortmed x på i stedet for snudde/ blanke kort.(fortsettelse fra side 23)Antall kort igjen i skjult bunke og på handaetter at vi har lagt ned kort:52 – (14 – a) – (14 – b) – a – b – 1052 – 14 + a – 14 + b – a – b – 1052 – 14 – 14 – 10 = 14Antall kort i skjult bunke pluss antall kort påhånda er til sammen 14 kort. Hvorfor er triksetlaget slik at man har akkurat 14 kort igjen tilslutt? Hvorfor ikke 13?Svaret er ganske enkelt: 14 dekker alle behov.Eks: Hvis ess (1) er det øverste kortet i bunken,inneholder bunken tretten kort til sammen, ogman har ett kort på hånda.13 + 1 = 14.Hvis konge (13) er det øverste kortet, inneholderbunken til sammen ett kort, og man har da trettenkort på hånda. 1 + 13 = 14.Men hvorfor trekker man i tillegg vekk akkuratti kort?Dette svaret er også enkelt. Man trekker vekkti kort fordi man vil sitte igjen med fjorten korttil slutt i den skjulte bunken pluss kortene påhånda.Når man gjør korttrikset på vår forenkledemåte trenger man ikke å telle opp ti kort ekstrapå slutten. Grunnen til at korttrikset ikke blelaget på denne måten, er at man da slipper denekstra regelen med å putte kongen (13) inn ikortstokken igjen hvis dette blir det første korteti bunken.Interessant og utfordrendeNå er vi endelig ferdige med å forklare degdette korttrikset slik vi har arbeidet med det frabegynnelse til slutt. Håper du har fått noen nyeinteressante kunnskaper. Hvis ikke har jo heledette vanskelige, utfordrende arbeidet vært forgjeves.Eller ikke helt, for uansett har det vært etinteressant og utfordrende arbeid for oss – littutenom de vanlig matematikktimene.tangenten 1/2006 27

Per-Eskil PerssonMagikerns kvadratKejsaren Yu stannade plötsligt till på sin raska promenad i den tidiga morgontimmen. Vad vardet egentligen han skymtat i floden Luos grumliga vatten? En krusning på ytan som om någontingstort rörde sig in mot stranden, rakt emot honom där han stod som fastfrusen.En blank sköld höjde sig ur vattnet, och kejsaren kunde känna en märklig utstrålning från djuret,som mödosamt kravlade upp på sanden. Det glänste som guld i morgonsolen, och i sitt hjärtavisste han att sköldpaddan inte var av denna världen. Himmelens härskare Taiyi måste ha säntden i ett speciellt ärende till honom, Yu.Nu såg han vad han inte lagt märke till förut. På sköldpaddans skal avtecknade sig svarta och vitapunkter, som satt tillsammans i nio grupper. Mitt på sköldpaddans skal var 5 vita prickar och kringkanten satt 1, 8, 3, 4, 9, 2, 7 och 6 prickar, varannan grupp vit och varannan svart. Det här måstebetyda något förfärligt viktigt, men vad? Yu var väl bevandrad i kinesisk talmagi, och visste att deudda, vita talen var yang och de jämna, svarta talen var yin. Yang var den positiva energin och yinden negativa. För att en stabil värld skulle kunna existera, måste yinyang-balansen upprätthållas.Yu såg, att yin fanns vid var och en av sköldpaddans fötter och yang fram och bak, på sidornaoch, naturligtvis, mitt på skölden. Men talen var också ordnade i ett annat, ännu mer perfektmönster ...Kejsaren Yu förstod med ens vad Taiyi ville visa honom. Det var ju en plan över Kina och hurflodernas översvämningar skulle lindras och istället utnyttjas för bevattning! Mänskligheten hadeplågats av en sekellång översvämning, som tvingade många upp i bergen eller i trädtopparna ochsom förorsakade en fruktansvärd svält. Vattnet var fyllt av drakar och ormar som slukade allt dekom åt. Nu såg kejsaren klart hur allt skulle kunna göras. Sköldpaddan gled med ens ljudlöst neroch försvann ur synhåll i det gula vattnet. Yu skyndade mot palatset för att kalla samman sinaministrar. Nu måste handling till, och Taiyi hade stakat utvägen.Yu skulle snart komma att bli känd som den storemagikern och schamanen, vattnens mästare, somräddade mänskligheten från att bli dränkt. Han ordnadeutlopp för vattnet genom att föra de nio floderna ut till defyra haven, och lät sedan rensa och fördjupa kanaler ochdiken och leda dem till floderna. Drakarna och ormarnaförsvann till havs med vattnet och nu kunde låglandetodlas och bebyggas och de svältande människornakunde få mat. Det magiska mönstret blev känt somLuoshu, den första magiska kvadraten:281/2006 tangenten

Magiska kvadrater har kinesiskt ursprung ochäven om de också förekommer i många kulturerså har dessa talmönster haft allra störst betydelsei kinesisk kultur. Med hjälp av ett styckekinesisk historia inbjuds ni här att ta del av demagiska kvadraternas mysterium.Kejsaren Yu levde c:a 2200 f. Kr., och var grundarenav Xia-dynastin i Kina. Om hans storverkberättas ännu i våra dagar många historieroch legender. Det finns också ett ordspråk, somsäger: ”Om inte Yu hade varit skulle vi alla varitfiskar”. Om den magiska kvadraten vet man attdess ursprung är kinesiskt, men att den sedanspritts till i första hand de hinduiska och islamiskakulturerna, och senare till de judiska ocheuropeiska. Men ingenstans har detta talmönsterhaft och har ännu så genomgripande betydelsesom i kinesisk kultur.Förutom yinyang-aspekten innehållerLuoshu flera andra, för kineser viktiga, talmagiskaegenskaper. Talet 5 representerar kejsaren,Kina, mitten och de traditionella fem elementeni kinesisk kosmologi: eld, jord, metall, vattenoch trä. Talet 9 stod för fullbordande, och vardet kraftfullaste yang-talet. Summan av allatalen i Luoshu är 45, vilket är 5 multipliceratmed 9. Summan i varje rad, kolumn eller diagonalär 15, alltså 5 multiplicerat med kvadratensordning, 3. I kvadratens hörn finns yin, ochyang bildar ett kors i mitten. Yang balanserasav det kraftfullaste yin-talet 10, som inte återfinnsdirekt i Luoshu. Men 45+10 = 55, och siffersummanav 55 är 10, så talet anses indirektfinnas med i mönstret. Olika metafysiska teorier,gudomlighet och spådomskonst har kopplatstill talmönstret och lever fortfarande kvar iden kinesiska kulturen, bl.a. inom Tai Chi ochFeng Shui.Under Zhou-dynastin (1122–256 f. Kr.) byggdesMingtang, ett kosmiskt tempel där kejsarnabad till himlen för imperiets räkning. Templetvar utformat som en kvadrat, som representeradeJorden. Det var indelat i nio ceremonirum,som bildade de nio jordiska territorierna alternativtKinas nio provinser. Kina var ”Mittensrike” och placerades självklart i kvadratensmitt. Talen 1 till 9 förknippades med rummenenligt Luoshu, som alltså blev en karta över detkinesiska universat, som också var underlag förkejserliga beslut och som bestämde framtiden.Även himlen och dess gudar följde mönstret,och himlens härskare, Taiyi, besökte årligenhimlens palats i ”Yus steg” eller Yubu. Omstegen ritas ut blir det en lyckosymbol inomtaoismen och samtidigt en minnesregel för hurtalen ska skrivas in:4 9 23 5 78 1 6Dene artikkelen har vi hentet fra vårt svenskesøstertidsskrift Nämnaren, nr. 3/2004.Per-Eskil Persson är lärarutbildarepå Malmö högskola och har tidigarearbetat som gymnasielärare.per-eskil.persson@lut.mah.seVilka är då villkoren för en äkta magisk kvadrat?Jo, summan av talen i varje rad, kolumnoch diagonal ska vara lika. Det finns inga kravpå vilka talen ska vara, men oftast har de någotspeciellt förhållande till varandra. I det vanligastefallet består talen av på varandra följandeheltal från 1 och uppåt. Kvadraterna kan vara avtangenten 1/2006 29

tredje ordningen med 3×3 tal, fjärde ordningenmed 4×4 tal, osv. Luoshu består alltså av talenentalen 1 till 9, vars summa är 45. Varje rad,kolumn och diagonal får då summan 45/3 = 15.Men vilka villkor gäller egentligen för hur talenfår placeras? Vi symboliserar dem med bokstävernaa–i och summan med S:30a b cd e fg h iDå gäller för diagonaler och mittkolumn:(a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)=3·SVänsterledets termer omfördelas till:(a+b+c)+3e+(g+h+i)=3·SS+3e+S=3·SS=3eSumman måste alltså alltid vara tre gånger mittalet,vilket för talen 1–9 betyder att i mittenmåste det vara 15/3 = 5. Ingen annan lösningär möjlig! Men hur blir det med de övriga åttatalen? Eftersom vi vet att S = 3e, kan vi ansättatvå nya tal, p och q, så att:e – p e + p + q e – qe + p – q e e – p + qe + q e – p – q e + pFör Luoshu är e = 5, p = 1 och q = 3 (Kontrollera!),men det går att sätta in vilka tal somhelst. Exempelvis ger e = 3, p = 1 och q = 2 denmagiska kvadraten:2 6 12 3 45 0 4Denna anses nog inte som särskilt ”snygg”,eftersom 2 och 4 förekommer två gånger, menfungerar likafullt som en magisk kvadrat. Mankan lätt konstruera olika matematiska problem,där mittalet, ett av hörntalen och en sidas mittalges, t ex:109 15Känner man till regeln med att summan är tregånger mittalet, är det bara att räkna på föratt få fram de övriga talen i kvadraten, annarskan man använda sig av algebra. Antag att taletovanför 10 är x. Då måste talet till vänster omdet vara (x – 6) och talet till höger (25 – x)(Varför?) och man får en ekvation i den nedrevänstra rutan:(25 –x)+10=9+15som har lösningen x=11. Detta ger den efterfrågadesumman 30, och resten går utan problem.En fråga är om det finns flera möjligheteratt placera in talen 1–9 förutom enligt mönstretLuoshu? Vi har sett att talet 5 måste vara imitten och att de övriga bildar symmetriska parrunt 5:an: 1–9, 2–8, 3–7 och 4–6. Kanske kanman sätta in dessa på olika sätt? Vi provar attsätta in 1–9 längs en diagonal:9¤ 15 ¤1/2006 tangenten

Man inser att talen 6, 7 och 8 inte kan placeras isamma rad eller kolumn som 9 (Varför?), utanbara i de ¤-märkta rutorna. Men det går ju inteatt få in tre tal i två rutor. Alltså kan inte 1 och9 få lov att vara i en diagonal, utan måste sättasi mittrutor på sidorna. Vidare medför nu denudda summan 15 att två hörntal antingen bådamåste vara jämna eller udda, både i raden med1 och raden med 9. Men det finna bara två uddakvar, så hörntalen måste vara jämna. 3 och 7placeras in på de båda återstående mittsidesrutorna,och sedan ger sig resten lätt. Totalt kanman få 8 stycken magiska 3×3-kvadrater, somär Luoshu roterad eller speglad kring mittrutan(Försök skriva ner dem!). Oftast brukar alladessa räknas som i grunden en enda lösning,varför Luoshu egentligen är unik!Men det finns regler för hur nya magiskakvadrater av tredje ordningen kan bildas. Härär några:– Om alla talen i Luoshu multipliceras meden konstant eller om en konstant adderaseller subtraheras från alla talen, bildas enny magisk kvadrat.– Om två magiska kvadrater adderas, tal förtal, blir resultatet en ny magisk kvadrat.– Om Luoshu betraktas som en matrisoch denna multipliceras med sig själv tregånger, får man också en magisk kvadrat.Vidare har Luoshu ett antal intressanta egenskaper,exempelvis:– Summan av kvadraterna i den första radeneller kolumnen är lika med summan avkvadraterna i den tredje raden resp. kolumnen.4 2 +9 2 +2 2 =8 2 +1 2 +6 2 ,4 2 +3 2 +8 2 =2 2 +7 2 +6 2– Summan av radernas produkter är likamed summan av kolumnernas produkter:4·9·2+3·5·7+8·1·6=4·3·8+9·5·1+2·7·6Med andra tal än heltalen 1–9 kan man konstrueramagiska kvadrater med speciella egenskaper.Här kommer några exempel:Udda talPrimtalSammansatta talBråk15 1 115 9 137 17 3101 5 7129 59 8947 113 1718 4 148 12 1610 20 62/3 3/2 1/31/2 5/6 7/64/3 1/6 1/1Till alla talmagikers fasa finns även följandepalindromiska magiska kvadrat med ”Vilddjuretstal” i flerfaldig uppsättning:232 313 121111 222 333323 131 212(fortsettes side 43)tangenten 1/2006 31

