Oppgaver - Fagbokforlaget

Diskret matematikk og Lineær algebraEksamensett 9Et likningssystem (*) er gitt ved– x + z = – 4x + 2y – 2z = 32x – y + z = 1OPPGAVE 1(*)1. Skriv likningssystemet (*) på formen Ax = b.2. Forklar hvorfor matrisen A er invertibel og bestem A – 1.3. Løs likningssystemet (*).OPPGAVE 2a) Løs differenslikninga a n – 2a n – 1 + a n – 2 = 0 , der n ≥ 2 , a 0 = 1 og a 10 = 0.b) Sett opp sannhetsverditabellen for det sammensatte utsagnet[( p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q .c) Per skriver følgende i en rapport:Vi vet at hvis renta går ned, så går aksjemarkedet opp. Renta går ikke ned. Derforgår aksjemarkedet ikke opp.Analyser utsagnet til Per og avgjør om det alltid er logisk korrekt.OPPGAVE 30,7 0,1 0,1En matrise A er gitt ved A = 0,1 0,6 0,1 .0,2 0,3 0,8a) Vis at λ = 1 er en egenverdi til A og bestem en egenvektor som svarer til denneegenverdien.Et supermarked selger tre typer potetgull, type A, type B og type C. Supermarkedet harundersøkt kjøpevanene til de av kundene som kjøper potetgull og funnet ut at1

- av de som siste gang kjøpte potetgull av type A, så vil 70% også kjøpe potetgull avtype A neste gang, 10% vil kjøpe av type B og 20% vil kjøpe av type C- av de som siste gang kjøpte potetgull av type B, så vil 10% kjøpe av type A nestegang, 60% vil kjøpe av type B og 30% vil kjøpe av type C- av de som siste gang kjøpte potetgull av type C, så vil 80% også kjøpe type C nestegang, mens 10% vil kjøpe av type A og 10% av type B.b) 1. Sett opp en Markov-matrise som viser endringen i kundenes kjøpevaner.2. Hva er sannsynligheten for at en kunde skal kjøpe potetgull av type B, hvis han forrigegang kjøpte potetgull av type A?c) Vi går ut fra at endringene i kundenes kjøpevaner vil fortsette på samme måte ei tidframover. Hvordan vil det framtidige salget av de tre typene potetgull da være?OPPGAVE 4Vektorene b 1 , b 2 og b 3 er gitt i forhold til standardbasisen i R 3ved– 2 1– 1b 1 = –1 , b 2 = 1 og = –2 .1 –11a) Vis at B = { b 1 , b 2 , b 3 } danner en basis for R 3.1En vektor v er gitt i forhold til basis B ved v B = 2 .b) Bestem koordinatene til v i forhold standardbasisen S = { e 1 , e 2 , e 3 } i R 3.Matrisen S = [[ e 1 ] B , [ e 2 ] B ,[ e 3 ] B ] har basisvektorene i standardbasisen gitt i forhold tilbasis B som kolonnevektorer. Matrisen B = [ b 1 , b 2 , b 3 ] har basisvektorene i basis Bgitt i forhold til standardbasisen som kolonnevektorerc) Bestem matriseproduktet BS.1 B2 :