Vektorer och kinematik - Fysik

Vektorer och kinematik 1 – 21.2 VektorerInom fysiken skiljer vi mellan skalära ochvektoriella storheter. Till de förra räknasstorheter som• volym• täthet• temperaturvilka utmärks av ett mätetal vilket anger derasstorlek.Vektorer är storheter vilka både har storlekoch riktning. Vektor kommer fråndet latinska ordet ‘dragare’ eller ‘to carry’.Det enklaste exemplet på en vektor är enförflyttning från en punkt i rummet tillen annan. En förflyttning har storlek,avståndet från P 1 till P 2 , och riktning. P 2dP 1Vektorstorheter är storheter somlikt förflyttningar har storlek och riktning tex• kraft• rörelsemängd• hastighet• accelerationFör att beskriva en vektor måste vi angebåde dess längd och riktning. Vi antar atten parallellförflyttning inte ändrar en vektor.BCB = COm två vektorer har samma längd och riktningär de lika. Längden eller storleken på envektor kallas dess belopp. Beloppet av vektornA skrivs|A| = AOm längden på envektorär ett kallas denen enhetsvektor, och betecknas med en ‘hatt’.För en vektor A har vi = A/|A| eller A = AÂ1.2.1 VektoralgebraOm vi multiplicerar en vektor A med enskalär b>0 resulterar det i en ny vektorC = bAVektorn C är parallell med A och dess längdär b gånger större dvsĈ =  och C = bAOm vi multiplicerar en vektor med -1 får vien ny vektor med motsatt riktning till den ursprungliga,dvs om b

Vektorer och kinematik 1 – 31.3 KomponenterB * θ-Adär θ är vinkeln mellan A och B. OmA·B=0såär |A| = 0 eller |B| = 0 eller θ = π/2 .Vi ser också attVektoroperationer är definierade utan referenstill ett koordinatsystem, men för atterhålla konkreta resultat måste vi välja ettlämpligt koordinatsystem. Låt oss betraktaett två-dimensionellt system i xy-planety6A·A=|A| 2 cos(0) = |A| 2A yASkalärprodukten uppträder t ex vid beräkningav arbete. Om en kraft F förorsakar enförflyttning d av en kropp, så är det arbeteW vilket kraften uträttar på kroppenW=F·d1.2.3 Vektorprodukt (Kryssprodukt)Den andra typen av multiplikation av vektorervilken uppträder i mekaniken är vektorprodukten.I detta fall kombineras tvåvektorer A och B till en tredje vektor CC6@A @@Rθ-BC = A × B|C| = |A||B| sin θEftersom C är en vektor måste vi specificerabåde storlek och riktning. Storlekendefinieras som|C| = |A||B| sin θdär θ åter är vinkeln mellan A och B. Viser att |C| =0omθ=0dvsomAoch Bär parallella. Riktningen av C bestäms enligtden s k skruvregeln, dvs C är riktad längs denriktning en högergängad skruv vrider sig dåA vrides mot B. Från definitionen av vektorproduktenföljer attB × A = −A × B ⇒ A × A =0A x-xProjektionen av A på axlarna kallas för A’skomponenter, och är A x och A y respektive.Vi kan specificera en vektor genom dess komponenterdvseller i tre dimensionerA =(A x ,A y )A =(A x ,A y ,A z )Alla vektorekvationer kan skrivas som ekvationerför komponenter t exoch för additioncA =(cA x ,cA y )A + B =(A x +B x ,A y +B y ,A z +B z )1.4 BasvektorerBasvektorer är ett system av ortogonala(vinkelräta) enhetsvektorer, en för varje dimension.För en vektor har vi i två dimensionerA = (A x ,A y )=(A x ,0) + (0,A y )= A x (1, 0) + A y (0, 1) = A x î + A y ĵEn vektor kan alltså delas upp i komposanterlängs koordinataxlarna. Här ärî =(1,0) ; ĵ =(0,1)