Andreas LorangeHesteveddeløp i 8. klasseSpillbrettet.Går det an å ha det gøy, utforske algebraensmysterier og samtidig lære noe? Vi befinneross i 8. klasse på Kyrkjekrinsen skole i Bergen.Jeg har nettopp blitt slått ned i støvlene av enAndreas Lorange arbeider vedNorsk Lærerakademi Lærerhøgskolenandreas.lorange@lh.nla.noelev i dataspillet ”hesteveddeløp”. På data -ma skinen ved siden av meg foregår det en diskusjonmellom to elever. ”Du kommer lengst hvisdu flytter den svarte hesten!” ”Nei, jeg mener atdet er best å flytte den hvite”.En intens uke er over. Hver av de tre klassenepå 8. trinn har gjennomført et sekstimersprosjekt der vi har arbeidet med variabelbegre-321/2006 tangenten

pet. Spillet hesteveddeløp har stått i sentrum foraktivitetene. Spillet foregår på følgende måte:Den ene spilleren har svart og hvit hest og denandre gul og blå. Når terningen er kastet, måman velge hvilken av hestene man skal flytte.Ved hjelp av en formel ved hvert felt regner manut hvor langt man skal flytte. Et eksempel på enslik former er 2g – r. Den røde terningen angirverdien til variabelen r, og den grønne angirverdien til variabelen g. Hvis man flytter feil,rykker man tre felt tilbake. Førstemann medbegge hestene i mål har vunnet.Eksempel på oppgaver knyttet til spilletEksempler på formler som brukes i spillet.Spillet er en del av de interaktive læremidlenesom er tilgjengelig på www.matemania.no. Detteer et samarbeidsprosjekt mellom Caspar forlagog Mediesenteret ved Høgskolen i Bergen. Elevenekan velge mellom tre forskjellige vanskelighetsgrader.De kan arbeide med oppgaver knyttettil spillet og få tilbakemeldinger og hjelp.Spillet er også tilgjengelig i en tilpasset versjonfor mellomtrinnet.Hvordan arbeidet vi med spillet?Vi spilte et par runder av spillet på storskjerm,og deretter gikk elevene i gang med å spille. Viga dem et ark der vi forklarte hvordan de skullebruke noen av formlene. Elevene valgte selv vanskelighetsgradog om de ville spille alene eller toog to. Innimellom var vi på klasserommet for åarbeide mer med matematikken i spillet.Nok av utfordringer på nivå tre.Det var viktig for oss at spillet skulle bli merenn en løsrevet ”happening”. Vi ønsket å brukespillet som et utgangspunkt for undervisning,og vi ønsket at elevene skulle være i stand til åbruke det de hadde lært i andre sammenhenger.Elevene ga uttrykk for at de satte pris på dennevekslingen mellom klasserom og datarom. Spilletga dem en bakgrunn for undervisningen, ogdermed ble det lettere å henge med på det somskjedde i klasserommet. Når elevene derettergikk tilbake til spillet fortalte de at de forstomer, og det ble enda gøyere å spille.Noe vi stadig hørte elvene si var at ”vi glemmerat vi lærer matte”. Som en elev sa det: ”Jegtangenten 1/2006 33

”Tenk deg at den hvite hesten står på et felt med formel 2r og den svarte på et felt med formelr + 2. Du må velge hvilken hest du skal flytte før du kaster terningene. Du ønsker å flytte hesten sålangt frem som mulig. Hvilken hest vil du flytte? Begrunn svaret.”2r r+2synes at spillet var veldig gøy fordi da lærer dunoe samtidig som du har det gøy. Du glemmerlitt at du lærer, og da blir det lettere å lære”.Mange elever føler på prestasjonsangst nårde arbeider med matematikk. De vil så veldiggjerne få det til samtidig som de er redde forå mislykkes. Kanskje drar de med seg mangenederlagsopplevelser i faget fra før. Når elevenespiller, aktiviseres disse sperrene i mindre grad.Det som står i sentrum for dem er at de spillerog har det gøy.VariabelbegrepetInnsikt i variabelbegrepet er avgjørende i arbeidmed algebra. Elever kan ha ulik forståelse forbokstavene som brukes i matematikken (Küchemann[1]). Noen tenker at 3a kan bety tre appelsiner.De oppfatter bokstaven som et objekt, enslags ting. Andre tenker at bokstaven står forett tall, men de skjønner ikke at en bokstav kanha mange forskjellige verdier. Når elevene spiller,må de være i stand til å bytte ut en bokstavmed et tall. En problemstilling de raskt møteri spillet er: ”Hvis r = 2 og g = 3, hva blir da r +g? I spillet erfarer elevene at bokstavene r og gstår for forskjellige tall alt etter hva terningeneviser.En oppgave vi jobbet med da vi var i klasserommetvar som følger:4a – 3b = ___ Kan svaret bli et negativt tall?Hvis ja, gi et eksempel. Hvis nei, hvorforikke?Hvem vinner?34For å få til denne oppgaven må man skjønneat a og b kan ha mange forskjellige verdier. Foren del elever stoppet det opp her. Vi overførtespørsmålet til ”hesteveddeløpet”: ”Tenk deg atfeltet du står på har formelen 4r – 3g. Du skalstraks kaste terningene. Kan du risikere å måtteflytte hesten din bakover?” Da løsnet det straks.En elev svarte: ”Jammen, hvis den røde terningenviser 1 og den grønne 6, da må du flyttehesten bakover.”Det var fascinerende å se hvor avanserteproblemer elevene var i stand til å løse hvis dekunne dra nytte av tankemåten i spillet. Enoppgave nesten ingen fikk til i oppstart av prosjektetvar:Hva er størst av 2a og a + 2? Velg mellomfølgende svaralternativ:1. 2a er alltid størst2. a + 2 er alltid størst3. Det kan variere4. 2a og a + 2 gir alltid samme svar1/2006 tangenten

Det gikk opp et lys for mange når vi stilte spørsmåletpå en annen måte (se rammen). Nå vardet mange flere som fikk det til.Elev: ”Hvis den røde terningen viser 1, kommerden svarte lengst. Hvis den viser 2, kommer delike langt.”Lærer: ”Men hva hvis terningen viser noe annetenn 1 og 2?”Elev: ”Da kommer den hvite lengst.”regnestykker av typen ”Hvis x = 15 og y = 21,hva blir da 2x + 3y?” Når elevene hadde lært åregne med r og g som antall øyne på en terning,hadde de få problemer med å bruke andre bokstaversom kunne stå for mange flere tall.I denne oppgaven må eleven forstå bokstavenr som en variabel. Elevene må være i stand tilå finne ut hvordan 2r og r + 2 forholder seg tilhverandre når r varierer.Andre bokstaver og flere tall - mot engeneraliseringDet var viktig for oss at elevene skulle være istand til å bruke det de hadde lært utenfor hesteveddeløpsspillet.Derfor brukte vi to ”terninger”med 12 sider med tallene fra en til tolv. Disseterningene hadde mange forskjellige farger.Derfor kunne vi ikke kalle terningene r og g. Vikalte dem for a og b. Oppgavene vi arbeidet medlignet på oppgavene de møtte i spillet. Elevenehadde få problemer med å forholde seg til dennye situasjonen. Igjen erfarte vi hvor mye hjelpelevene hadde av å tenke på bokstaver som terninger.Vi spurte elevene: ”Hvis a + b = 10 oga er mindre enn b, hva vet du da om a?” Hervar det noen elever som ble litt usikre. Vi stiltespørsmålet på en annen måte: ”Jeg har kastetterningene som vi kalte a og b. Hvis jeg leggersammen tallene, får jeg 10 som svar. Samtidigviser a-terningen mindre enn b-terningen. Hvatror du terningene kan vise?” Da løsnet det formange elever.Etter hvert tenkte vi oss at vi hadde hundreballer i en stor kasse. På disse ballene sto alletallene fra en til hundre. Vi trakk opp en balltilfeldig, og kalte tallet på ballen for x. Vi laballen ned igjen og trakk opp en ball til og kaltetallet på ballen for y. Deretter arbeidet vi medFull konsentrasjonTallinja og negative tallTallinja og negative tall er abstrakte begrepersom vi ikke kan ta og føle på. Hvordan kan elevenegjøre direkte erfaringer med disse begrepene?Hesteveddeløpsbanen fungerer som enmetafor på tallinja. En metafor overfører innsiktfra den fysiske verden til den abstrakte verden.”Metaforens essens er det å forstå og erfare enting fra en annen.” skriver Lakoff og Johnson,[2]. På hesteveddeløpsbanen får elevene gjorterfaringer med negative tall og tallinja.Mange elever sliter med negativ tall. ”Hvabetyr egentlig –5?” Dette spørsmålet dukketopp siden det sto –5 på ett av feltene i spillet.Elevene fant raskt ut at dette betydde at demåtte flytte hesten fem felter bakover. ”Hvablir 2 – 6?” Noen elever visste ikke hvordan deskulle utføre subtraksjonen når det siste tallet erstørre enn det første. Hesteveddeløpsbanen vartil hjelp i forbindelse med slike oppgaver. Hvishesten sto på et felt med formel r – g, og denrøde terningen viste 2 og den grønne 6, flyttettangenten 1/2006 35

Hesteveddeløp fra www.matemania.no12 – r – gg+gg·gr – ggrTilmålr+g – 6r+125235Stamå–grrg–51+g3(r – 2g)1g – rr361/2006 tangenten

3+g4 – r –5 3 – r 2g – r g – r r+rr – 415r+grt/ål 5rr – gr+g 2+g r+2 r – g r – 2 2gr+4tangenten 1/2006 37

de først hesten 2 felter fremover og deretter 6felter bakover. På denne måten gav subtraksjonmening også når svaret ble negativt.Et annet problem oppsto når elevene skulleutføre multiplikasjonen 2 · (–3). Hvor mangefelter skulle de flytte hesten nå, og i hvilkenretning skulle de flytte den? Slike spørsmålarbeidet vi med i klasserommet. Vi tegnet oppet utsnitt av banen på tavla. ”Hva blir 2 · (–3)?”En elev rakk opp hånda og svarte: ”Det må betyat vi skal flytte hesten 3 felter bakover to ganger.Til sammen blir dette 6 felter bakover.” Eleveneerfarte at fortegnsminus betydde at de måtte snuhesten og bytte retning. Dermed ble det ogsåenklere å regne ut stykker av typen (– 2)· (–2).Først multipliserte vi tallene og fikk 4 som svar.Deretter snudde vi hesten to ganger siden detvar to fortegnsminuser i regnestykket. Resultatetav å snu hesten to ganger er at hesten pekerfremover. Altså blir svaret 4. Hva blir da (–2) 5 ?Jo, da måtte vi snu hesten 5 ganger. Resultatet avdet blir at hesten peker bakover. Jeg spurte klassen?”Er det noen som ser mønsteret her?” Enelev svarte: ”Når det (eksponenten) er partallskal hesten peke fremover, og når det er oddetallskal hesten peke bakover.” Å snu hesten engang for hver fortegnsminus fungerte som enmeningsfull huskeregel for elevene.Spillets styrke –veddeløpsbanen som innsiktsbærerVi erfarte at dataspillet hesteveddeløp hjalpmange elever over kneika når de skulle arbeidemed variabelbegrepet. Elevene opplevde bådemestring og glede i faget. I tillegg til det fagligeutbyttet fikk algebrainnlæringen også en annenhensikt for elevene. De ønsket å bli flinkere tilå spille.Veddeløpsbanen er noe konkret som elevenekan forholde seg til. Den overfører innsikt fraveddeløpsbanen til tallinja. Regneoperasjonersom kan oppleves som abstrakte for elvene, fåret konkret innhold på veddeløpsbanen. Veddeløpsbanenblir en innsiktsbærer som hjelper38elevene når de skal løse oppgaver. Den blir etverdifullt tankeredskap i arbeid med negativetall. Mange elever vil trenge hjelp for å lære segå bruke dette tankeredskapet. Derfor kan detvære en fordel å kombinere spillet med klasseromsundervisning.Da kan man gå dypere inni de matematiske problemstillingene, og elevenekan lære å bruke dette tankeredskapet i andreog mer generelle sammenhenger.Jeg vant!Om prosjektetJeg fikk ideen til prosjektet gjennom en prosjektoppgavei MA3 jeg var veileder for, [3].Prosjektet ble gjennomført sammen med matematikklærernepå 8. trinn, Sølvi Vågset og TorillBirkeland.Litteratur[1] Küchman, D. (1978) Childrens understandingof numerical variables. Mathematics in school,7(4), 23-26[2] Lakoff, G. & Johnson, M.(2003) Hverdagslivetsmetaforer. Pax Forlag A/S[3] Eintveit, Å. (2004) I hvilken grad kan dataspillet”hesteveddeløp” fremme forståelsen av variabelbegrepethos elever i 8. klasse? ProsjektoppgaveMA3, NLA LH1/2006 tangenten

Hans Jørgen Riddervold, Else AarøBruk av bueabakus påungdomstrinnetPaal Bergh skrev en vurdering av bueabakus imatematikkundervisning i artikkelen Bueabakusi Tangenten 1/2005. Her er noen tankerog erfaringer om bueabakus i arbeid medposisjonssystem på åttende trinn. Vi arbeidetmed bueabakus hver for oss i samme klasse iforskjellige timer for å gjøre ulike erfaringer idette arbeidet. I denne artikkelen gjør vi ikkenoe forsøk på å skille disse erfaringene fra hverandre.Hvis du ønsker å gi elevene bakgrunnsinformasjonom arbeid med abakus, kan du foreksempel fortelle noe om ett eller noen utvalgte,historiske tallsystemer, og gjerne forklare hvordanbehovet for å regne effektivt og med størretall motiverte utviklingen av posisjonssystemer.Så er det en smakssak om du vil vise prinsippetfor flere tallsystemer på en gang, eller om duforetrekker å la elvene jobbe med ett system omgangen.Alternativt kan du kaste elevene rett ut i regningen.Start for eksempel med totallsystemetog bueabakuser med ett av hvert av tallene 1,Hans Jørgen Riddervold underviser vedHøgskolen i Bergen,hans.jorgen.riddervold@hib.noElse Aarø underviser vedStoretveit ungdomsskole i Bergen,else.aaro@bergen.kommune.no2, 4, 8, 16 og så videre skrevet under hver bue.Elevene vil sannsynligvis være raske til å redegjørefor hvordan ulike tall kan representeresved hjelp av abakusen, her vist ved tallet 29 ogto abakuser satt inntil hverandre:Her kan gjerne elevene undersøke nærmerehvordan totallsystemet virker ved å trekke fremen og en kule til synlig plassering på 1-er-plassen,og deretter alltid – uansett hvilken bue dejobber ved – veksle inn to synlige kuler mot enkule på buen med et større tall under. Vi forsøkteher å innføre notasjon som 11101 for tallet29 i eksemplet, foreløpig uten indeksen «to».tangenten 1/2006 39

På spørsmål om dette hadde noe med titallsystemetå gjøre, lød de første svarene av typen«sikkert…» og «skulle ikke tro det…». Vi badda elevene om å bytte ut ordningen med at 2synlige kuler på samme bue medfører vekslingtil en kule på neste bue, med at 3 synlige kulermedfører en tilsvarende veksling. Nå begyntede å se sammenhengen med at sifrene i talletforteller antall ganger hvert av tallene som varskrevet på abakusen skulle være med.Vi opplevde at elevene var flinke til å se sammenhengerunderveis i arbeidet med bueabakusene.De så at vi bruker sifrene 0 og 1 i totallsystemet,sifrene 0, 1 og 2 i tretallsystemet. Etterhvert så de hvorfor vi bruker sifre fra 0 til 9 nårvi bruker titallsystemet.Vi samtalte om hvilke siffer som skullebrukes i de forskjellige tallsystemene og detsom var til stor hjelp var suksessiv forhøyningmed en (start med et tall, legg til en, legg til en,osv.). Her var det bare å legge til en kule omgangen helt til vi kom til basisen i tallsystemet,og så ble en hel stabel skiftet ut med en enkelkule i neste posisjon. Da falt menteovergangenpå plass og dette gav også en bedre forståelse avtitallssystemet.Det var en ting som var litt overraskende vedå gå fra totallsystemet til tretallsystemet: Daelevene fikk spørsmål om hvilke tall de mentemåtte skrives på bueabakusen etter 1, det vil sii stedet for 2, 4, 8 og 16, så svarte selv flinkeelever at det måtte jo være 3, 6 og 12. Her valgtevi å kikke et øyeblikk over til det hjemmekosligetitallsystemet, og se at tallene som ville ha blittbrukt der, ville vært 10, 100 og 1000.Senere, etter å ha hatt litt algebra med klassen,skrev vi faktisk n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , … på deenkelte posisjonene i de sammensatte abakusene.Etter hvert begynte elevene å sette flere bueabakuseretter hverandre; de så at de da kunnejobbe med mye større tall. Dette synes de varspennende! Så får det heller være at det særligvar guttene i klassen som gjenkjente en del av40tallene høyere opp (særlig 512 og 1024) som noemed forbindelser til dataverdenen.Andre elever begynte å prøve ut bueabakusenpå andre tallsystemer. Hvordan blir dette i7-tallsystemet? Hvor gammel er kattepusen vårregnet i 4-tallsystemet?Og et kanskje overraskende spørsmål – hvaslags tallsystem bruker de i Andeby? For selv omingen kan si dette sikkert, så kan vi i hvert fallgjette oss til at de bruker et åttetallsystem, inspirertav at Donald og de andre innbyggerne harfire fingre på hver hånd. Poenget er at vi nå kanøve på posisjonssystemet ved å leke med hvordantall og tallregning tar seg ut i Andeby ellerandre tegneserieverdener. La oss for eksempelse på tilfellet med Donalds bilnummer; 313.Ved hjelp av bueabakusen børelevene klare å regne seg fremtil hvilket tall dette tilsvareri titallsystemet. Påden annen side kunne dettenkes at 313 allerede varoversatt til titallsystemet– hvilket bilnummer er det iså fall Donald egentlig har? (Detvil si, hva får du når du oversetter 313 fra titallsystemettil åttetallsystemet?)Etter hvert kan vi spørre «hvorfor bruker viegentlig titallsystemet?» – gjerne med et uskyldigansiktsuttrykk. Typiske elevsvar vil kretseomkring tanker som at titallsystemet er det somer lettest. Men etter hvert kommer ofte noen påat vi kanskje bruker titallsystemet «fordi vi ervant til det». Godt svart!Nærmere slutten begynte enkelte elver åbruke bueabakusene til å faktisk regne i totallsystemet.Se for eksempel på divisjonsstykket110 to: 10 to= 11 toi totallsystemet. Det kan viillustrere ved å bruke tre bueabakuser oppstiltsom vist på bildet på neste side.Poenget er at elevene her kan bruke bueabakusenetil å rent fysisk fordele kulene fra abakusentil venstre, på kulene i abakusen i midten.De starter med å veksle inn kulen over 4 til to1/2006 tangenten

(fortsettelse fra side 4)kuler som kommer over 2-er-plassen på abakusentil venstre. Det kan også være greit å veksleinn kulen over 2-er-plassen på den midtersteabakusen, til to kuler på 1-er-plassen. Da erdet tre kuler (over 2-er-plassen på abakusentil venstre) som skal fordeles på to kuler (over1-er-plassen på den midterste abakusen). Detblir en «venstrekule» til hver av kulene på denmidterste abakusen, og de kan derfor trekkefrem en kule på 2-er-plassen på abakusen tilhøyre (siden det var 2-er-kuler vi fordelte). Daer turen kommet til å veksle inn den gjenstående2-er-kulen til to 1-er-kuler på abakusen tilvenstre. Når disse skal fordeles på de to enerkulenepå abakusen i midten, blir det en til hver,og vi kan trekke frem en kule på 1-er-plassen påabakusen til høyre.Og det kan godt hende at noen elever vilprøve samme tankegangen med andre posisjonssystem!han altså det samme som inderne hadde funnetut omtrent 1000 år før.Det som tydeligvis hadde vært en lang ogvanskelig prosess i Europa hadde ikke skapt desamme problemene blant inderne.Litteraturliste:[1] Bekken, O. (2000) Algebraens utvikling ikultur- og skoleperspektiv: Selvik, m.fl. Matematikki samfunnsmessig, historisk og kultureltperspektiv,(s 85-104): Høgskolen i Bergen[2] Colebrooke, T. (1817) Algebra with arithmeticand mensuration, London: John Murray[3] Joseph, G. G. (1990) The crest of the peacock.Clays Ltd, St Ives plc[4] Katz, V. J. (1998) A history of mathematics.Addison-Wesley Educational Publishers, Inc[5] Lahn-Johannessen, M. (2001) Indisk algebra.Aritmetikk og algebra hos Brahmagupta ogBhaskara, Høgskolen i Agder[6] McLeish, J. (1994) Matematikkens kulturhistoria,Falun: Bokførlaget Forumtangenten 1/2006 41

Christoph KirfelEt triks for deg som erfor lat til å subtrahereLær deg følgende triks og du slipper å lære degsubtraksjon med veksling eller låning, kanskjetil og med låning over flere posisjoner. Dukan nøye deg med addisjon og en liten ting til:”utfylling til ni”. Hva nå det er for noe, kommervi straks tilbake til.Vi starter med et eksempel som forklarer detmeste. Oppgaven er følgende:7 5 6 4– 2 6 7 7Nå starter trikset: I stedet for å subtraheretallet 2 677 adderer vi tallet 7 322 som er fremkommetved å fylle opp hver posisjon til 9. Påbarneskolen er det en del snakk om tiervenner.Her kunne vi ha snakket om niervenner. Hvertsiffer blir erstattet med sin niervenn. Altså 2 blirerstattet med 7 siden 2 + 7 = 9, 6 blir erstattetmed 3 siden 6 + 3 = 9 og endelig blir 7-talleneerstattet med toere.Legger vi nå sammen 7 564 og 7 322 får vi:7 5 6 4+ 7 3 2 21 4 8 8 6Nå er vi kommet ganske nær den korrekte løsningen.Vi må bare rette opp noen ”skjønnhetsfeil”.Vi stryker den første eneren, for detmidlertidige resultatet vi fikk (14 886) var joopplagt altfor stort og så plusser vi på en enerhelt til slutt. Vi sitter igjen med 4 887 som er detkorrekte svaret på den opprinnelige oppgaven(7 564 – 2 677 = 4 887). Vil du finne ut hvordantrikset henger sammen selv? Ikke les videre.ForklaringTallet 2 677 (som vi skal subtrahere) og 7 322(som vi legger til i stedet for) blir til sammen9 999 hvis vi adderer dem. Det betyr at ”feilen”vi gjør når vi legger til i stedet for å subtrahereblir nøyaktig 9 999 = 10 000 – 1. Vi retter oppfeilen ved å ta vekk 10 000 og legger til en ensligener. Dermed blir resultatet korrekt. I noensituasjoner kan vi velge flere veier å gå. Oppgavener følgende:Christoph Kirfel arbeider vedUniversitetet i Bergen, Matematisk instituttchristoph.kirfel@mi.uib.no5 3 2 7 1 6– 3 4 2 7421/2006 tangenten

Her kan vi velge. Et alternativ er at vi fyller tallet3 427 opp til 9 999 ved å legge til 6 572 og får:5 3 2 7 1 6+ 6 5 7 25 3 9 2 8 8Etterpå fjerner vi 10 000 og legger til en ener ogkommer frem til rett svar 529 289.Vi kan også tenke som så at tallet 3 427 kanogså skrives som 003 427 i regnestykket. Dablir tallet ”like langt” (like mange siffer) somutgangstallet 532 716. Fyller vi ut nå ser regnestykketlitt annerledes ut:5 3 2 7 1 6+ 9 9 6 5 7 21 5 2 9 2 8 8I denne omgangen må vi selvsagt fjerne1 000 000 i stedet for 10 000. Legger vi til densiste eneren til slutt får vi det samme korrektesvaret 529 289 som ved den andre fremgangsmåten.Prøv å lær deg den nye subtraksjonsmåtenuten å skrive tallet som består av niervennenened først. Foreta utfyllingen i hodet:6 4 7 8 2 3– 1 5 2 8 4Her kommer en liten utfordring. Hva er spesieltmed følgende regnestykke i den nye regnemåten?Fyll ut til 9 999.2 0 4 4 2 3– 5 8 3 5(Trekker du fra 10 000 i svaret på addisjonsstykketer du nødt til å gjennomføre en vanlig subtraksjonmed låning eller veksling likevel.)Sluttbemerkning: Selvsagt kan metoden som erpresentert her ikke erstatte arbeid med subtraksjoni klassen. Noen elever kan lære seg metodensom et triks og noen vil ha godt av å finneen begrunnelse eller forklaring. På den måtenkan arbeid med denne metoden kanskje dannegrunnlag for en samtale og refleksjon rundtsubtraksjonsalgoritmen.(fortsettelse fra side 31)Magiska kvadrater har fascinerat människor ochspeciellt matematiker i alla tider sedan kejsarenYus dagar. Man har förundrats över derasfantastiska och ofta överraskande egenskaper.Mycket möda har lagt ner på att finna konstruktionerav magiska kvadrater av alla ordningar,mystiker har utnyttjat dem i sina ritualer, dehar avbildats i konsten (som i Albrecht Dürerskopparstick ”Melancholie”), men framför allthar de varit en källa till upptäckarglädje inommatematiken. De magiska kvadraterna kan varautgångspunkt för spännande problem i matematikundervisningenpå alla stadier, både inomaritmetik och algebra. Man kan arbeta medolika former för magiska kvadrater: additions-,subtraktions, multiplikations- eller divisionskvadrater.Vissa kvadrater av fjärde eller åttondeordningen innehåller de mest fantastiska symmetrieroch bjuder på ”magi” i dess högsta form.Men magikerns egen kvadrat, Luoshu, kommeralltid att vara den första och mest betydelsefullaav dem alla.LitteraturGardner, M. (1985).Rolig matematik. Natur ochKultur.Henriksson, A. & Tsu-Yü, H. (1982). Kinesisk historia.Bonnier Pocket.Johansen, C-O. (1966). Magiska tal. Forum.Swetz, F. (2001). The Most Magical of All MagicSquares. Mathematics Teacher Vol. 94 (September2001): 458-463.tangenten 1/2006 43