Vektorer och kinematik 1 – 4enhetsvektorer längs x- ochy-axeln respektive.Varje vektor kan i allmänhet skrivas somA = A x î + A y ĵ + A zˆkdär ˆk är enhetsvektorn längs z-axeln ˆk =(0, 0, 1). Nu är î · ĵ =cos(π/2) = 0, î · ˆk =0etc, dvs vi får av detta skalärprodukten avtvå vektorerA·B=(A x î+A y ĵ+A zˆk)·(Bx î++B y ĵ+B zˆk)=Ax B x +A y B y +A z B zMed hjälp av basvektorer kan vi ocksåberäkna vektorprodukten. Vi harî × ĵĵ × ˆkˆk × îoch î × î = 0 etc, dvs= ˆk= î= ĵA × B =(A x î+A y ĵ+A zˆk)×(Bx î++B y ĵ+B zˆk)=(Ay B z −A z B y )î++(A z B x −A x B z )ĵ+(A x B y −A y B x )ˆkDetta kan även skrivas som en determinant∣ î ĵ ˆk ∣∣∣∣∣∣A × B =A x A y A z∣ B x B y B zNågraandraräkneregler för vektorer vilkaman enkelt kan härleda ärA · (B + C) = A· B + A· CA×(B +C) = A× B +A×C(A× B)· C = A·(B ×C)=(C×A)·B1.5 LägevektorAnledningen till att vi inför vektorer är attdessa är medlen för att beskriva rörelselagar.Med hjälp av vektorer kan vi beskrivaläget och rörelsen för en partikel i det tredimensionellarummet.För att beskriva läget av en punkt i rummetinför vi ett koordinatsystem. Läget av puktenP ges av de tre koordinaterna (x, y, z). Enförflyttning från en punkt P 1 till en punkt P 2ges av vektornd = (x 2 ,y 2 ,z 2 )−(x 1 ,y 1 ,z 1 )== (x 2 −x 1 ,y 2 −y 1 ,z 2 −z 1 )vi ser att d bara beror på skillnaden i slut ochbegynnelselägena.Det är möjligt att beskriva läget avpunkten P med hjälp av en vektor frånorigo till P enligt figuren nedan, dvsxz6P (x(t),y(t),z(t)) 3 r(t)-yr =(x, y, z)=xî+yĵ+zˆkdär r är lägevektorn för punkten. Observeraatt r beror på valet av koordinatsystem. Förtvå olika koordinatsystem har vi sambandetr ′ = r − Rdär r ′ = (x ′ ,y ′ ,z ′ ), och R är vektorn frånorigo för det oprimade till origo för det primadesystemet. En förflyttning d påverkasinte av valet av koordinatsystem tyd = r 2 − r 1 =(r ′ 2+R)−(r ′ 1+R)=r ′ 2−r ′ 11.6 Hastighet och acceleration(Kinematik)För att beskriva rörelsen av en partikel införvi ett koordinatsystem och en lägevektor rfrån origo till partikeln enligt ovan, därr(t) =x(t)î+y(t)ĵ+z(t)ˆk1.6.1 Rörelse i en dimensionLåt oss först betrakta rörelse i en dimensiondvsr(t) =x(t)î