Taltricket i denegyptiske papyrusI 1850’erne var den skotske sagfører Alexander Henry Rhind påbesøg i Egypten. Han var taget derned for at styrke sit helbred,og som så mange velhavende europæere på den tid gikhan i gang med arkæologiske udgravninger. Blandt andet gravedehan i Kongernes Dal i Theben og høstede hæder for sitomhyggelige arbejde med at stedfæste sine mange fund heltpræcist i forhold til omgivelserne.Rhind indkøbte også antikviteter, og i 1858 blev han tilbudtet manuskript, der var omhyggeligt prentet på en rulle papyrus.Manuskriptet var fra cirka 1650 f.Kr., og i det havde skriverenAhmed afskrevet et 200 år ældre dokument med tabellerog 84 matematiske problemer samt deres løsninger. Det var etaf verdens tidligste stykker nedskreven matematik. Rhind købterullen, og i dag findes den på British Museum i London.Et af de gamle egyptiske regnestykker er et taltrick, som jeglærte at kende allerede som dreng. Man siger følgende til sittålmodige offer: – Tænk dybt og længe på et tal. Læg 5 til.Gang resultatet med 2. Træk 4 fra. Dividér med 2 – og træktallet fra, som du tænkte på. Så skal jeg læse dine tanker ogfortælle dig resultatet … jeg er sikker på, at det er 3!Fidusen er, at resultatet altid bliver 3, som det fremgår af defire eksempler i skemaet herunder. Men – kan vi nu være sikrepå, at dette gælder for alle tal? At det altid bliver 3?Der må et dybere studium til, og det er gjort med symbolernetil højre i skemaet. Det tænkte tal er vist som en stjerne, ogtallene, der lægges til og trækkes fra, er vist med prikker.Og, jo, det ser ud til at passe: Der bliver tre prikker tilovers. De gamle egyptere havde ret.Herover det lille taltrick, som det er skreveti Rhind-papyrusen. Skriveren Ahmed harbenyttet en kursiv form for hieroglyffer, densåkaldte demotiske skrift.Rhind-manuskriptet med de mange matematiskeopgaver er en 6 m lang rulle, cirka35 cm bred. Rullen er fremstillet af papyrus-græs,som har givet navn til vorespapir.101441/2006 tangentenDette er en faksimile fra boka “Forstyr ikke mine cirkler”. Med tillatelse fra forlaget.

Anker TiedemannForstyr ikke mine cirkler –Matematikk for talfreaks.Pris: DKR 200,– pluss portoDanmarks matematiklærerforenings forlagMATEMATIK, ISBN 87-88228-81-9Denne boken er tredje boken i en serie på treskrevet av Anker Tiedemann. De to første bøkeneer Matemagi (2001) og Den gylne femkant (2002).Forfatteren er arkitekt og skriver ut fra sin fascinasjonover de finurlige tingene i den matematiskeverden. Disse finurlige matematiske tingenesetter han i sammenheng med kjente deler i vårspennende verden fra dagliglivets trivialiteter tilmalernes og arkitektenes matematiske utgangspunkti arbeidet sitt.Boken har undertittelen, matematikk for tallfreakere.Med tallfreakere tenker A. Tiedemannikke nødvendigvis bare på den matematikkskolertetallfreakeren.Han prøver å forklare tingene slik at de blirforståelige for enhver, − også for dem som forlengst har glemt hva som stod på skolens sortetavle, som han sier.– Forstyrr ikke mine sirkler, sa den store matematikerArkimedes, noe som kostet ham livet. Sågalt vil det ikke gå med leseren av denne boken,men historien om Arkimedes endelikt er en avflere historier som er tatt med i denne boken.Anker Tiedemann uttrykker følgende: − Deter noget dybt tilfredsstillende ved at gå på oppdagelsei geometriske konstruksjoner, i talmæssigeforhold og i arkitekturens og kunstens brug afmatematikken, og denne bog er netop en sånnoppdagelsesrejse. Denne boken kan leses heltuavhengig av de to forrige bøkene og de enkeltekapitlene kan leses uavhengig av hverandre. Denkan leses fra start til slutt eller som en oppslagsbok.Til det siste finnes en stikkordsliste bak, nårdet er sagt så savner jeg en innholdsfortegnelse istarten på boken.Boken er spekket med små historiske spor,som forteller noe om opprinnelsen til fenomenenesom diskuteres. Boken inneholder også endel sitater fra kjente historiske personer.A. Tiedemann gir oss innsikt i både hvorforog hvordan ting opptrer. Det kan være de matematisketegnenes historie eller decibel-skalaen.Det kan være innenfor kunst og matematikk,blant annet anamorfisk kunst, en kunstart hvorfor eksempel maleriet må speiles i en sylinder forå få øye på motivet. Vi får eksempler på etnomatematikksom matematikk i kurvfletting, i vevingeller i utsmykking av romerske gulv. Vi finnermagiske kvadrat, magiske stjerner, magiske sirklerog magiske kuler. Vi får innsikt i matematiskeparadokser og logikkens plass i matematikken.Han undersøker i hvilken retning liggeregentlig Mekka, og om menneskenes elliptisketangenten 1/2006 45

liv.Boken er innbundet i A4-format. Den innholderflotte fargerike bilder, figurer og tegninger.Et kjennetegn ved boken er størrelsen på”kapitlene”. De fleste ”kapitlene” er på bare 1 til2 sider.Den er skrevet i et lett forståelig språk, til tideri en humoristisk tone. Blant annet uttrykkerforfatteren forståelse for at en bok på 400 sider,som viser de første 1 million desimaler i π ikkeoppnår salgsrekord!Boken er full av hva vi ikke nødvendigvistrenger å vite, men kan være kjekt å vite! Her kanblant annet nevnes, hvordan finne fram i kinesiskeordbøker, hvordan er de forskjellige kalendernebygget opp, om pyramidespillenes lureri,og om Geometrien og psykologien – den visuelleintelligensen. Hva med problemet: – Knytting avden handelsreisendes skolisser?Boken gir oss innsikt i spill og tryllekunster,og viser oss at der er alltid noe å feire.Denne boken gir lærere i grunnskolen og i denvideregående skole ideer til tema og gode historiertil bruk i undervisningsøyemed, og her tenker jegikke bare på matematikklæreren. Boken gir ogsåtips til leker, spill og gode historier til å ta medi selskapslivet eller til en hyggestund med godevenner.Inger Elin LillandOle Petter JensenMATTE MED TESKJEMatematikkforlaget, 2003IBSN 82-91009-08-2674 siderØvingsoppgaver til bokaMATTE MED TESKJEMed løsningsforslagMatematikkforlaget, 2003IBSN 82-91009-11-2248 siderDenne boken presenterer matematikk fra ungdomskoleog første året på videregående skole,både 1MX og 1MY. Forfatterens hovedhensikter at boken skal være til hjelp for de som synesnoen emner innenfor matematikkfaget er vanskelig.Boken har stor spennvidde, og innholderflere emner enn læreplanen for 1MX og 1MY,f. eks. derivasjon, polynomdivisjon, asymptoteformlerog løsning av ulikheter. Det går ikkefram av teksten at dette er emner som fallerutenfor læreplanens rammer og som i tillegger vanskelige. Det kan virke demotiverende forleserne.Det er mange glimt fra matematikkens historiebåde i et eget kapittel, og som ”krydder” ienkelte kapitler. Dette synes jeg fungerer godt.461/2006 tangenten

Boken er inndelt i 42 kapitler. Hvert kapittelinneholder en del kontrolloppgaver, og noenstørre oppgaver som kalles miljøoppgaver. Fasittil oppgavene står etter hver oppgave Kapitleneer nummerert med romertall, og hvert kapittelstarter med ny sidenummerering. Det er ikkestikkordsregister, og det kan derfor bli vanskeligå finne fram til delemner. Noen av kapitlene erlange, f. eks. er kapitlet om geometri på 69 siderog kapitlet om derivasjon på 67 sider. For leseresom i utgangspunktet synes dette er vanskelig,kan dette medføre at de ikke klarer å starte pådette emnet.Boken inneholder mange eksempler ogmange illustrasjoner, alt i svart/hvitt. Det blirvanskelig å skille eksempler og viktige setningerfra hverandre uten å bruke virkemidlersom farger eller ulike gråtoner. En del av sideneinneholder mye tekst. Dette gjør at det kan værevanskelig å lese teksten, spesielt for lesere medlesevansker.Heftet med øvingsoppgaver inneholder oppgavermed fasit til de fleste kapitlene i boken ogløsningsforslag til en del av oppgavene. Å få løsningsforslagtil en del av oppgavene er positivtog kan være til god hjelp for leserne.Alle emnene blir grundig gjennomgått. Stoffmengdenkunne vært redusert en del etter minmening. Det blir vanskelig å trekke ut det som ersentralt for den enkelte leser. Det blir brukt endel symboler og formler som kan være vanskeligfor mange. I kapitlet om sannsynlighetsregningbrukes f eks symbolene fra mengdelæren for åbeskrive union og snitt. Ved å bruke symboleri stedet for ord vil en del av leserne ikke klare åse forskjellen mellom disse mengdene.Hovedhensikten med denne boken er at denskal kunne leses av personer som synes at i hvertfall noen emner i matematikken er vanskelige.Da kan det virke uoverkommelig å begynne ålese i en bok som er på nesten 700 sider somogså inneholder vanskelig stoff som ikke er medi læreplanen for 1MX og 1MY. Jeg tror at denneboken vil fungere bedre som en bok for leseresom er interesserte i matematikk, og som villære mer enn det som læreplanene forutsetter.Den kan også fungere som ressursbok for lærere.Hvis den skal fungere etter hensikten burde deulike emnene vært utgitt i egne hefter, og stoffmengdenburde vært redusert betraktelig.Anne Bjørnestadtangenten 1/2006 47

Tangenten: Inspirasjonsbok formatematikklærereGratis til lærere i videregående skole,pris for andre 150,–Caspar ForlagISBN 82-90898-36-3”Inspirasjonsbok for matematikklærere” er einartikkelsamling som nylig er gjeve ut av Tangenten.Dei fleste artiklane er publiserte i Tangentenfør og innhaldet er mynta på vidaregåandeskule. Det er mange spennande artiklar iboka som tek for seg ulike emne: Sannsynsrekning,IKT, Geometri, matematiske aktivitetar ogmodellering samt nokre didaktiske artiklar. Deifleste artiklane er lettleste og lettfordøyelige.Personlig så lot eg meg spesielt inspirere avartikkelen til Anne Marie Jensen Meløy om”Mia – en taper i matematikk”. På Sotra vgs skalvi no i vår kjøre eit prosjekt som skal hindre deisvakaste elevane frå å ramle av lasset. Dette gjervi ved å skille ut dei elevane som ved normalprogresjon ikkje vil ha muligheit til å klare segi faget. Dette blir ei lita gruppe der vi kjem tilå skjære pensum inn til beinet med håp om atdesse elevane skal stå. Her er det opplagt at vimå til med ”nye” arbeidsmåtar for å motiveredesse elevane til å jobbe med faget. Artikkelen48bygger på ei Cand. Scient. oppgåve som JensenMeløy har skrive og tek nettopp for seg eit oppleggmed alternative arbeidsmåtar der aktiveelevar står i sentrum. Midt i blinken for meg såeg har no tinga ein kopi av oppgåva!Det er fleire didaktiske artiklar i boka somheilt sikkert vil vere eit godt utgangspunktfor refleksjon og diskusjon om eiga undervisningspraksisved matematikkseksjonane rundtomkring på skulane.Eg underviser utanom matematikk i IKT ogfann fleire interessante artiklar om dette. Haraldri brukt ein symbolreknar før og fann artikkelenom dette spanande. Har no lasta ned einversjon på nettet som eg kan teste ut og somheilt sikkert vil gje meg eit innblikk i ein nyverden!Vi går ei spanande tid i møte med Kunnskapsløftetrett om hjørnet. Vekt på modelleringog modellbygging er minst like framtredandesom i Reform 94 og sett i lys av dette så er bokaeit must for den enkelte matematikklærar. Eganbefalar boka på det varmaste.Rikard Stokke1/2006 tangenten

NYTT LÆREVERK IMATEMATIKK FOR BARNETRINNETWWW.GYLDENDAL.NO/UNDERVISNING/KURSWURSMULTI 1 – 7– ENGASJERENDE, MENINGSFULL OG MORSOM START PÅ MATEMATIKK!Multi åpner for fleksibilitet i matematikkundervisningen ved å gi lærerne støtte og mulighet til å brukeulike undervisningsmetoder.Multi vektlegger:• Varierte aktiviteter gjennom praktisk, utforskende og kreativt arbeid• Tilpasset opplæring innenfor læringsfellesskap• Trygghet ved å ha tydelig faglig fokus og progresjon i tråd med læreplanenMulti i hovedtrekk:• Knytter sammen teori og aktiviteter• Holder fokus; hvert tema behandles grundig og over en lengre periode• Har korte og lettleste tekster• Tilpasser opplæringen til elever på ulikt faglig nivå• Har en konkret og brukervennlig Lærerens bok• Gir en presisering av målene i læreplanen til hvert kapittelI 2006 lanseres bøkene for 1. – 5. trinn.For mer informasjon om Multi; gå til www.gyldendal.no/multiBjørnarAlsethHenrikKirkegaardGunnarNordbergMonaRøsselandtangenten 1/2006 49Gyldendal Undervisning • Postboks 6860 St. Olavs plass, 0130 Oslo • Besøksadresse: C.J. Hambros plass 2C, Ibsenkvartalet, 0164 Oslo.Tlf: (+47) 22 03 41 80 • Faks: (+47) 22 03 41 82 • E- post: undervisning@gyldendal.no • Internett: www.gyldendal.no/undervisning

501/2006 tangenten

Master i grunnskolens matematikkfagHiST | AVDELING FOR LÆRER- OG TOLKEUTDANNINGHiST - så høyt du vil!trondheimØnsker du å bli en ressursperson i matematikk på din skole? Studiet sikter mot å utdannelærere i grunnskolen med solid kompetanse i matematikk og matematikkdidaktikk.Gjennom studiet vil kandidatene utvikle gode kunnskaper i matematikk både somvitenskapsfag og som skolefag. De vil også utvikle gode kunnskaper om hvordan barnlærer matematikk, og om hvordan de som lærere skal kunne arbeide med elever på ulikemåter slik at læring kan skje.Et overordnet siktemål er at kandidatene skal kunne bli sentrale ressurspersoner i matematikkfageti grunnskolen. Studiet er preget av en nær kobling til praksisfeltet, og det omfatteret selvstendig, praksisnært forskningsarbeid innenfor matematikkdidaktikk. Dette arbeidetpresenteres i en masteroppgave.MASTERGRADSSTUDIUM 2 ÅROPPTAKSKRAVFullført første tre år av lærerutdanning/bachelorog praktisk pedagogisk utdanning eller tilsvarendeog minimum 60 studiepoeng matematikk.Karakteren C eller bedre i vektet snitt.Matematikk fagene må ha C eller bedre.SØKNADSFRIST 15. MAI | LOKALT OPPTAKStudieplaner og organisering av masterstudiet er tilgjengelig påwww.alt.hist.no -> studier/kurs -> masterutdanningMIN. 60STUDIEPOENGMED KARAKTERC ELLER BEDREFaglig kontaktperson:Frode Rønning | frode.ronning@hist.no | telefon 73 55 98 78tangenten 1/2006 51Telefon: 73 55 98 50 | Telefaks: 73 55 98 51 | AVDELING FOR LÆRER- OG TOLKEUTDANNING Målrettet praktisk utdanning | LÆRE FOR LIVETResponse Reklamebyrå. Tlf. 73 53 81 00 - Foto: Geir Mogen / Getty ImagesHiST | www.hist.no

Kjøp enkelt lisenstil matemania!For 150,– får du tilgang til matemaniafor ungdomstrinnet i ett år.Du har alltid tilgang til matemania for mellomtrinnet.www.matemania.no – et digitalt læremiddel i matematikkUtviklet ved Høgskolen i Bergen for Caspar Forlag ASKnut Ole LysøSannsynlighetsregning – enfagdidaktisk innføringI denne boka, som kom høsten 2005, utdyper forfatteren aspekter vedsannsynlighetsregningen gjennom fagdidaktiske betraktninger. Slik utdyper han fagdidaktiskeperspektiver.Boka inneholder læringsteoretiske begrunnelser, historiske betraktninger om sannsynlighetsregningensopprinnelse, gjennomgang og drøftinger av metodiske tilnærminger, eksempler på aktiviteter i skole og samfunn (herunder ogsåen bred gjennomgang av ulike spill), en drøfting av grunnskolens innhold i sannsynlighetsregningi lys av eksamensoppgaver, lærebøker og læreplaner til ogmed Kunnskapsløftet.Boka egner seg for lærere i grunn- og videregående skole, og sompensum i allmennlærerutdanningen.Les mer om boka på www.caspar.no/sannsynlighetNy bok fra Caspar Forlag521/2006 tangenten

Nasjonalt senter formatematikk i opplæringenRealfagbygget A4, NTNU7491 TrondheimTelefon: +47 73 55 11 42Faks: +47 73 55 11 40merete.lysberg@matematikksenteret.noPilotprosjektet ”Familiematematikk” ved Ilaskole i TrondheimIngvill Merete Stedøy, faglig lederMatematikksenteret har lenge hatt ønske omå prøve ut et prosjekt der foresatte, lærere ogelever skal arbeide sammen for å støtte barnaslæringsarbeid i matematikk. Vi vet at mangebarn sliter med å forstå matematikken. Mangesynes det er kjedelig, og enda flere synes det ervanskelig. Andre barn har lett for å lære matematikk,kan mer enn det som er vanlig foralderen, og trenger å bli stimulert for å ikkemiste interessen. I samarbeid med Ila skole iTrondheim vil vi utvikle et opplegg vi kaller”familiematematikk”.Med bakgrunn i forskning og utviklingsarbeidvet vi at barn som får passe utfordringer,får oppleve mestring og forståelse. De vil føleglede og stolthet, og får lyst til å lære. Motivasjonenvokser, og de er villige til å bruke tidog krefter på læringsarbeidet.Prosjektet settes i gang for at alle som erinvolvert i barnas læring skal legge til rettefor at de skal kunne nå så langt som evner ogforutsetninger tilsier. Alle skal bli stimulert, fåutfordringer, og komme videre. Ingen tror atalle kan komme like langt, men vi skal leggetil rette for at alle skal kunne komme så langtsom de makter. Da må vi ha høye forventningertil ALLE barn, forventninger til at de skalarbeide hardt og gjøre så godt de kan.Mange foresatte opplever det å skulle stimulereegne barns læringsarbeid som konfliktfylt.Noen føler at de ikke kan nok matematikkselv, og har kanskje opplevd faget somkjedelig og vanskelig. Andre kan være fagligflinke, men synes det er vanskelig å hjelpebarna uten at det oppstår konflikter. Barnakan oppleve foreldrenes engasjement som masog kontroll, og sier gjerne at foreldrene gjørting på en annen måte enn læreren.Prosjektet ”Familiematematikk” tar siktepå å gi de foresatte innsikt i hva skolematematikkhandler om, hvordan barn lærer, hvasom er faglige barrierer, og hvordan de skaloverstiges. Vi legger vekt på at matematikk eret kreativt og spennende fag, med aktiviteterog oppgaver som gir innsikt, forståelse, ferdigheterog evne til å anvende matematikkeni egne liv og framtidige studier og yrker.I løpet av seks kurskvelder skal foresatte oglærere få den nødvendige innsikten til å kunnevære gode støttespillere og stimulere barnaslyst til å lære matematikk. Kurskveldene erdelt inn i følgende temaer:Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 53

1. Matematisk aften. Motivasjonskveld forforesatte og lærere med smakebiter fra defem kommende kurskveldene.2. Grunnleggende tallforståelse og geometri3. De fire regningsartene. Utvidelse av tallbegrepet4. Brøkregning og geometriske beregninger5. Måling, prosentregning, tredimensjonalgeometri6. Statistikk og sannsynlighetsregningEtter hvert kurs blir fagstoffet og tilhørendeoppgaver lagt ut på www.matematikksenteret.no Oppgavene er laget for at elever og foresattekan jobbe med dem sammen.I tillegg til kursene introduserervi en ”Mattepakke” forhvert trinn fra 1. til 7. trinn.Det er en liten koffert med utstyr og aktivitetshefte.Kofferten skal sendes med elevenehjem i tur og orden, en uke av gangen. Nården tas med tilbake for bytting, skal den somhar hatt den, fortelle hva de har prøvd i hanseller hennes familie og hvordan det gikk.Pilotprosjektet skal evalueres til sommeren,og klargjøres for spredning via ressurspersonenefra høsten 2006.Et glimt fra årets novemberkonferanse ved Matematikksenteret:Matematikkløype gjennom Trondheim sentrumMay Renate Settemsdal, Pål Erik Lauritzen EkholmEt matematisk rebusløpDet er søndag som er dagen for utflukterunder novemberkonferansen. Denne gangenhadde 25 av deltakerene valgt å komme segut på søndagstur der det er matteopppgavenesom bestemmer hvor turen går. Veien blirbokstavlig talt til mens man løser matematikkoppgaver.En fin avkobling før det fagligeprogrammet starter for alvor dagen etter. Ogen mulighet til å ta matematikken ”ut i gata”.Ideen bak et matematisk rebusløpIdeen bak et matematisk rebusløp er at detskal løses en oppgave på hver post. Oppgavenskal gi et tallsvar, som forteller hvor neste postligger. Alle som deltar i løpet får utdelt et kartder en rekke tall er tegnet inn på mange forskjelligesteder. Det er bare enkelte av dissetallene som er svar på matteoppgavene. Harman funnet rett svar på oppgaven, skal neste54post være å finne der dette tallet er merket avpå kartet.Oppstart og gjennomføringDeltakerne deles inn i grupper på 3–5 personer.Hver gruppe får utdelt et kart, en blyantog ark til å notere på. På hver post står deten vakt som har ansvar for at deltakerne forståroppgaven og for at passelige hint blir gittdersom de står fast. Vi valgte å spre deltagereneutover på forskjellige startposter, slik atde ikke skulle få følelsen av å gå i tog. Ved åavtale nøyaktig tidspunkt for starten fikk vigjennomført en fellesstart. (Alternativt kunnevi ha latt gruppene starte med tidsintervall).Når løpet er i gang gjelder det å være rask tilå løse oppgavene. Etter hvert som man blirferdig med oppgaven, går man til den postenpå kartet som har samme tall som svaret iNasjonalt senter for matematikk i opplæringen

oppgaven. Gruppene markererpå kartet hvilke poster de harvært innom.Gruppene går videre fra post til post helt tilde ender opp der de startet.Vi valgte å bruke problemløsningsoppgaverved gjennomføringen av løpet. Det vil siat hver oppgave hadde tilhørende materiellslik som brikker, mynter, kuler, geobrett ellerklosser. Dette for å gjøre oppgaven enklere åse for seg og mer fengende å løse. Dersom enhar muligheten kan en bruke stort konkretiseringsmateriellslik som kjegler, fakler, bøtterog lignende. Det er også gøy og kunne tegneoppgaver med kritt på asfalten. En står selvsagtfritt til å velge både materiell og oppgavetyperalt etter årstid og vanskelighetsgrad.Oppgaveeksempel”På hvor mange forskjellige måter kan fire t-lysplasseres i planet slik at det bare forekommerto ulike avstander mellom lysenes sentrum?Tallsvaret for antall løsninger finnes påkartet, og der finnes neste post”.Opplegget for rebusløpet kan lastes ned frawww.matematikksenteret.noKartleggingstester i talloppfatningMay Renate SettemsdalI september og oktober 2005 hadde vi professorAlistair McIntosh som gjest ved Matematikksenteret.Alistair kommer fra Australia,og etter et opphold som gjesteprofessor påNationellt Centrum för Matematikutbildningi Göteborg kom han til Trondheim og Matematikksenteret.Alistair har utviklet materiell for kartleggingav barns talloppfatning og tallforståelse.Arbeidet bygger på et langt forskerliv innefornettopp dette området av matematikkdidaktikken.Materialet omfatter skriftlige tester ogintervjuer med elevene, i tillegg til konkrete ogkonstruktive opplegg om hvordan lærerne kanjobbe videre ut ifra resultatene på testene. Detfølger også med forklaringer og tolkinger avelevenes feilsvar og hva slags misoppfatningersom kan ligge til grunn. Videre gir den ideertil hvordan læreren kan veilede elevene frahoderegningsstrategier til skriftlige framtillingerog algoritmer. Dette er et unikt verktøysom vi ser har stor verdi for å kunne oppdagehva elevene sliter med, og hvordan lærere ogforesatte kan hjelpe dem til å mestre matematikkenMaterialet var på engelsk og var tilpassetdet australske skolesystemet med ”entry level”og trinnene 1–9. En gruppe av ansatte påMatematikksenteret deltok på seminarer medAlistair der han satte oss inn i testene og arbeidethan har utført med å lage testene og prøvedem ut. Vi som deltok fra Matematikksenteret,gikk gjennom testene på de ulike trinneneog så på hvordan de passet i forhold til nivåetpå norske elever og hvordan de passet inn ien norsk hverdag. Denne prosessen var veldiginteressant og lærerik, og tilbakemeldingenevi gav ble brukt til å justere testene.Vi så raskt potensialet i og nytten av materialetog ønsker å tilpasse dem til norske forhold.Alle testene fra 1.–10. trinn er nå tilpasseten norske forhold og oversatt til bokmålog nynorsk av ansatte her på Matematikksenteret.Veiledningsdelen blir oversatt av enspråkekspert.Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 55