Vektorer och kinematik 1 – 5Medelhastigheten för rörelsen mellan tvåtider t 1 och t 2 definieras somv = x(t 2) − x(t 1 )t 2 − t 1Den instantana hastigheten v(t) är gränsvärdetav medelhastigheten när tidsintervallett 2 − t 1 går mot nollx(t +∆t)−x(t)v(t) = lim∆t→0 ∆tdvsv(t) = dx(t) =ẋ(t)dtoch hastighetsvektorn blir i detta fall v(t) =v(t)î. Med fart (speed) menar vi hastighetensbelopps = |v(t)|På samma sätt får vi den instantana accelerationenv(t +∆t)−v(t)a(t) = lim= dv(t) =˙v(t)∆t→0 ∆tdt1.6.2 Rörelse i flera dimensionerBetrakta en partikel vilken rör sig i ett plan.Vi har då attr(t)=x(t)î+y(t)ĵFörflyttningen mellan två tidert 1 och t 2 blirdå∆r(t) = r(t 2 )− r(t 1 )= (x(t 2 )−x(t 1 ))î +(y(t 2 )−y(t 1 ))ĵFör ett infinitesimalt tidsintervall får vi alltså∆r(t) =r(t+∆t)−r(t)==(x(t+∆t)−x(t))î +(y(t+∆t)−y(t))ĵ=∆x(t)î+∆y(t)ĵHastigheten för partikeln definieras somv(t) = lim∆t→0= lim∆t→0∆r(t)∆t[ ∆x(t)∆t î + ∆y(t) ĵ∆t= dxdt î + dydt ĵ = v x î + v y ĵ]=Detta generaliseras lätt till tre dimensionersåattv(t) = (v x (t),v y (t),v z (t)) == (ẋ(t),ẏ(t),ż(t)) = drdtPå liknande sätt definieras accelerationen asoma = dvdt = dv xdt î + dv ydt ĵ + dv zdt ˆk = d2 rdt 2Härifrån skulle vi kunna bilda nya vektorergenom att ta högre derivator av r, men viskall se att r, v, ocharäcker för att beskrivarörelsen.Det kan vara värt att påpeka attdetta är svåra begrepp, som varitföremål för många skarpsinniga funderingarinnan de fick sin nuvarandeform av bl a Newton.Redan under medeltiden diskuterademan dessa begrepp. Skolastikernatalade t ex om likformig hastighet(=konstant hastighet). Men de varockså medvetna om att hastighetenkunde ändras, och det vi kallar rörelsemed konstant acceleration kallade de förlikformigt olikformig hastighet. Skullede ha gått vidare till fallet rörelse medvarierande acceleration så skulle de välha varit tvungna att införa begreppetolikformigt olikformig hastighet. Trotsatt vi idag talar om hastighet och accelerationsom självklara begrepp, såhandlar det om begrepp som vunnitsgenom mycken möda och skarpsinne hostidigare generationer.På motsvarande sätt har vektorbegreppetvuxit fram. Medeltidens skolastikerhade t ex stora svårighetereftersom de inte kunde acceptera attett föremål, t ex en projektil, kansamtidigt ha två hastighetskomponentermed en komponent v x längs x-axelnoch en komponent v y längs y-axelnvilka adderas till en resultant v. Dettamenade skolastikerna skulle leda till attprojektilen slets i stycken.

Vektorer och kinematik 1 – 61.7 Integration av vektorer.Antag att vi känner accelerationen för en partikel.Vi kan då finna hastighet och lägegenom att formellt integrera a. Från definitionenav acceleration har viellerdvsdv(t)dt= a(t)∫ tv(t) =v(t 0 )+ a(t ′ )dt ′t 0∫ tv x (t) =v x (t 0 )+ a x (t ′ )dt ′t 0etc. Läget för en partikel finner vi genom enandra integration där∫ tr(t) =r(t 0 )+ v(t ′ )dt ′t 0Ett viktigt specialfall är exemplet med likformigeller konstant acceleration. För a =konstant och t 0 =0får vi∫ tv(t) =v 0 + adt ′ =v 0 +at0där v 0 = v(t = 0). Detta ger för partikelnsläge∫ tr(t) =r 0 + [v 0 +at ′ ]dt ′ = r 0 + v 0 t + 102 at2Iendimensionharvix(t)=x 0 +v 0 t+at 2 /21.8 Rörelse i planpolära koordinater.Rektangulära, eller cartesiska, koordinater ärlämpliga för att beskriva rörelse längs en rätlinje. Rektangulära koordinater är emellertidinte så lämpliga för att beskriva cirkelrörelse,och eftersom cirkelrörelse spelar en viktig rollinom fysiken är det lämpligt att introduceraett koordinatsystem anpassat för dennarörelse.Vi utgår från cylindriska koordinater.z-axeln i det cylindriska systemet sammanfallermed den i det cartesiska systemet.Läget i xy-planet beskrivs medavståndet r från z-axeln och vinkeln θsom r bildar med x-axeln. Vi får attxz6@@rθ-yr = √ x 2 + y 2θ =arctan y xFör rörelse i ett plan kan vi försummaz-axeln, och begränsa diskussionen till tvådimensioner. Koordinaterna kallas planpolärakoordinater. För det cartesiskasystemet är de konstanta koordinatytornaräta linjer vinkelräta mot varandra. Linjermed konstant θ är också räta linjer medanr =konstant ger cirklar. Fortfarande skär devarandra under rät vinkel.Vi inför enhetsvektorer ˆr och ˆθ vilka pekari växande r-och θ-riktningary6ˆθ ˆr@Ir θ-xVi noterar att ˆr och ˆθ varierar med r medanî och ĵ är fixa riktningar.Vi kan uttrycka deförra i de senare somvidare ärˆr = cosθî+sinθĵˆθ = −sin θ î +cosθĵˆr · ˆθ =0I den cartesiska representationen har vir(t) = x(t)î+y(t)ĵ == r(t)cosθ(t)î+r(t)sinθ(t)ĵ == r(t)[cosθ(t)î +sinθ(t)ĵ]=