Vi gjengir et eksempel fra testen for4. trinn:Skriv de neste tre tallene:54, 53, 52, __, __, __,og et eksempel fra testen for 9. trinn:Sett ring rundt desimaltallet som bestbeskriver den mengden av områdetsom er skravert.A. 0,15 B. 0,4 C. 0,80D. 0,52 E. 2,5I løpet av våren 2006 vil engruppe lærere og elever prøvetestene og gi tilbakemeldingertil oss slik at vi kan kvalitetssikre dem. Det serut til å være en enkel jobb å rekruttere skolerog lærere som vil være med på dette. Allelærere vi har spurt har vært veldig positive tilå bli med på utprøvingen. De ser nytten avtestene, og ikke minst det at testene har medveiledning til hvordan lærerne i etterkant kangi elevene best mulig hjelp til å komme segvidere. Vi ser dette som et tegn på at behovetfor slikt materiell er stort i norske skoler.Når testene er prøvd ut på flere skoler forde ulike trinnene vil materialet ferdigstilles oggjøres klart til bruk fra høsten 2006. Det vilbli lagt ut for nedlasting på senterets nettsiderwww.matematikksenteret.no, og materialet kankjøpes i form av en bok fra Matematikksenteret.Arne Gravanes og Anne-Gunn SvorkmoÅrets Kenguru-konkurranse arrangeres i perioden16. mars til 7. april. I fjor deltok 5000elever fra hele landet, i år er målet en fordoblingav antall deltakere.Kenguru-konkurransen er et tilbud tilelever på 4.–7. trinn, en konkurranse for 4.og 5. klassinger og en for 6. og 7. klassinger.Oppgavesettene består av 24–30 oppgaver, allemed 5 svaralternativer. Skoler som melder seg56på får oppgavesettet tilsendt pr. e-post rett iforkant av første konkurransedato (16. mars).Påmelding skjer via nettsidene til Nasjonaltsenter for Matematikk i Opplæringen; www.matematikksenteret.no. Der finner du også merinformasjon om konkurransen.Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Overraskende resultaterI fjorårets konkurranse ble følgende oppgavegitt både til 4. og 5. klassingene og til 6. og 7.klassingene:I et rom står det 5 kister, i hver kiste er det3 esker og i hver eske er det 10 gullmynter.Både rommet, kistene og eskene er låst. Duskal hente 50 gullmynter. Hvor mange låsermå du åpne?(A): 5 (B): 6 (C): 7 (D): 8 (E): 9Vi har sammenlignet resultatene fra de ulikealderstrinnene. Dårligst ut kom 6. klassingenemed 36 % riktig, av 4. og 7. klassingene hadde38 % rett svar, mens 5. klassingene var klarbest med 48 % riktig svar.Det er ganske overraskende at 7. klassingerikke er bedre i stand til å løse denne typenoppgaver enn elever som er 3 år yngre. Densamme tendensen ser vi også i de 3 andreoppgavene som er felles for de to konkurranseklassene.Oppgaven under skåret faktisk 7.klassingene dårligst av alle alderstrinnene:Begge disse oppgavene er forholdsvis enkleproblemer som lar seg løse ved telling. Er detnoe med matematikkopplæringen som førertil at evnen til å løse denne typen oppgaverikke forbedres, eller er årsaken en annen? Detblir interessant å gjøre lignende sammenligningerogså til neste år for å se om vi her haren tendens eller ikke.Alle som rapporterer inn resultatene frasine elever på nettsidene til Kengurukonkurranseninnen gitt frist, får tilsendt forslag tilvidere arbeid knyttet til alle oppgavene.Til begge de to oppgavene over foreslo vii fjor at elevene kunne forsøke å løse oppgavenepraktisk. De kunne jobbe med esker ogmynter og finne ut hvor mange mynter dukunne få ved å åpne 3 låser, 4 låser osv. Ellerde kunne tegne familien og telle opp føtter tilmennesker og dyr.Kan det være at noe av forklaringen påresultatene fra disse oppgavene ligger nettoppher? Kanskje slike arbeidsmetoder ikke benyttesnok når elevene kommer opp på mellomtrinnet?Kanskje elevene i for liten grad tilbyskonkreter fordi vi voksne forventer at de løserproblemene ved abstrakt tilnærming? Vi larspørsmålene henge i lufta og venter spent påresultatene fra årets konkurranse.Helga bor sammen med mor, far og lillebror.De har en hund, to katter, to papegøyer ogfire gullfisk. Hvor mange føtter har familien tilsammen?(A): 24 (B): 28 (C): 22 (D): 32 (E): 13Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 57

Kristiansten Festningi Trondheim – etundersøkelseslandskapav dimensjoner58Gerd Åsta BonesGerd Åsta Bones er ansatt vedMatematikksenteret, NTNU. Delvis engasjertav NFV som Vertskapsleder for KristianstenFestning med et overordnet ansvar forå planlegge og utvikle aktivitet som ertilpasset festningens profil sammen medansvar for det totale tilbudet på festningen.gerd.bones@matematikksenteret.noKristiansten FestningSentralt i bybildet, på historiskgrunn ligger Kristiansten festning.På beste tomta i byen, i et særegent ogutrolig spennende miljø, har jeg/vi fått drømmeoppdraget.Innenfor stjerneformede, tykkesteinmurer bygd av slaver, soldater og bøndergjennom et blodslit noen knapt kan forestilleseg, skal vi utvikle aktivitet for liten og storsom skal stimulere til økt interesse for matematikk,teknologi og vitenskap!Jeg er tilbake på barndoms trakter. Innenformurene på festningen, i den gamle kommandantboligenfra 1770, har jeg bodd i merenn 10 år. Da er det en spesiell glede å få væremed på og utvikle stedet til en levende, tilgjengeligog attraktiv arena for alle besøkende.Nasjonale Festningsverk (NFV) skaper nyttliv på historisk grunnBak denne visjonen ligger en målsetting om åbringe festningene over i en ny tid fra militærtil sivil bruk. Kristiansten Festning i Trondheimer et av 3 satsingsområder for NFV i2005/2006. Festningen skal utvikles til å bli enetterspurt arena for kultur, næring og opplevelser.Dette gjelder alle typer aktivitet som erforenlig med NFV’s verdisyn og passer stedetsegenart og historie. I år har vi kommet godti gang med dette arbeidet. Vi har utviklet etfestningspass, som er en selvguidet kultur- ognaturvandring, kommandantboligen fra 1770er satt tilbake til original stand og er nå blitttil ”Vertshuset Festningen”, og det er laget eteget vandreteater ”Donjon reiser i tiden”. Forden som ønsker å vite mer om dette, se gjerne:www.nasjonalefestningsverk.no/kristiansten/Matematikk, teknologi og vitenskap ervalgt som profil for Kristiansten FestningFestningens fremtidige og spesielle profil medmatematikk, teknologi og vitenskap er valgtfor å støtte opp om trønderhovedstadens rysom teknologi-hovedstaden. Målet er et bredttilbud av aktiviteter til alle besøkende. Akti-Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

viteter med tilknytning til festningens egenartog historie som samtidig stimulerer tilundring og utforskning. Her skal være myeå gjøre og mye å røre. Matematikk skal væreet sentralt område, satt i en sammenheng ogformidlet gjennom meningsfylt aktivitet.Aktivitetsløype – første stegI år er første steg til ei aktivitetsløype for bådesmå og store(!) barn tatt. Løypa består alleredeav 8 ulike poster. Matematikksenteretog Vitensenteret i Trondheim har bidratt medideer og vil være en naturlig samarbeidspartnersammen med samarbeidspartnere frakultur og næringsliv også i årene fremover.Planen er at løypa skal bygges ut med nyeposter for hvert år som går.Eksempel på noen av postene:Mønster og former med tauTrening i bruk av gangetabellen. Festningenhar form som ei stjerne (asymmetrisk).Med tau lagt rundt en åttekantet luftvernkanonsstilling,vil ulike mønstre som du kangjenkjenne på festningen fremkomme.Bygg ei buebruBygg elementene oppå forskalingen, trekk forskalingenvekk og vips har du ei bru som dukan gå over og krype under! Konstruksjonerlaget etter dette prinsippetfins overalt påfestningen. Hvilke kandu finne når du tar enrunde på festningen ogleter?brukt som et eksempel på en teknikk som kanbrukes når store, tunge steiner skal på plass.Løypa består av store og solide konstruksjonerog installasjoner, spill og problemløsningsaktiviteterspredt over hele festningsområdet.Vi er opptatt av at det meste vi lagerskal være store, solid saker som tåler vær ogvind og at de blir brukt.Vektstang-prinsippetKlarer du å løfte steinen?Den store steinenveier 60 kg. Til og medet lite barn kan løfteden tunge steinen vedhjelp av en vektstang.Vektstangprinsippet erNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 59

Ute-matematikk og inne-matematikkStedet innbyr til aktivitet både ute og innemed sin særegne og spennende historie oggeometri. Her er ingeniørkunst av høy kvalitettil tross for at det er planlagt og bygd former enn 300 hundre år siden. Kanontårnetmed form som en terning/kube, kasemattene(oppholdsrom for soldatene) er bygd etterhvelvbruprinsipp inn i murene, kommandantboligenmed sin særegne form og sitt pyramideformedetak. Her er nok av muligheter forulike områder innenfor matematikklæring.På fremtidsplanen står matematisk-historiskskattejakt, tidsreise på tallinjen m.m. Vi er istartfasen og har mange spennende planer forvidere utvikling.Ny læreplan gir mulighet for fordypning oginnbyr til lokal tilpassing. Selv om det her ertatt utgangspunkt i et lokalt historisk område,er det viktig for oss at ideene og oppleggeneer overførbare til andre situasjoner og stederog at det vi bruker i sammenheng med matematikk-undervisninger målrettet og ivaretarkompetansemålene for de ulike trinnene.Jeg ønsker å diskutereideer og planerfor videre utvikling ogsetter pris på innspillav alle slag.60Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

LAMISLandslaget for matematikk i skolenv/Randi HåpnesHøgskoleringen 57491 Trondheimpost@lamis.no · www.lamis.noPostgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103Fra formålsparagrafenDet overordnede målet forLands laget for matematikk iskolen er å heve kvaliteten påmatematikk undervisningen igrunnskolen, den videregåendeskole og på universitet/høyskole.Landslaget skal stimulere tilkontakt og samarbeid mellomlærere på ulike utdanningsnivåerog mellom lærere og andresom er opptatt av matematikk.Styret for LAMISFra barnetrinnetMona Røsseland,Samnanger, Hordaland (leder)Kari Haukås Lunde, Bryne,RogalandFra ungdomstrinnetGrete Tofteberg, Våler, ØstfoldHugo Christensen, Notodden,TelemarkFra videregående skoleJan Finnby, Lillehammer,OpplandAnne-Mari Jensen, Ørnes,NordlandFra høyskole/universitetBjørnar Alseth, OsloKristian Ranestad, OsloMedlemskontingentSkole/institusjon 580,–*Enkeltmedlem 330,–*Husstandsmedlem 150,–Studenter 200,–Tangenten inngår i kontingenten.(Gjelder ikke husstandsmedlemmer.)De to merketmed * steg 1. januar 2006.Får du e-post fra Lamis?Lamis prøver å bruke e-post som kanal til å nå ut til sine medlemmer. Dette vil i stor utstrekninggjelde informasjon fra lokallagene. Det er derfor svært viktig at vi har oppdaterte e-post-adressertil våre medlemmer, og her er vi helt avhengig av hjelp fra dere.Så: hvis du aldri har fått e-post fra Lamis kan det bety at vi ikke har registrert adressen din.Det du kan gjøre da, er å gå inn på vårt nettsted www.lamis.no og registrere mailadressen din,eller sende en e-post til post@lamis.no.Er du usikker på om vi har adressen din, så gå inn og gjør det i dag!!!Landslaget for matematikk i skolen 61

Lederen har ordetGodt nytt matematikkår!Velkommen til et nytt og sværtspennende Lamis-år. Medlemstalletgår stadig oppover, og vipasserer snart 3800 Lamisentusiaster.Jeg snakket tidligerei høst med nestlederen iSMAL, matematikklærerforeningeni Sverige, og han lurtepå hvordan vi klarte å få til enslik eventyrlig utvikling og engasjementi Norge. Og bedre skalvi bli, for om ikke altfor lengefår vi en fantastisk organisasjonssekretærpå plass. SveinH. Torkildsen har nemlig takketja til å bli vår aller første organisasjonssekretær.Dere finner ennærmere presentasjon av Sveinog hans arbeid lengre bak påvåre sider.2006 vil by på mange utfordringer,der en av de største vilvære innføring av ny læreplan.Det skal utarbeides lokale læreplanerrundt om i kommunene,og forlagene presenterer nyelærebøker. Og dette skjer medutfordringene fra de nedslåenderesultatene på de internasjonaletestene i bakhodet. Nå tar detnaturligvis mange år å innføre62en ny læreplan, men oppstartener særlig krevende og vi harmye utfordrende faglig arbeidi vente.Jeg vil også sende en spesiellhilsen til våre medlemmersom arbeider i barnehage. Vihar nå fått et felles departementfor barnehager og skoler,og vi ønsker denne helhetstenkningenvelkommen. Lamisvil arbeide for å bli enda bedrei forhold til å være støttespillerogså for førskolelærerne og detviktige arbeidet de gjør med åutvikle kunnskap og interessefor matematikk hos de små. Vifølger spent med på Fjell kommunei Hordaland som akkurathar startet et prosjekt med realfagi barnehagene.Et annet interessant felt erat det nå satses stort på forsknings-og utviklingsprosjektertilknyttet skole. Forsknings rådethar et omfattende program klartfor universitetene og høgskoleneom praksisrettet skoleforskningog lærerutdanning.Utdanningsdirektoratet setteri gang med både utviklingsprogramfor skolene og meden evaluering av Kunnskapsløftet.Det nye denne gangener at det legges sterke føringerpå at prosjektene innen disseprogrammene skal innbefattesamarbeid mellom skoler oguniversitet/høgskoler. Gjennomslikt samarbeid håpermyndighetene at forskningsprosjekteneblir bedre og merrelevante for praksis, og dehåper at skolenes utviklingsprosjekterblir bedre gjennomen solid faglig og didaktisk forankring.Et slikt samarbeid påtvers av skoleslag har alltid værtet sterkt ønske fra Lamis, sådette ser vi frem til med gledeog spenning. Det er snakk omflere hundre millioner kroner i dekommende årene, og dette ernoe som vil engasjere mangeLamis-medlemmer.Når det gjelder de nasjonaleprøvene så har det lenge værtklart at de ikke skal avholdesi 2006, men nå kan det se utsom om denne pausen blir endalengre. Utdanningsdirektoratethar sendt klar beskjed til Djupe-Landslaget for matematikk i skolen

Nordfjord lokallager stiftadal om at hvis målet er å utviklevirkelig gode prøver - som harstøtte hos både lærere, foresatteog elever - må pausenvære lenger. Dette er sikkerten klok tilbakemelding, selvom vurderingsgruppen av denasjonale prøvene stort sett gagod omtale av selve matematikkprøvene,altså oppgavene.Prøvene i de andre fagene fikkhardere medfart. Også i matematikkvar det enkelte kritikkverdigemomenter, og mangelærere opplevde nok at arbeidetmed å rette og rapportere fraprøvene var svært omfattende.Det blir viktig om prøvene startesopp igjen at arbeidet med ågjennomføre prøvene står i stilmed det utbyttet de gir. Og dablir det viktig å tenke grundigpå hva prøvene skal brukes til.For Lamis’ medlemmer er veldet viktigste at de gir tilbakemeldingertil lærerne som kanbrukes i undervisningen. Dennasjonale rangeringen er avmindre betydning, og direktoratetsier rett ut at de er i motoffentliggjøring av resultatenefra enkeltskoler.Trass i fotballkamp mellomTsjekkia og Noreg og eit ufyselegver med sludd og vind,møtte rundt 60 interessertematematikklærarar frå heileNordfjord fram til stiftingsmøtepå Eid ungdomsskule om kveldenden 16. nov.Dette styret vart vald forkommande år:Asbjørn Berge,Stryn ungdomsskuleWenche Bosnes,Selje skule (kasserar)Sigbjørn Hals,Måløy vid. skule (leiar)Mariann Mortensen,Haugen skuleNorunn Kjøsnes Nilsen,Eid ungdomsskule.Etter stiftingsmøtet hadde SigbjørnHals ein presentasjon medtemaet læringsstilar og konsekvensarfor matematikkopplæringa.Deretter var det matematikkløypemed mange praktiskeog differensierte oppgåver ogutprøving av ulike matematikkprogrampå data.Første aktivitet på nyåretvar kurs som Mona Røsselandheldt på Eid ungdomsskule 10.januar. Temaet var nye læreplanarog konsekvensar for opplæringa.Målsetting for 2006:– Auke medlemstalet forenkeltmedlemmar i Nordfjordtil 50 og for skular til25.– Få med barnehagane ved ådanne 5-årsklubbar i matematikki Nordfjord.– Få til eit aktivt lærande nettverkmellom skular på sametrinn, med utveksling av tipsog gode undervisningsopplegg– Få til eit aktivt samarbeidpå tvers av skuleslaga, medauka kjennskap til kva deiandre trinna driv med oglegg vekt på.– Få til eit felles kurs for ungdomsskulelæraranei Nordfjordetter innsende ønskjeom tema.– Få til eit felles kurs for lærararpå vid. trinn, og etablereeit konstruktivt samarbeidmellom matematikkseksjonanepå dei 4 vid. skulane iNordfjord.Landslaget for matematikk i skolen 63

Velkommen, Svein!Ny organisasjonssekretær i LAMIS, Svein Hallvard TorkildsenDet er med stor glede vi endeligkan presentere vår førsteorganisasjonssekretær, og deter ikke uten en viss stolthet vikan fortelle at vi har fått selvesteSvein Hallvard Torkildsen til åpåta seg jobben.Det er få som kjenner Lamisså godt som Svein. Han harvært med siden oppstarten,og han satt i interimstyret somfungerte det første året fra1997–98. Siden ble han organisasjonensførste leder og vardet i perioden 1998–2000. Hanhar i tiden etter hele tiden værten pådriver både innad i Lamis,men også i matematikkmiljøet64ellers, et engasjementsomvåren 2005 blebelønnet vedat Svein kunnemotta Holmboe-prisen.Svein arbeidersom lærerved Samfundetsskole i Kristiansand,der hanhar vært siden1970. Han har undervist på alletrinn fra 1. klasse i grunnskolentil høyskole, hovedsakeligpå ungdomstrinnet og alltid imatematikk. I begrunnelsen forHolmboe-prisen står det bl.a.:”Svein Hallvard Torkildsenhar gjennom sin lærergjerningutvist et brennende engasjementi klasserommet. Han girelevene utfordringer, samtidigsom han evner å differensiereundervisningen og nå frem tilden enkelte elev. Tilliten til egneelever som tenkende menneskerog utøvere av matematikkhar vært grunnleggende i hansundervisning, og han har alltidlagt stor vekt på elevenes forståelseav matematikken. Haninspirerer elevene og lar sittengasjement smitte over pådem. En av hans tidligere eleversier:”Svein utfordrer oss på enslik måte at vi bare må finne utav det!”Sveins oppgaver blir i førsterekke å ha tett kontakt med oggi god oppfølging til våre medlemmer.Han kommer til å samarbeidenært med lokallagene,og vi regner med at de flestelagene vil bli besøkt i løpet avåret.Organisasjonssekretærenovertar ansvaret for våre sideri Tangenten, og ikke minst skalhan følge opp arbeidet med dennye skriftserien vår. Dessutenhåper vi at han sammen medstyret skal være med på å genererenye tiltak, gjerne i samarbeidmed andre organisasjoner.Organisasjonssekretærstillingener en 50 % stilling.Styret v/Mona RøsselandLandslaget for matematikk i skolen

LAMIS Sommerkurs 2006Invitasjon til å holde verkstedLAMIS-Tromsø inviterer potensielle verkstedsholdere til å sende inn søknad om å få holde verkstedunder sommerkurset i Tromsø, 6.–9. august 2006. Temaet for sommerkurset er Matematikk underåpen himmel, eller sagt på en annen måte: matematikk i naturen og natur i matematikken.Vi ønsker å skille mellom to typer verksteder: verksted og seminar. Verksted skal inneholde engod del egenaktivitet for deltakerne, mens seminar vil være foredrag med diskusjon i etterkant.Vi ber potensielle verkstedsholdere om å sendeTittel, verkstedstype, kort beskrivelse, klassetrinn og evt. antallsbegrensningtil lamistos@start.no innen 1. mars 2006. Skriv ”Verksted, sommerkurs 2006” i e-brevets emnefelt.Bergen og omegn lokallagNytt styre for 2006 ble valgt på årsmøte 22. november:Leder: Hans Jørgen Riddervold (HiB)Kasserer: Jostein Holck (Slåtthaug)Sekretær: Knut Stølås (Sælen)Styremedlem: Stella Munch (Haukeland)Varamedlem: Anne Bjørnestad (Tanks)Varamedlem: Rita Hetland Olsen (Damsgård)Programskisse for våren 2006:Onsdag 25.01:Matematikkens dag – gjennomgang av årets hefte/øvelser med deltagelse fra Dordi Askildsenog Kari Haukås Lunde i forfattergruppen bak matematikkdagheftetMandag 13.03:Dynamisk geometri med eksempler fra boka Tangenten: inspirasjonsbok for matematikklærere(videregående skole).Onsdag 29.03:Eksamensordningen i Ungdomsskolen, ved mellom andre Håkon Eiken.Onsdag 10.05:Tilpasset opplæring – mellomtrinn, ved Arne Gravanes.For oppdatert informasjon, se lokallagets hjemmeside www.lamis.no/bergen. Send epostadressendin til lamishjr@online.no hvis du ikke har fått tilsendt invitasjoner til temakveldene våre!Landslaget for matematikk i skolen 65

Ny læreplan ogdigitale utfordringerGrete N. ToftebergEn ny læreplan foreligger, medet tydeligere fokus på ferdigheterog kompetanse. Kompetansei digitale verktøy ersterkt fokusert gjennom helelæreplanverket som en av de5 grunnleggende ferdigheter.Gjennom arbeid i fagene skalvi arbeide mot et mål om atelevene skal mestre ulike digitaleverktøy og samtidig væreomstillingsdyktige i forhold til åklare å ta i bruk nye verktøy sommåtte komme i årene framover.For læreplangruppa var detviktig at planen ble både tydeligog romslig. Med tydelighetmenes at det ikke fremstår noentvil om at kompetansemålenebygger opp under de behoveneelevene har for å mestre digitaleverktøy i dagens samfunn,videre skolegang og yrkesliv.Med romslighet menes at vi ikkeønsket å være så spesifikke atplanen samtidig utelukker gode66Grete N. Tofteberg arbeiderved Kirkebygda skole iØstfold. Hun har sitteti læreplangruppa og erstyremedlem i Lamis.Bildene viser hvordan et dynamisk geometriverktøy kan brukes tilå studere perspektivtegninger, og viser hva som skjer når forsvinningspunktereller horisontlinjen flytter segverktøy som vil bli utviklet underden tiden læreplanen gjelder.I arbeidet i klasserommet måde matematikkfaglige læringsmålenestå i fokus. De digitaleverktøy blir nettopp akkuratdet – verktøy som skal berikematematikkfaget og gi elevenemuligheter til å oppnå en bredereeller dypere matematiskforståelse. Vi må altså vokte ossfor at det å mestre verktøyeneblir et så sterkt fokusert mål iseg selv at det går på bekost-Landslaget for matematikk i skolen