Vektorer och kinematik 1 – 7= r(t)ˆr(t)1.8.1 Derivator av en vektorFör en allmän vektor har vi sambandetA(t) =A(t)Â(t)Deriverar vi A maptfår vi alltsådAdt = dAdt  + Ad dtFör att beräkna tidsderivatan av enhetsvektornlängs A kan vi observera att|∆Â| = |Â|∆θ =∆θdvs∣ ∣∣∣∣dÂdt ∣ = dθdt = ˙θoch ändringen av enhetsvektorn är vinkelrätmot vektorn själv. Alltså ärdAdt = Ȧ + A ˙θ ⊥där  ⊥ är en enhetsvektor vinkelrät mot Â.1.8.2 Hastighet i planpolära koordinaterLåt oss betrakta hastigheten i planpolära koordinaterdär vi harv = d (rˆr) =ṙˆr+rdˆrdt dtHär representerar den första termen hastighetenskomponent längs r. För den andrakomponenten har vi som i det allmänna falletovan|∆ˆr| = |ˆr|∆θ =∆θdvs∣ ∣∣∣ dˆrdt ∣ = ˙θRiktningen för ∆ˆr är längs ˆθ, dvsdˆrdt = ˙θˆθDetta resultat kan vi också fåframomvideriverar uttrycket för enhetsvektorn längs ruttryckt i cartesiska koordinaterdˆrdt= d dt= ˙θ(cos θî +sinθĵ(−sin θî +cosθĵ)=)= ˙θˆθPå motsvarande sätt får vi attdˆθdt = ˙θˆrFör hastigheten i planpolära koordinater fårvi alltsåv = d dt (rˆr) =ṙˆr+r˙θˆθ=v rˆr+v θˆθ1.8.3 Acceleration i planpolära koordinaterFrån derivatan av hastigheten får via = dvdt = d dt [ṙˆr+r˙θˆθ]== ¨rˆr+ṙ˙ˆr+ṙ˙θˆθ+r¨θˆθ+r˙θ˙ˆθ== ¨rˆr+2ṙ˙θˆθ+r¨θˆθ−r˙θ 2ˆr== (¨r −r˙θ 2 )ˆr +(2ṙ˙θ+r¨θ)ˆθTermen ¨rˆr är en linjär acceleration i denradiella riktningen p g a ändringen i denradiella hastigheten. r¨θˆθ är på liknandesätt en linjär acceleration i den tangentiellariktningen p g a ändring i storlekenav vinkelhastigheten. Termen −r ˙θ 2ˆr är centripetalaccelerationenoch 2ṙ ˙θˆθ är Coriolisaccelerationen.Uppg 1. En partikel rör sig längs en rätlinje och dess acceleration a kan skrivasa = −cv 2Bestäm sambandet mellan partikelns läge ochdess hastighet.Uppg 2. Vid varje tidpunkt är sambandetmellan en viss partikels acceleration,hastighet och läge givet ava = −cv 2 (1 − d cos(αx))Vid t = 0 befinner sig partikeln i origo ochhar hastigheten v 0 .

Vektorer och kinematik 1 – 81. Finn hastighetens beroende av läget2. Låt d = 0. Finn hastighetens beroendeav läget och tiden samt lägets tidsberoende.Uppg 3. En partikel rör sig på encirkelsåatt farten v avtar enligt formelnv = v 0 e −αtdär v 0 och α är konstanter. Beräkna accelerationenuttryckt i komposanter längs ˆr ochˆθ.Uppg 4. På en fix vertikal cirkel med radienR kan en liten ring A glida. I ringen ärfäst ett otänjbart snöre, som löper över ettglatt stift och som i sin andra ända uppbären annan partikel B. Stiftet befinner sig vertikaltöver cirkelns medelpunkt påavståndetαR från denna. En radie till A bildar vinkelnθ med lodlinjen. Beräkna hastighet och accelerationför B uttryckt i vinkeln θ och dessderivator.