ning av matematisk begrepsdannelseog forståelse.Regnearket er det enesteverktøyet som er spesifisert ilæreplanen. Kompetansemåleneved endt 7. årstrinn innebærerat elevene må kunnebeherske dette verktøyet på etgrunnleggende nivå. For øvrignevnes det gjentatte gangerat elevene skal beherske bådedigitale og analoge/manuelletilnærmingsmåter. Slik vil dedigitale verktøyene kunne bidratil å utvide elevenes mangfoldav løsningsstrategier, noe somer et uttalt mål etter TIMSS ogPISA resultatene. Regnearket eret godt redskap i mange sammenhenger.Vi kjenner alle hvilkengevinst det kan gi oss vedarbeid med store tallmengderog statistisk materiale. Her harjeg likevel lyst til å fremhevehvordan arbeid i regneark kanstyrke forståelsen for algebra,og spesielt variabelbegrepet.Ganske tidlig kan elever klareå lage enkle formler, og studerehvordan resultatene endrer segnår variabelverdiene endrerseg.For å gjennomføre en digitalanalyse av 2- og 3-dimensjonalefigurer trenger vi også egnedeverktøy. Det blir fort aktuelt åbruke et dynamisk geometriverktøy.Et alternativ er Cabri– som finnes både for 2D og3D, men det koster dessverrepenger. Programmet Geonexter et fullt brukbart alternativ sålenge vi holder oss til to dimensjoner.Alle som følger med påhva RENATE-senteret arbeidermed vil også trolig ha hørt omproDESKTOP eller andre CADprogrammersom gjør det muligå bygge ulike 3D-modeller oganalysere dem. Andre vil kanskjevelge skole-Linux istedenforWindows-baserte verktøy forå redusere kostnadene. Vi stårmed andre ord overfor en utfordringbåde når det gjelder valgav egnet verktøy og brukerkompetansei forhold til dem. Disseutfordringene møter vi bådepå elev- og lærersiden. Farenfor å drukne i det rent datatekniskefremfor å holde fokus pålæringsmålene i matematikk eraltså til stede.Da ledes vi inn i en annenside ved det å ha kompetansepå digitale verktøy. Nemlig å sede ulike hjelpemidlenes styrkerog begrensninger og å klare åvelge rett verktøy til rett formål.Kompetansebegrepet liggerutenpå ferdighetsbegrepet.Ferdigheter kan vi knytte til detå mestre de ulike verktøyene.Å ha kompetanse innebærerogså å kunne vurdere hvilketverktøy som egner seg i ulikesituasjoner, velge strategiskog unngå å skyte spurv medkanoner. Det er vel og bra medalle flotte verktøy for PC, mendet blir tungvindt å måtte trekkefram en PC for å multiplisere todesimaltall eller opphøye et talli et annet. Kompetanse i digitaleverktøy handler såledesogså for eksempel om å mestreen lommeregner og å kunnebetjene en digital vekt.Sist men ikke minst vil jegpåpeke at kompetanse i digitaleverktøy ikke kan sees isolert franoen av de andre ferdighetsområdene.Læreplanen fortelleross for eksempel at eleverskal kunne presentere data medog uten digitale verktøy. En slikLandslaget for matematikk i skolen 67

Dagskurs i lokallagsregiJan Finnby, Hedmark/Opplandlokallagpresentasjon blir ikke god vedhjelp av digitale verktøy alene.En presentasjon må være helhetligog forståelig, med presistspråk og ryddig oppsett. Slik servi at også de muntlige og/ellerskriftlige ferdighetene sammenmed regneferdighetene elevenlegger til grunn, blir avgjørendefor kvaliteten på den kommunikasjoneneleven har med målgruppen.68Det er vanlig at lokallagenei Lamis holder temakurs formedlemmer og andre matematikkinteresserte.Det vanligeer å holde dette på ettermiddagog kveldstid, men noen lokallaghar prøvd å arrangere temakurspå dagtid og har gode erfaringermed det. Kurs på ettermiddagog kveldstid er gratis for medlemmene,og med en symbolskbetaling fra ikke-medlemmer.Dette er selvsagt veldig bra,for i Lamis er vi avhengige avat medlemmene viser interessefor å oppdatere seg faglig og fånye ideer til matematikkundervisningenogså utenfor vanligbetalt arbeidstid.Men, av og til er det hensiktsmessigfor lokallagene ålegge kurs på dagtid. Det kanvære fordi kurset må ha entidsramme som går ut over enkveldsstund, eller det kan værefordi en bruker en kursholderJan Finnby arbeider vedLillehammer VGS. Han erleder i Hedmark/Opplandlokallag og er styremedlemi Lamissom det er enklest å utnyttei arbeidstida. Da er det ingenselvfølge lenger at kurset skalvære gratis. Kan et lokallagtilby et kurs med et så attraktivtinnhold at skolen ser nyttenav sende en eller flere lærere,så er dette noe som kommerskolesamfunnet til gode, ogdermed noe skolen bør væremed å dekke utgiftene til. Kurskoster; noen personer brukertid og krefter på å organiserekurset, og forelesere er sjeldengratis. I tillegg er det gjernekostnader til lokaler og enkelservering. Det er ikke logiskat en idealistisk forening somLamis skal koste slike fagkurs ilærernes egen arbeidstid.I Hedmark/Oppland lokallaginviterte vi til dagskurs den 13.september fra kl.1200 til 1800på Hamar. Kursets tema varForebygging av matematikkvansker,og kursholder var ToneDalvang fra Sørlandet kompetansesenter.Kursavgiften varsatt til kr. 200,- for medlemmerog kr. 300,- for ikke-medlemmer,men fordi noen skolerønsket å sende mange lærere,Landslaget for matematikk i skolen

laget vi en rabattordning. Hvertredje lærer fra en og sammeskole gikk gratis. Vi var ganskespente på om dette var farbarvei og om noen ville komme.Kursinnholdet var tydeligvisattraktivt og påmeldingen formidabel.Så stor at vi faktisk mågjenta kurset på Lillehammer ijanuar, for det ble ikke plass tilalle på Hamar. Det var få læreresom ikke fikk dekket dettekurset av egen skole. Vi kunnenok, i ettertidens klokskap, halagt på kursavgiften med noenkroner og gjort mat og drikkenoe mer spennende uten at dethadde endret antallet påmeldtei vesentlig grad.At lærere sjelden kommerpå kurs skyldes nok ikke bareat skolene har dårlig råd, menogså at det tilbys for få matnyttigekurs i lokalområdet. Derforoppfordres herved alle lokallagi Lamis til å stå på og lage kursogså på dagtid. Det å kreve innbetaling i døra når de fleste skalha dette dekket av egen skole,er ingen farbar vei. Vi gjorde enavtale med Lamissekretariatet,ved Randi Håpnes, og lotdeltagerne registrere seg påen liste hvor det sto adresse tilden personen eller den skolensom skulle dekke kursavgiften.Lista ble så sendt til Randi, somsendte giroer til rett adresse medrett beløp. Enkelt og greit.Lamis sitt hovedstyre haddedenne saken oppe på styremøtei oktober. Der var detenighet om at kurs i Lamisregisom gikk over mer enn 3 timerav vanlig arbeidstid, bør dekkesgjennom deltageravgift. Det varogså styrets mening at kursavgiftenbør betales til Lamis sentralt,og ikke inn på konto til detlokallaget som arrangerer. Deter flere grunner til dette, blantannet er det regnskapsmessigog revisjonsmessig enklere atdette blir en post i hovedstyretsregnskap. Det er ikke alltid at etlokallagsregnskap revideres avgodkjent revisor, og om noe blirfeil, er dette kjedelig for styretog den enkelte ansvarlige ilokallaget. Det kan innvendesat lokallaget bør tilgodesesmed midler når det viser storaktivitet, men slik det fungerer idag er det vanlig at lokallageneber om penger når det er noede trenger penger til, og da fårde penger. Slik bør det fortsattvære. Det er allerede gjort kjentoverfor alle lokallag at reiseregningfra foreleser skal sendesdirekte til Lamis sentralt. Detmå også nevnes at når deltakeravgiftenblir innbetalt sentralt,dekkes alle andre utgifter i forbindelsemed kurset, ikke barereiseregningen. Derfor er detingen grunn til at lokallageneskal sitte på store summer, meddet ansvaret dette medfører.Landslaget for matematikk i skolen 69

GEONExT ogpostkasser i skogenSigbjørn HalsHans Jørgen Riddervold skreivein god artikkel i Tangenten nr.2, 2005. Denne gav saman medforedraga om dynamisk geometripå Novemberkonferansen2005 inspirasjon til å prøveut programma GEONExT ogDerive. GEONExT finst no bådepå nynorsk og bokmål, og kanlastast ned gratis frå geonext.uni-bayreuth.deEin 30 dagars fullt fungerandedemoversjon av dataprogrammetDerive 6.0 kan lastast nedfrå nettsida: www.ydsa.se/derive.htmlHer vil eg bruke programma tilå løyse den konkrete oppgåvanedanfor.Oppgåve om postkassestativAnne, Eva og Ole bur i kvart sitthus i ein stor skog. Eva bur 12070Sigbjørn Hals arbeiderved Måløy vidaregåandeskule. Han er leiar iNordfjord Lokallag oger vararepresentant tilsentralstyret i Lamis.meter rett aust for Anne. Ole bur20 meter vest for og 20 meternord for Eva. Det skal plasserasteit felles postkassestativ iskogen.a) Kvar må dette stativet plasserastdersom alle tre skalfå nøyaktig like lang veg fråhuset sitt til postkassestativet?b) Er dette den mest fornuftigeplasseringa av stativet?Kvar er den beste plasseringafor at alle tre skulle blifornøgde? Grunngje svaradine.Forslag til ei løysing på oppgåvaved hjelp av dataprogrammetGEONExTDu kan laste ned ein utvidaversjon av den gode artikkelentil Riddervold på www.caspar.no/tangenten/2005/geonext.pdf. Her gjev han ei god innføringi bruken av programmetGEONExT. På heimesida til tangentenkan du òg laste ned einutvida versjon av denne artikkelen,der eg forklarar korleis einkan bruke GEONExT til å løysepunkt a) i oppgåva ovanfor. Denløysinga kan ein òg lett finneved vanleg konstruksjon medpassar og linjal. Som vi ser avfiguren under, blir det ein langekstra veg å gå for alle, berrefor å oppnå at dei skulle ha likelang veg!Her har eg eksperimentertlitt med dei gode dynamiskeeigenskapane til GEONExT, forå finne eit punkt som gjer atsummen av vegane til postkassestativetblir minst mogleg:1. Klikk på Objekt, Punkt ogPunkt og klikk ein tilfeldigplass inne i trekanten.Lag linjestykke mellom kvartav husa og dette nye punktet.(Vel Objekt, Linje og Linjestykke.)Det nye punktet er eit dynamiskpunkt (som kan flyttastrundt på skjermen) slik atlinjestykka følgjer etter! Klikkpå pila til venstre, klikk påpunktet A, og dra det rundtpå skjermen.2. Vi vil no definere summen avlengdene. Klikk på Objekt,Tekst og utrekning og Tekst.Skriv inn Samla avstand:Klikk deretter på Uttrykk.Landslaget for matematikk i skolen

Skriv: Dist(Anne,A)+Dist(Eva,A)+Dist(Ole,A) mellom og . Skrivmeter etter KlikkUtfør og Lukk. Då blir uttrykketslik:Samla avstand: Dist(Anne,A)+Dist(Eva,A)+Dist(Ole,A) meter3. Klikk på pila til venstre påskjermen og flytt tekstenmed sjølvoppdaterande verdiartil ein passande plasspå skjermen. Dra i punktetA og sjå korleis den samlaavstanden varierer.Ein ser at om postkasseneblir plasserte i skjæringspunktetfor midtnormalane, blirden samla avstanden 216,3meter. Den kortaste samlaavstanden (130,3 meter) ernår stativet blir plassert heimehos Ole, men er det ”rettferdig”?Det kan bli mange finediskusjonar omkring dette.Ser vi på avstandane til detfrie punktet A med koordinatane(x, y) finn vi at den samlaavstanden frå kvar av husa tilpostkassestativet er gitt vedformelen:Samla avstand z =x+ y2 2+ ( x - 120)+ y2 2+ ( x - 100) + ( y-20)2 2Dette uttrykket kan vi skriveinn i det glimrande programmetDerive 6, og plotte avstandensom eit tredimensjonaltyttrykk ved variablane x, y ogz, der z altså er samla avstand.Plottar vi samtidig inn planetz = 130,3 (som er den minstesamla avstand vi fann ved åLandslaget for matematikk i skolen 71

flytte rundt på punktet medGEONExT), kan vi vende påfiguren i Derive med piltastaneog ser at det ikkje finst nokosamla avstand som er mindreenn 130,3 eller for å være nøyaktig:20( 26 + 2).På sida home.hib.no/ansatte/hjr/GEONExT/ har Hans JørgenRiddervold gjeve mange fineeksempel på dei dynamiskeeigenskapane til GEONExT.Du kan få tilsendt nokre ferdigeGEONExT filer og forklaringartil framgangsmåten forå lage desse samt ei ”kokebokoppskrift”for mange flottebruksmåtar av Derive 6.0, ved åsende ein epost til forfattaren.Grafen til avstanden zGrafen til avstanden z, rotert72Landslaget for matematikk i skolen